Многоугольник

Некоторые многоугольники разных типов: открытые (за исключением его границы), только граничные (исключая внутренние), замкнутые (включая как границу, так и внутренние) и самопересекающиеся.

В геометрии , A многоугольник ( / р ɒ л ɪ ɡ ɒ п / ) является плоской фигурой , которая описывается конечным числом прямых отрезков , соединенных с образованием замкнутой ломаным или многоугольную схемой . Область сплошной плоскости, ограничивающий контур или их вместе можно назвать многоугольником.

Сегменты многоугольного контура называются его ребрами или сторонами , а точки, где встречаются два ребра, являются вершинами многоугольника (особая: вершина) или углами . Внутреннюю часть твердого многоугольника иногда называют его телом . П - угольник представляет собой многоугольник с п сторонами; например, треугольник - это 3-угольник.

Простой многоугольник является один , который не пересекается с себя. Математиков часто интересуют только ограничивающие многоугольные цепи простых многоугольников, и они часто определяют многоугольник соответственно. Полигональной границе может быть разрешено пересекать себя, создавая звездообразные многоугольники и другие самопересекающиеся многоугольники .

Многоугольник - это двумерный пример более общего многогранника в любом количестве измерений. Есть еще много обобщений многоугольников, определенных для разных целей.

Этимология

Слово многоугольник происходит от греческого прилагательного πολύς ( polús ) «много», «много» и γωνία ( gōnía ) «угол» или «угол». Было высказано предположение, что γόνυ ( gónu ) «колено» может быть источником гон . ^[1]

Классификация

Несколько разных типов многоугольника

Количество сторон

Полигоны в первую очередь классифицируются по количеству сторон. См. Таблицу ниже .

Выпуклость и невыпуклость

Многоугольники могут характеризоваться своей выпуклостью или типом невыпуклости:

• Выпуклая : любая линия, проведенная через многоугольник (но не касательная к краю или углу), встречается с его границей ровно дважды. Как следствие, все его внутренние углы меньше 180 °. Точно так же любой отрезок линии с конечными точками на границе проходит только через внутренние точки между своими конечными точками.
• Невыпуклый: может быть найдена линия, которая встречается со своей границей более двух раз. Точно так же существует отрезок прямой между двумя граничными точками, который выходит за пределы многоугольника.
• Просто : граница многоугольника не пересекает себя. Все выпуклые многоугольники простые.
• Вогнутая : невыпуклая и простая. По крайней мере, один внутренний угол превышает 180 °.
• В форме звезды : весь интерьер виден хотя бы с одной точки, не пересекая ни одного края. Многоугольник должен быть простым и может быть выпуклым или вогнутым. Все выпуклые многоугольники имеют звездообразную форму.
• Самопересечение : граница многоугольника пересекает сам себя. Термин « сложный» иногда используется в отличие от « простого» , но при таком использовании возникает опасность путаницы с идеей сложного многоугольника как того, который существует в сложной плоскости Гильберта, состоящей из двух комплексных измерений.
• Звездный многоугольник : многоугольник, который самопересекается правильным образом. Многоугольник не может быть одновременно звездой и звездой.

Равенство и симметрия

• Равноугольный : все углы равны.
• Циклический : все углы лежат на одной окружности , называемой описанной окружностью .
• Изогональный или вершинно-транзитивный : все углы лежат в пределах одной орбиты симметрии . Многоугольник также является циклическим и равноугольным.
• Равносторонние : все края одинаковой длины. Многоугольник не обязательно должен быть выпуклым.
• Тангенциальный : все стороны касаются вписанной окружности .
• Изотоксальный или реберно-транзитивный : все стороны лежат в пределах одной и той же орбиты симметрии . Многоугольник также бывает равносторонним и касательным.
• Регулярный : многоугольник одновременно изогонален и изотоксален . Эквивалентно, он и циклический, и равносторонний , или и равносторонний, и равносторонний . Невыпуклый правильный многоугольник называется правильным звездчатым многоугольником .

