Линейная независимость

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Линейная независимость»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( январь 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

Линейно независимые векторы в ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Линейно зависимые векторы на плоскости в ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}.}$

В теории векторных пространств , А множество из векторов называются линейно зависимыми , если хотя бы один из векторов в наборе может быть определена как линейная комбинация остальные; если ни один вектор в наборе не может быть записан таким образом, то векторы называются линейно независимыми . Эти концепции являются центральными в определении размера . ^[1]

Векторное пространство может быть конечномерным или бесконечным в зависимости от количества линейно независимых базисных векторов . Определение линейной зависимости и возможность определить, является ли подмножество векторов в векторном пространстве линейной зависимостью, являются центральными для определения основы для векторного пространства.

Определение [ править ]

Последовательность векторов из векторного пространства V называется линейно зависимой , если существуют не все скаляры нулевые, такие что${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1}, \ mathbf {v} _ {2}, \ dots, \ mathbf {v} _ {k}}$ ${\ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, \ dots, a_ {k},}$

${\ displaystyle a_ {1} \ mathbf {v} _ {1} + a_ {2} \ mathbf {v} _ {2} + \ cdots + a_ {k} \ mathbf {v} _ {k} = \ mathbf {0},}$

где обозначает нулевой вектор.${\ displaystyle \ mathbf {0}}$

Обратите внимание: если не все скаляры равны нулю, то хотя бы один ненулевой, скажем, в этом случае это уравнение можно записать в виде${\ displaystyle a_ {1},}$

${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1} = {\ frac {-a_ {2}} {a_ {1}}} \ mathbf {v} _ {2} + \ cdots + {\ frac {-a_ { k}} {a_ {1}}} \ mathbf {v} _ {k}.}$

Таким образом, показано, что это линейная комбинация остальных векторов.${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1}}$

Последовательность векторов называется линейно независимой, если уравнение${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v_{n}} }$

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v_{n}} =\mathbf {0} ,}$

может быть выполнено только для. Это означает, что никакой вектор в последовательности не может быть представлен как линейная комбинация остальных векторов в последовательности. Другими словами, последовательность векторов линейно независима, если единственное представление в виде линейной комбинации ее векторов - тривиальное представление, в котором все скаляры равны нулю. ^[2] Если говорить более кратко, последовательность векторов линейно независима тогда и только тогда, когда может быть представлена ​​как линейная комбинация своих векторов уникальным образом. ${\displaystyle a_{i}=0}$${\displaystyle i=1,\dots ,n.}$${\displaystyle \mathbf {0} }$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle \mathbf {0} }$

Альтернативное определение, что последовательность векторов является линейно зависимой, если и только если некоторый вектор в этой последовательности может быть записан как линейная комбинация других векторов, полезно только тогда, когда последовательность содержит два или более векторов. Когда последовательность не содержит векторов или только один вектор, используется исходное определение.

Бесконечные измерения [ править ]

Чтобы позволить количеству линейно независимых векторов в векторном пространстве быть счетно бесконечным , полезно определить линейную зависимость следующим образом. В более общем смысле, пусть V - векторное пространство над полем K , и пусть { v _i | я ∈ I } быть семейство элементов V индексируется множеством I . Семейство линейно зависимо над K, если существует непустое конечное подмножество J ⊆ I и семейство { a _j  |  j ∈  J } элементов K , все ненулевые, такие что

${\displaystyle \sum _{j\in J}a_{j}v_{j}=0.}$

Множество X элементов V является линейно независимой , если соответствующее семейство { х } _{х ∈ Х} является линейно независимой. Эквивалентно, семья является зависимой, если член находится в замыкании линейной части остальной части семьи, т. Е. Член является линейной комбинацией остальной части семьи. Тривиальный случай пустого семейства следует рассматривать как линейно независимый, чтобы теоремы применялись.

Набор векторов, который является линейно независимым и охватывает некоторое векторное пространство, образует основу для этого векторного пространства. Например, векторное пространство всех многочленов от x над вещественными числами имеет (бесконечное) подмножество {1, x , x ² , ...} в качестве основы.

Геометрическое значение [ править ]

Географический пример может помочь прояснить концепцию линейной независимости. Человек, описывающий местоположение определенного места, может сказать: «Это в 3 милях к северу и в 4 милях к востоку отсюда». Этой информации достаточно для описания местоположения, поскольку географическая система координат может рассматриваться как двумерное векторное пространство (без учета высоты и кривизны поверхности Земли). Человек может добавить: «Это место в 5 милях к северо-востоку отсюда». Хотя это последнее утверждение верно , в нем нет необходимости.

