Тетраэдр

Правильный тетраэдр
(Нажмите здесь, чтобы повернуть модель)
Тип	Платоново твердое тело
Элементы	F = 4, E = 6 V = 4 (χ = 2)
Лица по сторонам	4 {3}
Обозначение Конвея	Т
Символы Шлефли	{3,3}
	h {4,3}, s {2,4}, sr {2,2}
Конфигурация лица	V3.3.3
Символ Wythoff	3 | 2 3 | 2 2 2
Диаграмма Кокстера	знак равно
Симметрия	T d , A 3 , [3,3], (* 332)
Группа вращения	Т , [3,3] + , (332)
Рекомендации	U 01 , C 15 , W 1
Характеристики	правильный , выпуклый дельтаэдр
Двугранный угол	70.528779 ° = агссоз ( 1 / 3 )
3.3.3 ( фигура вершины )	Самодвойственный ( двойственный многогранник )
Сеть

Тетраэдр ( Matemateca IME-USP )

3D модель правильного тетраэдра.

В геометрии , A тетраэдр (множественное число: тетраэдры или тетраэдры ), также известный как треугольная пирамида , является полиэдром , состоящим из четырех треугольных граней , шесть прямых ребер , и четырех вершинных углов . Тетраэдр - самый простой из всех обычных выпуклых многогранников и единственный, у которого меньше пяти граней. ^[1]

Тетраэдр - это трехмерный случай более общей концепции евклидова симплекса , поэтому его также можно назвать 3-симплексом .

Тетраэдр - это один из видов пирамиды , который представляет собой многогранник с плоским основанием многоугольника и треугольными гранями, соединяющими основание с общей точкой. В случае тетраэдра основанием является треугольник (любая из четырех граней может считаться основанием), поэтому тетраэдр также известен как «треугольная пирамида».

Как и все выпуклые многогранники , тетраэдр можно сложить из одного листа бумаги. У него две такие сети . ^[1]

Для любого тетраэдра существует сфера (называемой circumsphere ) , на котором все четыре вершины лежит, а другую сферу ( insphere ) касательную к граням тетраэдра. ^[2]

Правильный тетраэдр [ править ]

Правильный тетраэдр представляет собой тетраэдр , в котором все четыре грани равносторонние треугольники . Это одно из пяти правильных Платоновых тел , известных с древности.

В правильном тетраэдре все грани имеют одинаковый размер и форму (конгруэнтны), и все ребра имеют одинаковую длину.

Сами по себе правильные тетраэдры не мозаичны (заполняют пространство), но если их чередовать с правильными октаэдрами в соотношении двух тетраэдров к одному октаэдру, они образуют чередующиеся кубические соты , которые являются мозаикой. Некоторые тетраэдры, которые не являются правильными, включая ортосхему Шлефли и тетраэдр Хилла , могут быть мозаичными .

Правильный тетраэдр самодвойственный, что означает, что его двойственный - другой правильный тетраэдр. Соединение фигура , содержащая два таких двойной формы тетраэдров звездчатый октаэдр или стелла octangula.

Координаты правильного тетраэдра [ править ]

Следующие декартовы координаты определяют четыре вершины тетраэдра с длиной ребра 2 с центром в начале координат и двумя ребрами уровня:

${\ displaystyle \ left (\ pm 1,0, - {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ right) \ quad {\ mbox {and}} \ quad \ left (0, \ pm 1, {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ right)}$

Выраженные симметрично как 4 точки на единичной сфере , центр тяжести в начале координат, с нижним уровнем грани, вершины:

${\ displaystyle v_ {1} = \ left ({\ sqrt {\ frac {8} {9}}}, 0, - {\ frac {1} {3}} \ right)}$

${\ displaystyle v_ {2} = \ left (- {\ sqrt {\ frac {2} {9}}}, {\ sqrt {\ frac {2} {3}}}, - {\ frac {1} { 3}} \ right)}$

