Список правильных многогранников и соединений

Пример правильных многогранников

Правильные (2D) полигоны
Выпуклый	Звезда
{5}	{5/2}
Правильные (3D) многогранники
Выпуклый	Звезда
{5,3}	{5 / 2,5}
Обычные 2D-тесселяции
Евклидово	Гиперболический
{4,4}	{5,4}
Правильные 4D многогранники
Выпуклый	Звезда
{5,3,3}	{5 / 2,5,3}
Обычные 3D-мозаики
Евклидово	Гиперболический
{4,3,4}	{5,3,4}

На этой странице перечислены правильные многогранники и регулярные многогранники в евклидовом , сферическом и гиперболическом пространствах.

Символ Шлефли описывает каждую регулярную мозаику n -сферы, евклидовых и гиперболических пространств. Символ Шлефли, описывающий n- многогранник, эквивалентно описывает мозаику ( n  - 1) -сферы. Кроме того, симметрия регулярного многогранника или тесселяции выражается как группа Кокстера , которую Коксетер выражал идентично символу Шлефли, за исключением того, что он ограничивал квадратными скобками, обозначение, которое называется нотацией Кокстера . Другой связанный символ - диаграмма Кокстера-Дынкина.который представляет группу симметрии без колец, а представляет собой правильный многогранник или мозаику с кольцом на первом узле. Например, куб имеет символ Шлефли {4,3}, а с его октаэдрической симметрией [4,3] или, она представлена ​​диаграммой Кокстера .

Правильные многогранники сгруппированы по размерности и подгруппированы по выпуклым, невыпуклым и бесконечным формам. Невыпуклые формы используют те же вершины, что и выпуклые формы, но имеют пересекающиеся грани . Бесконечные формы мозаичны в одномерном евклидовом пространстве меньшей размерности.

Бесконечные формы могут быть расширены для мозаичного отображения гиперболического пространства . Гиперболическое пространство похоже на нормальное пространство в маленьком масштабе, но параллельные линии расходятся на расстоянии. Это позволяет фигурам вершин иметь дефекты с отрицательным углом , например, сделать вершину из семи равносторонних треугольников и позволить ей лежать ровно. Это невозможно сделать в обычной плоскости, но можно сделать в правильном масштабе гиперболической плоскости.

Более общее определение регулярных многогранников , которые не имеют простые символов Шлефли включает в себя регулярные косые многогранниках и регулярные косые apeirotopes с неплоскими гранями или фигурами вершин .

Обзор [ править ]

В этой таблице приведены сводные данные о количестве обычных многогранников по размерности.

Не существует евклидовых регулярных звездных мозаик в любом количестве измерений.

Одно измерение [ править ]

Косетер диаграмма , представляет собой зеркальную «плоскость» в качестве узлов, и помещает кольцо вокруг узла , если точка находится не на плоскости. Дион {},, является точкой p и точкой p ' зеркального отображения , а также отрезком прямой между ними.

Одномерный многогранник или 1-многогранник - это замкнутый отрезок прямой , ограниченный двумя своими концами. 1-многогранник регулярен по определению и представлен символом Шлефли {}, ^{[1] [2]} или диаграммой Кокстера с одним окольцованным узлом,. Норман Джонсон называет его дионом ^[3] и дает ему символ Шлефли {}.

Хотя многогранник тривиален, он выглядит как края многоугольников и других многогранников более высокой размерности. ^[4] Он используется в определении равномерных призм, таких как символ Шлефли {} × {p} или диаграмма Кокстера.как декартово произведение отрезка прямой и правильного многоугольника. ^[5]

Два измерения (многоугольники) [ править ]

Двумерные многогранники называются многоугольниками . Правильные многоугольники бывают равносторонними и циклическими . P-угольный правильный многоугольник представлен символом Шлефли {p}.

Обычно правильными считаются только выпуклые многоугольники , но звездные многоугольники , как и пентаграмма , также могут считаться правильными. Они используют те же вершины, что и выпуклые формы, но соединяются альтернативным соединением, которое проходит по кругу более одного раза для завершения.

Звездообразные многоугольники следует называть невыпуклыми, а не вогнутыми, потому что пересекающиеся ребра не создают новых вершин, и все вершины существуют на границе круга.

Выпуклый [ править ]

Символ Шлефли {p} представляет собой правильный p -угольник .

Имя	Треугольник ( 2-симплекс )	Квадрат ( 2-ортоплекс ) ( 2-куб )	Пентагон ( 2-пятиугольный многогранник )	Шестиугольник	Семиугольник	Восьмиугольник
Schläfli	{3}	{4}	{5}	{6}	{7}	{8}
Симметрия	D 3 , [3]	D 4 , [4]	D 5 , [5]	D 6 , [6]	D 7 , [7]	D 8 , [8]
Coxeter
Изображение
Имя	Нонагон (Эннеагон)	Декагон	Hendecagon	Додекагон	Трехугольник	Тетрадекагон
Schläfli	{9}	{10}	{11}	{12}	{13}	{14}
Симметрия	D 9 , [9]	D 10 , [10]	D 11 , [11]	D 12 , [12]	D 13 , [13]	D 14 , [14]
Дынкин
Изображение
Имя	Пятиугольник	Шестиугольник	Гептадекагон	Восьмиугольник	Enneadecagon	Икосагон	... п-угольник
Schläfli	{15}	{16}	{17}	{18}	{19}	{20}	{ p }
Симметрия	D 15 , [15]	D 16 , [16]	D 17 , [17]	D 18 , [18]	D 19 , [19]	D 20 , [20]	D p , [p]
Дынкин
Изображение

Сферический [ править ]

Правильный двуугольник {2} можно рассматривать как вырожденный правильный многоугольник. Это может быть реализовано невырожденным образом в некоторых неевклидовых пространствах, например на поверхности сферы или тора .

Имя	Моногон	Дигон
Символ Шлефли	{1}	{2}
Симметрия	D 1 , []	D 2 , [2]
Диаграмма Кокстера	или же
Изображение

Звезды [ править ]

Существует бесконечно много правильных звездных многогранников в двух измерениях, символы Шлефли которых состоят из рациональных чисел { n / m }. Они называются звездчатыми многоугольниками и имеют то же расположение вершин, что и выпуклые правильные многоугольники.

В общем случае для любого натурального числа n существуют правильные многоугольные звезды с n точками и символами Шлефли { n / m } для всех m таких, что m < n / 2 (строго говоря, { n / m } = { n / ( n - м )}) и т и п является взаимно простыми (как , например, все созвездиями многоугольника с простым числом сторон будут регулярной звездой). Случаи, когда m и n не являются взаимно простыми, называются составными многоугольниками .

Имя	Пентаграмма	Гептаграммы		Октаграмма	Эннеаграммы		Декаграмма	... н-граммы
Schläfli	{5/2}	{7/2}	{7/3}	{8/3}	{9/2}	{9/4}	{10/3}	{ p / q }
Симметрия	D 5 , [5]	D 7 , [7]		D 8 , [8]	Д 9 , [9],		D 10 , [10]	D p , [ p ]
Coxeter
Изображение

Звездные многоугольники, которые могут существовать только как сферические мозаики, аналогично моногонам и двуугольникам, могут существовать (например: {3/2}, {5/3}, {5/4}, {7/4}, {9 / 5}), однако они, по-видимому, не были подробно изучены.

Также существуют неудачные звездные многоугольники, такие как пиангли , которые не покрывают поверхность круга конечное число раз. ^[6]

Наклон многоугольников [ править ]

В 3-мерном пространстве, А регулярный пространственный многоугольник называется antiprismatic многоугольника , с расположением вершин в качестве антипризмы , и подмножеством ребер, зигзаги между верхней и нижними многоугольниками.

