Многогранник

Полиэдр представляет собой 3-мерный многогранник

Многоугольник является 2-мерный многогранник. Некоторые многоугольники разных типов: открытые (за исключением его границы), только ограничивающий контур (без учета его внутренней части), замкнутые (включая его границу и его внутреннюю часть) и самопересекающиеся с различной плотностью различных областей.

В элементарной геометрии , A многогранник является геометрическим объектом с «плоскими» сторонами. Это обобщение трехмерного многогранника в любом количестве измерений . Многогранники могут существовать в любом общем числе измерений n как n- мерный многогранник или n- многогранник . Плоские стороны означают, что стороны ( k +1) -многогранника состоят из k -многогранников, которые могут иметь ( k −1) -многогранники общих. Например, двумерный многоугольник - это 2-многогранник, а трехмерный многогранник - это 3-многогранник.

Некоторые теории далее обобщают идею включения таких объектов, как неограниченные апейотопы и мозаики , разложения или мозаики изогнутых многообразий, включая сферические многогранники , и теоретико-множественные абстрактные многогранники .

Многогранники в более чем трех измерениях были впервые обнаружены Людвигом Шлефли . Немецкий термин Polytop был придуман математик Reinhold Хоппе , и был введен английским математикам многогранника Алисия Буля Стотт .

Подходы к определению [ править ]

Термин многогранник в настоящее время является широким термином, охватывающим широкий класс объектов, и в математической литературе появляются различные определения. Многие из этих определений не эквивалентны друг другу, в результате чего различные перекрывающиеся наборы объектов называются многогранниками . Они представляют собой различные подходы к обобщению выпуклых многогранников для включения других объектов с аналогичными свойствами.

Первоначальный подход, которому широко следовали Людвиг Шлефли , Торольд Госсет и другие, начинается с расширения по аналогии на четыре или более измерений идеи многоугольника и многогранника соответственно в двух и трех измерениях. ^[1]

Попытки обобщить эйлерову характеристику многогранников на многомерные многогранники привели к развитию топологии и трактовке декомпозиции или CW-комплекса как аналога многогранника. ^[2] В этом подходе многогранник можно рассматривать как мозаику или разложение некоторого заданного многообразия . Пример этого подхода определяет многогранник как набор точек, допускающий симплициальное разложение . В этом определении многогранник - это объединение конечного числа симплексов, с дополнительным свойством, что для любых двух симплексов, имеющих непустое пересечение, их пересечение является вершиной, ребром или гранью более высокой размерности. ^[3] Однако это определение не допускает звездных многогранников с внутренней структурой и поэтому ограничивается некоторыми областями математики.

Открытие звездных многогранников и других необычных конструкций привело к идее многогранника как ограничивающей поверхности, игнорируя его внутреннюю часть. ^[4] В этом смысле выпуклые многогранники в p- пространстве эквивалентны мозаикам ( p − 1) -сферы , в то время как другие могут быть мозаиками других эллиптических , плоских или тороидальных ( p −1) -поверхностей - см. Эллиптические мозаики и тороидальный многогранник . Под многогранником понимается поверхность, грани которой представляют собой многоугольники , а под 4-многогранником - гиперповерхность, грани которой (клетки ) являются многогранниками и т. д.

Идея построения более высокого многогранника из многогранников более низкой размерности также иногда расширяется вниз по размерности, при этом ( ребро ) рассматривается как 1-многогранник, ограниченный парой точек, а точка или вершина - как 0-многогранник. Такой подход используется, например, в теории абстрактных многогранников .

В некоторых областях математики, термины «многогранник» и «многогранник» используются в другом смысле: а многогранник является общим объектом в любом измерении (упоминаются как многогранник в этой статье) и многогранник означает ограниченный многогранник. ^[5] Эта терминология обычно ограничивается выпуклыми многогранниками и многогранниками . Согласно этой терминологии, выпуклый многогранник является пересечением конечного числа полупространств и определяется своими сторонами, а выпуклый многогранник - это выпуклая оболочка конечного числа точек и определяется своими вершинами.