${\ displaystyle v_ {3} = \ left (- {\ sqrt {\ frac {2} {9}}}, - {\ sqrt {\ frac {2} {3}}}, - {\ frac {1}) {3}} \ right)}$

${\ displaystyle v_ {4} = (0,0,1)}$

с кромкой длиной .${\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {8} {3}}}}$

Еще один набор координат основан на чередующемся кубе или полукубе с длиной ребра 2. Эта форма имеет диаграмму Кокстера. и символ Шлефли h {4,3}. Тетраэдр в этом случае имеет длину ребра 2 √ 2 . Инвертирование этих координат генерирует двойственный тетраэдр, а пара вместе образует звездчатый октаэдр, вершины которого совпадают с вершинами исходного куба.

Тетраэдр: (1,1,1), (1, −1, −1), (−1,1, −1), (−1, −1,1)

Двойственный тетраэдр: (−1, −1, −1), (−1,1,1), (1, −1,1), (1,1, −1)

Углы и расстояния [ править ]

Для правильного тетраэдра с длиной ребра а :

Область лица	${\displaystyle A_{0}={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}\,}$
Площадь [3]	${\displaystyle A=4\,A_{0}={\sqrt {3}}a^{2}\,}$
Высота пирамиды [4]	${\displaystyle h={\frac {\sqrt {6}}{3}}a={\sqrt {\frac {2}{3}}}\,a\,}$
Расстояние от центроида до вершины	${\displaystyle {\frac {3}{4}}\,h={\frac {\sqrt {6}}{4}}\,a={\sqrt {\frac {3}{8}}}\,a\,}$
Расстояние от края до противоположного края	${\displaystyle l={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,a\,}$
Том [3]	${\displaystyle V={\frac {1}{3}}A_{0}h={\frac {\sqrt {2}}{12}}a^{3}={\frac {a^{3}}{6{\sqrt {2}}}}\,}$
Угол грань-вершина-кромка	${\displaystyle \arccos \left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\right)=\arctan \left({\sqrt {2}}\right)\,}$ (прибл. 54,7356 °)
Угол между гранью и гранью , т.е. «двугранный угол» [3]	${\displaystyle \arccos \left({\frac {1}{3}}\right)=\arctan \left(2{\sqrt {2}}\right)\,}$ (прибл. 70,5288 °)
Vertex-Center-Vertex angle, [5] угол между линиями от центра тетраэдра к любым двум вершинам. Это также угол между границами плато в вершине. В химии это называется тетраэдрическим валентным углом . Этот угол (в радианах) также является длиной дуги геодезического сегмента на единичной сфере, полученной в результате центрального проецирования одного края тетраэдра на сферу.	${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)=2\arctan \left({\sqrt {2}}\right)\,}$ (прибл. 109,4712 °)
Телесный угол в вершине, образуемой гранью	${\displaystyle \arccos \left({\frac {23}{27}}\right)}$ (прибл. 0,55129 стерадиана ) (прибл. 1809,8 квадратных градуса )
Радиус описанной сферы [3]	${\displaystyle R={\frac {\sqrt {6}}{4}}a={\sqrt {\frac {3}{8}}}\,a\,}$
Радиус поверхности , касающийся граней [3]	${\displaystyle r={\frac {1}{3}}R={\frac {a}{\sqrt {24}}}\,}$
Радиус средней сферы , касающийся краев [3]	${\displaystyle r_{\mathrm {M} }={\sqrt {rR}}={\frac {a}{\sqrt {8}}}\,}$
Радиус экзосферы	${\displaystyle r_{\mathrm {E} }={\frac {a}{\sqrt {6}}}\,}$
Расстояние до центра экзосферы от противоположной вершины	${\displaystyle d_{\mathrm {VE} }={\frac {\sqrt {6}}{2}}a={\sqrt {\frac {3}{2}}}a\,}$

По отношению к базовой плоскости наклон грани (2 √ 2 ) вдвое больше, чем у кромки ( √ 2 ), что соответствует тому факту, что горизонтальное расстояние, пройденное от основания до вершины вдоль кромки, вдвое больше, чем вдоль кромки. медиана лица. Другими словами, если C является центром тяжести основания, расстояние от C до вершины основания вдвое больше, чем от Cдо середины края основания. Это следует из того факта, что медианы треугольника пересекаются в его центроиде, и эта точка делит каждый из них на два отрезка, один из которых вдвое длиннее другого (см. Доказательство ).