В 4-х измерениях правильный косой многоугольник может иметь вершины на торе Клиффорда и связаны смещением Клиффорда . В отличие от антипризматических косых многоугольников, косые многоугольники при двойном повороте могут иметь нечетное количество сторон.

Их можно увидеть в многоугольниках Петри этих выпуклых регулярных 4-многогранников , который рассматривается как регулярные плоские многоугольники в периметре проекции плоскости Кокстера:

Три измерения (многогранники) [ править ]

В трех измерениях многогранники называются многогранниками :

Правильный многогранник с символом Шлефли {p, q}, диаграммы Кокстера, имеет правильный тип лица {p} и правильную фигуру вершины {q}.

Вершина фигуры (многогранника) представляет собой многоугольник, видно, соединив эти вершины , которые один край от данной вершины. Для правильных многогранников эта вершина всегда является правильным (и плоским) многоугольником.

Существование правильного многогранника {p, q} ограничивается неравенством, связанным с угловым дефектом вершинной фигуры :

${\ displaystyle {\ begin {align} & {\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {q}}> {\ frac {1} {2}}: {\ text {Многогранник (существующий в евклидовом трехмерном пространстве)}} \\ [6pt] & {\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {q}} = {\ frac {1} {2}}: {\ text {Евклидова плоская мозаика}} \\ [6pt] & {\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {q}} <{\ frac {1} {2}}: {\ text {Гиперболический облицовка плоскости}} \ end {выровнена}}}$

Путем перечисления перестановок мы находим пять выпуклых форм, четыре звездчатые формы и три плоских мозаики, все с многоугольниками {p} и {q}, ограниченными: {3}, {4}, {5}, {5/2}, и {6}.

За пределами евклидова пространства существует бесконечное множество регулярных гиперболических мозаик.

Выпуклый [ править ]

Пять выпуклых правильных многогранников называются Платоновыми телами . Фигура вершина дается с каждой вершиной графа. Все эти многогранники имеют эйлерову характеристику (χ) равной 2.

Имя	Шлефли {p, q}	Coxeter	Изображение (сплошное)	Изображение (сфера)	Лица {p}	Края	Вершины {q}	Симметрия	Двойной
Тетраэдр ( 3-симплекс )	{3,3}				4 {3}	6	4 {3}	Т д [3,3] (* 332)	(себя)
Шестигранный куб ( 3-куб )	{4,3}				6 {4}	12	8 {3}	О ч [4,3] (* 432)	Октаэдр
Октаэдр ( 3-ортоплекс )	{3,4}				8 {3}	12	6 {4}	О ч [4,3] (* 432)	Куб
Додекаэдр	{5,3}				12 {5}	30	20 {3}	I h [5,3] (* 532)	Икосаэдр
Икосаэдр	{3,5}				20 {3}	30	12 {5}	I h [5,3] (* 532)	Додекаэдр

Сферический [ править ]

В сферической геометрии , регулярные сферические многогранники ( тайлинги по сфере ) существуют , которые бы в противном случае быть вырожденными , как многогранники. Это осоэдры {2, n} и двойственные к ним диэдры {n, 2}. Кокстер называет такие случаи «неправильной» мозаикой. ^[7]

Первые несколько случаев (n от 2 до 6) перечислены ниже.

Хосоэдра

Имя	Шлефли {2, р}	Диаграмма Кокстера	Изображение (сфера)	Грани {2} π / p	Края	Вершины {p}	Симметрия	Двойной
Дигональный осоэдр	{2,2}			2 {2} π / 2	2	2 {2} π / 2	D 2h [2,2] (* 222)	Себя
Тригональный осоэдр	{2,3}			3 {2} π / 3	3	2 {3}	D 3h [2,3] (* 322)	Тригональный диэдр
Квадратный осоэдр	{2,4}			4 {2} π / 4	4	2 {4}	D 4h [2,4] (* 422)	Квадратный диэдр
Пятиугольный осоэдр	{2,5}			5 {2} π / 5	5	2 {5}	Д 5ч [2,5] (* 522)	Пятиугольный диэдр
Шестиугольный осоэдр	{2,6}			6 {2} π / 6	6	2 {6}	D 6h [2,6] (* 622)	Шестиугольный диэдр

Дигедра

Имя	Шлефли {p, 2}	Диаграмма Кокстера	Изображение (сфера)	Лица {p}	Края	Вершины {2}	Симметрия	Двойной
Дигональный диэдр	{2,2}			2 {2} π / 2	2	2 {2} π / 2	D 2h [2,2] (* 222)	Себя
Тригональный диэдр	{3,2}			2 {3}	3	3 {2} π / 3	D 3h [3,2] (* 322)	Тригональный осоэдр
Квадратный диэдр	{4,2}			2 {4}	4	4 {2} π / 4	D 4h [4,2] (* 422)	Квадратный осоэдр
Пятиугольный диэдр	{5,2}			2 {5}	5	5 {2} π / 5	D 5h [5,2] (* 522)	Пятиугольный осоэдр
Шестиугольный диэдр	{6,2}			2 {6}	6	6 {2} π / 6	D 6h [6,2] (* 622)	Шестиугольный осоэдр

Звездные диэдры и осоэдры { p / q , 2} и {2, p / q } также существуют для любого звездного многоугольника { p / q }.

Звезды [ править ]

Регулярная звезда многогранники называются многогранниками Kepler-Пуанси и есть четыре из них, на основе вершинных механизмов в додекаэдре {5,3} и икосаэдр {3,5}:

Как сферические мозаики , эти звездные формы многократно перекрывают сферу, что называется ее плотностью , равной 3 или 7 для этих форм. Изображения мозаики показывают одну грань сферического многоугольника желтого цвета.

Имя	Изображение (каркасное)	Изображение (сплошное)	Изображение (сфера)	Звездчатая диаграмма	Шлефли {p, q} и Кокстер	Лица {p}	Края	Вершины {q} verf.	χ	Плотность	Симметрия	Двойной
Малый звездчатый додекаэдр					{5 / 2,5}	12 {5/2}	30	12 {5}	−6	3	I h [5,3] (* 532)	Большой додекаэдр
Большой додекаэдр					{5,5 / 2}	12 {5}	30	12 {5/2}	−6	3	I h [5,3] (* 532)	Малый звездчатый додекаэдр
Большой звездчатый додекаэдр					{5 / 2,3}	12 {5/2}	30	20 {3}	2	7	I h [5,3] (* 532)	Большой икосаэдр
Большой икосаэдр					{3,5 / 2}	20 {3}	30	12 {5/2}	2	7	I h [5,3] (* 532)	Большой звездчатый додекаэдр

Неудачных звездных многогранников бесконечно много . Это также сферические мозаики со звездными многоугольниками в символах Шлефли, но они не покрывают сферу конечное число раз. Вот некоторые примеры: {5 / 2,4}, {5 / 2,9}, {7 / 2,3}, {5 / 2,5 / 2}, {7 / 2,7 / 3}, {4, 5/2} и {3,7 / 3}.

Косые многогранники [ править ]

Правильные косые многогранники являются обобщениями множества правильных многогранников, которые включают возможность неплоских вершинных фигур .

Для четырехмерных косых многогранников Кокстер предложил модифицированный символ Шлефли {l, m | n} для этих фигур, где {l, m} подразумевает фигуру вершины , m l-угольников вокруг вершины и n -угольные отверстия. Их фигуры вершин представляют собой косые многоугольники , зигзагообразные между двумя плоскостями.

