Apeirotope или бесконечный многогранник является обобщенным многогранником , который имеет бесконечное множество граней .
Определение [ править ]
Абстрактный апейотоп [ править ]
Абстрактные п -многогранник является частично упорядоченное множество Р (элементы которого называются лица ) таким образом, что Р содержит наименьшее лицо и наибольшее лицо, каждое максимальное упорядоченное подмножество ( так называемый флаг ) содержит ровно п + 2 граней, Р сильно соединены, и есть ровно две грани, которые лежат строго между a и b, это две грани, ранги которых различаются на два. [1] [2] Абстрактный многогранник называется абстрактным апейотопом, если у него бесконечно много граней. [3]
Абстрактный многогранник называется регулярным , если его группа автоморфизмов Γ ( P ) действует транзитивно на всех флагов Р . [4]
Классификация [ править ]
Существует два основных геометрических класса апейотопов: [5]
- соты в n измерениях, которые полностью заполняют n- мерное пространство .
- косые апейотопы , составляющие n -мерное многообразие в высшем пространстве
Соты [ править ]
В общем, соты в n измерениях - это бесконечный пример многогранника в n + 1 измерениях.
Замощения плоскости и заполнение плотноупакованными пространствами многогранников являются примерами сот в двух и трех измерениях соответственно.
Линия, разделенная на бесконечно много конечных отрезков, является примером апейрогона .
Косые апейротопы [ править ]
Скошенные апейрогоны [ править ]
Косой апейрогон в двух измерениях образует зигзагообразную линию на плоскости. Если зигзаг ровный и симметричный, то апейрогон правильный.
Косые апейрогоны могут быть построены в любом количестве измерений. В трех измерениях обычный косой апейрогон очерчивает спиральную спираль и может быть левым или правым.
Бесконечные косые многогранники [ править ]
Есть три правильных косых апейроэдра, которые больше похожи на многогранные губки:
- 6 квадратов вокруг каждой вершины, символ Кокстера {4,6 | 4}
- 4 шестиугольника вокруг каждой вершины, символ Кокстера {6,4 | 4}
- 6 шестиугольников вокруг каждой вершины, символ Кокстера {6,6 | 3}
В евклидовом пространстве тридцать правильных апейроэдров. [6] К ним относятся те, которые перечислены выше, а также (на плоскости) многогранники типа: {∞, 3}, {∞, 4}, {∞, 6} и в трехмерном пространстве, их смеси с апейрогон или отрезок прямой, и "чистые" трехмерные апейроэдры (12 в количестве)
Ссылки [ править ]
- ↑ McMullen & Schulte (2002) , стр. 22–25.
- Перейти ↑ McMullen (1994) , p. 224.
- ↑ McMullen & Schulte (2002) , стр. 25.
- ↑ McMullen & Schulte (2002) , стр. 31.
- ^ Грюнбаум (1977) .
- Перейти ↑ McMullen & Schulte (2002 , раздел 7E)
Библиография [ править ]
- Грюнбаум Б. (1977). «Правильные многогранники - старые и новые». Aeqationes mathematicae . 16 : 1–20.
- McMullen, Питер (1994), "Реализация регулярного apeirotopes", Aequationes Mathematicae , 47 (2-3): 223-239, DOI : 10.1007 / BF01832961 , MR 1268033
- Макмаллен, Питер ; Шульте, Эгон (2002), Абстрактные правильные многогранники , Энциклопедия математики и ее приложений, 92 , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, DOI : 10.1017 / CBO9780511546686 , ISBN 0-521-81496-0, MR 1965665
