Симплекс

Четыре симплекса, которые могут быть полностью представлены в трехмерном пространстве.

В геометрии , A симплекс ( во множественном числе симплексов или симплекс ) является обобщением понятия треугольника или тетраэдра произвольных размеров . Симплекс назван так потому, что он представляет простейший многогранник в любом заданном пространстве.

Например,

• 0-симплекс - это точка ,
• 1-симплекс - это отрезок прямой ,
• 2-симплекс - это треугольник ,
• 3-симплекс - это тетраэдр ,
• 4-симплекс - это 5-элементный .

В частности, k -симплекс - это k -мерный многогранник, который является выпуклой оболочкой своих k  + 1 вершин . Более формально, предположим , что K  + 1 точек являются аффинно независимы , что означает являются линейно независимыми . Тогда определяемый ими симплекс - это множество точек${\ displaystyle u_ {0}, \ dots, u_ {k} \ in \ mathbb {R} ^ {k}}$${\ displaystyle u_ {1} -u_ {0}, \ dots, u_ {k} -u_ {0}}$

${\ displaystyle C = \ left \ {\ theta _ {0} u_ {0} + \ dots + \ theta _ {k} u_ {k} ~ {\ bigg |} ~ \ sum _ {i = 0} ^ { k} \ theta _ {i} = 1 {\ mbox {and}} \ theta _ {i} \ geq 0 {\ mbox {for}} i = 0, \ dots, k \ right \}.}$

Правильный симплекс ^[1] является симплекс , который также является регулярным многогранник . Регулярный k -симплекс можно построить из регулярного ( k  - 1) -симплекса, соединив новую вершину со всеми исходными вершинами общей длиной ребра.

Стандартный симплекс или вероятность симплекс ^[2] является симплекс, вершины которого являются K стандартные единичные векторы и происхождение, или

${\ displaystyle \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {k}: x_ {0} + \ dots + x_ {k-1} = 1, x_ {i} \ geq 0 {\ text {for}} я = 0, \ точки, k-1 \}.}$

В топологии и комбинаторике принято «склеивать» симплексы, чтобы сформировать симплициальный комплекс . Соответствующая комбинаторная структура называется абстрактным симплициальным комплексом , в котором слово «симплекс» просто означает любое конечное множество вершин.

История [ править ]

Концепция симплекса была известна Уильяму Кингдону Клиффорду , который писал об этих формах в 1886 году, но назвал их «простыми границами». Анри Пуанкаре , писавший об алгебраической топологии в 1900 году, назвал их «обобщенными тетраэдрами». В 1902 году Питер Хендрик Схоут описал концепцию сначала с помощью латинского превосходного слова simplicissimum (« самый простой»), а затем с тем же латинским прилагательным в нормальной форме simplex («простой»). ^[3]

Семейство регулярных симплексов - это первое из трех семейств регулярных многогранников , обозначенных Дональдом Кокстером как α _n , два других - это семейство кросс-многогранников , обозначенное β _n , и гиперкубов , обозначенных как γ _n . Четвертое семейство, мозаика n- мерного пространства бесконечным числом гиперкубов , он обозначил как δ _n . ^[4]

Элементы [ править ]

Выпуклая оболочка любого непустого подмножества из п  + 1 точек , которые определяют п -симплекса называется лицом симплекса. Лица сами по себе являются симплексами. В частности, выпуклая оболочка подмножества размера м  + 1 (из п  + 1 точек , определяющих) является м -симплекс, называется м -грань из п -симплекса. 0-грани (т.е. сами определяющие точки как наборы размера 1) называются вершинами (особые: вершина), 1-грани называются ребрами , ( n  - 1) -грани называются фасетами., а единственная n- грань - это сам весь n- симплекс. В общем, количество m- граней равно биномиальному коэффициенту . ^[5] Следовательно, количество m- граней n -симплекса можно найти в столбце ( m  + 1) строки ( n  + 1) треугольника Паскаля . Симплекс является Coface симплекса B , если B является гранью A . Грань и фасет могут иметь разное значение при описании типов симплексов в${\ Displaystyle {\ tbinom {п + 1} {м + 1}}}$симплициальный комплекс ; см. упрощенный комплекс для более подробной информации.