Разное

• Прямолинейный : стороны многоугольника пересекаются под прямым углом, то есть все его внутренние углы равны 90 или 270 градусам.
• Монотонный относительно данной прямой L : каждая прямая, ортогональная L, пересекает многоугольник не более двух раз.

Свойства и формулы

Повсюду предполагается евклидова геометрия .

Углы

У любого многоугольника столько углов, сколько сторон. Каждый угол имеет несколько углов. Двумя наиболее важными из них являются:

• Внутренний угол - сумма внутренних углов простого n -угольника составляет ( n - 2) π радиан или ( n - 2) × 180 градусов . Это связано с тем, что любой простой n -угольник (имеющий n сторон) можно рассматривать как состоящий из ( n - 2) треугольников, каждый из которых имеет сумму углов π радиан или 180 градусов. Любой внутренний угол выпуклого правильного n -угольникаизмеряется врадианах илиградусах. Внутренние углы правильных звездных многоугольников${\ displaystyle \ left (1 - {\ tfrac {2} {n}} \ right) \ pi}$${\ displaystyle 180 - {\ tfrac {360} {n}}}$были впервые изучены Пуансо в той же статье, в которой он описывает четыре правильных звездных многогранника : для правильного -угольника ( p -угольника с центральной плотностью q ) каждый внутренний угол равен радианам или градусам. ^[2]${\ displaystyle {\ tfrac {p} {q}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {\ pi (p-2q)} {p}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {180 (p-2q)} {p}}}$
• Внешний угол - Внешний угол является дополнительным углом к внутреннему углу. Обведенный вокруг выпуклого n -угольника, угол, "повернутый" в углу, является внешним или внешним углом. Трассировка вокруг многоугольника составляет один полный оборот , поэтому сумма внешних углов должна составлять 360 °. Этот аргумент можно обобщить на вогнутые простые многоугольники, если вычесть внешние углы, которые поворачиваются в противоположном направлении, из общего числа поворотов. Вобщем случае, обведя n -угольник, сумма внешних углов (общая сумма, на которую каждый поворачивается в вершинах) может быть любым целым числом, кратным d, равным360 °, например 720 ° для пентаграммы и 0 ° для угловой «восьмерки». или жеантипараллелограмм , где d - плотность или число поворота многоугольника. См. Также орбита (динамика) .

Площадь

В этом разделе вершины рассматриваемого многоугольника считаются упорядоченными. Для удобства в некоторых формулах также будет использоваться обозначение ( x _n , y _n ) = ( x ₀ , y ₀ ) .${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}), (x_ {1}, y_ {1}), \ ldots, (x_ {n-1}, y_ {n-1})}$

Если многоугольник не самопересекающийся (то есть простой ), область со знаком

${\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} (x_ {i} y_ {i + 1} -x_ {i + 1} y_ {i }) \ quad {\ text {где}} x_ {n} = x_ {0} {\ text {и}} y_ {n} = y_ {0},}$

или, используя детерминанты

${\ displaystyle 16A ^ {2} = \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} \ sum _ {j = 0} ^ {n-1} {\ begin {vmatrix} Q_ {i, j} & Q_ {i, j + 1} \\ Q_ {i + 1, j} & Q_ {i + 1, j + 1} \ end {vmatrix}},}$

где квадрат расстояния между и ^{[3] [4]}${\ displaystyle Q_ {i, j}}$${\ Displaystyle (х_ {я}, у_ {я})}$${\ displaystyle (x_ {j}, y_ {j}).}$

Площадь со знаком зависит от порядка вершин и ориентации плоскости. Обычно положительная ориентация определяется вращением (против часовой стрелки), которое отображает положительную ось x на положительную ось y . Если вершины упорядочены против часовой стрелки (то есть в соответствии с положительной ориентацией), область со знаком положительна; в противном случае - отрицательный. В любом случае формула площади верна по абсолютной величине . Это обычно называется формулой шнурка или формулой сюрвейера. ^[5]