Правильные косые многогранники, представленные как {l, m | n}, подчиняются этому уравнению:

2 sin (π / l) sin (π / m) = cos (π / n)

Четыре из них можно рассматривать в 4-мерном пространстве как подмножество граней четырех правильных 4-многогранников , имеющих одинаковое расположение вершин и ребер :

Четыре измерения [ править ]

Правильные 4-многогранники с символом Шлефли имеют ячейки типа , грани типа , фигуры ребер и фигуры вершин .${\ Displaystyle \ {п, д, г \}}$${\ displaystyle \ {p, q \}}$${\ displaystyle \ {p \}}$${\ Displaystyle \ {г \}}$${\ Displaystyle \ {д, г \}}$

• Вершина фигуры (из 4-многогранника) представляет собой полиэдр, видно по расположению соседних вершин вокруг данной вершины. Для правильных 4-многогранников эта вершина является правильным многогранником.
• Края фигуры представляет собой многоугольник, видно по расположению граней вокруг ребра. Для правильных 4-многогранников эта фигура ребра всегда будет правильным многоугольником.

Существование правильного 4-многогранника ограничивается существованием правильных многогранников . Предлагаемое название 4-многогранника - «полихорон». ^[8]${\ Displaystyle \ {п, д, г \}}$${\ Displaystyle \ {п, д \}, \ {д, г \}}$

Каждый будет существовать в пространстве, зависящем от этого выражения:

${\ displaystyle \ sin \ left ({\ frac {\ pi} {p}} \ right) \ sin \ left ({\ frac {\ pi} {r}} \ right) - \ cos \ left ({\ frac {\ pi} {q}} \ right)}$

${\ displaystyle> 0}$ : Гиперсферические соты с 3 пространствами или 4-многогранник

${\ displaystyle = 0}$ : Евклидовы соты с тремя пространствами.

${\displaystyle <0}$ : Гиперболические соты с 3 пространствами

Эти ограничения допускают 21 форму: 6 - выпуклые, 10 - невыпуклые, одна - евклидовы 3-пространственные соты и 4 - гиперболические соты.

Эйлера характерно для выпуклых 4-многогранников равна нулю:${\displaystyle \chi }$${\displaystyle \chi =V+F-E-C=0}$

Выпуклый [ править ]

Шесть выпуклых правильных 4-многогранников показаны в таблице ниже. Все эти 4-многогранники имеют эйлерову характеристику (χ) равной 0.

Имя	Шлефли {p, q, r}	Coxeter	Ячейки {p, q}	Лица {p}	Края {r}	Вершины {q, r}	Двойной {r, q, p}
5-элементный ( 4- элементный )	{3,3,3}		5 {3,3}	10 {3}	10 {3}	5 {3,3}	(себя)
8-элементный ( 4-кубовый ) (Тессеракт)	{4,3,3}		8 {4,3}	24 {4}	32 {3}	16 {3,3}	16 ячеек
16 ячеек ( 4-ортоплекс )	{3,3,4}		16 {3,3}	32 {3}	24 {4}	8 {3,4}	Тессеракт
24-элементный	{3,4,3}		24 {3,4}	96 {3}	96 {3}	24 {4,3}	(себя)
120 ячеек	{5,3,3}		120 {5,3}	720 {5}	1200 {3}	600 {3,3}	600 ячеек
600 ячеек	{3,3,5}		600 {3,3}	1200 {3}	720 {5}	120 {3,5}	120 ячеек

Сферический [ править ]

Di-4-вершины и hoso -4-вершины существуют как регулярные мозаики 3-сферы .

Обычные ди-4-топы (2 грани) включают: {3,3,2}, {3,4,2}, {4,3,2}, {5,3,2}, {3,5,2 }, {p, 2,2} и их двойники hoso-4-tope (2 вершины): {2,3,3}, {2,4,3}, {2,3,4}, {2, 3,5}, {2,5,3}, {2,2, p }. 4-многогранники вида {2, p , 2} совпадают с {2,2, p }. Существуют также случаи { p , 2, q }, которые имеют двугранные клетки и узкоэдральные фигуры вершин.

Обычные хосо-4-топы в виде 3-х сферных сот

Шлефли {2, p , q }	Coxeter	Ячейки {2, p } π / q	Грани {2} π / p , π / q	Края	Вершины	Вершинная фигура { p , q }	Симметрия	Двойной
{2,3,3}		4 {2,3} π / 3	6 {2} π / 3, π / 3	4	2	{3,3}	[2,3,3]	{3,3,2}
{2,4,3}		6 {2,4} π / 3	12 {2} π / 4, π / 3	8	2	{4,3}	[2,4,3]	{3,4,2}
{2,3,4}		8 {2,3} π / 4	12 {2} π / 3, π / 4	6	2	{3,4}	[2,4,3]	{4,3,2}
{2,5,3}		12 {2,5} π / 3	30 {2} π / 5, π / 3	20	2	{5,3}	[2,5,3]	{3,5,2}
{2,3,5}		20 {2,3} π / 5	30 {2} π / 3, π / 5	12	2	{3,5}	[2,5,3]	{5,3,2}

Звезды [ править ]

Существует десять правильных звездных 4-многогранников , которые называются 4-многогранниками Шлефли – Гесса . Их вершины основаны на выпуклых 120-клеточных {5,3,3} и 600-клеточных {3,3,5} .

Людвиг Шлефли нашел четыре из них и пропустил последние шесть, потому что он не допускал форм, которые не соответствовали эйлеровой характеристике на ячейках или вершинных фигурах (для торов с нулевым отверстием: F + V − E = 2). Эдмунд Гесс (1843–1903) завершил полный список из десяти в своей немецкой книге « Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder» (1883) [1] .

Есть 4 уникальных расположения ребер и 7 уникальных расположений граней из этих 10 правильных звездных 4-многогранников, показанных в виде ортогональных проекций :

Имя	Каркас	Твердый	Шлефли {p, q, r} Кокстер	Ячейки {p, q}	Лица {p}	Края {r}	Вершины {q, r}	Плотность	χ	Группа симметрии	Двойной {r, q, p}
Икосаэдрический 120-элементный (граненый 600-элементный)			{3,5,5 / 2}	120 {3,5}	1200 {3}	720 {5/2}	120 {5,5 / 2}	4	480	H 4 [5,3,3]	Маленький звездчатый 120-элементный
Маленький звездчатый 120-элементный			{5 / 2,5,3}	120 {5 / 2,5}	720 {5/2}	1200 {3}	120 {5,3}	4	−480	H 4 [5,3,3]	Икосаэдрический 120-элементный
Отличный 120-элементный			{5,5 / 2,5}	120 {5,5 / 2}	720 {5}	720 {5}	120 {5 / 2,5}	6	0	H 4 [5,3,3]	Самодвойственный
Гранд 120-элементный			{5,3,5 / 2}	120 {5,3}	720 {5}	720 {5/2}	120 {3,5 / 2}	20	0	H 4 [5,3,3]	Большой звездчатый 120-элементный
Большой звездчатый 120-элементный			{5 / 2,3,5}	120 {5 / 2,3}	720 {5/2}	720 {5}	120 {3,5}	20	0	H 4 [5,3,3]	Гранд 120-элементный
Большой звездчатый 120-элементный			{5 / 2,5,5 / 2}	120 {5 / 2,5}	720 {5/2}	720 {5/2}	120 {5,5 / 2}	66	0	H 4 [5,3,3]	Самодвойственный
Великий гранд 120-элементный			{5,5 / 2,3}	120 {5,5 / 2}	720 {5}	1200 {3}	120 {5 / 2,3}	76	−480	H 4 [5,3,3]	Большой икосаэдр, 120 ячеек
Большой икосаэдрический 120-элементный (большой граненый 600-элементный)			{3,5 / 2,5}	120 {3,5 / 2}	1200 {3}	720 {5}	120 {5 / 2,5}	76	480	H 4 [5,3,3]	Великий гранд 120-элементный
Гранд 600-секционный			{3,3,5 / 2}	600 {3,3}	1200 {3}	720 {5/2}	120 {3,5 / 2}	191	0	H 4 [5,3,3]	Большой большой звездчатый 120-элементный
Большой большой звездчатый 120-элементный			{5 / 2,3,3}	120 {5 / 2,3}	720 {5/2}	1200 {3}	600 {3,3}	191	0	H 4 [5,3,3]	Гранд 600-секционный

Есть 4 неудачных потенциальных перестановки регулярных звездных 4-многогранников: {3,5 / 2,3}, {4,3,5 / 2}, {5 / 2,3,4}, {5 / 2,3,5 / 2}. Их клетки и вершинные фигуры существуют, но они не покрывают гиперсферу с конечным числом повторений.