Количество 1-граней (ребра) от п -симплекса является п -го числа треугольника , число 2-граней п -симплекса является ( п  - 1) -го числа тетраэдра , число 3-граней из п -симплекс является ( п  - 2) -го числа 5-клеток, и так далее.

n -Симплексные элементы ^[6]

Δ n	Имя	Schläfli Coxeter	0- грани (вершины)	1- грани (края)	2- лица	3- лица	4- лица	5- лица	6- лица	7- лица	8- лица	9- лица	10- лица	Сумма = 2 n +1  - 1
Δ 0	0- симплекс ( точка )	()	1											1
Δ 1	1- симплекс ( отрезок )	{} = () ∨ () = 2 · ()	2	1										3
Δ 2	2- симплекс ( треугольник )	{3} = 3 · ()	3	3	1									7
Δ 3	3- симплекс ( тетраэдр )	{3,3} = 4 · ()	4	6	4	1								15
Δ 4	4- симплекс ( 5-элементный )	{3 3 } = 5 · ()	5	10	10	5	1							31 год
Δ 5	5- симплекс	{3 4 } = 6 · ()	6	15	20	15	6	1						63
Δ 6	6-симплекс	{3 5 } = 7 · ()	7	21 год	35 год	35 год	21 год	7	1					127
Δ 7	7-симплекс	{3 6 } = 8 · ()	8	28	56	70	56	28	8	1				255
Δ 8	8- симплекс	{3 7 } = 9 · ()	9	36	84	126	126	84	36	9	1			511
Δ 9	9-симплекс	{3 8 } = 10 · ()	10	45	120	210	252	210	120	45	10	1		1023
Δ 10	10- симплекс	{3 9 } = 11 · ()	11	55	165	330	462	462	330	165	55	11	1	2047

С точки зрения непрофессионала, n -симплекс - это простая форма (многоугольник), которая требует n измерений. Рассмотрим отрезок AB как «фигуру» в одномерном пространстве (одномерное пространство - это линия, на которой лежит этот отрезок). Можно разместить новую точку C где-нибудь вне линии. Новая форма, треугольник ABC , требует двух измерений; он не может поместиться в исходном одномерном пространстве. Треугольник - это 2-симплекс, простая форма, требующая двух измерений. Рассмотрим треугольник ABC , фигуру в 2-мерном пространстве (плоскость, в которой находится треугольник). Можно разместить новую точку D где-нибудь вне плоскости. Новая форма, тетраэдр ABCD, требует трех измерений; он не может поместиться в исходном двухмерном пространстве. Тетраэдр - это 3-симплекс, простая форма, требующая трех измерений. Рассмотрим тетраэдр ABCD , фигуру в трехмерном пространстве (трехмерное пространство, в котором находится тетраэдр). Можно разместить новую точку E где-нибудь за пределами 3-мерного пространства. Новая форма ABCDE, называемый 5-элементным, требует четырех измерений и называется 4-симплексным; он не может поместиться в исходном трехмерном пространстве. (Его также нельзя легко визуализировать.) Эту идею можно обобщить, то есть добавить одну новую точку за пределами текущего занятого пространства, что требует перехода в следующее более высокое измерение, чтобы удерживать новую форму. Эту идею также можно проработать в обратном направлении: сегмент линии, с которого мы начали, представляет собой простую форму, для которой требуется одномерное пространство; отрезок прямой - это 1-симплекс. Сам отрезок линии был сформирован, начиная с одной точки в 0-мерном пространстве (эта начальная точка является 0-симплексом) и добавляя вторую точку, что потребовало увеличения до 1-мерного пространства.

Более формально, ( n  + 1) -симплекс может быть построен как соединение (оператор ∨) n -симплекса и точки, (). ( M  +  n  + 1) -симплекс может быть построен как соединение m -симплекса и n -симплекса. Два симплекса ориентированы так, чтобы быть полностью перпендикулярными друг другу, со смещением в направлении, ортогональном им обоим. 1-симплекс - это соединение двух точек: () ∨ () = 2 · (). Общий 2-симплекс (разносторонний треугольник) - это соединение трех точек: () ∨ () ∨ (). Равнобедренный треугольник является объединением 1-симплекс и точки: {} ∨ (). Равносторонний треугольникравно 3 · () или {3}. Общий 3-симплекс - это соединение 4 точек: () ∨ () ∨ () ∨ (). 3-симплекс с зеркальной симметрией можно представить как соединение ребра и двух точек: {} ∨ () ∨ (). 3-симплекс с треугольной симметрией может быть выражен как соединение равностороннего треугольника и 1 точки: 3. () ∨ () или {3} ∨ (). Правильный тетраэдр составляет 4 · () или {3,3} и так далее.

В некоторых соглашениях ^[7] пустое множество определяется как (-1) -симплекс. Определение симплекса выше все еще имеет смысл, если n  = −1. Это соглашение чаще встречается в приложениях к алгебраической топологии (например, симплициальной гомологии ), чем к изучению многогранников.

Симметричные графы регулярных симплексов [ править ]

Эти многоугольники Петри (косые ортогональные проекции) показывают все вершины регулярного симплекса на окружности и все пары вершин, соединенные ребрами.

Стандартный симплекс [ править ]

Стандарт п -симплекс (или блок п -симплекс ) является подмножеством R ^{п + 1} задается

${\ displaystyle \ Delta ^ {n} = \ left \ {(t_ {0}, \ dots, t_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n + 1} ~ {\ big |} ~ \ sum _ {i = 0} ^ {n} t_ {i} = 1 {\ text {and}} t_ {i} \ geq 0 {\ text {for}} i = 0, ..., n \ right \} }$

Симплекс Δ ⁿ лежит в аффинной гиперплоскости, полученной снятием ограничения t _i ≥ 0 в приведенном выше определении.