Площадь простого многоугольника также могут быть вычислены , если длины сторон, ₁ , ₂ , ..., _н и внешние углы , & thetas ; ₁ , θ ₂ , ..., & thetas _п известны, из:

${\displaystyle {\begin{aligned}A={\frac {1}{2}}(a_{1}[a_{2}\sin(\theta _{1})+a_{3}\sin(\theta _{1}+\theta _{2})+\cdots +a_{n-1}\sin(\theta _{1}+\theta _{2}+\cdots +\theta _{n-2})]\\{}+a_{2}[a_{3}\sin(\theta _{2})+a_{4}\sin(\theta _{2}+\theta _{3})+\cdots +a_{n-1}\sin(\theta _{2}+\cdots +\theta _{n-2})]\\{}+\cdots +a_{n-2}[a_{n-1}\sin(\theta _{n-2})]).\end{aligned}}}$

Формула была описана Лопшицем в 1963 г. ^[6]

Если многоугольник можно нарисовать на равномерно распределенной сетке, так что все его вершины являются точками сетки, теорема Пика дает простую формулу для площади многоугольника, основанную на количестве внутренних и граничных точек сетки: первое число плюс половина второго. число, минус 1.

В каждом многоугольнике с периметром p и площадью A выполняется изопериметрическое неравенство . ^[7]${\displaystyle p^{2}>4\pi A}$

Для любых двух простых многоугольников одинаковой площади теорема Больяи – Гервиена утверждает, что первый может быть разрезан на многоугольные части, которые могут быть повторно собраны, чтобы сформировать второй многоугольник.

Длины сторон многоугольника, как правило, не определяют его площадь. ^[8] Однако, если многоугольник является циклическим , то стороны действительно определяют область. ^[9] Из всех n -угольников с заданными длинами сторон один с наибольшей площадью является циклическим. Из всех n -угольников с заданным периметром тот, у которого наибольшая площадь, является правильным (и, следовательно, циклическим). ^[10]

Правильные многоугольники

Многие специализированные формулы применимы к площадям правильных многоугольников .

Площадь правильного многоугольника задается в терминах радиуса г его вписанной окружности и его периметр р от

${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}\cdot p\cdot r.}$

Этот радиус также называют его апофемой и часто представлен в виде .

Площадь правильного n -угольника через радиус R его описанной окружности может быть тригонометрически выражена как: ^{[11] [12]}

${\displaystyle A=R^{2}\cdot {\frac {n}{2}}\cdot \sin {\frac {2\pi }{n}}=R^{2}\cdot n\cdot \sin {\frac {\pi }{n}}\cdot \cos {\frac {\pi }{n}}}$

Площадь правильного n -угольника, вписанного в круг единичного радиуса со стороной s и внутренним углом, также может быть выражена тригонометрически как:${\displaystyle \alpha ,}$

${\displaystyle A={\frac {ns^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi }{n}}={\frac {ns^{2}}{4}}\cot {\frac {\alpha }{n-2}}=n\cdot \sin {\frac {\alpha }{n-2}}\cdot \cos {\frac {\alpha }{n-2}}.}$

Самопересекающийся

Площадь самопересекающегося многоугольника может быть определена двумя разными способами, давая разные ответы:

• Используя формулы для простых многоугольников, мы допускаем, что площадь отдельных областей внутри многоугольника может быть умножена на коэффициент, который мы называем плотностью области. Например, центральный выпуклый пятиугольник в центре пентаграммы имеет плотность 2. Две треугольные области перекрестного четырехугольника (например, фигура 8) имеют плотности с противоположными знаками, и сложение их площадей вместе может дать общую площадь, равную нулю. на всю фигуру. ^[13]
• Рассматривая замкнутые области как наборы точек, мы можем найти площадь замкнутого набора точек. Это соответствует области плоскости, покрытой многоугольником, или области одного или нескольких простых многоугольников, имеющих тот же контур, что и самопересекающийся. В случае с крестообразным четырехугольником он рассматривается как два простых треугольника. ^{[ необходима цитата ]}

