Квадрат

Квадрат
Правильный четырехугольник
Тип	Правильный многоугольник
Ребра и вершины	4
Символ Шлефли	{4}
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии	Двугранный (D 4 ), порядок 2 × 4
Внутренний угол ( градусы )	90 °
Двойной многоугольник	Себя
Характеристики	Выпуклый , циклический , равносторонний , изогональный , изотоксальный

В геометрии , квадрат является регулярным четырехугольник , что означает , что она имеет четыре равные стороны и четыре равные углы (90- градусные углы, или 100- gradian углы или прямые углы ). Его также можно определить как прямоугольник, в котором две соседние стороны имеют одинаковую длину. Квадрат с вершинами ABCD обозначим ABCD . ^{[1] [2]}${\ displaystyle \ square}$

Характеристики

Выпуклая четырехугольник является квадратом тогда и только тогда , когда он представляет собой любое одно из следующих действий : ^{[3] [4]}

• Прямоугольник с двумя смежными равными сторонами
• Ромб с прямым углом при вершине
• Ромб со всеми равными углами
• Параллелограмм с одним прямым углом вершины и двух смежных равных сторон
• Четырехугольник с четырьмя равными сторонами и четырьмя прямыми углами
• Четырехугольник, диагонали которого равны и являются серединными перпендикулярами друг друга (т. Е. Ромб с равными диагоналями).
• Выпуклый четырехугольник с последовательными сторонами a , b , c , d , площадь ^{[5] : Следствие 15}${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}(a^{2}+c^{2})={\tfrac {1}{2}}(b^{2}+d^{2}).}$

Характеристики

Квадрат - это частный случай ромба (равные стороны, противоположные равные углы), воздушного змея (две пары смежных равных сторон), трапеции (одна пара противоположных сторон параллельна), параллелограмма (все противоположные стороны параллельны), четырехугольник или четырехугольник (четырехсторонний многоугольник) и прямоугольник (противоположные стороны равны, прямые углы) и, следовательно, обладает всеми свойствами всех этих форм, а именно: ^[6]

• В диагоналях квадратной Bisect друг с другом и пересекаются под углом 90 °.
• Диагонали квадрата делят его углы пополам.
• Противоположные стороны квадрата параллельны и равны по длине.
• Все четыре угла квадрата равны (каждый составляет 360 ° / 4 = 90 °, прямой угол).
• Все четыре стороны квадрата равны.
• Диагонали квадрата равны.
• Квадрат - это случай n = 2 семейств n- гиперкубов и n- ортоплексов .
• На квадрате есть символ Шлефли {4}. Усеченный квадрат, т {4}, является восьмиугольник , {8}. Чередовались квадрат, ч {4}, является двуугольник , {2}.

Периметр и площадь

Периметр квадрата , чьи четырех сторон имеют длину в${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle P=4\ell }$

а площадь A равна

${\displaystyle A=\ell ^{2}.}$^[2]

В классические времена вторая мощность описывалась как площадь квадрата, как в приведенной выше формуле. Это привело к использованию термина « квадрат» для обозначения возведения во вторую степень.

Площадь также можно рассчитать по диагонали d в соответствии с

${\displaystyle A={\frac {d^{2}}{2}}.}$

С точки зрения радиуса описанной окружности R , площадь квадрата равна

${\displaystyle A=2R^{2};}$

поскольку площадь круга равна площади круга, он заполняет примерно 0,6366 описанной окружности .${\displaystyle \pi R^{2},}$

В единицах радиуса r площадь квадрата равна

${\displaystyle A=4r^{2}.}$

Поскольку это правильный многоугольник , квадрат - это четырехугольник с наименьшим периметром, охватывающий заданную область. Двойным образом квадрат - это четырехугольник, содержащий наибольшую площадь в пределах данного периметра. ^{[7] В} самом деле, если A и P - площадь и периметр, ограниченные четырехугольником, то выполняется следующее изопериметрическое неравенство :

${\displaystyle 16A\leq P^{2}}$

с равенством тогда и только тогда, когда четырехугольник является квадратом.