Пять и более измерений [ править ]

В пяти измерениях регулярный многогранник может быть назван следующим образом: где - тип 4-граней, - тип ячейки, - тип грани, - фигура грани, - фигура ребра, - фигура вершины.${\displaystyle \{p,q,r,s\}}$${\displaystyle \{p,q,r\}}$${\displaystyle \{p,q\}}$${\displaystyle \{p\}}$${\displaystyle \{s\}}$${\displaystyle \{r,s\}}$${\displaystyle \{q,r,s\}}$

Вершина фигуры (из 5-многогранника) представляет собой 4-многогранник, видно по расположению соседних вершин каждой вершине.

Края фигуры (из 5-многогранника) представляет собой полиэдр, видно по расположению граней вокруг каждого края.

Лицо цифра (5-многогранника) представляет собой многоугольник, видно по расположению клеток вокруг каждой грани.

Правильный 5-многогранник существует, только если и являются правильными 4-многогранниками.${\displaystyle \{p,q,r,s\}}$${\displaystyle \{p,q,r\}}$${\displaystyle \{q,r,s\}}$

Пространство, в которое оно помещается, основано на выражении:

${\displaystyle {\frac {\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{q}}\right)}{\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{p}}\right)}}+{\frac {\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{r}}\right)}{\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{s}}\right)}}}$

${\displaystyle <1}$ : Сферическая тесселяция с четырьмя пространствами или многогранник с пятью пространствами

${\displaystyle =1}$ : Евклидова тесселяция с четырьмя пространствами

${\displaystyle >1}$ : гиперболическая тесселяция с четырьмя пространствами

Перечисление этих ограничений дает 3 выпуклых многогранника, нулевые невыпуклые многогранники, 3 мозаики с четырьмя пространствами и пять гиперболических мозаик с четырьмя пространствами. Не существует невыпуклых правильных многогранников в пяти и более измерениях.

Выпуклый [ править ]

В размерности 5 и выше существует только три вида выпуклых правильных многогранников. ^[9]

Имя	Символ Шлефли {p 1 , ..., p n −1 }	Coxeter	k -лицы	Тип фасета	Фигура вершины	Двойной
n -симплекс	{3 n −1 }	...	( n + 1 k + 1 ) {\displaystyle {{n+1} \choose {k+1}}}	{3 n −2 }	{3 n −2 }	Самодвойственный
n -куб	{4,3 n −2 }	...	${\displaystyle 2^{n-k}{n \choose k}}$	{4,3 n −3 }	{3 n −2 }	n -ортоплекс
n -ортоплекс	{3 n −2 , 4}	...	${\displaystyle 2^{k+1}{n \choose {k+1}}}$	{3 n −2 }	{3 n −3 , 4}	n -куб

Также существуют несобственные случаи, когда некоторые числа в символе Шлефли равны 2. Например, {p, q, r, ... 2} является несобственным правильным сферическим многогранником, если {p, q, r ...} является правильным сферический многогранник, а {2, ... p, q, r} - несобственный правильный сферический многогранник, если {... p, q, r} - правильный сферический многогранник. Такие многогранники также могут использоваться как фасеты, давая такие формы, как {p, q, ... 2 ... y, z}.

5 измерений [ править ]

Имя	Символ Шлефли {p, q, r, s} Кокстер	Грани {p, q, r}	Ячейки {p, q}	Лица {p}	Края	Вершины	Фигура (а) лица	Края фигура {r, s}	Фигура вершины {q, r, s}
5-симплекс	{3,3,3,3}	6 {3,3,3}	15 {3,3}	20 {3}	15	6	{3}	{3,3}	{3,3,3}
5-куб	{4,3,3,3}	10 {4,3,3}	40 {4,3}	80 {4}	80	32	{3}	{3,3}	{3,3,3}
5-ортоплекс	{3,3,3,4}	32 {3,3,3}	80 {3,3}	80 {3}	40	10	{4}	{3,4}	{3,3,4}

6 измерений [ править ]

7 измерений [ править ]

8 измерений [ править ]

9 измерений [ править ]

10 измерений [ править ]

...

Невыпуклый [ править ]

Не существует невыпуклых правильных многогранников в пяти или более измерениях, за исключением осотопов, образованных из невыпуклых правильных многогранников меньшей размерности.

Правильные проективные многогранники [ править ]

Проективный регулярный ( n +1) -многогранник существует, когда исходная регулярная n- сферическая мозаика, {p, q, ...}, центрально симметрична . Такой многогранник называется hemi- {p, q, ...} и содержит вдвое меньше элементов. Кокстер дает символ {p, q, ...} / 2, в то время как МакМаллен записывает {p, q, ...} _{h / 2} с h в качестве числа кокстера . ^[10]

У четных правильных многоугольников есть проективные многоугольники с полу- 2n -угольниками, {2p} / 2.

Есть 4 правильных проективных многогранника, связанных с 4 из 5 Платоновых тел .

Гей-куб и гей-октаэдр обобщает , как геми- п -куб и геми- п - orthoplexes в любых размерах.

Правильные проективные многогранники [ править ]

Правильные проективные 4-многогранники [ править ]

В 4-мерном пространстве 5 из 6 выпуклых правильных 4-многогранников порождают проективные 4-многогранники. Три особых случая: полу-24-элементный, полу-600-элементный и полу-120-элементный.

Правильные проективные 5-многогранники [ править ]

Есть только 2 выпуклых правильных проективных полу-многогранника размерности 5 и выше.

Апейотопы [ править ]

Apeirotope или бесконечный многогранник является многогранником , который имеет бесконечное множество граней . П -apeirotope бесконечное п -многогранник: 2-apeirotope или apeirogon бесконечный многоугольник, 3-apeirotope или apeirohedron бесконечный полиэдр, и т.д.

Существует два основных геометрических класса апейротопа: ^[11]

• Обычные соты в п размеров, которые полностью заполняют п - мерное пространство.
• Правильные косые апейотопы , содержащие n -мерное многообразие в высшем пространстве.

Одно измерение (апейрогоны) [ править ]

Прямой апейрогон - это правильная мозаика линии, разделяющая ее на бесконечно много равных отрезков. У него бесконечно много вершин и ребер. Его символ Шлефли - {∞}, а диаграмма Кокстера.

... ...

Он существует как предел p -угольника, когда p стремится к бесконечности, а именно:

Имя	Моногон	Дигон	Треугольник	Квадратный	Пентагон	Шестиугольник	Семиугольник	п-угольник	Апейрогон
Schläfli	{1}	{2}	{3}	{4}	{5}	{6}	{7}	{ p }	{∞}
Симметрия	D 1 , []	D 2 , [2]	D 3 , [3]	D 4 , [4]	D 5 , [5]	D 6 , [6]	D 7 , [7]	[п]
Coxeter	или же
Изображение

Апейрогоны в гиперболической плоскости , особенно правильный апейрогон , {∞}, могут иметь кривизну, как и конечные многоугольники евклидовой плоскости, с вершинами, описанными орициклами или гиперциклами, а не окружностями .