Многогранники меньших размеров имеют стандартные названия:

Элементы [ править ]

Многогранник состоит из элементов разной размерности, таких как вершины, ребра, грани, ячейки и т. Д. Терминология для них не полностью согласована у разных авторов. Например, некоторые авторы используют лицо для обозначения ( n  - 1) -мерного элемента, в то время как другие используют лицо для обозначения 2-граней конкретно. Авторы могут использовать j -face или j -facet для обозначения элемента j размеров. Некоторые используют край для обозначения гребня, в то время как HSM Coxeter использует ячейку для обозначения ( n  - 1) -мерного элемента. ^{[7] [ необходима ссылка ]}

Термины, принятые в этой статье, приведены в таблице ниже:

Размер элемента	Срок (в n -многограннике)
−1	Аннулирование (необходимо в абстрактной теории) [8]
0	Вершина
1	Край
2	Лицо
3	Клетка
${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$
j	j -face - элемент ранга j = −1, 0, 1, 2, 3, ..., n
${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$
п - 3	Пик - ( n - 3) -лицо
п - 2	Гребень или подфасет - ( n - 2) -граница
п - 1	Фасет - ( n - 1) -лицо
п	Сам многогранник

П - мерный многогранник ограничен числом ( п  - 1) -мерных граней . Эти грани сами по себе являются многогранниками, фасеты которых представляют собой ( n  - 2) -мерные гребни исходного многогранника. Каждый гребень возникает как пересечение двух граней (но пересечение двух граней не обязательно должно быть гребнем). Гребни - это снова многогранники, грани которых порождают ( n  - 3) -мерные границы исходного многогранника и т. Д. Эти ограничивающие суб-многогранники могут называться гранями или, в частности, j -мерными гранями или j- гранями . 0-мерная грань называется вершиной, и состоит из одной точки. Одномерная грань называется ребром и состоит из отрезка прямой. Двумерная грань состоит из многоугольника , а трехмерная грань, иногда называемая ячейкой , состоит из многогранника .

Важные классы многогранников [ править ]

Выпуклые многогранники [ править ]

Многогранник может быть выпуклым . Выпуклые многогранники являются простейшими разновидностями многогранников и составляют основу нескольких различных обобщений концепции многогранников. Выпуклый многогранник иногда определяют как пересечение множества полупространств . Это определение не позволяет многограннику быть ни ограниченным, ни конечным. Многогранники определяются таким образом, например, в линейном программировании . Многогранник ограничен, если его содержит шар конечного радиуса. Многогранник называется точечным, если он содержит хотя бы одну вершину. Каждый непустой ограниченный многогранник является точечным. Примером многогранника без точек является множество . Многогранник конечен${\ displaystyle \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ mid x \ geq 0 \}}$если он определен в терминах конечного числа объектов, например, как пересечение конечного числа полуплоскостей. Это целочисленный многогранник, если все его вершины имеют целочисленные координаты.

Определенный класс выпуклых многогранников являются рефлексивными многогранниками. Неотъемлемая -многогранник рефлексивна , если для некоторой интегральной матрицы , где обозначает вектор всех единиц, а неравенство покомпонентное. Из этого определения следует, что рефлексивно тогда и только тогда, когда для всех . Другими словами, -расширение отличается в терминах целочисленных узлов решетки от -расширение только узлами решетки, полученными на границе. Эквивалентно, рефлексивно тогда и только тогда, когда его двойственный многогранник является целым многогранником. ^[9]${\ displaystyle d}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{d}:\mathbf {Ax} \leq \mathbf {1} \}}$${\displaystyle \mathbf {1} }$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle (t+1){\mathcal {P}}^{\circ }\cap \mathbb {Z} ^{d}=t{\mathcal {P}}\cap \mathbb {Z} ^{d}}$${\displaystyle t\in \mathbb {Z} _{\geq 0}}$${\displaystyle (t+1)}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}^{*}}$

Правильные многогранники [ править ]

Правильные многогранники обладают наивысшей степенью симметрии из всех многогранников. Группа симметрии правильного многогранника транзитивно действует на его флагах ; следовательно, двойственный многогранник регулярному многограннику также регулярен.

Есть три основных класса правильных многогранников, которые встречаются в любом количестве измерений:

• Симплексы , включая равносторонний треугольник и правильный тетраэдр .
• Гиперкубы или многогранники мер, включая квадрат и куб .
• Ортоплексы или перекрестные многогранники, включая квадратный и правильный октаэдр .

Размеры два, три и четыре включают регулярные цифры , которые в пять разы симметрии , а некоторые из которых являются невыпуклыми звездами, а в двух измерениях Есть бесконечно много правильных многоугольников из п -кратной симметрии, оба выпуклых и (для п ≥ 5) звезды. Но в более высоких измерениях других правильных многогранников нет. ^[1]

В трех измерениях выпуклые Платоновы тела включают пятисимметричный додекаэдр и икосаэдр , а также четыре звездных многогранника Кеплера-Пуансо с пятикратной симметрией, в результате чего общее количество правильных многогранников составляет девять.

В четырех измерениях правильные 4-многогранники включают одно дополнительное выпуклое тело с четырехкратной симметрией и два с пятисторонней симметрией. Существует десять звездных 4-многогранников Шлефли-Гесса , все из которых обладают пятикратной симметрией, что дает всего шестнадцать правильных 4-многогранников.

