В твердой геометрии , A поверхность является плоской ( плоская поверхность) , которая образует часть границы твердого объекта; [1] трехмерное тело, ограниченное исключительно гранями, является многогранником .
В более технических трактовках геометрии многогранников и многомерных многогранников этот термин также используется для обозначения элемента любой размерности более общего многогранника (в любом количестве измерений). [2]
Многоугольное лицо [ править ]
В элементарной геометрии грань - это многоугольник [примечание 1] на границе многогранника . [2] [3] Другие названий для многоугольных лиц включают в себя сторону многогранника и плитки евклидовой плоскости тесселяции .
Например, любой из шести квадратов , ограничивающих куб, является гранью куба. Иногда «грань» также используется для обозначения двумерных элементов 4-многогранника . В этом смысле четырехмерный тессеракт имеет 24 квадратных грани, каждая из которых имеет две из 8 кубических ячеек.
| Многогранник | Звездный многогранник | Евклидова мозаика | Гиперболическая мозаика | 4-многогранник |
|---|---|---|---|---|
| {4,3} | {5 / 2,5} | {4,4} | {4,5} | {4,3,3} |
 Куб имеет 3 квадратных граней для каждой вершины. |  Небольшой звездчатый додекаэдр имеет 5 pentagrammic граней каждой вершины. |  Площадь плиточные в евклидовой плоскости имеет 4 квадратных граней для каждой вершины. |  Порядка 5 квадратных плитка имеет 5 квадратных граней для каждой вершины. | У тессеракта по 3 квадратных грани на каждое ребро. |
Количество многоугольных граней многогранника [ править ]
Поверхность любого выпуклого многогранника имеет эйлерову характеристику
где V - количество вершин , E - количество ребер , а F - количество граней. Это уравнение известно как формула многогранника Эйлера . Таким образом, количество граней на 2 больше, чем превышение количества ребер над количеством вершин. Например, у куба 12 ребер и 8 вершин, а значит, 6 граней.
k -face [ править ]
В многомерной геометрии грани многогранника являются объектами всех измерений. [2] [4] [5] Грань размерности k называется k- гранью. Например, многоугольные грани обычного многогранника - это 2-грани. В теории множеств набор граней многогранника включает сам многогранник и пустое множество, где пустое множество предназначено для согласованности с учетом «размерности» -1. Для любого n -многогранника ( n -мерного многогранника) −1 ≤ k ≤ n .
Например, в этом значении грани куба включают сам куб (3-грань), его (квадратные) грани (2-грани), (линейные) ребра (1-грани), (точечные) вершины (0- лиц) и пустое множество. Являются следующие лица о наличии 4-мерного многогранника :
- 4-лицо - 4-мерный 4-многогранника самого
- 3-грани - 3-мерные ячейки ( многогранные грани)
- 2-грани - 2-мерные ребра ( многоугольные грани)
- 1-грань - 1-мерные ребра
- 0-faces - 0-мерные вершины
- пустое множество, имеющее размерность -1
В некоторых областях математики, таких как полиэдральная комбинаторика , многогранник по определению является выпуклым. Формально грань многогранника Р есть пересечение P с любой замкнутой полупространстве , граница которой не пересекается с внутренней частью Р . [6] Из этого определения следует, что множество граней многогранника включает сам многогранник и пустое множество. [4] [5]
В других областях математики, таких как теории абстрактных многогранников и звездных многогранников , требование выпуклости ослаблено. Абстрактная теория по-прежнему требует, чтобы набор граней включал сам многогранник и пустое множество.
Ячейка или 3 лица [ править ]
Клетка представляет собой многогранный элемент ( 3-грань ) из 4-мерного многогранника или 3-мерной тесселяции или выше. Ячейки являются фасетами для 4-многогранников и 3-сот.
