Теорема Вивиани , названная в честь Винченцо Вивиани , утверждает, что сумма расстояний от любой внутренней точки до сторон равностороннего треугольника равна длине высоты треугольника . [1] Это теорема, обычно используемая на различных математических олимпиадах, экзаменах по математике в средней школе, и имеет широкое применение для решения многих задач в реальном мире.
Доказательство
Это доказательство зависит от легко доказываемого утверждения о том, что площадь треугольника равна половине его основания, умноженному на его высоту, то есть половину произведения одной стороны на высоту с этой стороны. [2]
Пусть ABC - равносторонний треугольник высотой h и стороной a .
Пусть P - любая точка внутри треугольника, а u, s, t - расстояния P от сторон. Проведите линию от P до каждого из A, B и C, образуя три треугольника PAB, PBC и PCA.
Теперь площади этих треугольников равны , , а также . Они точно заполняют охватывающий треугольник, поэтому сумма этих площадей равна площади охватывающего треугольника. Итак, мы можем написать:
и поэтому
Конверс
Верно и обратное: если сумма расстояний от внутренней точки треугольника до сторон не зависит от местоположения точки, треугольник является равносторонним. [3]
Приложения
Теорема Вивиани означает, что линии, параллельные сторонам равностороннего треугольника, дают координаты для построения троичных графиков , таких как диаграммы воспламеняемости .
В более общем смысле они позволяют таким же образом задавать координаты на обычном симплексе .
Расширения
Параллелограмм
Сумма расстояний от любой внутренней точки параллелограмма до сторон не зависит от местоположения точки. Верно и обратное: если сумма расстояний от точки внутри четырехугольника до сторон не зависит от местоположения точки, то четырехугольник является параллелограммом. [3]
Результат обобщается на любой 2 n -угольник с параллельными противоположными сторонами. Поскольку сумма расстояний между любой парой противоположных параллельных сторон постоянна, отсюда следует, что сумма всех попарных сумм между парами параллельных сторон также постоянна. Обратное в общем случае неверно, поскольку результат верен для равностороннего шестиугольника, у которого не обязательно есть параллельные противоположные стороны.
Правильный многоугольник
Если многоугольник правильный (как равносторонний, так и равносторонний ), сумма расстояний до сторон от внутренней точки не зависит от местоположения точки. В частности, он равен n раз апофемой , где n - количество сторон, а апофема - это расстояние от центра до стороны. [3] [4] Однако обратное неверно; неквадратный параллелограмм - контрпример . [3]
Равноугольный многоугольник
Сумма расстояний от внутренней точки до сторон равноугольного многоугольника не зависит от местоположения точки. [1]
Выпуклый многоугольник
Необходимым и достаточным условием того, чтобы выпуклый многоугольник имел постоянную сумму расстояний от любой внутренней точки до сторон, является наличие трех неколлинеарных внутренних точек с равными суммами расстояний. [1]
Правильный многогранник
Сумма расстояний от любой точки внутри правильного многогранника до сторон не зависит от местоположения точки. Однако обратное неверно даже для тетраэдров . [3]
Рекомендации
- ^ a b c Аббуд, Элиас (2010). «О теореме Вивиани и ее расширениях». Журнал математики колледжа . 43 (3): 203–211. arXiv : 0903.0753 . DOI : 10.4169 / 074683410X488683 .
- ^ Клауди Альсина, Роджер Б. Нельсен: Очаровательные доказательства: Путешествие в элегантную математику . MAA 2010, ISBN 9780883853481 , стр. 96 ( выдержка (Google) , стр. 96, в Google Книгах )
- ^ а б в г д Чен, Чжибо; Лян, Тиан (2006). «Обратное к теореме Вивиани». Журнал математики колледжа . 37 (5): 390–391. DOI : 10.2307 / 27646392 . JSTOR 27646392 .
- ^ Пиковер, Клиффорд А. (2009). Книга по математике . Стирлинг. п. 150. ISBN 978-1402788291.
дальнейшее чтение
- Герон, Шэй; Тесслер, Ран (2002). «Проблема Ферма-Штайнера». Амер. Математика. Ежемесячно . 109 (5): 443–451. DOI : 10.2307 / 2695644 . JSTOR 2695644 .
- Самельсон, Ханс (2003). «Доказательство без слов: теорема Вивиани с векторами». Математика. Mag . 76 (3): 225. DOI : 10,2307 / 3219327 . JSTOR 3219327 .
- Чен, Чжибо; Лян, Тиан (2006). «Обратное к теореме Вивиани». Журнал математики колледжа . 37 (5): 390–391.
- Кавасаки, Кен-Ичиро; Яги, Йошихиро; Янагава, Кацуя (2005). «О теореме Вивиани в трех измерениях». Математика. Газ . 89 (515): 283–287. JSTOR 3621243 .
- Чжоу, Ли (2012). «Многогранники Вивиани и точки Ферма». Coll. Математика. Дж . 43 (4): 309–312. arXiv : 1008.1236 . CiteSeerX 10.1.1.740.7670 . DOI : 10,4169 / college.math.j.43.4.309 .
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Вивиани» . MathWorld .
- Ли Чжоу, Многогранники Вивиани и точки Ферма
- "Теорема Вивиани: что это?" .в Разрежьте узел .
- Варендорф, Джей. «Теорема Вивиани» .в Wolfram Демонстрации проекта .
- «Вариант теоремы Вивиани и некоторые обобщения» .в Dynamic Geometry Sketches , интерактивный эскиз динамической геометрии.
- Аббуд, Элиас (2017). «Локусы точек, вдохновленные теоремой Вивиани». arXiv : 1701.07339 [ math.HO ].
- Армстронг, Адди; Маккуиллан, Дэн (2017). «Специализация, обобщение и новое доказательство теоремы Вивиани». arXiv : 1701.01344 [ math.HO ].