Регулярные апейрогоны, которые масштабируются так, чтобы сходиться на бесконечности, имеют символ {∞} и существуют на орициклах, в то время как в более общем случае они могут существовать на гиперциклах.

Выше показаны два регулярных гиперболических апейрогона в модели диска Пуанкаре , справа показаны перпендикулярные линии отражения расходящихся фундаментальных областей , разделенных длиной λ.

Скошенные апейрогоны [ править ]

Косой апейрогон в двух измерениях образует зигзагообразную линию на плоскости. Если зигзаг ровный и симметричный, то апейрогон правильный.

Косые апейрогоны могут быть построены в любом количестве измерений. В трех измерениях обычный косой апейрогон очерчивает спиральную спираль и может быть левым или правым.

Два измерения (апейроэдры) [ править ]

Евклидовы мозаики [ править ]

Есть три регулярных мозаики плоскости. Все три имеют эйлерову характеристику (χ), равную 0.

Имя	Квадратная плитка (кадриль)	Треугольная черепица (дельтиль)	Шестиугольная черепица (гексилль)
Симметрия	p4m, [4,4], (* 442)	p6m, [6,3], (* 632)
Шлефли {p, q}	{4,4}	{3,6}	{6,3}
Диаграмма Кокстера
Изображение

Есть два несобственных правильных мозаика: {∞, 2}, апейрогональный диэдр , состоящий из двух апейрогонов , каждый из которых заполняет половину плоскости; и, во-вторых, его двойственный, {2, ∞}, апейрогональный хозоэдр , рассматриваемый как бесконечный набор параллельных прямых.

{∞, 2} ,

{2, ∞} ,

Евклидовы звездные мозаики [ править ]

Не существует правильных плоских мозаик звездных многоугольников . Есть много перечислений, которые умещаются в плоскости (1 / p + 1 / q = 1/2), например {8 / 3,8}, {10 / 3,5}, {5 / 2,10}, {12 / 5,12} и т. Д., Но ни один из них не повторяется периодически.

Гиперболические мозаики [ править ]

Мозаики гиперболического 2-пространства - это гиперболические мозаики . В H ² существует бесконечное множество регулярных мозаик . Как указано выше, любая пара натуральных чисел { p , q } такая, что 1 / p  + 1 / q <1/2, дает гиперболический замощение. Фактически, для общего треугольника Шварца ( p ,  q ,  r ) то же самое верно для 1 / p  + 1 / q  + 1 / r <1.

Существует несколько различных способов отображения гиперболической плоскости, включая модель диска Пуанкаре, которая отображает плоскость в круг, как показано ниже. Следует понимать, что все грани многоугольника в мозаике ниже имеют одинаковый размер и только кажутся меньше по краям из-за примененной проекции, что очень похоже на эффект объектива «рыбий глаз» .

Существует бесконечно много плоских правильных 3-апейротопов (апейроэдров) как регулярных мозаик гиперболической плоскости вида {p, q} с p + q <pq / 2. (ранее перечисленные выше как мозаики)

• {3,7}, {3,8}, {3,9} ... {3, ∞}
• {4,5}, {4,6}, {4,7} ... {4, ∞}
• {5,4}, {5,5}, {5,6} ... {5, ∞}
• {6,4}, {6,5}, {6,6} ... {6, ∞}
• {7,3}, {7,4}, {7,5} ... {7, ∞}
• {8,3}, {8,4}, {8,5} ... {8, ∞}
• {9,3}, {9,4}, {9,5} ... {9, ∞}
• ...
• {∞, 3}, {∞, 4}, {∞, 5} ... {∞, ∞}

Выборка:

Регулярная гиперболическая мозаичная таблица v т е
Сферические (несобственные / платонические) / евклидовы / гиперболические (диск Пуанкаре: компактные / паракомпактные / некомпактные ) мозаики с их символом Шлефли
р \ д	2	3	4	5	6	7	8	...	∞	...	iπ / λ
2	{2 , 2}	{2,3}	{2,4}	{2,5}	{2,6}	{2,7}	{2,8}		{2, ∞}		{2, iπ / λ}
3	{3,2}	( тетраэдр ) {3,3}	( октаэдр ) {3,4}	( икосаэдр ) {3,5}	( дельтиль ) {3,6}	{3,7}	{3,8}		{3, ∞}		{3, iπ / λ}
4	{4,2}	( куб ) {4,3}	( кадриль ) {4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,7}	{4,8}		{4, ∞}		{4, iπ / λ}
5	{5,2}	( додекаэдр ) {5,3}	{5,4}	{5,5}	{5,6}	{5,7}	{5,8}		{5, ∞}		{5, iπ / λ}
6	{6,2}	( гексилль ) {6,3}	{6,4}	{6,5}	{6,6}	{6,7}	{6,8}		{6, ∞}		{6, iπ / λ}
7	{7,2}	{7,3}	{7,4}	{7,5}	{7,6}	{7,7}	{7,8}		{7, ∞}		{7, iπ / λ}
8	{8,2}	{8,3}	{8,4}	{8,5}	{8,6}	{8,7}	{8,8}		{8, ∞}		{8, iπ / λ}
...
∞	{∞, 2}	{∞, 3}	{∞, 4}	{∞, 5}	{∞, 6}	{∞, 7}	{∞, 8}	{∞, ∞}	{∞, iπ / λ}
...
iπ / λ	{iπ / λ, 2}	{iπ / λ, 3}	{iπ / λ, 4}	{iπ / λ, 5}	{iπ / λ, 6}	{iπ / λ, 7}	{iπ / λ, 8}	{iπ / λ, ∞}	{iπ / λ, iπ / λ}

Гиперболические звездочки [ править ]

Есть две бесконечные формы гиперболических мозаик, грани или вершины которых являются звездными многоугольниками: { m / 2, m } и их двойники { m , m / 2} с m = 7, 9, 11, .... { m / 2, м } тайлинги созвездиях плоскостей { м , 3} разбиений а { м , м / 2} двойной тайлинги facetings плоскостей {3, т } разбиений и greatenings плоскостей { м , 3} разбиений.

Паттерны { m / 2, m } и { m , m / 2} продолжаются для нечетных m <7 как многогранники : когда m = 5, мы получаем малый звездчатый додекаэдр и большой додекаэдр , а когда m = 3, случай вырождается в тетраэдр . Два других многогранника Кеплера – Пуансо ( большой звездчатый додекаэдр и большой икосаэдр ) не имеют аналогов регулярных гиперболических мозаик. Если m четно, в зависимости от того, как мы решим определить { m/ 2}, мы можем получить либо вырожденные двойные покрытия других мозаик, либо составные мозаики.