В этом примере вектор «3 мили к северу» и вектор «4 мили к востоку» линейно независимы. Иными словами, северный вектор не может быть описан в терминах восточного вектора, и наоборот. Третий вектор «5 миль к северо-востоку» представляет собой линейную комбинацию двух других векторов, и он делает набор векторов линейно зависимым , то есть один из трех векторов не нужен.

Также обратите внимание, что если высота не игнорируется, становится необходимым добавить третий вектор к линейно независимому набору. В общем, n линейно независимых векторов требуются для описания всех положений в n -мерном пространстве.

Оценка линейной независимости [ править ]

Нулевой вектор [ править ]

Если один или несколько векторов из данной последовательности векторов являются нулевым вектором, тогда вектор обязательно линейно зависим (и, следовательно, они не являются линейно независимыми). Чтобы понять почему, предположим , что это индекс (т.е. элемент ) , такой , что Тогда пусть ( в качестве альтернативы, позволяя быть равна любой другой ненулевой скаляр также будет работать) , а затем пусть все остальные скаляры быть ( в явном виде, это означает , что для любого индекс отличный от (т.е. для ), пусть так, что следовательно ). Упрощение дает: ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {0} }$${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \{1,\ldots ,k\}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{i}=\mathbf {0} .}$${\displaystyle a_{i}:=1}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle j}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j\neq i}$${\displaystyle a_{j}:=0}$${\displaystyle a_{j}\mathbf {v} _{j}=0\mathbf {v} _{j}=\mathbf {0} }$${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k}}$

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k}=\mathbf {0} +\cdots +\mathbf {0} +a_{i}\mathbf {v} _{i}+\mathbf {0} +\cdots +\mathbf {0} =a_{i}\mathbf {v} _{i}=a_{i}\mathbf {0} =\mathbf {0} .}$

Поскольку не все скаляры равны нулю (в частности, ), это доказывает, что векторы линейно зависимы. ${\displaystyle a_{i}\neq 0}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$

Как следствие, нулевой вектор не может принадлежать к любому набору векторов, линейно в зависимом.

Теперь рассмотрим частный случай, когда последовательность имеет длину (т.е. случай, когда ). Набор векторов, состоящий ровно из одного вектора, является линейно зависимым тогда и только тогда, когда этот вектор равен нулю. Явно, если является любым вектором, то последовательность (которая является последовательностью длины ) линейно зависима тогда и только тогда, когда ; в качестве альтернативы набор линейно независим тогда и только тогда, когда${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle k=1}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=\mathbf {0} }$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\neq \mathbf {0} .}$

Линейная зависимость / независимость двух векторов [ править ]

В этом примере рассматривается частный случай , когда имеется ровно два вектора и от некоторого вещественного или комплексного векторного пространства. Векторы и линейно зависимы тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из следующего: ${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$

1. ${\displaystyle \mathbf {u} }$является скаляром, кратным (явно это означает, что существует такой скаляр , что ) или${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle c}$${\displaystyle \mathbf {u} =c\mathbf {v} }$
2. ${\displaystyle \mathbf {v} }$является скаляром, кратным (явно это означает, что существует такой скаляр , что ).${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle c}$${\displaystyle \mathbf {v} =c\mathbf {u} }$

Если тогда, установив, мы имеем (это равенство выполняется независимо от значения ), что показывает, что (1) истинно в данном конкретном случае. Аналогично, if then (2) истинно, потому что If (например, если они оба равны нулевому вектору ), то оба (1) и (2) истинны (при использовании для обоих). ${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {0} }$${\displaystyle c:=0}$${\displaystyle c\mathbf {v} =0\mathbf {v} =\mathbf {0} =\mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {0} }$${\displaystyle \mathbf {v} =0\mathbf {u} .}$${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {0} }$${\displaystyle c:=1}$

Если то возможно, только если и ; в этом случае можно умножить обе части на, чтобы заключить. Это показывает, что if and then (1) истинно тогда и только тогда, когда (2) истинно; то есть, в данном конкретном случае либо оба (1) и (2) являются истинными (а векторы линейно зависимы) , либо как (1) и (2) являются ложными (а векторы линейно в зависимом). Если, но вместо этого, хотя бы одно из и должно быть равно нулю. Более того, если ровно одно из и равно (в то время как другое не равно нулю), тогда ровно одно из (1) и (2) истинно (а другое ложно). ${\displaystyle \mathbf {u} =c\mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {u} \neq \mathbf {0} }$${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} }$${\displaystyle {\frac {1}{c}}}$${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {1}{c}}\mathbf {u} .}$${\displaystyle \mathbf {u} \neq \mathbf {0} }$${\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} }$${\displaystyle \mathbf {u} =c\mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {0} }$${\displaystyle c}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {0} }$