В п  + 1 вершин из стандартного п -симплекс являются точками е _я ∈ R ^{п + 1} , где

е ₀ = (1, 0, 0, ..., 0),

е ₁ = (0, 1, 0, ..., 0),

${\ displaystyle \ vdots}$

е _п = (0, 0, 0, ..., 1).

Существует каноническое отображение стандартного n -симплекса в произвольный n- симплекс с вершинами ( v ₀ , ..., v _n ), задаваемыми формулой

${\ displaystyle (t_ {0}, \ ldots, t_ {n}) \ mapsto \ sum _ {i = 0} ^ {n} t_ {i} v_ {i}}$

Коэффициенты t _i называются барицентрическими координатами точки n -симплекса. Такой общий симплекс часто называют аффинным n -симплексом , чтобы подчеркнуть, что каноническое отображение является аффинным преобразованием . Его также иногда называют ориентированным аффинным n -симплексом, чтобы подчеркнуть, что каноническое отображение может сохранять или изменять ориентацию .

В более общем смысле существует каноническое отображение стандартного -симплекса (с n вершинами) на любой многогранник с n вершинами, заданное тем же уравнением (изменение индексации):${\ Displaystyle (п-1)}$

${\displaystyle (t_{1},\ldots ,t_{n})\mapsto \sum _{i=1}^{n}t_{i}v_{i}}$

Они известны как обобщенные барицентрические координаты и выражают каждый многогранник как изображение симплекса:${\displaystyle \Delta ^{n-1}\twoheadrightarrow P.}$

Часто используемой функцией от R ⁿ внутрь стандартного -симплекса является функция softmax или нормализованная экспоненциальная функция; это обобщает стандартную логистическую функцию .${\displaystyle (n-1)}$

Примеры [ править ]

• Δ ⁰ - это точка 1 в R ¹ .
• Δ ¹ - это отрезок прямой, соединяющий (1, 0) и (0, 1) в R ² .
• Δ ² - равносторонний треугольник с вершинами (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, 0, 1) в R ³ .
• Δ ³ - правильный тетраэдр с вершинами (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0) и (0, 0, 0, 1) в R ⁴ .

Увеличение координат [ править ]

Альтернативная система координат дается взятием неопределенной суммы :

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}&=0\\s_{1}&=s_{0}+t_{0}=t_{0}\\s_{2}&=s_{1}+t_{1}=t_{0}+t_{1}\\s_{3}&=s_{2}+t_{2}=t_{0}+t_{1}+t_{2}\\&\dots \\s_{n}&=s_{n-1}+t_{n-1}=t_{0}+t_{1}+\cdots +t_{n-1}\\s_{n+1}&=s_{n}+t_{n}=t_{0}+t_{1}+\cdots +t_{n}=1\end{aligned}}}$

Это дает альтернативное представление по порядку, а именно в виде неубывающих наборов n от 0 до 1:

${\displaystyle \Delta _{*}^{n}=\left\{(s_{1},\ldots ,s_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\mid 0=s_{0}\leq s_{1}\leq s_{2}\leq \dots \leq s_{n}\leq s_{n+1}=1\right\}.}$

Геометрически это n- мерное подмножество (максимальная размерность, коразмерность 0), а не (коразмерность 1). Грани, которые на стандартном симплексе соответствуют исчезновению одной координаты в нуль, здесь соответствуют последовательным равным координатам, а внутренняя часть соответствует становлению строгих неравенств (возрастающим последовательностям).${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$${\displaystyle t_{i}=0,}$${\displaystyle s_{i}=s_{i+1},}$

Ключевым различием между этими представлениями является поведение при перестановке координат - стандартный симплекс стабилизируется перестановкой координат, в то время как перестановка элементов «упорядоченного симплекса» не оставляет его инвариантным, поскольку перестановка упорядоченной последовательности обычно делает его неупорядоченным. Действительно, упорядоченный симплекс (замкнутая) фундаментальная область для действия в симметрической группы на п -куба, а это означает , что орбита упорядоченный симплекс под п ! элементы симметрической группы делят n -куб на в основном непересекающиеся симплексы (непересекающиеся, за исключением границ), показывая, что этот симплекс имеет объем${\displaystyle n!}$${\displaystyle 1/n!}$ В качестве альтернативы, объем может быть вычислен с помощью повторного интеграла, последовательные подынтегральные выражения которого равны ${\displaystyle 1,x,x^{2}/2,x^{3}/3!,\dots ,x^{n}/n!}$

Еще одним свойством этого представления является то, что он использует порядок, но не сложение, и, таким образом, может быть определен в любом измерении по любому упорядоченному набору и, например, может использоваться для определения бесконечномерного симплекса без проблем сходимости сумм.