Центроид

Используя то же соглашение для координат вершин, что и в предыдущем разделе, координаты центроида твердого простого многоугольника равны

${\displaystyle C_{x}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}+x_{i+1})(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}),}$

${\displaystyle C_{y}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}).}$

В этих формулах должно использоваться значение площади со знаком.${\displaystyle A}$

Для треугольников ( n = 3 ) центроиды вершин и твердого тела одинаковы, но, как правило, это неверно для n > 3 . Медиан множества вершин многоугольника с п вершинами имеет координаты

${\displaystyle c_{x}={\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}x_{i},}$

${\displaystyle c_{y}={\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}y_{i}.}$

Обобщения

Идея многоугольника была обобщена по-разному. Некоторые из наиболее важных включают:

• Сферический многоугольник представляет собой схему дуг больших кругов (стороны) и вершины на поверхности сферы. Он допускает двуугольник , многоугольник, имеющий только две стороны и два угла, что невозможно на плоской плоскости. Сферические многоугольники играют важную роль в картографии (картография) и построении визофф в части единых многогранников .
• Пространственный многоугольник не лежит в одной плоскости, но зигзаги в трех (или более) размерах. В Петри многоугольники регулярных многогранников хорошо известные примеры.
• Apeirogon бесконечная последовательность сторон и углов, которые не закрыт , но не имеет конца , потому что она простирается до бесконечности в обоих направлениях.
• Перекос apeirogon бесконечная последовательность сторон и углов , которые не лежат в одной плоскости.
• Комплекс многоугольник является конфигурация аналогичен обычным многоугольник, который существует в комплексной плоскости двух реальных и два воображаемых размеров.
• Абстрактный многоугольник является алгебраическим частично упорядоченным множеством представляющего различных элементов (стенки, вершина и т.д.) и их соединение. Говорят, что реальный геометрический многоугольник является реализацией связанного с ним абстрактного многоугольника. В зависимости от отображения могут быть реализованы все описанные здесь обобщения.
• Полиэдр представляет собой трехмерное твердые ограниченный плоскими полигональные поверхности, аналогичных многоугольник в двух измерениях. Соответствующие формы в четырех или более измерениях называются многогранниками . ^[14] (В других соглашениях слова многогранник и многогранник используются в любом измерении, с той разницей, что многогранник обязательно ограничен. ^[15] )

Именование

Слово многоугольник происходит от позднего латинского polyg polynum (существительное), от греческого πολύγωνον ( polygōnon / polugōnon ), существительного, использующего средний язык от πολύγωνος ( polygōnos / polugōnos , прилагательное мужского рода), что означает «многоугольный». Отдельные многоугольники называются (а иногда классифицируют) в соответствии с числом сторон, сочетая греческий -derived числового префикса с суффиксом -угольник , например , пятиугольник , двенадцатиугольником . Треугольник , четырехугольник и девятиугольник исключение.

Помимо десятиугольников (10-сторонних) и додекагонов (12-сторонних) математики обычно используют числовые обозначения, например 17-угольник и 257-угольник. ^[16]

Исключения существуют для побочных подсчетов, которые легче выразить в устной форме (например, 20 и 30) или которые используются не математиками. Некоторые специальные многоугольники также имеют свои собственные имена; например, правильный пятиугольник звезды также известен как пентаграмма .