Звездные многогранники [ править ]

Невыпуклый многогранник может быть самопересекающимся; к этому классу многогранников относятся звездные многогранники . Некоторые правильные многогранники - звезды. ^[1]

Свойства [ править ]

Эйлерова характеристика [ править ]

Поскольку (заполненный) выпуклый многогранник Р в измерениях является сжимаемым в точку, то эйлерова характеристика ее границы ∂P задается переменным суммой:${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle \chi =n_{0}-n_{1}+n_{2}-\cdots \pm n_{d-1}=1+(-1)^{d-1}}$, где - количество -мерных граней.${\displaystyle n_{j}}$${\displaystyle j}$

Это обобщает формулу Эйлера для многогранников . ^[10]

Внутренние углы [ править ]

Теорема Грама – Эйлера аналогично обобщает альтернированную сумму внутренних углов для выпуклых многогранников на многогранники более высокой размерности: ^[10]${\textstyle \sum \varphi }$

${\displaystyle \sum \varphi =(-1)^{d-1}}$

Обобщения многогранника [ править ]

Бесконечные многогранники [ править ]

Не все многообразия конечны. Если многогранник понимается как мозаика или разложение многообразия, эту идею можно распространить на бесконечные многообразия. плоские мозаики , заполнение пространства ( соты ) и гиперболические мозаики являются в этом смысле многогранниками и иногда называются апейротопами, потому что у них бесконечно много ячеек.

Среди них есть правильные формы, включая правильные косые многогранники и бесконечные серии мозаик, представленных правильным апейрогоном , квадратным мозаичным покрытием, кубическими сотами и т. Д.

Абстрактные многогранники [ править ]

Теория абстрактных многогранников пытается отделить многогранники от содержащего их пространства, рассматривая их чисто комбинаторные свойства. Это позволяет расширить определение термина, включив в него объекты, для которых трудно определить интуитивно понятное базовое пространство, например, 11-ячейку .

Абстрактный многогранник - это частично упорядоченный набор элементов или членов, подчиняющийся определенным правилам. Это чисто алгебраическая структура, и теория была разработана для того, чтобы избежать некоторых проблем, которые затрудняют согласование различных геометрических классов в рамках согласованной математической структуры. Геометрический многогранник называется реализацией в некотором реальном пространстве соответствующего абстрактного многогранника. ^[11]

Сложные многогранники [ править ]

Структуры, аналогичные многогранникам, существуют в сложных гильбертовых пространствах, где n реальных измерений сопровождаются n мнимыми . Правильные сложные многогранники уместнее рассматривать как конфигурации . ^[12]${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Двойственность [ править ]

Каждый n -многогранник имеет двойственную структуру, полученную путем замены его вершин на фасеты, ребер на ребра и т. Д., Как правило, заменяя его ( j  - 1) -мерные элементы на ( n  -  j ) -мерные элементы (при j  = 1 на n  - 1), сохраняя при этом связь или инцидентность между элементами.

Для абстрактного многогранника это просто меняет порядок набора. Это обращение наблюдается в символах Шлефли для правильных многогранников, где символ двойственного многогранника просто противоположен оригиналу. Например, {4, 3, 3} двойственно к {3, 3, 4}.

В случае геометрического многогранника необходимо некоторое геометрическое правило дуализации, см., Например, правила, описанные для двойственных многогранников . В зависимости от обстоятельств двойная фигура может быть или не быть другим геометрическим многогранником. ^[13]

Если двойственный перевернуть, то восстанавливается исходный многогранник. Таким образом, многогранники существуют в двойственных парах.

Самодвойственные многогранники [ править ]

Если многогранник имеет то же количество вершин, что и фасет, и ребер, и ребер, и т. Д., И такие же связности, то двойственная фигура будет подобна исходной, а многогранник самодвойственен.

Вот некоторые распространенные самодуальные многогранники:

• Каждый правильный n - симплекс любого числа измерений с символом Шлафли {3 ⁿ }. К ним относятся равносторонний треугольник {3}, правильный тетраэдр {3,3} и 5-элементный {3,3,3}.
• Каждый гиперкубической соты , в любом количестве измерений. К ним относятся апейрогон {∞}, квадратная мозаика {4,4} и кубические соты {4,3,4}.
• Многочисленные компактные, паракомпактные и некомпактные гиперболические мозаики, такие как икосаэдрические соты {3,5,3} и пятиугольные мозаики порядка 5 {5,5}.
• В 2 измерениях все правильные многоугольники (правильные 2-многогранники)
• В 3-х измерениях канонические многоугольные пирамиды и удлиненные пирамиды , а также тетраэдрически уменьшенный додекаэдр .
• В 4-х измерениях, 24-элементный , с символом Шлафли {3,4,3}. Также большой 120-элементный {5,5 / 2,5} и большой звездчатый 120-элементный {5 / 2,5,5 / 2}.