Проекция на стандартный симплекс [ править ]

Особенно в численных применениях теории вероятностей проекция на стандартный симплекс представляет интерес. Учитывая возможные отрицательные значения, ближайшая точка симплекса имеет координаты ${\displaystyle \,(p_{i})_{i}}$${\displaystyle \left(t_{i}\right)_{i}}$

${\displaystyle t_{i}=\max\{p_{i}+\Delta \,,0\},}$

где выбрано такое, что${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \sum _{i}\max\{p_{i}+\Delta \,,0\}=1.}$

${\displaystyle \Delta }$легко вычислить по сортировке . ^[8] Подход к сортировке требует сложности, которая может быть улучшена до уровня сложности с помощью алгоритмов поиска медианы . ^[9] Проектирование на симплекс в вычислительном отношении аналогично проецированию на мяч.${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle O(n\log n)}$${\displaystyle O(n)}$${\displaystyle \ell _{1}}$

Угол куба [ править ]

Наконец, простой вариант - заменить «суммирование до 1» на «суммирование не более чем до 1»; это увеличивает размерность на 1, поэтому для упрощения записи индексация изменяется:

${\displaystyle \Delta _{c}^{n}=\left\{(t_{1},\ldots ,t_{n})\in \mathbb {R} ^{n}~{\big |}~\sum _{i=1}^{n}t_{i}\leq 1{\text{ and }}t_{i}\geq 0{\text{ for all }}i\right\}.}$

Это дает n -симплекс как угол n -куба и является стандартным ортогональным симплексом. Это симплекс, используемый в симплекс-методе , который основан в начале координат и локально моделирует вершину многогранника с n гранями.

Декартовы координаты для правильного n -мерного симплекса в R ⁿ [ править ]

Один из способов записать правильный n -симплекс в R ⁿ - это выбрать две точки в качестве первых двух вершин, выбрать третью точку, чтобы образовался равносторонний треугольник, выберите четвертую точку, чтобы образовался правильный тетраэдр, и так далее. Каждый шаг требует выполнения уравнений, которые гарантируют, что каждая вновь выбранная вершина вместе с ранее выбранными вершинами образует регулярный симплекс. Есть несколько наборов уравнений, которые можно записать и использовать для этой цели. К ним относятся равенство всех расстояний между вершинами; равенство всех расстояний от вершин до центра симплекса; тот факт, что угол, проходящий через новую вершину любыми двумя ранее выбранными вершинами, равен${\displaystyle \pi /3}$; и тот факт, что угол, проходящий через центр симплекса любыми двумя вершинами, равен .${\displaystyle \arccos(-1/n)}$

Также возможно напрямую записать конкретный регулярный n -симплекс в R ^n, который затем можно переводить, вращать и масштабировать по желанию. Один из способов сделать это следующий. Обозначат базисные векторы из R ^п от й ₁ через е _п . Начнем со стандартного ( n  - 1) -симплекса, который представляет собой выпуклую оболочку базисных векторов. Добавляя дополнительную вершину, они становятся гранью правильного n -симплекса. Дополнительная вершина должна лежать на прямой, перпендикулярной барицентру стандартного симплекса, поэтому она имеет вид (α / n, ..., α / n ) для некоторого действительного числа α. Поскольку квадрат расстояния между двумя базисными векторами равен 2, для того, чтобы дополнительная вершина образовала регулярный n -симплекс, квадрат расстояния между ней и любым из базисных векторов также должен быть равен 2. Это дает квадратное уравнение для α. Решение этого уравнения показывает, что есть два варианта для дополнительной вершины:

${\displaystyle {\frac {1}{n}}(1\pm {\sqrt {n+1}})\cdot (1,\dots ,1).}$

Любой из них вместе со стандартными базисными векторами дает правильный n -симплекс.

Вышеупомянутый правильный n -симплекс не центрирован в начале координат. Его можно перевести в начало координат, вычитая среднее значение его вершин. При изменении масштаба можно задать единичную длину стороны. В результате получается симплекс, вершины которого:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{i}-{\frac {1}{n{\sqrt {2}}}}{\bigg (}1\pm {\frac {1}{\sqrt {n+1}}}{\bigg )}\cdot (1,\dots ,1),}$

для , и${\displaystyle 1\leq i\leq n}$

${\displaystyle \mp {\frac {1}{2{\sqrt {n+1}}}}\cdot (1,\dots ,1).}$

Этот симплекс вписан в гиперсферу радиуса .${\displaystyle {\sqrt {n/(2(n+1))}}}$

Другое изменение масштаба дает симплекс, вписанный в единичную гиперсферу. Когда это будет сделано, его вершины станут

${\displaystyle {\sqrt {1+n^{-1}}}\cdot \mathbf {e} _{i}-n^{-3/2}({\sqrt {n+1}}\pm 1)\cdot (1,\dots ,1),}$