Векторы и линейно в зависимы тогда и только тогда , когда это не является скалярным кратным и не является скалярным кратное${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {u} .}$

Векторы в R ² [ править ]

Три вектора: рассмотрим набор векторов, а затем условие линейной зависимости ищет набор ненулевых скаляров, таких что${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1),}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(-3,2),}$${\displaystyle \mathbf {v} _{3}=(2,4),}$

${\displaystyle a_{1}{\begin{Bmatrix}1\\1\end{Bmatrix}}+a_{2}{\begin{Bmatrix}-3\\2\end{Bmatrix}}+a_{3}{\begin{Bmatrix}2\\4\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}0\\0\end{Bmatrix}},}$

или же

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-3&2\\1&2&4\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}0\\0\end{Bmatrix}}.}$

Строку уменьшите это матричное уравнение, вычтя первую строку из второй, чтобы получить,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-3&2\\0&5&2\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}0\\0\end{Bmatrix}}.}$

Продолжайте уменьшение строки: (i) разделив вторую строку на 5, а затем (ii) умножив на 3 и прибавив к первой строке, то есть

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&16/5\\0&1&2/5\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}0\\0\end{Bmatrix}}.}$

Перестановка этого уравнения позволяет получить

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{Bmatrix}}=-a_{3}{\begin{Bmatrix}16/5\\2/5\end{Bmatrix}}.}$

который показывает, что существуют ненулевые a _i , которые могут быть определены в терминах и. Таким образом, три вектора линейно зависимы.${\displaystyle \mathbf {v} _{3}=(2,4)}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1)}$${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(-3,2).}$

Два вектора: Теперь рассмотрим линейную зависимость двух векторов и и проверьте, ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1)}$${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(-3,2),}$

${\displaystyle a_{1}{\begin{Bmatrix}1\\1\end{Bmatrix}}+a_{2}{\begin{Bmatrix}-3\\2\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}0\\0\end{Bmatrix}},}$

или же

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}0\\0\end{Bmatrix}}.}$

Такое же сокращение строк, представленное выше, дает,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}0\\0\end{Bmatrix}}.}$

Это показывает, что это означает, что векторы v ₁ = (1, 1) и v ₂ = (−3, 2) линейно независимы.${\displaystyle a_{i}=0,}$

Векторы в R ⁴ [ править ]

Чтобы определить, являются ли три вектора в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4},}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{1}={\begin{Bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{Bmatrix}},\mathbf {v} _{2}={\begin{Bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{Bmatrix}},\mathbf {v} _{3}={\begin{Bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{Bmatrix}}.}$

линейно зависимы, образуют матричное уравнение,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&7&-2\\4&10&1\\2&-4&5\\-3&-1&-4\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}0\\0\\0\\0\end{Bmatrix}}.}$

Строку уменьшите это уравнение, чтобы получить,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&7&-2\\0&-18&9\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}0\\0\\0\\0\end{Bmatrix}}.}$

Переставьте, чтобы решить для v ₃ и получить,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&7\\0&-18&\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{Bmatrix}}=-a_{3}{\begin{Bmatrix}-2\\9\end{Bmatrix}}.}$

Это уравнение легко решается для определения ненулевого a _i ,

${\displaystyle a_{1}=-3a_{3}/2,a_{2}=a_{3}/2,}$

где можно выбрать произвольно. Таким образом, векторы и линейно зависимы.${\displaystyle a_{3}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},}$${\displaystyle \mathbf {v} _{3}}$

Альтернативный метод с использованием детерминантов [ править ]

Альтернативный метод основан на том факте , что векторы в линейно независимы тогда и только тогда , когда определитель из матрицы , образованной путем принятия векторов , как ее столбцов не равен нулю.${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

В этом случае матрица, образованная векторами, имеет вид

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}.}$

Мы можем записать линейную комбинацию столбцов как

${\displaystyle A\Lambda ={\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}.}$

Нас интересует, будет ли A Λ = 0 для некоторого ненулевого вектора Λ. Это зависит от того, какой определитель${\displaystyle A,}$

${\displaystyle \det A=1\cdot 2-1\cdot (-3)=5\neq 0.}$

Поскольку определитель отличен от нуля, векторы и линейно независимы.${\displaystyle (1,1)}$${\displaystyle (-3,2)}$