Имя	Schläfli	Диаграмма Кокстера	Изображение	Тип лица {p}	Вершинная фигура {q}	Плотность	Симметрия	Двойной
Гептаграмматическая черепица Порядка-7	{7 / 2,7}			{7/2}	{7}	3	* 732 [7,3]	Гептаграмма семиугольной плитки
Гептаграмма семиугольной плитки	{7,7 / 2}			{7}	{7/2}	3	* 732 [7,3]	Гептаграмматическая черепица Порядка-7
Эннеаграмматическая мозаика Порядка-9	{9 / 2,9}			{9/2}	{9}	3	* 932 [9,3]	Эннеагональная мозаика эннеаграмматического порядка
Эннеагональная мозаика эннеаграмматического порядка	{9,9 / 2}			{9}	{9/2}	3	* 932 [9,3]	Эннеаграмматическая мозаика Порядка-9
Заказать-11 хендкаграммная плитка	{11 / 2,11}			{11/2}	{11}	3	* 11.3.2 [11,3]	Двенадцатиугольная плитка в виде гендекаграммы
Двенадцатиугольная плитка в виде гендекаграммы	{11,11 / 2}			{11}	{11/2}	3	* 11.3.2 [11,3]	Заказать-11 хендкаграммная плитка
Order- p p -граммическая мозаика	{ p / 2, p }			{ p / 2}	{ p }	3	* стр. 32 [стр., 3]	p -грамма p -угольная мозаика
p -грамма p -угольная мозаика	{ п , п / 2}			{ p }	{ p / 2}	3	* стр. 32 [стр., 3]	Order- p p -граммическая мозаика

Косые апейроэдры в трехмерном евклидовом пространстве [ править ]

В евклидовом трехмерном пространстве есть три правильных косых апейроэдра с правильными косыми многоугольными вершинами . ^{[12] [13] [14]} У них такое же расположение вершин и ребер, как у 3 выпуклых однородных сот .

• 6 квадратов вокруг каждой вершины: {4,6 | 4}
• 4 шестиугольника вокруг каждой вершины: {6,4 | 4}
• 6 шестиугольников вокруг каждой вершины: {6,6 | 3}

В трехмерном евклидовом пространстве тридцать правильных апейроэдров. ^{[16] В их} число входят перечисленные выше, а также 8 других «чистых» апейроэдров, все из которых связаны с кубическими сотами, {4,3,4}, с другими, имеющими скошенные грани многоугольника: {6,6} ₄ , {4 , 6} ₄ , {6,4} ₆ , {∞, 3} ^a , {∞, 3} ^b , {∞, 4} ^{. * 3} , {∞, 4} _6,4 , {∞, 6} _{4 , 4} и {∞, 6} _6,3 .

Косые апейроэдры в трехмерном гиперболическом пространстве [ править ]

В гиперболическом трехмерном пространстве 31 правильный косой апейроэдр : ^[17]

• 14 компактны: {8,10 | 3}, {10,8 | 3}, {10,4 | 3}, {4,10 | 3}, {6,4 | 5}, {4,6 | 5 }, {10,6 | 3}, {6,10 | 3}, {8,8 | 3}, {6,6 | 4}, {10,10 | 3}, {6,6 | 5}, {8,6 | 3} и {6,8 | 3}.
• 17 паракомпактных: {12,10 | 3}, {10,12 | 3}, {12,4 | 3}, {4,12 | 3}, {6,4 | 6}, {4,6 | 6 }, {8,4 | 4}, {4,8 | 4}, {12,6 | 3}, {6,12 | 3}, {12,12 | 3}, {6,6 | 6}, {8,6 | 4}, {6,8 | 4}, {12,8 | 3}, {8,12 | 3} и {8,8 | 4}.

Трехмерные (4-апейротопы) [ править ]

Мозаика евклидова 3-мерного пространства [ править ]

Есть только одна невырожденная регулярная мозаика 3-х пространств ( соты ), {4, 3, 4}: ^[18]

Имя	Шлефли {p, q, r}	Coxeter	Тип ячейки {p, q}	Тип лица {p}	Фигура края {r}	Фигура вершины {q, r}	χ	Двойной
Кубические соты	{4,3,4}		{4,3}	{4}	{4}	{3,4}	0	Самодвойственный

Неправильная мозаика евклидова 3-мерного пространства [ править ]

Есть шесть неправильных регулярных мозаик, пар, основанных на трех правильных евклидовых мозаиках. Их клетки и вершины - все правильные осоэдры {2, n}, диэдры , {n, 2} и евклидовы мозаики. Эти неправильные регулярные мозаики конструктивно связаны с призматическими однородными сотами посредством операций усечения. Они являются многомерными аналогами апейрогонального разбиения второго порядка и апейрогонального хозоэдра .

Шлефли {p, q, r}	Диаграмма Кокстера	Тип ячейки {p, q}	Тип лица {p}	Фигура края {r}	Фигура вершины {q, r}
{2,4,4}		{2,4}	{2}	{4}	{4,4}
{2,3,6}		{2,3}	{2}	{6}	{3,6}
{2,6,3}		{2,6}	{2}	{3}	{6,3}
{4,4,2}		{4,4}	{4}	{2}	{4,2}
{3,6,2}		{3,6}	{3}	{2}	{6,2}
{6,3,2}		{6,3}	{6}	{2}	{3,2}

Мозаика гиперболического 3-мерного пространства [ править ]

Есть десять плоских правильных сот гиперболического 3-мерного пространства: ^[19] (ранее перечисленные выше как мозаики)

• 4 компактны: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4} и {5,3,5}
• а 6 - паракомпактные: {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3, 6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5} и {6,3,6}.

Мешки гиперболического 3-пространства можно назвать гиперболическими сотами . В H ³ 15 гиперболических сот , 4 компактных и 11 паракомпактных.

4 компактных обычных соты

Имя	Символ Шлефли {p, q, r}	Coxeter	Тип ячейки {p, q}	Тип лица {p}	Фигура края {r}	Фигура вершины {q, r}	χ	Двойной
Икосаэдрические соты	{3,5,3}		{3,5}	{3}	{3}	{5,3}	0	Самодвойственный
Заказать-5 соты куб.	{4,3,5}		{4,3}	{4}	{5}	{3,5}	0	{5,3,4}
Порядок-4 додекаэдрические соты	{5,3,4}		{5,3}	{5}	{4}	{3,4}	0	{4,3,5}
Додекаэдрические соты порядка 5	{5,3,5}		{5,3}	{5}	{5}	{3,5}	0	Самодвойственный

Есть также 11 паракомпактных сот H ³ (с бесконечными (евклидовыми) ячейками и / или фигурами вершин): {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4, 4,3}, {3,6,3}, {4,3,6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3, 5} и {6,3,6}.

11 паракомпактных обычных сот

Имя	Символ Шлефли {p, q, r}	Coxeter	Тип ячейки {p, q}	Тип лица {p}	Фигура края {r}	Фигура вершины {q, r}	χ	Двойной
Сотовый четырехгранник Order-6	{3,3,6}		{3,3}	{3}	{6}	{3,6}	0	{6,3,3}
Шестигранная черепичная сотовая конструкция	{6,3,3}		{6,3}	{6}	{3}	{3,3}	0	{3,3,6}
Орден-4 восьмигранные соты	{3,4,4}		{3,4}	{3}	{4}	{4,4}	0	{4,4,3}
Квадратная черепица сота	{4,4,3}		{4,4}	{4}	{3}	{4,3}	0	{3,3,4}
Треугольная черепица сотовая	{3,6,3}		{3,6}	{3}	{3}	{6,3}	0	Самодвойственный
Заказать-6 соты куб.	{4,3,6}		{4,3}	{4}	{4}	{3,6}	0	{6,3,4}
Гексагональные черепичные соты Order-4	{6,3,4}		{6,3}	{6}	{4}	{3,4}	0	{4,3,6}
Квадратная черепица Заказать-4 соты	{4,4,4}		{4,4}	{4}	{4}	{4,4}	0	{4,4,4}
Порядок-6 додекаэдрические соты	{5,3,6}		{5,3}	{5}	{5}	{3,6}	0	{6,3,5}
Гексагональные черепичные соты Order-5	{6,3,5}		{6,3}	{6}	{5}	{3,5}	0	{5,3,6}
Шестигранный черепичный сотовый заполнитель Order-6	{6,3,6}		{6,3}	{6}	{6}	{3,6}	0	Самодвойственный

Некомпактные решения существуют как лоренцевы группы Кокстера и могут быть визуализированы с открытыми областями в гиперболическом пространстве (фундаментальный тетраэдр, некоторые части которого недоступны за бесконечностью). Все соты с гиперболическими ячейками или вершинами, не содержащие 2 в символе Шлефли, некомпактны.