где , и${\displaystyle 1\leq i\leq n}$

${\displaystyle \mp n^{-1/2}\cdot (1,\dots ,1).}$

Длина стороны этого симплекса составляет .${\displaystyle {\sqrt {2(n+1)/n}}}$

Весьма симметричный способ построить правильный п -симплекса является использование представления циклической группы Z _{п +1} по ортогональным матрицам . Это п × п ортогональная матрица Q такое , что Q ^{п + 1} = I является единичной матрицей , но не ниже мощность Q не является. Применение степеней этой матрицы к соответствующему вектору v даст вершины правильного n -симплекса. Для этого сначала заметим, что для любой ортогональной матрицы Q, есть выбор базиса, в котором Q - блочно-диагональная матрица

${\displaystyle Q=\operatorname {diag} (Q_{1},Q_{2},\dots ,Q_{k}),}$

где каждый Q _i ортогонален и либо 2 × 2, либо 1 ÷ 1 . Чтобы Q имел порядок n  + 1 , все эти матрицы должны иметь порядок деления n  + 1 . Поэтому каждый Q _я является либо 1 × 1 матрица , у которой только запись 1 , или, если п является нечетным , -1 ; или это матрица 2 × 2 вида

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi \omega _{i}}{n+1}}&-\sin {\frac {2\pi \omega _{i}}{n+1}}\\\sin {\frac {2\pi \omega _{i}}{n+1}}&\cos {\frac {2\pi \omega _{i}}{n+1}}\end{pmatrix}},}$

где каждый ω _i является целым числом от нуля до n включительно. Достаточным условием для того, чтобы орбита точки была регулярным симплексом, является то, что матрицы Q _i образуют базис для нетривиальных неприводимых вещественных представлений Z _{n +1} , а вращаемый вектор не стабилизируется ни одним из них.

На практике для n даже это означает, что каждая матрица Q _i имеет _размер 2 × 2 , существует равенство множеств

${\displaystyle \{\omega _{1},n+1-\omega _{1},\dots ,\omega _{n/2},n+1-\omega _{n/2}\}=\{1,\dots ,n\},}$

и для каждого Q _i элементы v, на которые действует Q _i , не равны нулю. Например, когда n = 4 , одна возможная матрица

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos(2\pi /5)&-\sin(2\pi /5)&0&0\\\sin(2\pi /5)&\cos(2\pi /5)&0&0\\0&0&\cos(4\pi /5)&-\sin(4\pi /5)\\0&0&\sin(4\pi /5)&\cos(4\pi /5)\end{pmatrix}}.}$

Применяя это к вектору (1, 0, 1, 0), мы получаем симплекс, вершины которого

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\cos(2\pi /5)\\\sin(2\pi /5)\\\cos(4\pi /5)\\\sin(4\pi /5)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\cos(4\pi /5)\\\sin(4\pi /5)\\\cos(8\pi /5)\\\sin(8\pi /5)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\cos(6\pi /5)\\\sin(6\pi /5)\\\cos(2\pi /5)\\\sin(2\pi /5)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\cos(8\pi /5)\\\sin(8\pi /5)\\\cos(6\pi /5)\\\sin(6\pi /5)\end{pmatrix}},}$

каждый из которых находится на расстоянии √5 от других. Когда n нечетно, условие означает, что ровно один из диагональных блоков имеет размер 1 × 1 , равный −1 , и действует на ненулевой элемент v ; в то время как остальные диагональные блоки, скажем Q ₁ , ..., Q _{( n - 1) / 2} , имеют размер 2 × 2 , имеется равенство множеств

${\displaystyle \{\omega _{1},-\omega _{1},\dots ,\omega _{(n-1)/2},-\omega _{n-1)/2}\}=\{1,\dots ,(n-1)/2,(n+3)/2,\dots ,n\},}$

и каждый диагональный блок действует на пару элементов v, которые не равны нулю. Так, например, при n = 3 матрица может быть

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&-1\\\end{pmatrix}}.}$

Для вектора (1, 0, 1 / √2) полученный симплекс имеет вершины

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\1/\surd 2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\-1/\surd 2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\0\\1/\surd 2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\-1\\-1/\surd 2\end{pmatrix}},}$

каждый из которых находится на расстоянии 2 от других.

Геометрические свойства [ править ]

Объем [ править ]

Объем из п симплекс в п - мерном пространстве с вершинами ( V ₀ , ..., об _п ) является

${\displaystyle \left|{1 \over n!}\det {\begin{pmatrix}v_{1}-v_{0},&v_{2}-v_{0},&\dots ,&v_{n}-v_{0}\end{pmatrix}}\right|}$

где каждый столбец определителя n  ×  n - это разность векторов, представляющих две вершины. ^[10] Более симметричный способ записи -

${\displaystyle \left|{1 \over n!}\det {\begin{pmatrix}v_{0}&v_{1}&\cdots &v_{n}\\1&1&\cdots &1\end{pmatrix}}\right|}$

