В геометрии , A многогранник (а многоугольник , многогранник или плиточный, например) является изогональным или вершиной-транзитивным , если все его вершины эквивалентны по симметрии фигуры. Это означает , что каждая вершина окружена одними и теми же видами лица в том же или в обратном порядке, и с теми же углами между соответствующими гранями.
Технически мы говорим, что для любых двух вершин существует симметрия многогранника, изометрически отображающего первую на вторую. Другие способы сказать это: группа автоморфизмов многогранника транзитивно действует на его вершины или что вершины лежат внутри одной орбиты симметрии .
Все вершины конечной n- мерной изогональной фигуры существуют на ( n - 1) -сфере . [ необходима цитата ]
Термин изогональный уже давно используется для обозначения многогранников. Вершинно-транзитивный - это синоним, заимствованный из современных идей, таких как группы симметрии и теория графов .
Pseudorhombicuboctahedron - что не Изогональное - показывает , что просто утверждая , что «все вершины выглядят одинаково» не столь ограничительными , как определение используется здесь, который включает в себя группу изометрий , сохраняющих многогранник или плитки.
Изогональные многоугольники и апейрогоны [ править ]
 |
 |
| Изогональные апейрогоны |
|---|
 |
 |
 |
 |
 |
 |
| Изогональные косые апейрогоны |
Все правильные многоугольники , apeirogons и регулярные звездные многоугольники являются Изогональными . Двойной из изогонального полигона является isotoxal полигона .
Некоторые четные многоугольники и апейрогоны, у которых чередуются две длины ребра, например прямоугольник , изогональны .
Все плоские изогональные 2 n -угольники имеют двугранную симметрию (D n , n = 2, 3, ...) с линиями отражения, пересекающими средние точки края.
| D 2 | D 3 | D 4 | Д 7 |
|---|---|---|---|
 Изогональные прямоугольники и скрещенные прямоугольники с одинаковым расположением вершин | Изогональная гексаграмма с 6 одинаковыми вершинами и двумя длинами ребер. [1] | Изогональный выпуклый восьмиугольник с синими и красными радиальными линиями отражения | Изогональных «звезда» tetradecagon с одним типом вершины, и два типа кромки [2] |
Изогональные многогранники и 2D мозаики [ править ]
| Искаженная квадратная черепица |
| Искаженная усеченная квадратная мозаика |
Изогональный многогранник и 2D Черепица имеют один вид вершины. Изогональный полиэдр со всеми правильными гранями также равномерный полиэдр и может быть представлена в виде вершин конфигурации обозначения секвенирования лица вокруг каждой вершины. Геометрически искаженные вариации однородных многогранников и мозаик также могут иметь конфигурацию вершин.
| Д 3д , заказ 12 | Т ч , порядок 24 | О ч , заказ 48 | |
|---|---|---|---|
| 4.4.6 | 3.4.4.4 | 4.6.8 | 3.8.8 |
Искаженная гексагональная призма (ditrigonal trapezoprism) | Искаженная ромбокубооктаэдр | Неглубокий усеченный кубооктаэдр | Гиперусеченный куб |
Изогональные многогранники и двумерные мозаики можно дополнительно классифицировать:
- Регулярно, если оно также изоэдрально ( гранно -транзитивно) и изотоксально (реберно-транзитивно); это означает, что все грани представляют собой одинаковые правильные многоугольники .
- Квазирегулярный, если он также изотоксален (транзитивен по ребру), но не изоэдран (транзитивен по граням).
- Полурегулярно, если каждая грань является правильным многоугольником, но не изоэдральна (грань-транзитивна) или изотоксальна (реберно-транзитивна). (Определение различается у разных авторов; например, некоторые исключают тела с двугранной симметрией или невыпуклые тела.)
- Равномерный, если каждая грань является правильным многоугольником, т.е. правильным, квазирегулярным или полурегулярным.
- Полуоднородный, если его элементы также изогональны.
- Скалиформный, если все края одинаковой длины.
- Благородно, если оно также изоэдрально ( гранно -транзитивно).
N измерений: изогональные многогранники и мозаики [ править ]
Эти определения могут быть расширены до многогранников и мозаик более высоких измерений . Все однородные многогранники являются изогональными , например, однородными 4-многогранниками и выпуклыми однородными соты .
Двойное из изогонального многогранника является равногранной фигурой , которая транзитивна на его гранях .
k -изогональные и k -однородные фигуры [ править ]
Многогранник или тайлинг можно назвать k -изогональным, если его вершины образуют k классов транзитивности. Более узкий термин, k- равномерное , определяется как k-изогональная фигура, построенная только из правильных многоугольников . Визуально они могут быть представлены цветами с помощью разных однородных расцветок .
Это усеченный ромбический додекаэдр является 2-Изогональным , потому что он содержит два транзитивности классов вершин. Этот многогранник состоит из квадратов и приплюснутых шестиугольников . | Эта полурегулярная мозаика также является 2-изогональной (и 2-однородной ). Эта мозаика состоит из равностороннего треугольника и правильных шестиугольных граней. | 2-изогональная 9/4 эннеаграмма (грань последней звёздчатой формы икосаэдра ) |
См. Также [ править ]
- Ребро-транзитивный (изотоксическая фигура)
- Грань-переходная (изоэдральная фигура)
Ссылки [ править ]
- ^ Кокстер, Плотности правильных многогранников II, стр. 54-55, фигура вершины "гексаграммы" h {5 / 2,5}.
- ^ Светлая сторона математики: Материалы конференции Мемориала Эжена Стренса по развлекательной математике и ее истории (1994), Метаморфозы многоугольников , Бранко Грюнбаум , рис. 1. Параметр t = 2.0
- Питер Р. Кромвель, Многогранники , Издательство Кембриджского университета 1997, ISBN 0-521-55432-2 , стр. 369 Транзитивность
- Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (1987). Плитки и узоры . WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-1193-1.(с. 33 k-изогональные мозаики, с. 65 k-однородные мозаики )
Внешние ссылки [ править ]
- Вайсштейн, Эрик В. «Вершинно-транзитивный граф» . MathWorld .
- Ольшевский, Георгий. «Транзитивность» . Глоссарий по гиперпространству . Архивировано из оригинала 4 февраля 2007 года.
- Ольшевский, Георгий. «Изогонал» . Глоссарий по гиперпространству . Архивировано из оригинала 4 февраля 2007 года.
- Изогональные калейдоскопические многогранники Владимир Л. Булатов , физический факультет, Государственный университет штата Орегон, Корваллис, представлен на Mosaic2000, Тысячелетний открытый симпозиум по искусству и междисциплинарным вычислениям, 21–24 августа 2000 г., Сиэтл, Вашингтон Модели VRML
- Стивен Датч использует термин k-uniform для перечисления k-изогональных мозаик.
- Список n-однородных мозаик
- Вайсштейн, Эрик В. "Демирегулярные мозаики" . MathWorld . (Также используется термин k-uniform для k-isogonal)