В противном случае предположим, что у нас есть векторы координат, причем Тогда A - это матрица размера n × m, а Λ - вектор-столбец с элементами, и нас снова интересует A Λ = 0 . Как мы видели ранее, это эквивалентно списку уравнений. Рассмотрим первые строки первых уравнений; любое решение полного списка уравнений должно быть верным и для сокращенного списка. Фактически, если 〈i ₁ , ..., i _m〉 - это любой список строк, то уравнение должно выполняться для этих строк.${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m<n.}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle A_{{\langle i_{1},\dots ,i_{m}}\rangle }\Lambda =\mathbf {0} .}$

Более того, верно обратное. То есть мы можем проверить, являются ли векторы линейно зависимыми, проверяя, действительно ли${\displaystyle m}$

${\displaystyle \det A_{{\langle i_{1},\dots ,i_{m}}\rangle }=0}$

для всех возможных списков строк. (В случае, если для этого требуется только один определитель, как указано выше. Если это теорема, что векторы должны быть линейно зависимыми.) Этот факт ценен для теории; в практических расчетах доступны более эффективные методы.${\displaystyle m}$${\displaystyle m=n,}$${\displaystyle m>n,}$

Больше векторов, чем размеров [ править ]

Если векторов больше, чем размеров, векторы линейно зависимы. Это показано в приведенном выше примере трех векторов в${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}.}$

Естественные базисные векторы [ править ]

Пусть и рассмотрим следующие элементы, известные как естественные базисные векторы:${\displaystyle V=\mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle V,}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {e} _{1}&=&(1,0,0,\ldots ,0)\\\mathbf {e} _{2}&=&(0,1,0,\ldots ,0)\\&\vdots \\\mathbf {e} _{n}&=&(0,0,0,\ldots ,1).\end{matrix}}}$

Тогда линейно независимы.${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\ldots ,\mathbf {e} _{n}}$

Линейная независимость базисных функций [ править ]

Позвольте быть векторным пространством всех дифференцируемых функций действительной переменной Тогда функции и в линейно независимы.${\displaystyle V}$${\displaystyle t.}$${\displaystyle e^{t}}$${\displaystyle e^{2t}}$${\displaystyle V}$

Доказательство [ править ]

Предположим, что и - два действительных числа такие, что${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle ae^{t}+be^{2t}=0}$

Возьмите первую производную приведенного выше уравнения так, чтобы

${\displaystyle ae^{t}+2be^{2t}=0}$

для всех значений Нам нужно это показать, и для этого мы вычитаем первое уравнение из второго, давая Since не равно нулю для некоторых. Отсюда следует и это . Следовательно, согласно определению линейной независимости, и линейно независимы.${\displaystyle t.}$${\displaystyle a=0}$${\displaystyle b=0.}$${\displaystyle be^{2t}=0.}$${\displaystyle e^{2t}}$${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle b=0.}$${\displaystyle a=0}$${\displaystyle e^{t}}$${\displaystyle e^{2t}}$

Пространство линейных зависимостей [ править ]

Линейная зависимость или линейная зависимость между векторами v ₁ , ..., v _п является кортеж ( ₁ , ..., _п ) с п скалярных компонентов , таких , что

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} .}$

Если такая линейная зависимость существует хотя бы с ненулевой составляющей, то n векторов линейно зависимы. Линейные зависимости между v ₁ , ..., v _n образуют векторное пространство.

Если векторы выражаются их координатами, то линейные зависимости являются решениями однородной системы линейных уравнений с координатами векторов в качестве коэффициентов. Основа поэтому векторного пространства линейных зависимостей может быть вычислена с помощью метода исключения Гаусса .

Аффинная независимость [ править ]

Набор векторов называется аффинно зависимым, если хотя бы один из векторов в наборе может быть определен как аффинная комбинация других. В противном случае множество называется аффинно независимым . Любая аффинная комбинация - это линейная комбинация; поэтому каждое аффинно зависимое множество линейно зависимо. Наоборот, любое линейно независимое множество аффинно независимое.

Рассмотрим набор векторов размера каждый и рассмотрим набор дополненных векторов размера каждый. Исходные векторы аффинно независимы тогда и только тогда, когда дополненные векторы линейно независимы. ^{[3] : 256}${\displaystyle m}$${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{m}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle ({\binom {1}{v_{1}}},\ldots ,{\binom {1}{v_{m}}})}$${\displaystyle n+1}$

См. Также: аффинное пространство .

См. Также [ править ]

• Matroid  - абстрактная структура, которая моделирует и обобщает линейную независимость

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• "Линейная независимость" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Линейно зависимые функции в WolframMathWorld.
• Учебная и интерактивная программа по линейной независимости.
• Введение в линейную независимость в KhanAcademy.