Другой распространенный способ вычисления объема симплекса - через определитель Кэли-Менгера . Он также может вычислить объем симплекса, встроенного в пространство более высокой размерности, например, треугольник в . ^[11]${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Без 1 / п ! это формула объема n - параллелоэдра . Это можно понимать следующим образом : Предположим , что Р является п -parallelotope построен на основе из . Учитывая перестановку из , вызовите список вершин п -Path , если ${\displaystyle (v_{0},e_{1},\ldots ,e_{n})}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$${\displaystyle v_{0},\ v_{1},\ldots ,v_{n}}$

${\displaystyle v_{1}=v_{0}+e_{\sigma (1)},\ v_{2}=v_{1}+e_{\sigma (2)},\ldots ,v_{n}=v_{n-1}+e_{\sigma (n)}}$

(так что существует n !  n -путей и не зависит от перестановки). Имеют место следующие утверждения:${\displaystyle v_{n}}$

Если P является единичным n -гиперкубом, то объединение n -симплексов, образованных выпуклой оболочкой каждого n-пути, равно P , и эти симплексы конгруэнтны и попарно не перекрываются. ^[12] В частности, объем такого симплекса равен

${\displaystyle {\frac {\operatorname {Vol} (P)}{n!}}={\frac {1}{n!}}.}$

Если P - общий параллелоэдр, то те же утверждения верны, за исключением того, что в размерности> 2 уже не верно то, что симплексы должны быть попарно конгруэнтными; тем не менее их объемы остаются равными, потому что n -параллелоэдр является образом единичного n -гиперкуба посредством линейного изоморфизма, который отправляет канонический базис в . Как и ранее, это означает, что объем симплекса, полученного по n-пути, равен:${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {Vol} (P)}{n!}}={\frac {\det(e_{1},\ldots ,e_{n})}{n!}}.}$

И наоборот, учитывая n- симплекс из , можно предположить, что векторы составляют основу . Рассматривая параллелоэдр, построенный из и , можно увидеть, что предыдущая формула верна для любого симплекса.${\displaystyle (v_{0},\ v_{1},\ v_{2},\ldots v_{n})}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle e_{1}=v_{1}-v_{0},\ e_{2}=v_{2}-v_{1},\ldots e_{n}=v_{n}-v_{n-1}}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$

Наконец, формула в начале этого раздела получается, если учесть, что

${\displaystyle \det(v_{1}-v_{0},v_{2}-v_{0},\ldots v_{n}-v_{0})=\det(v_{1}-v_{0},v_{2}-v_{1},\ldots ,v_{n}-v_{n-1}).}$

Из этой формулы немедленно следует, что объем при стандартном n -симплексе (т. Е. Между началом координат и симплексом в R ^{n +1} ) равен

${\displaystyle {1 \over (n+1)!}}$

Объем правильного n -симплекса с единичной длиной стороны равен

${\displaystyle {\frac {\sqrt {n+1}}{n!{\sqrt {2^{n}}}}}}$

как можно увидеть, умножив предыдущую формулу на x ^{n +1} , чтобы получить объем под n -симплексом как функцию его вершинного расстояния x от начала координат, дифференцируя по x , в   (где n -симплексная сторона length равно 1), и нормализует длину приращения , вдоль вектора нормали.${\displaystyle x=1/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle dx/{\sqrt {n+1}}}$${\displaystyle (dx/(n+1),\ldots ,dx/(n+1))}$

Двугранные углы правильного n-симплекса [ править ]

Любые две ( n  - 1) -мерные грани правильного n -мерного симплекса сами являются правильными ( n  - 1) -мерными симплексами и имеют одинаковый двугранный угол cos ⁻¹ (1 / n ). ^{[13] [14]}

Это можно увидеть, заметив, что центр стандартного симплекса равен , а центры его граней представляют собой перестановки координат . Тогда по симметрии вектор, указывающий от до , перпендикулярен граням. Таким образом, векторы, нормальные к граням, являются перестановками , из которых вычисляются двугранные углы.${\displaystyle ({\frac {1}{n+1}},\dots ,{\frac {1}{n+1}})}$${\displaystyle (0,{\frac {1}{n}},\dots ,{\frac {1}{n}})}$${\displaystyle ({\frac {1}{n+1}},\dots ,{\frac {1}{n+1}})}$${\displaystyle (0,{\frac {1}{n}},\dots ,{\frac {1}{n}})}$${\displaystyle (-n,1,\dots ,1)}$

Симплексы с «ортогональным углом» [ править ]

«Ортогональный угол» здесь означает, что существует вершина, в которой все смежные ребра попарно ортогональны. Отсюда сразу следует, что все смежные грани попарно ортогональны. Такие симплексы являются обобщениями прямоугольных треугольников, и для них существует n- мерная версия теоремы Пифагора :

Сумма квадратов ( n  - 1) -мерных объемов граней, примыкающих к ортогональному углу, равна квадрату ( n  - 1) -мерного объема грани, противоположной ортогональному углу.