Другие факты

• Диагонали квадрата равны (примерно 1,414) длине стороны квадрата. Это значение, известное как квадратный корень из 2 или константа Пифагора ^[2], было первым числом, которое оказалось иррациональным .${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
• Квадрат также можно определить как параллелограмм с равными диагоналями, которые делят углы пополам.
• Если фигура представляет собой прямоугольник (прямые углы) и ромб (равные длины ребер), то это квадрат.
• Если круг описан вокруг квадрата, площадь круга (примерно в 1,5708) раз больше площади квадрата.${\displaystyle \pi /2}$
• Если круг вписан в квадрат, площадь круга (примерно 0,7854) раза больше площади квадрата.${\displaystyle \pi /4}$
• Квадрат имеет большую площадь, чем любой другой четырехугольник с таким же периметром. ^[8]
• Квадратная плитка является одним из трех регулярных разбиений плоскости (остальные являются равносторонний треугольник и правильный шестиугольник ).
• Квадрат состоит из двух семейств многогранников в двух измерениях: гиперкуба и кросс-многогранника . Символ Шлефли для квадрата - {4}.
• Квадрат - очень симметричный объект. Имеется четыре линии отражательной симметрии, и он имеет вращательную симметрию 4-го порядка (через 90 °, 180 ° и 270 °). Ее группа симметрии является группа диэдра  D ₄ .
• Если вписанная окружность квадрата ABCD имеет точки касания E на AB , F на BC , G на CD и H на DA , то для любой точки P на вписанной окружности, ^[9]

${\displaystyle 2(PH^{2}-PE^{2})=PD^{2}-PB^{2}.}$

• Если - расстояние от произвольной точки на плоскости до i-й вершины квадрата и - радиус описанной окружности квадрата, то ^[10]${\displaystyle d_{i}}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\frac {d_{1}^{4}+d_{2}^{4}+d_{3}^{4}+d_{4}^{4}}{4}}+3R^{4}=\left({\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}}{4}}+R^{2}\right)^{2}.}$

• Если и - расстояния от произвольной точки на плоскости до центроида квадрата и его четырех вершин соответственно, то ^[11]${\displaystyle L}$${\displaystyle d_{i}}$

${\displaystyle d_{1}^{2}+d_{3}^{2}=d_{2}^{2}+d_{4}^{2}=2(R^{2}+L^{2})}$

и

${\displaystyle d_{1}^{2}d_{3}^{2}+d_{2}^{2}d_{4}^{2}=2(R^{4}+L^{4}),}$

где - радиус описанной квадрата.${\displaystyle R}$

Координаты и уравнения

${\displaystyle |x|+|y|=2}$в декартовых координатах .

Координаты вершин квадрата с вертикальной и горизонтальной сторонами с центром в начале координат и длиной стороны 2 равны (± 1, ± 1), а внутренняя часть этого квадрата состоит из всех точек ( x _i , y _i ) с −1 < x _i <1 и −1 < y _i <1 . Уравнение

${\displaystyle \max(x^{2},y^{2})=1}$

определяет границу этого квадрата. Это уравнение означает « x ² или y ² , в зависимости от того, что больше, равно 1.» Описанной окружность этого квадрата (радиус окружности , проведенной через вершину квадратной) , составляет половину диагонали квадрата, и равна Тогда окружности имеет уравнение${\displaystyle {\sqrt {2}}.}$

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=2.}$

В качестве альтернативы уравнение

${\displaystyle \left|x-a\right|+\left|y-b\right|=r.}$

также может использоваться для описания границы квадрата с координатами центра ( a , b ) и горизонтальным или вертикальным радиусом r .

Строительство

Следующие анимации показывают, как построить квадрат с помощью циркуля и линейки . Это возможно как 4 = 2 ² , степень двойки .

Симметрия

Квадрат имеет DIH ₄ симметрии, порядка 8. Есть 2 подгруппы: двугранная DIH ₂ , DIH ₁ и 3 циклических подгруппы: Z ₄ , Z ₂ и Z ₁ .

Квадрат - это частный случай многих четырехугольников нижней симметрии:

• Прямоугольник с двумя смежными равными сторонами
• Четырехугольник с четырьмя равными сторонами и четырьмя прямыми углами
• Параллелограмм с одним прямым углом и двумя смежными равными сторонами
• Ромб с прямым углом
• Ромб со всеми равными углами
• Ромб с равными диагоналями

Эти 6 симметрий выражают 8 различных симметрий на квадрате. Джон Конвей помечает их буквой и групповым порядком. ^[12]

Симметрия каждой подгруппы допускает одну или несколько степеней свободы неправильных четырехугольников . r8 - полная симметрия квадрата, а a1 - несимметрия. d4 - симметрия прямоугольника , а p4 - симметрия ромба . Эти две формы двойственны друг другу и имеют половину порядка симметрии квадрата. d2 - симметрия равнобедренной трапеции , а p2 - симметрия воздушного змея . g2 определяет геометрию параллелограмма .

