 | Эта статья, возможно, содержит оригинальные исследования . ( Декабрь 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) |
В геометрии , бесконечный пространственный многоугольник или перекос apeirogon представляет собой бесконечная 2- многогранника с вершинами, которые не все коллинеарны . Бесконечные зигзагообразные косые многоугольники - это двухмерные бесконечные косые многоугольники с чередующимися вершинами между двумя параллельными линиями. Бесконечные спиральные многоугольники - это трехмерные бесконечные косые многоугольники с вершинами на поверхности цилиндра .
Правильные бесконечные косые многоугольники существуют в многоугольниках Петри аффинной и гиперболической групп Кокстера . Они построены как единый оператор как композиция всех отражений группы Кокстера.
Обычные зигзагообразные косые апейрогоны в двух измерениях [ править ]
| Обычный зигзагообразный косой апейрогон | |
|---|---|
 | |
| Ребра и вершины | ∞ |
| Символ Шлефли | {∞} # {} |
| Группа симметрии | D ∞d , [2 + , ∞], (2 * ∞) |
Правильный зигзагообразный косой апейрогон имеет симметрию группы фриза 2 * ∞ , D ∞d .
Правильные зигзагообразные косые апейрогоны существуют как многоугольники Петри трех правильных мозаик плоскости: {4,4}, {6,3} и {3,6}. Эти правильные зигзагообразные косые апейрогоны имеют внутренние углы 90 °, 120 ° и 60 ° соответственно от правильных многоугольников внутри мозаики:
 |
Изогональные косые апейрогоны в двух измерениях [ править ]
Изогональные зигзагообразные косые апейрогоны в двух измерениях [ править ]
An изогональных косые apeirogon чередуется два типа ребер с различными Фриз группы симметрий. Искаженные правильные зигзагообразные косые апейрогоны образуют изогональные зигзагообразные косые апейрогоны с трансляционной симметрией:
| p1, [∞] + , (∞∞), C ∞ | |
|---|---|
  |   |
Изогональные удлиненные косые апейрогоны в двух измерениях [ править ]
Другие изогональные косые апейрогоны имеют чередующиеся края, параллельные направлению Frieze. Эти изогональные удлиненные косые апейрогоны обладают вертикальной зеркальной симметрией в серединах ребер, параллельных направлению Фриза:
| p2mg, [2 + , ∞], (2 * ∞), D ∞d | ||
|---|---|---|
 | ||
Изотоксальные косые апейрогоны в двух измерениях [ править ]
Isotoxal apeirogon имеет один тип кромки, чередующихся между двумя типами вершин. У внутреннего угла есть степень свободы , {∞ α }. Это двойственный многоугольник изогональной косой вершины.
| {∞ 0 ° } | |
| {∞ 30 ° } |
Квазирегулярные вытянутые косые апейрогоны в двух измерениях [ править ]
Изогональный удлиненный косой апейрогон имеет два разных типа ребер; если оба его типа ребер имеют одинаковую длину: его нельзя назвать регулярным, потому что два его типа ребер все еще различны ("trans-edge" и "cis-edge"), но его можно назвать квазирегулярным.
Пример квазирегулярных вытянутых косых апейрогонов можно рассматривать как усеченные многоугольники Петри в усеченных правильных мозаиках евклидовой плоскости:
Гиперболические косые апейрогоны [ править ]
Бесконечные правильные косые многоугольники аналогично находятся в евклидовой плоскости и в гиперболической плоскости .
Гиперболические бесконечные правильные косые многоугольники также существуют как зигзагообразные рёберные пути многоугольников Петри на всех регулярных мозаиках гиперболической плоскости . И снова, как и в евклидовой плоскости, гиперболические бесконечные квазирегулярные косые многоугольники могут быть построены как усеченные многоугольники Петри внутри ребер всех усеченных правильных мозаик гиперболической плоскости.
| {3,7} | т {3,7} |
|---|---|
Регулярный перекос | Квазирегулярный перекос |
Бесконечные спиральные многоугольники в трех измерениях [ править ]
| {∞} # {3} Бесконечный правильный спиральный многоугольник (нарисованный в перспективе ) |
Бесконечный спиральный (косой) многоугольник может существовать в трех измерениях, где вершины можно рассматривать как ограниченные поверхностью цилиндра . Эскиз справа представляет собой трехмерный вид в перспективе такого бесконечного правильного спирального многоугольника.
Этот бесконечный спиральный многоугольник можно в основном рассматривать как построенный из вершин в бесконечном стопке однородных n -угольных призм или антипризм , хотя в целом угол закручивания не ограничивается целым делителем 180 °. Бесконечный винтовой (косой) многоугольник имеет симметрию оси винта .
Бесконечный набор призм , например кубов, содержит бесконечный спиральный многоугольник, пересекающий диагонали квадратных граней, с углом поворота 90 ° и символом Шлефли {∞} # {4}.
Бесконечный набор антипризм, например октаэдров , образует бесконечные спиральные многоугольники, 3 здесь выделены красным, зеленым и синим цветом, каждый с углом поворота 60 ° и символом Шлефли {∞} # {6}.
Последовательность ребер спирали Бурдейка – Кокстера может представлять собой бесконечные правильные спиральные многоугольники с иррациональным углом закручивания:
Бесконечные изогональные спиральные многоугольники в трех измерениях [ править ]
Набор правых призм может создавать изогональные спиральные апейрогоны с чередующимися краями вокруг оси и вдоль оси; например, стопка кубиков может образовывать этот изогональный спиральный апейрогон с чередующимися красными и синими краями:
Точно так же чередующийся набор призм и антипризм может создать бесконечный изогональный спиральный многоугольник; например, треугольная стопка призм и антипризм с бесконечным изогональным спиральным многоугольником:
Бесконечный изогональный спиральный многоугольник с иррациональным углом закрутки также может быть построен из усеченных тетраэдров, уложенных друг на друга как спираль Бордейка – Кокстера , чередуя два типа ребер между парами шестиугольных граней и парами треугольных граней:
Ссылки [ править ]
- Кокстер , HSM; Правильные комплексные многогранники (1974). Глава 1. Правильные многоугольники , 1.5. Правильные многоугольники в n измерениях, 1.7. Зигзагообразные и антипризматические многоугольники. 1.8. Спиральные многоугольники . 4.3. Флаги и орто-схемы , 11.3. Полигоны Петри