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|A_{k}|^{2}=|A_{0}|^{2}}$

где грани попарно ортогональны друг другу, но не ортогональны , что является гранью, противоположной ортогональному углу.${\displaystyle A_{1}\ldots A_{n}}$${\displaystyle A_{0}}$

Для 2-симплекса теорема - это теорема Пифагора для треугольников с прямым углом, а для 3-симплекса это теорема де Гуа для тетраэдра с ортогональным углом.

Отношение к ( n  + 1) -гиперкубу [ править ]

Диаграмма Хассы номинальной решетки с п -симплекс изоморфна графика ( п  + 1) - гиперкуб ребер «с, с вершинами гиперкуба в отображении на каждый из N -симплекса по элементам, в том числе всего симплекса а нулевой многогранник в качестве крайних точек решетки (отображается в две противоположные вершины гиперкуба). Этот факт может быть использован для эффективного перечисления решетки граней симплекса, поскольку более общие алгоритмы перечисления решеток граней более затратны в вычислительном отношении.

П -симплекс также является вершиной фигуры из ( п  + 1) -hypercube. Это также грань ( n  + 1) - ортоплекса .

Топология [ править ]

Топологически , п -симплекс это эквивалентно к п -Ball . Каждый n -симплекс является n -мерным многообразием с углами .

Вероятность [ править ]

В теории вероятностей точки стандартного n -симплекса в ( n  + 1) -пространстве образуют пространство возможных распределений вероятностей на конечном множестве, состоящем из n  + 1 возможных исходов. Соответствие выглядит следующим образом: для каждого распределения, описанного как упорядоченный ( n  + 1) -набор вероятностей, сумма которых (обязательно) равна 1, мы связываем точку симплекса, барицентрические координаты которой являются в точности этими вероятностями. То есть k- й вершине симплекса назначается k- я вероятность ( n  + 1) -набора в качестве барицентрического коэффициента. Это соответствие является аффинным гомеоморфизмом.

Соединения [ править ]

Поскольку все симплексы самодвойственны, они могут образовывать серию соединений;

• Два треугольника образуют гексаграмму {6/2}.
• Два тетраэдра образуют соединение двух тетраэдров или октангулы стеллы .
• Две 5-ячейки образуют соединение двух 5-ячеек в четырех измерениях.

Алгебраическая топология [ править ]

В алгебраической топологии симплексы используются как строительные блоки для построения интересного класса топологических пространств, называемых симплициальными комплексами . Эти пространства построены из симплексов, склеенных комбинаторным способом. Симплициальные комплексы используются для определения определенного вида гомологий, называемых симплициальными гомологиями .

Конечное множество к -симплексам вкладывается в открытом подмножестве в R ^п называется аффинной к -цепи . Симплексы в цепочке не обязательно должны быть уникальными; они могут происходить множественно . Вместо того, чтобы использовать стандартную нотацию набора для обозначения аффинной цепочки, вместо этого стандартной практикой является использование знаков плюса для разделения каждого члена в наборе. Если некоторые из симплексов имеют противоположную ориентацию , перед ними ставится знак минус. Если некоторые симплексы встречаются в наборе более одного раза, они имеют префикс с целым числом. Таким образом, аффинная цепочка принимает символическую форму суммы с целыми коэффициентами.

Следует отметить , что каждую грань из п -симплекса является аффинной ( п  - 1) -симплекса, и , следовательно, границей из п -симплекса является аффинным ( п  - 1) -цепь. Таким образом, если обозначить один положительно ориентированный аффинный симплекс как

${\displaystyle \sigma =[v_{0},v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}]}$

с обозначающими вершины, то граница из сг является цепью${\displaystyle v_{j}}$${\displaystyle \partial \sigma }$

${\displaystyle \partial \sigma =\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}[v_{0},\ldots ,v_{j-1},v_{j+1},\ldots ,v_{n}].}$

Из этого выражения и линейности граничного оператора следует, что граница границы симплекса равна нулю:

${\displaystyle \partial ^{2}\sigma =\partial \left(\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}[v_{0},\ldots ,v_{j-1},v_{j+1},\ldots ,v_{n}]\right)=0.}$

Кроме того, граница границы цепи равна нулю: .${\displaystyle \partial ^{2}\rho =0}$

В более общем смысле симплекс (и цепь) можно вложить в многообразие с помощью гладкого дифференцируемого отображения . В этом случае и соглашение о суммировании для обозначения набора, и граничная операция коммутируют с вложением . То есть,${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow M}$

${\displaystyle f\left(\sum \nolimits _{i}a_{i}\sigma _{i}\right)=\sum \nolimits _{i}a_{i}f(\sigma _{i})}$

где - целые числа, обозначающие ориентацию и кратность. Для граничного оператора :${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle \partial }$

${\displaystyle \partial f(\rho )=f(\partial \rho )}$

где ρ - цепь. Граничная операция коммутируется с отображением, потому что, в конце концов, цепочка определяется как набор и немного больше, а операция набора всегда коммутируется с операцией сопоставления (по определению карты).