Создание высших имен

Чтобы создать имя многоугольника с более чем 20 и менее чем 100 ребрами, объедините префиксы следующим образом. ^[20] Термин «кай» применяется к 13-угольникам и выше, использовался Кеплером и поддерживался Джоном Х. Конвеем для ясности конкатенированных префиксных чисел при именовании квазирегулярных многогранников . ^[22]

История

Полигоны известны с давних времен. В правильные многоугольники были известны древним грекам, с пентаграммой , невыпуклая правильный многоугольник ( звезда многоугольника ), появившись в начале нашей эры 7 -го века на Krater по Аристофана , найденного в Цере и теперь в Капитолийском музее . ^{[37] [38]}

Первое известное систематическое исследование невыпуклых многоугольников в целом было сделано Томасом Брэдвардином в 14 веке. ^[39]

В 1952 году Джеффри Колин Шепард обобщил идею многоугольников на комплексную плоскость, где каждое реальное измерение сопровождается мнимым , чтобы создать сложные многоугольники . ^[40]

В природе

Многоугольники появляются в горных породах, чаще всего в виде плоских граней кристаллов , где углы между сторонами зависят от типа минерала, из которого сделан кристалл.

Правильные шестиугольники могут возникать, когда при охлаждении лавы образуются области плотно упакованных столбов базальта , которые можно увидеть на Мосту гигантов в Северной Ирландии или на Дьявольской столбе в Калифорнии .

В биологии поверхность восковых сот, созданных пчелами, представляет собой массив шестиугольников , а стороны и основание каждой соты также представляют собой многоугольники.

Компьютерная графика

В компьютерной графике многоугольник - это примитив, используемый при моделировании и рендеринге. Они определены в базе данных, содержащей массивы вершин (координаты геометрических вершин , а также другие атрибуты многоугольника, такие как цвет, затенение и текстура), информацию о связях и материалы . ^{[41] [42]}

Любая поверхность моделируется в виде мозаики, называемой полигональной сеткой . Если квадратная сетка имеет n + 1 точку (вершину) на каждой стороне, в ней есть n квадратов или 2 n квадратов, поскольку в квадрате два треугольника. Есть ( п + 1) , ² /2 ( п ² ) вершин в треугольнике. Если n большое, это приближается к половине. Или каждая вершина внутри квадратной сетки соединяет четыре ребра (линии).

Система визуализации вызывает структуру полигонов, необходимую для создания сцены, из базы данных. Это передается в активную память и, наконец, в систему отображения (экран, телевизионные мониторы и т. Д.), Чтобы можно было просматривать сцену. Во время этого процесса система визуализации визуализирует многоугольники в правильной перспективе, готовые для передачи обработанных данных в систему отображения. Хотя многоугольники двумерны, с помощью системного компьютера они помещаются в визуальную сцену в правильной трехмерной ориентации.

В компьютерной графике и вычислительной геометрии часто необходимо определить, лежит ли данная точка P = ( x ₀ , y ₀ ) внутри простого многоугольника, заданного последовательностью отрезков линии. Это называется тестом точки в многоугольнике . ^[43]

Смотрите также

Рекомендации

Библиография

• Кокстер, HSM ; Регулярные многогранники , Метуэн и Ко, 1948 (3-е издание, Довер, 1973).
• Cromwell, P .; Многогранники , CUP hbk (1997), pbk. (1999).
• Grünbaum, B .; Ваши многогранники такие же, как мои многогранники? Дискретный и вычислительный. geom: фестиваль Гудмана-Поллака , изд. Аронов и др. Springer (2003), стр. 461–488. ( pdf )

Примечания

внешняя ссылка

Найдите многоугольник в Викисловаре, бесплатном словаре.

Викискладе есть медиафайлы по теме полигонов .

• Вайсштейн, Эрик В. «Полигон» . MathWorld .
• Что такое многогранники? , с греческими числовыми префиксами
• Полигоны, типы полигонов и свойства полигонов с интерактивной анимацией.
• Герберт Гларнер, как рисовать монохромные ортогональные многоугольники на экране.
• comp.graphics.algorithms Часто задаваемые вопросы , решения математических задач вычисления 2D и 3D полигонов
• Сравнение различных алгоритмов для многоугольных логических операций , сравнение возможностей, скорости и числовой устойчивости
• Сумма внутренних углов многоугольников: общая формула. Предоставляет интерактивное исследование Java, которое расширяет формулу суммы внутренних углов для простых замкнутых многоугольников, включая пересекающиеся (сложные) многоугольники.