Для правильного тетраэдра с длиной стороны a , радиусом R описывающей его сферы и расстояниями d _i от произвольной точки трехмерного пространства до четырех его вершин имеем ^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d_{1}^{4}+d_{2}^{4}+d_{3}^{4}+d_{4}^{4}}{4}}+{\frac {16R^{4}}{9}}&=\left({\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}}{4}}+{\frac {2R^{2}}{3}}\right)^{2};\\4\left(a^{4}+d_{1}^{4}+d_{2}^{4}+d_{3}^{4}+d_{4}^{4}\right)&=\left(a^{2}+d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}\right)^{2}.\end{aligned}}}$

Изометрии правильного тетраэдра [ править ]

Вершины куба можно сгруппировать в две группы по четыре, каждая из которых образует правильный тетраэдр (см. Выше, а также анимацию , показывающую один из двух тетраэдров в кубе). В симметрий правильного тетраэдра соответствуют половине тех куба: те , которые отображают тетраэдров к себе, а не друг с другом.

Тетраэдр - единственное твердое тело Платона, которое не отображается на себя посредством точечной инверсии .

Правильный тетраэдр имеет 24 изометрии, формируя группы симметрии T _D , [3,3], (* 332), изоморфную симметрической группе , S ₄ . Их можно разделить на следующие категории:

• Т , [3,3] ⁺ , (332) изоморфна знакопеременной группе , ₄ (тождество и 11 собственные вращения) со следующими классами сопряженных элементов (в скобках даны перестановки вершин, или , соответственно, лица, и представление единичного кватерниона ):
  • личность (личность; 1)
  • вращение вокруг оси через вершину, перпендикулярную противоположной плоскости, на угол ± 120 °: 4 оси, по 2 на каждую ось, вместе 8 ((1 2 3) и т.д .;1 ± i ± j ± k/2)
  • поворот на угол 180 ° так, чтобы край соответствовал противоположному краю: 3 ((1 2) (3 4) и т. д .; i , j , k )
• отражение в плоскости, перпендикулярной краю: 6
• отражения в плоскости в сочетании с поворотом на 90 ° вокруг оси, перпендикулярной плоскости: 3 оси, по 2 на каждую ось, вместе 6; эквивалентно, это повороты на 90 ° в сочетании с инверсией ( x отображается в - x ): вращения соответствуют вращениям куба вокруг осей лицом к лицу

Ортогональные проекции правильного тетраэдра [ править ]

Правильный тетраэдр имеет две специальные ортогональные проекции , одна с центром на вершине или, что то же самое, на грани, а другая с центром на ребре. Первый соответствует плоскости Кокстера А ₂ .

Поперечное сечение правильного тетраэдра [ править ]

Два скошенных перпендикулярных противоположных ребра правильного тетраэдра определяют набор параллельных плоскостей. Когда одна из этих плоскостей пересекает тетраэдр, результирующее поперечное сечение представляет собой прямоугольник . ^[7] Когда пересекающаяся плоскость находится рядом с одним из краев, прямоугольник получается длинным и тонким. На полпути между двумя краями пересечение представляет собой квадрат . Соотношение сторон прямоугольника меняется на противоположное, когда вы проходите эту половину пути. Для пересечения квадрата средней точки результирующая граничная линия пересекает каждую грань тетраэдра аналогично. Если тетраэдр разделить пополам на этой плоскости, обе половины станут клиньями .