История [ править ]

Многоугольники и многогранники известны с давних времен.

Ранний намек на высшие измерения появился в 1827 году, когда Август Фердинанд Мёбиус обнаружил, что два зеркальных тела могут быть наложены друг на друга, вращая одно из них в четвертом математическом измерении. К 1850-м годам горстка других математиков, таких как Артур Кейли и Герман Грассманн, также рассматривали более высокие измерения.

Людвиг Шлефли первым рассмотрел аналоги многоугольников и многогранников в этих высших пространствах. Он описал шесть выпуклых правильных 4-многогранников в 1852 году, но его работа не была опубликована до 1901 года, через шесть лет после его смерти. К 1854 году « Хабилитация» Бернхарда Римана прочно утвердила геометрию высших измерений, и, таким образом, концепция n- мерных многогранников стала приемлемой. Многогранники Шлефли в последующие десятилетия неоднократно открывались заново, даже при его жизни.

В 1882 году Рейнхольд Хоппе , пишущий на немецком языке , придумано слово Polytop для обозначения этой более общей концепции многоугольников и многогранников. Со временем Алисия Буль Стотт , дочь логика Джорджа Буля , ввела англизированный многогранник в английский язык. ^{[1] : vi}

В 1895 году Торольд Госсет не только заново открыл правильные многогранники Шлефли, но также исследовал идеи полуправильных многогранников и мозаик, заполняющих пространство, в высших измерениях. Многогранники также начали изучаться в неевклидовых пространствах, таких как гиперболическое пространство.

Важная веха была достигнута в 1948 году с выходом книги HSM Coxeter « Regular Polytopes» , в которой были обобщены результаты проделанной к настоящему времени работы и добавлены новые собственные открытия.

Тем временем французский математик Анри Пуанкаре развил топологическую идею многогранника как кусочного разложения (например, CW-комплекса ) многообразия . Бранко Грюнбаум опубликовал свою влиятельную работу о выпуклых многогранниках в 1967 году.

В 1952 году Джеффри Колин Шепард обобщил эту идею как сложные многогранники в сложном пространстве, где каждому реальному измерению соответствует воображаемое. Кокстер развил теорию дальше.

Концептуальные вопросы, связанные со сложными многогранниками, невыпуклостью, двойственностью и другими явлениями, привели Грюнбаума и других к более общему изучению абстрактных комбинаторных свойств, относящихся к вершинам, ребрам, граням и так далее. Сходной идеей была идея комплексов инцидентности, которые изучали частоту или связь различных элементов друг с другом. Эти разработки в конечном итоге привели к теории абстрактных многогранников как частично упорядоченных множеств или посетов таких элементов. Питер МакМаллен и Эгон Шульте опубликовали свою книгу « Абстрактные правильные многогранники» в 2002 году.

Перечисление однородных многогранников , выпуклых и невыпуклых, в четырех или более измерениях остается нерешенной проблемой.

В наше время многогранники и связанные с ними концепции нашли множество важных приложений в таких разнообразных областях, как компьютерная графика , оптимизация , поисковые системы , космология , квантовая механика и многие другие области. В 2013 году амплитуэдр был обнаружен как упрощающая конструкция в некоторых расчетах теоретической физики.

Приложения [ править ]

В области оптимизации , линейное программирование изучающих максимумов и минимумов в линейных функциях; эти максимумы и минимумы происходят на границе в качестве п - мерного многогранника. В линейном программировании многогранники возникают при использовании обобщенных барицентрических координат и переменных резерва .

В твисторной теории , разделе теоретической физики , многогранник, называемый амплитуэдром , используется для вычисления амплитуд рассеяния субатомных частиц при их столкновении. Эта конструкция является чисто теоретической и не имеет известных физических проявлений, но, как утверждается, значительно упрощает определенные вычисления. ^[14]

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Примечания

Источники

Внешние ссылки [ править ]

Поищите многогранник в Викисловаре, бесплатном словаре.

• Вайсштейн, Эрик В. «Многогранник» . MathWorld .
• «Математика потрясет ваш мир» - применение многогранников к базе данных статей, используемых для поддержки настраиваемых новостных лент через Интернет - ( Business Week Online )
• Регулярные и полурегулярные выпуклые многогранники краткий исторический обзор: