Квадратная плитка

Квадратная плитка
Тип	Обычная черепица
Конфигурация вершины	4.4.4.4 (или 4 4 )
Конфигурация лица	V4.4.4.4 (или V4 4 )
Символ (ы) Шлефли	{4,4} {∞} × {∞}
Символ (ы) Wythoff	4 | 2 4
Диаграмма (ы) Кокстера
Симметрия	p4m , [4,4], (* 442)
Симметрия вращения	р4 , [4,4] + , (442)
Двойной	самодвойственный
Характеристики	Вершинно-транзитивный , реберный , гранный

В геометрии , то квадратная плитка , квадратная тесселяции или квадратная сетка представляет собой регулярное разбиение на евклидовой плоскости . Он имеет символ Шлефли {4,4}, что означает, что у него есть 4 квадрата вокруг каждой вершины .

Конвей назвал это кадрилью .

Внутренний угол квадрата составляет 90 градусов , так четыре квадрата в точке сделать 360 градусов. Это одна из трех правильных мозаик плоскости . Два других - это треугольная мозаика и шестиугольная мозаика .

Равномерная окраска [ править ]

У квадратной плитки есть 9 различных однородных расцветок . Назовите цвета индексами на 4 квадратах вокруг вершины: 1111, 1112 (i), 1112 (ii), 1122, 1123 (i), 1123 (ii), 1212, 1213, 1234. (i) случаи имеют простое отражение симметрия и (ii) симметрия скользящего отражения. Три можно увидеть в той же области симметрии, что и уменьшенные раскраски: 1112 _i от 1213, 1123 _i от 1234 и 1112 _ii уменьшено с 1123 _ii .

9 равномерных раскрасок
1111	1212	1213	1112 я	1122
p4m (* 442)		p4m (* 442)		pmm (* 2222)
1234	1123 я	1123 ii	1112 ii
pmm (* 2222)		см (2 * 22)

Связанные многогранники и мозаики [ править ]

Этот тайлинг топологически связан как часть последовательности правильных многогранников и мозаик, простирающихся в гиперболическую плоскость : {4, p}, p = 3,4,5 ...

* n 42 изменение симметрии правильных мозаик: {4, n } v т е
Сферический	Евклидово	Компактный гиперболический				Паракомпакт
{4,3}	{4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,7}	{4,8} ...	{4, ∞}

Эта мозаика также топологически связана как часть последовательности правильных многогранников и мозаик с четырьмя гранями на вершину, начиная с октаэдра , с символом Шлефли {n, 4} и диаграммой Кокстера, с n, стремящимся к бесконечности.

Конструкции Wythoff из квадратной плитки [ править ]

Как и в случае однородных многогранников, существует восемь однородных мозаик, которые могут быть основаны на правильном квадратном мозаике.

Рисуя плитки красного цвета на исходных гранях, желтого цвета в исходных вершинах и синего цвета вдоль исходных краев, все 8 форм различны. Как бы то ни было, если рассматривать грани одинаково, существует только три топологически различных формы: квадратная мозаика , усеченная квадратная мозаика , плоская квадратная мозаика .

Равномерные мозаики на основе симметрии квадратных мозаик v т е
Симметрия : [4,4], (* 442)							[4,4] + , (442)	[4,4 + ], (4 * 2)
{4,4}	т {4,4}	г {4,4}	т {4,4}	{4,4}	рр {4,4}	tr {4,4}	sr {4,4}	с {4,4}
Униформа двойников
V4.4.4.4	V4.8.8	V4.4.4.4	V4.8.8	V4.4.4.4	V4.4.4.4	V4.8.8	V3.3.4.3.4

Топологически эквивалентные мозаики [ править ]

Могут быть созданы другие четырехугольные мозаики, которые топологически эквивалентны квадратному мозаичному покрытию (4 четырехугольника вокруг каждой вершины).

Изоэдральные мозаики имеют одинаковые грани ( транзитивность по граням ) и транзитивность по вершинам , существует 18 вариантов, из которых 6 идентифицированы как треугольники, которые не соединяются между собой ребра, или как четырехугольник с двумя коллинеарными ребрами. Приведенная симметрия предполагает, что все грани одного цвета. ^[1]

Упаковка круга [ править ]

Квадратную плитку можно использовать как упаковку кругов , помещая круги одинакового диаметра в центре каждой точки. Каждый круг находится в контакте с 4 другими кругами в упаковке ( число поцелуев ). ^[2] Плотность упаковки π / 4 = 78,54% покрытия. Имеется 4 равномерных раскраски упаковок кругов.

Связанные регулярные сложные апейрогоны [ править ]

Есть 3 правильных комплексных апейрогона , разделяющих вершины квадратной мозаики. У правильных сложных апейрогонов есть вершины и ребра, причем ребра могут содержать 2 и более вершины. Регулярные апейрогоны p {q} r ограничены: 1 / p + 2 / q + 1 / r = 1. Ребра имеют p вершин, а фигуры вершин r -угольные. ^[3]

Самодвойственный	Duals
4 {4} 4 или	2 {8} 4 или	4 {8} 2 или

См. Также [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме квадратной черепицы Порядка-4 .

• Шахматная доска
• Список правильных многогранников
• Список однородных мозаик
• Квадратная решетка
• Замощения правильных многоугольников

Ссылки [ править ]

• Coxeter, HSM Regular Polytopes , (3-е издание, 1973 г.), Dover edition, ISBN  0-486-61480-8 p. 296, Таблица II: Обычные соты
• Клитцинг, Ричард. «2D евклидовы мозаики o4o4x - приседание - O1» .
• Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна . ISBN Dover Publications, Inc. 0-486-23729-X. стр. 36
• Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (1987). Плитки и узоры . Нью-Йорк: WH Freeman. ISBN 0-7167-1193-1.(Глава 2.1: Регулярные и однородные мозаики , стр. 58-65)
• Джон Х. Конвей, Хайди Берджел, Хаим Гудман-Страсс, Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 [1] 

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Квадратная сетка» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Обычная мозаика» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. "Равномерная мозаика" . MathWorld .

v т е Фундаментальные выпуклые регулярные и однородные соты размером 2-9
Космос	Семья	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}$/ /${\ displaystyle {\ tilde {F}} _ {4}}$${\displaystyle {\tilde {E}}_{n-1}}$
E 2	Равномерная черепица	{3 [3] }	δ 3	hδ 3	qδ 3	Шестиугольный
E 3	Равномерно выпуклые соты	{3 [4] }	δ 4	hδ 4	qδ 4
E 4	Равномерные 4-соты	{3 [5] }	δ 5	hδ 5	qδ 5	24-ячеечные соты
E 5	Равномерные 5-соты	{3 [6] }	δ 6	hδ 6	qδ 6
E 6	Равномерные 6-соты	{3 [7] }	δ 7	hδ 7	qδ 7	2 22
E 7	Равномерные 7-соты	{3 [8] }	δ 8	hδ 8	qδ 8	1 33 • 3 31
E 8	Равномерные 8-соты	{3 [9] }	δ 9	hδ 9	qδ 9	1 52 • 2 51 • 5 21
E 9	Равномерные 9-соты	{3 [10] }	δ 10	hδ 10	qδ 10
E n -1	Uniform ( n -1) - соты	{3 [n] }	δ n	hδ n	qδ n	1 к2 • 2 к1 • к 21