| Малый звездчатый додекаэдр | |
|---|---|
 | |
| Тип | Многогранник Кеплера – Пуансо |
| Звездчатое ядро | правильный додекаэдр |
| Элементы | F = 12, E = 30 V = 12 (χ = -6) |
| Лица по сторонам | 12 5 |
| Символ Шлефли | { 5 / 2 , 5} |
| Конфигурация лица | V (5 5 ) / 2 |
| Символ Wythoff | 5 | 2 5 / 2 |
| Диаграмма Кокстера |      |
| Группа симметрии | I h , H 3 , [5,3], (* 532) |
| Рекомендации | U 34 , C 43 , W 20 |
| Характеристики | Обычная невыпуклая |
 ( 5 / 2 ) 5 ( Vertex цифра ) |  Большой додекаэдр ( двойственный многогранник ) |
В геометрии , то небольшой звездчатый додекаэдр является полиэдр Кеплера-Пуансо , названный Кэлями , так и с Шлефл символ { 5 / 2 , 5}. Это один из четырех невыпуклых правильных многогранников . Он состоит из 12 пентаграмматических граней, с пятью пентаграммами, пересекающимися в каждой вершине.
Он имеет то же расположение вершин, что и выпуклый правильный икосаэдр . Он также имеет такое же расположение ребер, что и большой икосаэдр , с которым он образует вырожденную однородную составную фигуру .
Это вторая из четырех звездчатых форм додекаэдра (включая сам исходный додекаэдр).
Малый звездчатый додекаэдр может быть построен аналогично пентаграмме, ее двумерному аналогу, путем продолжения ребер (1-граней) многогранника ядра до точки, в которой они пересекаются.
Топология [ править ]
Если рассматривать пентаграммы как 5 треугольных граней, он имеет ту же топологию поверхности, что и додекаэдр пентакис , но с гораздо более высокими гранями равнобедренного треугольника, при этом высота пятиугольных пирамид отрегулирована так, чтобы пять треугольников в пентаграмме стали копланарными. Критический угол составляет атан (2) над гранью додекаэдра.
Если мы рассматриваем его как имеющий 12 пентаграмм в виде граней, причем эти пентаграммы встречаются на 30 ребрах и 12 вершинах, мы можем вычислить его род, используя формулу Эйлера
и заключить , что небольшой звездчатый додекаэдр имеет род 4. Это наблюдение, сделанное Пуансо , первоначально запутанным, но Феликс Клейн показал в 1877 году , что малый звездчатый додекаэдр можно было бы рассматривать как разветвленное накрытие из сферы Римана на римановой поверхности из род 4, с точками ветвления в центре каждой пентаграммы. Фактически эта риманова поверхность, называемая кривой Бринга , имеет наибольшее количество симметрий среди всех римановых поверхностей рода 4: симметрическая группа действует как автоморфизмы [1]
Изображения [ редактировать ]
| Прозрачная модель | Модели ручной работы | |
|---|---|---|
(См. Также: анимированные ) | ||
| Сферическая черепица | Звездчатость | Сеть |
Этот многогранник также представляет собой сферическую плитку с плотностью 3. (Одна сферическая грань пентаграммы, обведенная синим цветом, залита желтым цветом) | Она также может быть построена как первый из трех созвездий в додекаэдре , и ссылается как Веннингер модель [W20] . | × 12 Маленькие звездчатые додекаэдры можно построить из бумаги или картона, соединив вместе 12 пятигранных равнобедренных пирамид так же, как пятиугольники в правильном додекаэдре. В случае непрозрачного материала он визуально представляет внешнюю часть каждой пентаграммической грани. |
В искусстве [ править ]
Небольшой звездчатый додекаэдр можно увидеть в пол мозаики в базилике Святого Марка , Венеция по Paolo Учелло около 1430. [2] То же форма занимает центральное место в двух литографий по MC Escher : Контраст (порядка и хаоса) (1950) и Тяготения ( 1952 г.). [3]
Связанные многогранники [ править ]
Его выпуклая оболочка - правильный выпуклый икосаэдр . Он также имеет общие края с большим икосаэдром ; соединение с обоими - большой сложный икосододекаэдр .
Есть четыре связанных однородных многогранника, построенных как степени усечения. Двойник - это большой додекаэдр . Dodecadodecahedron является ректификации, где края обрезаются до точек.
Усечен небольшой звездчатый додекаэдр можно считать вырожденным однородным полиэдр , так как ребра и вершины совпадают, но для полноты. Визуально он выглядит как правильный додекаэдр на поверхности, но имеет 24 грани в перекрывающихся парах. Шипы усекаются, пока не достигнут плоскости пентаграммы под ними. 24 грани - это 12 пятиугольников от усеченных вершин и 12 декагонов, принимающих форму двухскрученных пятиугольников, перекрывающих первые 12 пятиугольников. Последние грани образованы путем усечения исходных пентаграмм. Когда { п / д } -угольник усекается, она становится { 2 н / д} -угольник. Например, усеченный пятиугольник { 5 / 1 } становится десятиугольником { 10 / 1 }, поэтому усечения пентаграммы { 5 / 2 } становится дважды рана пятиугольник { 10 / 2 } (общий множитель между 10 и 2 означает, что мы посещаем каждую вершину дважды, чтобы завершить многоугольник).
| Звёздчатые формы додекаэдра | ||||||
| Платоново твердое тело | Тела Кеплера – Пуансо. | |||||
| Додекаэдр | Малый звездчатый додекаэдр | Большой додекаэдр | Большой звездчатый додекаэдр | |||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Имя | Малый звездчатый додекаэдр | Усеченный малый звездчатый додекаэдр | Додекадодекаэдр | Усеченный большой додекаэдр | Большой додекаэдр |
|---|---|---|---|---|---|
| Кокстер-Дынкин Диаграмма | | | | | |
| Рисунок |
См. Также [ править ]
- Соединение малого звездчатого додекаэдра и большого додекаэдра
Ссылки [ править ]
- Перейти ↑ Weber, Matthias (2005). «Малый звездчатый додекаэдр Кеплера как риманова поверхность». Pacific J. Math . 220 . С. 167–182. pdf
- ^ Косетер, HSM (2013). «Правильные и полуправильные многогранники». В Сенешале, Марджори (ред.). Формирование пространства: изучение многогранников в природе, искусстве и геометрическом воображении (2-е изд.). Springer. С. 41–52. DOI : 10.1007 / 978-0-387-92714-5_3 .См., В частности, стр. 42.
- ^ Барнс, Джон (2012). Самоцветы геометрии (2-е изд.). Springer. п. 46.
Дальнейшее чтение [ править ]
- Веннингер, Магнус (1974). Модели многогранников . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-09859-9.
- Вебер, Маттиас (2005), «Малый звездчатый додекаэдр Кеплера как риманова поверхность» , Pacific J. Math. , 220 : 167-182, DOI : 10,2140 / pjm.2005.220.167
Внешние ссылки [ править ]
- Эрик В. Вайсштейн , Малый звездчатый додекаэдр ( однородный многогранник ) в MathWorld .