Только подгруппа g4 не имеет степеней свободы, но ее можно рассматривать как квадрат с направленными краями .

Квадраты, вписанные в треугольники

Каждый острый треугольник имеет три вписанных квадрата (квадраты внутри, такие, что все четыре вершины квадрата лежат на стороне треугольника, поэтому два из них лежат на одной стороне, и, следовательно, одна сторона квадрата совпадает с частью стороны треугольника). В прямоугольном треугольнике два квадрата совпадают и имеют вершину под прямым углом треугольника, так что в прямоугольном треугольнике есть только два различных вписанных квадрата. В тупой треугольник вписан только один квадрат, сторона которого совпадает с частью самой длинной стороны треугольника.

Доля площади треугольника, заполненная квадратом, не превышает 1/2.

Квадрат круга

Возведение круга в квадрат , предложенное древними геометрами , - это проблема построения квадрата с той же площадью, что и данный круг , с использованием только конечного числа шагов с циркулем и линейкой .

В 1882 году эта задача оказалась невыполнимой в результате теоремы Линдемана – Вейерштрасса , которая доказывала, что pi ( π ) является трансцендентным числом, а не алгебраическим иррациональным числом ; то есть, это не корень любого многочлена с рациональными коэффициентами.

Неевклидова геометрия

В неевклидовой геометрии квадраты обычно представляют собой многоугольники с 4 равными сторонами и равными углами.

В сферической геометрии квадрат - это многоугольник, края которого представляют собой дуги большого круга равного расстояния, которые пересекаются под равными углами. В отличие от квадрата плоской геометрии, углы такого квадрата больше прямого. Большие сферические квадраты имеют больший угол.

В гиперболической геометрии квадраты с прямыми углами не существуют. Скорее, квадраты в гиперболической геометрии имеют углы меньше прямых углов. Большие гиперболические квадраты имеют меньшие углы.

Примеры:

Перекрещенная площадь

Пересекла площадью является огранкой из квадрата, самопересекающийся многоугольника , созданного путем удаления двух противоположных краев квадрата и переподключений его два диагоналей. Он имеет половину симметрии квадрата, Dih ₂ , порядок 4. Он имеет то же расположение вершин, что и квадрат, и является вершинно-транзитивным . Он выглядит как два треугольника 45-45-90 с общей вершиной, но геометрическое пересечение не считается вершиной.

Перекрещенный квадрат иногда сравнивают с галстуком-бабочкой или бабочкой . пересек прямоугольник связан, как огранка прямоугольника, как частные случаи скрещенных четырехугольников . ^[13]

Внутренняя часть скрещенного квадрата может иметь плотность многоугольников ± 1 в каждом треугольнике, в зависимости от ориентации намотки по часовой стрелке или против часовой стрелки.

Квадрат и скрещенный квадрат обладают следующими общими свойствами:

• Противоположные стороны равны по длине.
• Две диагонали равны по длине.
• Он имеет две линии отражательной симметрии и вращательной симметрии 2-го порядка (до 180 °).

Он существует в вершине фигуры в виде равномерной звезды многогранников , в тетрагемигексаэдр .

Графики

Полный граф K ₄ часто рисуется в виде квадрата со всеми 6 связанными ребрами, поэтому он выглядит как квадрат с нарисованными обеими диагоналями. Этот граф также представляет собой ортогональную проекцию 4 вершин и 6 ребер правильного 3- симплекса ( тетраэдра ).

Смотрите также

• Куб
• теорема Пифагора
• Квадратная решетка
• Квадратный номер
• Квадратный корень
• Возведение квадрата
• Squircle
• Площадь единицы

Рекомендации

внешняя ссылка

Викискладе есть медиафайлы по теме Квадрат (геометрия) .

• Анимационный курс (Строительство, Окружность, Площадь)
• Определение и свойства квадрата С интерактивным апплетом
• Анимированный апплет, показывающий площадь квадрата