Это свойство также применяется к тетрагональным дифеноидам при применении к двум специальным парам ребер.

Сферическая мозаика [ править ]

Тетраэдр также можно представить как сферическую мозаику и спроецировать на плоскость через стереографическую проекцию . Эта проекция является конформной , сохраняя углы, но не площади или длины. Прямые на сфере проецируются как дуги окружности на плоскость.

Винтовая укладка [ править ]

Правильные тетраэдры могут быть сложены лицом к лицу в хиральную апериодическую цепочку, называемую спиралью Бордейка – Кокстера . В четырех измерениях все выпуклые правильные 4-многогранники с тетраэдрическими ячейками ( 5-ячеечная , 16-ячеечная и 600-ячеечная ) могут быть построены этими цепочками как мозаики 3-сферы , которые становятся периодическими в трехмерном пространстве. пространство граничной поверхности 4-многогранника.

Другие особые случаи [ править ]

Равнобедренный тетраэдр , также называемый равногранный тетраэдр , является тетраэдр , где все четыре грани конгруэнтных треугольника. А пространство заполнения тетраэдр пакеты с конгруэнтной копией по плитке пространству, как равногранные тетраэдр четырехгранных сот .

В треугольном тетраэдре три угла граней в одной вершине являются прямыми углами . Если все три пары противоположных ребер тетраэдра перпендикулярны , то он называется ортоцентрическим тетраэдром . Когда перпендикулярна только одна пара противоположных ребер, это называется полуортоцентрическим тетраэдром . Изодинамический тетраэдр является тот , в котором cevians , соединяющие вершины к вписанным противоположным граням одновременно , и isogonic тетраэдра имеет параллельные cevians, соединяющие вершины к точкам контакта противоположных граней свписанная сфера тетраэдра.

Изометрии неправильных тетраэдров [ править ]

Изометрии неправильного (немаркированного) тетраэдра зависят от геометрии тетраэдра, возможны 7 случаев. В каждом случае формируется трехмерная точечная группа . Две другие изометрии (C ₃ , [3] ⁺ ) и (S ₄ , [2 ⁺ , 4 ⁺ ]) могут существовать, если включена маркировка граней или ребер. Для каждого типа ниже включены четырехгранные диаграммы с краями, окрашенными в соответствии с изометрической эквивалентностью, и серым цветом для уникальных краев.