Непрерывное отображение на топологическом пространстве X часто упоминается как единственного числа п -симплекс . (Карта обычно называется «сингулярной», если она не обладает каким-либо желаемым свойством, таким как непрерывность, и в этом случае термин предназначен для отражения того факта, что непрерывное отображение не обязательно должно быть вложением.) ^[15]${\displaystyle f:\sigma \rightarrow X}$

Алгебраическая геометрия [ править ]

Поскольку классическая алгебраическая геометрия позволяет говорить о полиномиальных уравнениях, но не о неравенствах, алгебраический стандартный n-симплекс обычно определяется как подмножество аффинного ( n  + 1) -мерного пространства, где сумма всех координат равна 1 (таким образом, исключая неравная часть). Алгебраическое описание этого множества таково:

${\displaystyle \Delta ^{n}:=\left\{x\in \mathbb {A} ^{n+1}~{\Big |}~\sum _{i=1}^{n+1}x_{i}=1\right\},}$

что равняется схемно- теоретическому описанию с${\displaystyle \Delta _{n}(R)=\operatorname {Spec} (R[\Delta ^{n}])}$

${\displaystyle R[\Delta ^{n}]:=R[x_{1},\ldots ,x_{n+1}]\left/\left(1-\sum x_{i}\right)\right.}$

кольцо регулярных функций на алгебраическом n -симплексе (для любого кольца ).${\displaystyle R}$

Используя те же определения, что и для классического n -симплекса, n -симплексы для разных размерностей n собираются в один симплициальный объект , в то время как кольца собираются в один косимплициальный объект (в категории схем, соответственно, колец, поскольку грань и вырождение все карты полиномиальны).${\displaystyle R[\Delta ^{n}]}$${\displaystyle R[\Delta ^{\bullet }]}$

Алгебраические n -симплексы используются в высшей K-теории и в определении высших групп Чжоу .

Приложения [ править ]

• В статистике симплексы представляют собой выборочные пространства композиционных данных, а также используются при нанесении на график величин, сумма которых равна 1, например, пропорции подгрупп населения, как в тройном графике .
• В промышленной статистике симплексы возникают при постановке задач и алгоритмических решениях. При разработке хлеба производитель должен сочетать дрожжи, муку, воду, сахар и т. Д. В таких смесях имеют значение только относительные пропорции ингредиентов: для получения оптимальной хлебной смеси, если количество муки увеличено вдвое, то количество дрожжей должно быть увеличено вдвое. Такая задача смешения часто формулируется с нормализованными ограничениями, так что сумма неотрицательных компонентов равна единице, и в этом случае допустимая область образует симплекс. Качество хлебных смесей можно оценить с помощью методологии поверхности отклика , а затем можно вычислить локальный максимум с помощью метода нелинейного программирования , такого как последовательное квадратичное программирование .^[16]

• В исследовании операций , линейное программирование проблемы могут быть решены с помощью симплексного алгоритма из Джорджа Данцига .
• В геометрическом дизайне и компьютерной графике многие методы сначала выполняют симплициальную триангуляцию области, а затем подгоняют интерполирующие полиномы к каждому симплексу. ^[17]
• В химии гидриды большинства элементов в p-блоке могут напоминать симплекс, если нужно соединить каждый атом. Неон не реагирует с водородом и как таковой является точкой , фтор связи с одним атомом водорода и образует сегмент линии, кислород связи с двумя атомами водорода в изогнутой моде , напоминающих треугольник, азот вступает в реакцию с образования тетраэдра и углеродные формами А структура, напоминающая диаграмму Шлегеля5-кл. Эта тенденция сохраняется для более тяжелых аналогов каждого элемента, а также при замене атома водорода на атом галогена .

См. Также [ править ]

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Рудин, Вальтер (1976). Принципы математического анализа (3-е изд.). Макгроу-Хилл. ISBN 0-07-054235-X. (См. Главу 10 для простого обзора топологических свойств.)
• Таненбаум, Эндрю С. (2003). «§2.5.3». Компьютерные сети (4-е изд.). Прентис Холл. ISBN 0-13-066102-3.
• Деврой, Люк (1986). Генерация неоднородной случайной величины . ISBN 0-387-96305-7. Архивировано из оригинала на 2009-05-05.
• Кокстер, HSM (1973). Правильные многогранники (3-е изд.). Дувр. ISBN 0-486-61480-8.
  • С. 120–121, §7.2. см. рисунок 7-2 A
  • п. 296, Таблица I (iii): Правильные многогранники, три правильных многогранника в n измерениях ( n  ≥ 5)
• Вайсштейн, Эрик В. «Симплекс» . MathWorld .
• Бойд, Стивен ; Ванденберге, Ливен (2004). Выпуклая оптимизация . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-107-39400-1.В формате PDF

Внешние ссылки [ править ]

• Ольшевский, Георгий. «Симплекс» . Глоссарий по гиперпространству . Архивировано из оригинала 4 февраля 2007 года.