Примеры:
| 4-многогранники | 3-соты | ||
|---|---|---|---|
| {4,3,3} | {5,3,3} | {4,3,4} | {5,3,4} |
Тессеракт имеет 3 кубических клеток (3-граней) за края. | 120-клетки имеют 3 додекаэдрические клетки (3-граней) за края. | Кубические сотовое заполняет евклидово 3-пространство с кубиками, с 4 - клетками (3-граней) на край. | Порядок-4 додекаэдрические сотовые заполняет 3-мерное гиперболического пространство с додекаэдрами, 4 клетки (3-граней) за края. |
Facet or ( n - 1) -face [ править ]
В многомерном геометрии, то грани (также называемые гиперграней ) [7] в А п -многогранник являются ( п -1) -граней (граней размерности один меньше самого многогранника). [8] Многогранник ограничен своими гранями.
Например:
- Грани линейного сегмента - это его 0-грани или вершины .
- Грани многоугольника - это его 1-грани или ребра .
- Грани многогранника или плоского замощения - это его 2-грани .
- Грани 4- мерного многогранника или 3-соты являются его 3-гранями или ячейками.
- Грани 5D многогранника или 4-соты являются его 4-гранями .
Ridge or ( n - 2) -face [ править ]
В соответствующей терминологии ( n - 2) - грани s n -многогранника называются гребнями (также подгранями ). [9] Гребень рассматривается как граница между двумя гранями многогранника или соты.
Например:
- Ребра двумерного многоугольника или одномерного мозаичного объекта являются его 0-гранями или вершинами .
- Ребра трехмерного многогранника или плоской мозаики являются его 1-гранями или ребрами .
- Гребни 4- мерного многогранника или 3-соты являются его 2-гранями или просто гранями .
- Гребни 5D многогранника или 4-соты являются его 3-гранями или ячейками .
Peak or ( n - 3) -face [ править ]
( П - 3) - лица с Ап п -многогранник называются пики . Пик содержит ось вращения граней и гребней в правильном многограннике или сотах.
Например:
- Вершины трехмерного многогранника или плоской мозаики являются его 0-гранями или вершинами .
- Вершины 4- мерного многогранника или 3-соты являются его 1-гранями или ребрами .
- Вершины 5D многогранника или 4-соты являются его 2-гранями или просто гранями .
См. Также [ править ]
- Решетка для лица
Заметки [ править ]
- ^ Некоторые другие многоугольники, не являющиеся гранями, также важны для многогранников и мозаик. К ним относятся многоугольники Петри , фигуры вершин и фасеты (плоские многоугольники, образованные копланарными вершинами, которые не лежат на одной грани многогранника).
Ссылки [ править ]
- ^ Университетский словарь Мерриам-Вебстера (одиннадцатое изд.). Спрингфилд, Массачусетс: Merriam-Webster . 2004 г.
- ^ a b c Матушек, Иржи (2002), Лекции по дискретной геометрии , Тексты для выпускников по математике , 212 , Springer, 5.3 Грани выпуклого многогранника, с. 86, ISBN 9780387953748.
- ^ Кромвель, Питер Р. (1999), Многогранники , Cambridge University Press, стр. 13, ISBN 9780521664059.
- ^ a b Грюнбаум, Бранко (2003), Выпуклые многогранники , Тексты для выпускников по математике, 221 (2-е изд.), Springer, стр. 17.
- ^ a b Циглер, Гюнтер М. (1995), Лекции по многогранникам , Тексты для выпускников по математике, 152 , Springer, Определение 2.1, с. 51, ISBN 9780387943657.
- ^ Матушек (2002) и Циглер (1995) используют несколько иное, но эквивалентное определение, которое сводится к пересечению P либо с гиперплоскостью, не пересекающейся с внутренней частью P, либо со всем пространством.
- ^ NW Johnson : Geometries and Transformations , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Глава 11: Конечные группы симметрии , 11.1 Многогранники и соты, стр.225
- ^ Матушек (2002) , стр. 87; Грюнбаум (2003) , стр. 27; Зиглер (1995) , стр. 17.
- ^ Матушек (2002) , стр. 87; Зиглер (1995) , стр. 71.
Внешние ссылки [ править ]
- Вайсштейн, Эрик В. «Лицо» . MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик В. «Фасет» . MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик В. «Сторона» . MathWorld .