Имя тетраэдра				Край Эквивалентность диаграмма	Описание
Симметрия
Schön.	Кокс.	Сфера.	Ord.
Правильный тетраэдр					Четыре равносторонних треугольника Он образует группу симметрии Т д , изоморфную симметрической группе , S 4 . Правильный тетраэдр имеет диаграмму Кокстера и символ Шлефли {3,3}.
Т д Т	[3,3] [3,3] +	* 332 332	24 12
Треугольная пирамида					Равносторонний основание треугольника и три равные равнобедренные треугольные стороны Это дает 6 изометрий, соответствующих 6 изометриям основания. Как перестановки вершин, эти 6 изометрии тождественных 1, (123), (132), (12), (13) и (23), образующая группа симметрии C 3v , изоморфна симметрической группы , S 3 . Треугольная пирамида имеет символ Шлефли {3} ∨ ().
C 3v C 3	[3] [3] +	* 33 33	6 3
Зеркальная клиновидная кость					Два равных разносторонних треугольника с общим основанием. У него есть две пары равных ребер (1,3), (1,4) и (2,3), (2,4), и в остальном нет равных ребер. Только два изометрии равны-и отражение (34), что дает группу С ей , также изоморфной циклической группой , Z 2 .
C s = C 1h = C 1v	[]	*	2
Неправильный тетраэдр (без симметрии)					Четыре неравных треугольника Его единственная изометрия - это единица, а группа симметрии - это тривиальная группа . Неправильный тетраэдр имеет символ Шлефли () ∨ () ∨ () ∨ ().
C 1	[] +	1	1
Дисфеноиды (четыре равных треугольника)
Тетрагональный дисфеноид					Четыре равных равнобедренных треугольника Имеет 8 изометрий. Если ребра (1,2) и (3,4) имеют длину, отличную от длины остальных 4, то 8 изометрий являются тождественными 1, отражениями (12) и (34) и поворотами на 180 ° (12) (34), (13) (24), (14) (23) и неправильные повороты на 90 ° (1234) и (1432), образующие группу симметрии D 2d . Тетрагональный дисфеноид имеет диаграмму Кокстера и символ Шлефли s {2,4}.
D 2d S 4	[2 + , 4] [2 + , 4 + ]	2 * 2 2 ×	8 4
Ромбический дисфеноид					Четыре равных разносторонних треугольника Имеет 4 изометрии. Изометрии равны 1 и повороты на 180 ° (12) (34), (13) (24), (14) (23). Это четырехгруппа Клейна V 4 или Z 2 2 , представленная как точечная группа D 2 . Ромбический дисфеноид имеет диаграмму Кокстера и символ Шлефли sr {2,2}.
D 2	[2,2] +	222	4
Обобщенные дисфеноиды (2 пары равных треугольников)
Дигональный дисфеноид					Две пары равных равнобедренных треугольников Это дает две противоположные кромки (1,2) и (3,4), которые перпендикулярны, но разной длины, а затем 4 изометрии равны 1, отражениям (12) и (34) и повороту на 180 ° (12) (34). . Группа симметрии - это C 2v , изоморфная четырехгруппе Клейна V 4 . Дигональный дисфеноид имеет символ Шлефли {} ∨ {}.
C 2v C 2	[2] [2] +	* 22 22	4 2
Филлический дисфеноид					Две пары равных разносторонних или равнобедренных треугольников У этого есть две пары равных ребер (1,3), (2,4) и (1,4), (2,3), но в остальном нет равных ребер. Только два изометрии равны 1 и вращение (12) (34), что дает группу C 2 , изоморфную циклической группе , Z 2 .
C 2	[2] +	22	2

Общие свойства [ править ]

Объем [ править ]

Объем тетраэдра определяется формулой объема пирамиды:

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}A_{0}\,h\,}$

где A ₀ - площадь основания, а h - высота от основания до вершины. Это применимо для каждого из четырех вариантов основания, поэтому расстояния от вершин до противоположных граней обратно пропорциональны площадям этих граней.

Для тетраэдра с вершинами a = ( a ₁ , a ₂ , a ₃ ) , b = ( b ₁ , b ₂ , b ₃ ) , c = ( c ₁ , c ₂ , c ₃ ) и d = ( d ₁ , d ₂ , d ₃ ) объем равен1/6| det ( a - d , b - d , c - d ) | , или любое другое сочетание пар вершин, образующих односвязный граф . Это можно переписать, используя скалярное произведение и перекрестное произведение , что даст

${\displaystyle V={\frac {|(\mathbf {a} -\mathbf {d} )\cdot ((\mathbf {b} -\mathbf {d} )\times (\mathbf {c} -\mathbf {d} ))|}{6}}.}$

Если начало системы координат выбрать совпадающим с вершиной d , то d = 0, поэтому

${\displaystyle V={\frac {|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|}{6}},}$

где a , b и c представляют три ребра, которые пересекаются в одной вершине, а a · ( b × c ) - скалярное тройное произведение . Сравнивая эту формулу с формулой, использованной для вычисления объема параллелепипеда , мы заключаем, что объем тетраэдра равен1/6 объема любого параллелепипеда, имеющего с ним три сходящихся ребра.

