 | Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . ( август 2012 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон ) |
В геометрии , равносторонний многоугольник является многоугольник , который имеет все стороны одинаковой длины. За исключением случая треугольника , он не должен быть равноугольным (не обязательно, чтобы все углы были равны), но если это так, то это правильный многоугольник . Если количество сторон не менее пяти, равносторонний многоугольник не обязательно должен быть выпуклым многоугольником : он может быть вогнутым или даже самопересекающимся .
Примеры [ править ]
Все правильные многоугольники и многоугольники, транзитивные по ребрам , равносторонние. Если равносторонний многоугольник непересекающийся и циклический (его вершины находятся на окружности), он должен быть правильным. Равносторонний четырехугольник должен быть выпуклым; этот многоугольник представляет собой ромб (возможно, квадрат ).
Выпуклый равносторонний пятиугольник можно описать двумя последовательными углами, которые вместе определяют другие углы. Однако равносторонние пятиугольники и равносторонние многоугольники с более чем пятью сторонами также могут быть вогнутыми, и если вогнутые пятиугольники разрешены, то двух углов уже недостаточно для определения формы пятиугольника.
Тангенциальная многоугольник (один , который имеет вписанную касательную ко всем его сторонам) равносторонняя тогда и только тогда , когда противолежащие углы равны (то есть, углы 1, 3, 5, ..., равны и углы 2, 4, .. . равны). Таким образом, если число сторон n нечетное, касательный многоугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда он правильный. [1]
Измерение [ править ]
Теорема Вивиани обобщается на равносторонние многоугольники: [2] Сумма перпендикулярных расстояний от внутренней точки до сторон равностороннего многоугольника не зависит от местоположения внутренней точки.
В главных диагоналях из более шестиугольника каждый делят шестиугольник в четырехугольники. В любом выпуклом равностороннем шестиугольнике с общей стороной a существует главная диагональ d 1 такая, что [3]
и главную диагональ d 2 такую, что
- .
Оптимальность [ править ]
Когда равносторонний многоугольник вписан в многоугольник Рело , он образует многоугольник Рейнхардта . Среди всех выпуклых многоугольников с одинаковым числом сторон эти многоугольники имеют наибольший возможный периметр для их диаметра , наибольшую возможную ширину для их диаметра и наибольшую возможную ширину для их периметра. [4]
Ссылки [ править ]
- ↑ Де Вилльерс, Майкл (март 2011 г.), «Равноугольные циклические и равносторонние описанные многоугольники» (PDF) , Mathematical Gazette , 95 : 102–107.
- ^ Де Вильерс, Майкл, «Иллюстрация объяснительных и открывающих функций доказательства» , Леонардо , 33 (3): 1–8,
объясняя (доказывая) теорему Вивиани для равностороннего треугольника путем определения площади трех треугольников, которые он равен разделение на `` общий фактор '' равных сторон этих треугольников в качестве оснований может позволить сразу увидеть, что результат обобщается на любой равносторонний многоугольник.
. - ^ Неравенства, предложенные в “ Crux Mathematicorum ” , [1] , p.184, # 286.3.
- ^ Заяц, Кевин G .; Моссингхофф, Майкл Дж. (2019), «Большинство полигонов Рейнхардта являются спорадическими», Geometriae Dedicata , 198 : 1–18, arXiv : 1405.5233 , doi : 10.1007 / s10711-018-0326-5 , MR 3933447
Внешние ссылки [ править ]
- СМИ, связанные с равносторонними многоугольниками на Викискладе?
- Равносторонний треугольник с интерактивной анимацией
- Свойство равносторонних многоугольников: о чем оно? обсуждение теоремы Вивиани в Cut-the-knot .