В H ³ нет регулярных гиперболических звездчатых сот : все формы с правильным звездчатым многогранником в качестве ячейки, вершины или и того, и другого оказываются сферическими.

Четыре измерения (5-апейотопы) [ править ]

Мозаика евклидова 4-мерного пространства [ править ]

Есть три вида бесконечных регулярных мозаик ( сот ), которые могут мозаично представить евклидово четырехмерное пространство:

Также есть два неправильных случая: {4,3,4,2} и {2,4,3,4}.

Есть три плоских правильных соты евклидова 4-мерного пространства: ^[18]

• {4,3,3,4}, {3,3,4,3} и {3,4,3,3}.

Есть семь плоских правильных выпуклых сот гиперболического 4-мерного пространства: ^[19]

• 5 компактны: {3,3,3,5}, {5,3,3,3}, {4,3,3,5}, {5,3,3,4}, {5,3,3 , 5}
• 2 паракомпактны: {3,4,3,4} и {4,3,4,3}.

Есть четыре плоских правильных звездных соты гиперболического 4-мерного пространства: ^[19]

• {5 / 2,5,3,3}, {3,3,5,5 / 2}, {3,5,5 / 2,5} и {5,5 / 2,5,3}.

Мозаика гиперболического 4-мерного пространства [ править ]

В пространстве H ⁴ имеется семь выпуклых регулярных сот и четыре соты-звезды . ^[20] Пять выпуклых компактных и два паракомпактных.

Пять компактных обычных сот в H ⁴ :

Две обычные паракомпактные соты H ⁴ : {3,4,3,4}, {4,3,4,3}.

Некомпактные решения существуют как лоренцевы группы Кокстера и могут быть визуализированы с открытыми областями в гиперболическом пространстве (фундаментальная 5-ячейка, некоторые части которой недоступны за пределами бесконечности). Все соты, которые не показаны в приведенных ниже таблицах и не имеют 2 в символе Шлефли, являются некомпактными.

Звездные мозаики гиперболического четырехмерного пространства [ править ]

В пространстве H ⁴ есть четыре обычных звезды-соты , все компактные:

Пять измерений (6-апейротопы) [ править ]

Есть только одна плоская правильная сотовая структура евклидова 5-мерного пространства: (ранее перечисленная выше как мозаика) ^[18]

• {4,3,3,3,4}

Есть пять плоских правильных регулярных сот гиперболического 5-пространства, все паракомпактные: (ранее перечисленные выше как мозаики) ^[19]

• {3,3,3,4,3}, {3,4,3,3,3}, {3,3,4,3,3}, {3,4,3,3,4} и { 4,3,3,4,3}

Мозаика евклидова 5-ти пространств [ править ]

Гиперкубический сот является единственным семейством регулярных сот , которые могут Tessellate каждого измерения, пять или более, образованных гиперкуб грани, четыре вокруг каждый гребня .

В E ⁵ также есть неправильные случаи {4,3,3,4,2}, {2,4,3,3,4}, {3,3,4,3,2}, {2,3 , 3,4,3}, {3,4,3,3,2} и {2,3,4,3,3}. В E ⁿ {4,3 ^{n − 3} , 4,2} и {2,4,3 ^{n − 3} , 4} всегда являются неправильными евклидовыми мозаиками.

Мозаика гиперболического 5-мерного пространства [ править ]

В H ⁵ есть 5 обычных сот , все паракомпактные, которые включают бесконечные (евклидовы) грани или фигуры вершин: {3,4,3,3,3}, {3,3,4,3,3}, {3, 3,3,4,3}, {3,4,3,3,4} и {4,3,3,4,3}.

Не существует компактных регулярных мозаик в гиперболическом пространстве размерности 5 или выше и нет паракомпактных регулярных мозаик в гиперболическом пространстве размерности 6 или выше.

Поскольку не существует регулярных звездных n -многогранников для n  ≥ 5, которые могли бы быть потенциальными ячейками или вершинами, в H ⁿ больше нет гиперболических звездных сот для n  ≥ 5.

6 размеров и выше (7-апейротопов +) [ править ]

Мозаика гиперболического 6-го пространства и выше [ править ]

Не существует регулярных компактных или паракомпактных мозаик гиперболического пространства размерности 6 и выше. Однако любой символ Шлефли формы {p, q, r, s, ...}, не описанный выше (p, q, r, s, ... натуральные числа больше 2 или бесконечность), будет образовывать некомпактную мозаику гиперболическое n -пространство.

Составные многогранники [ править ]

Двумерные соединения [ править ]

Для любого натурального числа n существуют n-конечные правильные многоугольные звезды с символами Шлефли {n / m} для всех m таких, что m <n / 2 (строго говоря, {n / m} = {n / (n − m) }) и m и n взаимно просты . Когда m и n не взаимно просты, полученный звездообразный многоугольник будет правильным многоугольником с n / m сторонами. Новая фигура получается путем поворота этих правильных n / m -угольников на одну вершину влево на исходном многоугольнике до тех пор, пока количество повернутых вершин не станет равным n / m минус один, и объединения этих фигур. В крайнем случае, когда n / m равно 2, получается фигура, состоящая из n/ 2 отрезка прямых; это называется вырожденным звездным многоугольником .

В других случаях, когда n и m имеют общий множитель, получается звездообразный многоугольник для меньшего n , и повернутые версии могут быть объединены. Эти фигуры называются звездными фигурами , неправильными звездчатыми многоугольниками или составными многоугольниками . Для них часто используется то же обозначение { n / m }, хотя такие авторитетные источники, как Grünbaum (1994), считают (с некоторым обоснованием) более правильной форму k { n }, где обычно k = m .

Еще одна сложность возникает, когда мы соединяем два или более звездных многоугольника, как, например, две пентаграммы, различающиеся поворотом на 36 °, вписанные в десятиугольник. Это правильно записывается в форме k { n / m }, как 2 {5/2}, а не в обычно используемом {10/4}.

Расширенное обозначение Кокстера для соединений имеет вид c { m , n , ...} [ d { p , q , ...}] e { s , t , ...}, что указывает на то, что d различных { p , q , ...} вместе покрывают вершины { m , n , ...} c раз и фасеты { s , t , ...} e раз. Если регулярных { m , n , ...} не существует, первая часть записи удаляется, оставляя [ d{ p , q , ...}] e { s , t , ...}; обратное верно, если регулярных { s , t , ...} не существует. Двойственное к c { m , n , ...} [ d { p , q , ...}] e { s , t , ...} есть e { t , s , ...} [ d { q , p , ...}] c { n , m , ...}. Если c илиe равны 1, их можно не указывать. Для составных многоугольников это обозначение сокращается до { nk } [ k { n / m }] { nk }: например, гексаграмма может быть записана таким образом как {6} [2 {3}] {6}.

Регулярные скошенные многоугольники также создают соединения, видимые на краях призматического соединения антипризм , например:

Трехмерные соединения [ править ]

Регулярное полиэдр соединение может быть определен как соединение , которое, как обычный многогранника, является вершиной-симметрический , ребра транзитивен и лицом транзитивен . Согласно этому определению существует 5 обычных соединений.