Абсолютное значение скалярного тройного произведения можно представить в виде следующих абсолютных значений определителей:

${\displaystyle 6\cdot V={\begin{Vmatrix}\mathbf {a} &\mathbf {b} &\mathbf {c} \end{Vmatrix}}}$ или где выражаются векторами строк или столбцов. ${\displaystyle 6\cdot V={\begin{Vmatrix}\mathbf {a} \\\mathbf {b} \\\mathbf {c} \end{Vmatrix}}}$  ${\displaystyle {\begin{cases}\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3}),\\\mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3}),\\\mathbf {c} =(c_{1},c_{2},c_{3}),\end{cases}}}$ 

Следовательно

${\displaystyle 36\cdot V^{2}={\begin{vmatrix}\mathbf {a^{2}} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} \\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {b^{2}} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \\\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} &\mathbf {c^{2}} \end{vmatrix}}}$ куда ${\displaystyle {\begin{cases}\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =ab\cos {\gamma },\\\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} =bc\cos {\alpha },\\\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} =ac\cos {\beta }.\end{cases}}}$

который дает

${\displaystyle V={\frac {abc}{6}}{\sqrt {1+2\cos {\alpha }\cos {\beta }\cos {\gamma }-\cos ^{2}{\alpha }-\cos ^{2}{\beta }-\cos ^{2}{\gamma }}},\,}$

где α , β , γ - плоские углы , входящие в вершину d . Угол α - это угол между двумя ребрами, соединяющими вершину d с вершинами b и c . Угол β соответствует вершинам a и c , а угол γ определяется положением вершин a и b .

Учитывая расстояния между вершинами тетраэдра, объем можно вычислить с помощью определителя Кэли-Менгера :

${\displaystyle 288\cdot V^{2}={\begin{vmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&d_{14}^{2}\\1&d_{12}^{2}&0&d_{23}^{2}&d_{24}^{2}\\1&d_{13}^{2}&d_{23}^{2}&0&d_{34}^{2}\\1&d_{14}^{2}&d_{24}^{2}&d_{34}^{2}&0\end{vmatrix}}}$

где нижние индексы i , j ∈ {1, 2, 3, 4} представляют вершины { a , b , c , d }, а d _ij - попарное расстояние между ними, т. е. длину ребра, соединяющего две вершины. Отрицательное значение определителя означает, что тетраэдр не может быть построен с заданными расстояниями. Эта формула, которую иногда называют формулой Тартальи , в основном принадлежит художнику Пьеро делла Франческа в 15 веке как трехмерный аналог формулы Герона 1 века для площади треугольника. ^[8]

Обозначим a, b, c - три ребра, которые пересекаются в точке, а x, y, z - противоположные ребра. Пусть V - объем тетраэдра; затем ^[9]

${\displaystyle V={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}c^{2}-a^{2}X^{2}-b^{2}Y^{2}-c^{2}Z^{2}+XYZ}}{12}}}$

куда

${\displaystyle {\begin{aligned}X&=b^{2}+c^{2}-x^{2},\\Y&=a^{2}+c^{2}-y^{2},\\Z&=a^{2}+b^{2}-z^{2}.\end{aligned}}}$

В приведенной выше формуле используются шесть длин ребер, а в следующей формуле используются три длины ребер и три угла.

${\displaystyle V={\frac {abc}{6}}{\sqrt {1+2\cos {\alpha }\cos {\beta }\cos {\gamma }-\cos ^{2}{\alpha }-\cos ^{2}{\beta }-\cos ^{2}{\gamma }}}}$

Формула типа Герона для объема тетраэдра [ править ]

Если U , V , W , u , v , w - длины ребер тетраэдра (первые три образуют треугольник; u напротив U и так далее), то ^[10]

${\displaystyle V={\frac {\sqrt {\,(-p+q+r+s)\,(p-q+r+s)\,(p+q-r+s)\,(p+q+r-s)}}{192\,u\,v\,w}}}$