Обозначения Кокстера для обычных соединений даны в таблице выше, включая символы Шлефли . Материал в квадратных скобках, [ d { p , q }], обозначает компоненты соединения: d отдельные { p , q } 's. Материал перед квадратными скобками обозначает расположение вершин соединения: c { m , n } [ d { p , q }] - это соединение d { p , q }, имеющих общие вершины { m ,n } насчитали c раз. Материал после квадратных скобок обозначает расположение граней соединения: [ d { p , q }] e { s , t } - это соединение d { p , q }, имеющих общие грани { s , t }, подсчитано е раз. Их можно комбинировать: таким образом, c { m , n } [ d { p , q }] e { s , t} является составной частью d { p , q }, разделяющих вершины { m , n }, подсчитанных c раз, и граней { s , t }, подсчитанных e раз. Это обозначение можно обобщить на соединения любого количества измерений. ^[21]

Соединения евклидовой и гиперболической плоскости [ править ]

Существует восемнадцать двухпараметрических семейств регулярных составных мозаик евклидовой плоскости. В гиперболической плоскости известно пять однопараметрических семейств и семнадцать отдельных случаев, но полнота этого списка еще не доказана.

Евклидовы и гиперболические составные семейства 2 { p , p } (4 ≤ p ≤ ∞, p - целое число) аналогичны сферической октангуле стеллы , 2 {3,3}.

Несколько примеров евклидовых и гиперболических регулярных соединений

Самодвойственный	Duals		Самодвойственный
2 {4,4}	2 {6,3}	2 {3,6}	2 {∞, ∞}
{{4,4}} или {4,4} или {4,4} [2 {4,4}] {4,4} + или же	[2 {6,3}] {3,6}	а {6,3} или {6,3} [2 {3,6}] + или же	{{∞, ∞}} или {∞, ∞} или {4, ∞} [2 {∞, ∞}] {∞, 4} + или же
	3 {6,3}	3 {3,6}	3 {∞, ∞}
	2 {3,6} [3 {6,3}] {6,3}	{3,6} [3 {3,6}] 2 {6,3} + +	+ +

Четырехмерные соединения [ править ]

Кокстер перечисляет 32 правильных соединения правильных 4-многогранников в своей книге « Регулярные многогранники» . ^[22] Макмаллен добавляет шесть в своей статье « Новые регулярные соединения 4-многогранников» . ^[23] В следующих таблицах верхний индекс (var) указывает, что меченые соединения отличаются от других соединений с такими же символами.

Есть два разных соединения из 75 тессерактов: одно имеет общие вершины со 120 ячейками, а другое - с вершинами из 600 ячеек. Отсюда немедленно следует, что соответствующие двойные соединения 75 16-ячеек также различны.

Есть также четырнадцать частично регулярных соединений, которые либо вершинно-транзитивны, либо клеточно-транзитивны, но не то и другое одновременно. Семь частично регулярных соединений, транзитивных по вершине, являются двойниками семи частично регулярных соединений, транзитивных по отношению к клеткам.

Хотя 5-элементный и 24-элементный оба являются самодвойственными, их двойные соединения ( соединение двух 5-ячеек и соединение двух 24-ячеек ) не считаются правильными, в отличие от соединения двух тетраэдров и различных двойственные многоугольники, потому что они не являются ни вершинно-правильными, ни клеточно-правильными: они не являются гранями или звёздчатыми элементами любого правильного 4-многогранника.

Евклидовы 3-пространственные соединения [ править ]

Единственные регулярные евклидовы составные соты - это бесконечное семейство составных кубических сот , все вершины и грани которых имеют общие вершины и грани с другой кубической сотой. Этот состав может иметь любое количество кубических сот. Обозначение Кокстера: {4,3,4} [ d {4,3,4}] {4,3,4}.

Составы пяти измерений и выше [ править ]

Не существует регулярных соединений в пяти или шести измерениях. Есть три известных семимерных соединения (16, 240 или 480 7-симплексов ) и шесть известных восьмимерных соединений (16, 240 или 480 8-кубов или 8-ортоплексов ). Существует также одно соединение n -симплексов в n -мерном пространстве при условии, что n на единицу меньше степени двойки, а также два соединения (одно из n -кубов и двойственное из n -ортоплексов) в n -мерном пространстве. если n - степень двойки.

Обозначения Кокстера для этих соединений (используя α ⁿ = {3 ^{n −1} }, β ⁿ = {3 ^{n −2} , 4}, γ _n = {4,3 ^{n −2} }:

• 7-симплексы: c γ ₇ [16 c α ₇ ] c β ₇ , где c = 1, 15 или 30
• 8-ортоплексы: c γ ₈ [16 c β ₈ ]
• 8-кубы: [16 c γ ₈ ] c β ₈

Общие случаи (где n = 2 ^k и d = 2 ^{2 k - k - 1} , k = 2, 3, 4, ...):

• Симплексы: γ _{n −1} [ d α _{n −1} ] β _{n −1}
• Ортоплексы: γ _n [ d β _n ]
• Гиперкубы: [ d γ _n ] β _n

Евклидовы соты [ править ]

Известное семейство регулярных евклидовых составных сот в пяти или более измерениях представляет собой бесконечное семейство соединений гиперкубических сот , все вершины и грани которых имеют общие вершины и грани с другой гиперкубической сотой. Это соединение может иметь любое количество гиперкубических сот. Обозначение Кокстера: δ _n [ d δ _n ] δ _n, где δ _n = {∞} при n = 2 и {4,3 ^{n −3} , 4} при n ≥ 3.

Абстрактные многогранники [ править ]

В абстрактных многогранниках возникли из попытки изучения многогранников , кроме геометрического пространства , которое они встраиваются. Они включают в себя мозаики сферического, евклидовой и гиперболического пространства, мозаики других многообразий , а также многие других объекты , которые не имеют четко определенных топология, но вместо этого может характеризоваться своей «локальной» топологией. Их бесконечно много в каждом измерении. См. Образец в этом атласе . Некоторые известные примеры абстрактных правильных многогранников, которые не встречаются в других местах этого списка, - это 11-элементный , {3,5,3}, и 57-элементный , {5,3,5}, клетки которых имеют правильные проективные многогранники. и вершинные фигуры.

Элементами абстрактного многогранника являются его тело (максимальный элемент), его грани, ребра, вершины и нулевой многогранник или пустое множество. Эти абстрактные элементы могут быть отображены в обычном пространстве или реализованы в виде геометрических фигур. Некоторые абстрактные многогранники имеют правильную или точную реализацию, а другие нет. Флаг представляет собой связное множество элементов каждой размерности - для многогранника , который является телом, лицом, ребро грани, вершина края, а нуль многогранник. Абстрактный многогранник называется правильным.если его комбинаторные симметрии транзитивны на его флагах, т. е. что любой флаг может быть отображен на любой другой при симметрии многогранника. Абстрактные правильные многогранники остаются активной областью исследований.

Пять таких правильных абстрактных многогранников, которые не могут быть точно реализованы, были идентифицированы HSM Coxeter в его книге Regular Polytopes (1977) и снова JM Wills в его статье "Комбинаторно правильные многогранники индекса 2" (1987). ^{[26] Все} они топологически эквивалентны тороидам . Их конструкция путем размещения n граней вокруг каждой вершины может повторяться бесконечно долго как мозаики гиперболической плоскости . На диаграммах ниже изображения гиперболических мозаик имеют цвета, соответствующие цветам изображений многогранников.

Многогранник	Средний ромбический триаконтаэдр	Додекадодекаэдр	Медиальный триамбический икосаэдр	Дитригональный додекадодекаэдр	Выкапанный додекаэдр
Фигура вершины	{5}, {5/2}	(5,5 / 2) 2	{5}, {5/2}	(5,5 / 3) 3
Лица	30 ромбов	12 пятиугольников 12 пентаграмм	20 шестиугольников	12 пятиугольников 12 пентаграмм	20 гексаграмм
Черепица	{4, 5}	{5, 4}	{6, 5}	{5, 6}	{6, 6}
χ	−6	−6	−16	−16	−20