куда

${\displaystyle {\begin{aligned}p&={\sqrt {xYZ}},&q&={\sqrt {yZX}},&r&={\sqrt {zXY}},&s&={\sqrt {xyz}},\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}X&=(w-U+v)\,(U+v+w),&x&=(U-v+w)\,(v-w+U),\\Y&=(u-V+w)\,(V+w+u),&y&=(V-w+u)\,(w-u+V),\\Z&=(v-W+u)\,(W+u+v),&z&=(W-u+v)\,(u-v+W).\end{aligned}}}$

Разделитель объема [ править ]

Плоскость, которая разделяет два противоположных края тетраэдра в заданном соотношении, также делит объем тетраэдра в таком же соотношении. Таким образом, любая плоскость, содержащая бимедиан (соединитель середин противоположных ребер) тетраэдра, делит объем тетраэдра пополам . ^{[11] [12] : стр.89–90}

Неевклидова книга [ править ]

Для тетраэдров в гиперболическом пространстве или в трехмерном эллиптической геометрии , то двугранные углы тетраэдра определить его форму и , следовательно , его объем. В этих случаях объем задается формулой Мураками – Яно . ^[13] Однако в евклидовом пространстве масштабирование тетраэдра изменяет его объем, но не его двугранные углы, поэтому такой формулы не может быть.

Расстояние между краями [ править ]

Любые два противоположных ребра тетраэдра лежат на двух наклонных линиях , а расстояние между ребрами определяется как расстояние между двумя наклонными линиями. Пусть d будет расстоянием между линиями перекоса, образованными противоположными краями a и b - c, как здесь вычислено . Тогда другая формула объема дается

${\displaystyle V={\frac {d|(\mathbf {a} \times \mathbf {(b-c)} )|}{6}}.}$

Свойства, аналогичные свойствам треугольника [ править ]

Тетраэдр имеет много свойств, аналогичных свойствам треугольника, включая внутреннюю сферу, описанную сферу, средний тетраэдр и экзосферы. Он имеет соответствующие центры, такие как центр окружности, центр окружности, эксцентриситет, центр Шпикера и такие точки, как центроид. Однако, как правило, нет ортоцентра в смысле пересечения высот. ^[14]

Гаспар Монж нашел центр, который существует в каждом тетраэдре, теперь известный как точка Монжа : точка, где пересекаются шесть срединных плоскостей тетраэдра. Срединная плоскость определяется как плоскость, которая ортогональна ребру, соединяющему любые две вершины, который также содержит центроид противоположного ребра, образованного путем соединения двух других вершин. Если высоты тетраэдра действительно пересекаются, то точка Монжа и ортоцентр совпадают, давая класс ортоцентрического тетраэдра .

Ортогональная линия, проведенная от точки Монжа к любой грани, пересекает эту грань в середине отрезка прямой между ортоцентром этой грани и основанием высоты, отброшенной из противоположной вершины.

Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центром тяжести противоположной грани, называется срединной, а отрезок, соединяющий середины двух противоположных ребер, называется бимедианом тетраэдра. Следовательно, в тетраэдре четыре медианы и три бимедианы. Все эти семь отрезков совпадают в точке, называемой центроидом тетраэдра. ^[15] Кроме того, четыре медианы делятся на центроид в соотношении 3: 1 (см . Теорему Коммандино ). Центроид тетраэдра - это середина между его точкой Монжа и центром описанной окружности. Эти точки определяют линию Эйлератетраэдра, аналогичного линии Эйлера треугольника.

Девяти пунктов круг общего треугольника имеет аналог в circumsphere медиального тетраэдра тетраэдра в. Это сфера с двенадцатью точками, и помимо центроидов четырех граней контрольного тетраэдра, она проходит через четыре замещающие точки Эйлера , по одной трети пути от точки Монжа к каждой из четырех вершин. Наконец, он проходит через четыре базовые точки ортогональных прямых, отброшенных от каждой точки Эйлера к грани, не содержащей вершину, которая породила точку Эйлера. ^[16]

Центр T двенадцатиточечной сферы также лежит на прямой Эйлера. В отличие от своего треугольного аналога, этот центр находится на одной трети пути от точки Монжа M к центру описанной окружности. Кроме того, ортогональная линия, проходящая через Т к выбранной грани, копланарна с двумя другими ортогональными линиями к той же грани. Первая - это ортогональная линия, проходящая через соответствующую точку Эйлера к выбранной грани. Вторая - это ортогональная линия, проходящая через центр тяжести выбранной грани. Эта ортогональная линия, проходящая через центр из двенадцати точек, находится на полпути между ортогональной линией точки Эйлера и центроидальной ортогональной линией. Кроме того, для любой грани центр из двенадцати точек лежит в средней точке соответствующей точки Эйлера и ортоцентре этой грани.

Радиус двенадцатиточечной сферы составляет одну треть радиуса описанной окружности контрольного тетраэдра.

Существует соотношение между углами, образованными гранями общего тетраэдра, определенное формулой ^[17]

${\displaystyle {\begin{vmatrix}-1&\cos {(\alpha _{12})}&\cos {(\alpha _{13})}&\cos {(\alpha _{14})}\\\cos {(\alpha _{12})}&-1&\cos {(\alpha _{23})}&\cos {(\alpha _{24})}\\\cos {(\alpha _{13})}&\cos {(\alpha _{23})}&-1&\cos {(\alpha _{34})}\\\cos {(\alpha _{14})}&\cos {(\alpha _{24})}&\cos {(\alpha _{34})}&-1\\\end{vmatrix}}=0\,}$

где α _ij - угол между гранями i и j .

Геометрическая медиана координат положения вершин тетраэдра и его isogonic центра связаны, в условиях , аналогичных тем , которые наблюдаются для треугольника. Лоренц Линделёф обнаружил, что любому заданному тетраэдру соответствует точка, теперь известная как изогонический центр, O , в которой телесные углы, образуемые гранями, равны, имеют общее значение π sr и в которой углы, образуемые противоположными края равны. ^[18] Телесный угол π sr составляет четверть угла, охватываемого всем пространством. Когда все телесные углы в вершинах тетраэдра меньше, чем π sr, O лежит внутри тетраэдра, и поскольку сумма расстояний от Oк вершинам является минимальным, O совпадает с геометрической медианой , М , вершин. Если телесный угол в одной из вершин, v , составляет ровно π sr, то O и M совпадают с v . Если, однако, тетраэдр имеет вершину v с телесным углом больше π sr, M по- прежнему соответствует v , но O лежит вне тетраэдра.

Геометрические отношения [ править ]

Тетраэдр - это 3- симплекс . В отличие от других Платоновых тел, все вершины правильного тетраэдра равноудалены друг от друга (это единственно возможное расположение четырех равноудаленных точек в трехмерном пространстве).

Тетраэдр - это треугольная пирамида , а правильный тетраэдр самодуальный .

Правильный тетраэдр может быть вложен внутрь куба двумя способами, так что каждая вершина является вершиной куба, а каждое ребро - диагональю одной из граней куба. Для одного такого вложения, то декартовы координаты этих вершин являются

(+1, +1, +1);

(-1, -1, +1);

(-1, +1, -1);

(+1, -1, -1).

Это дает тетраэдр с длиной ребра 2 √ 2 с центром в начале координат. Для другого тетраэдра (который двойственен первому) поменяйте местами все знаки. Вершины этих двух тетраэдров вместе являются вершинами куба, демонстрируя, что правильный тетраэдр является 3- полукубом .

Объем этого тетраэдра составляет одну треть объема куба. Объединение обоих тетраэдров дает правильное полиэдрическое соединение, называемое соединением двух тетраэдров или stella octangula .

Внутренняя часть октаэдра стелы представляет собой октаэдр , и, соответственно, правильный октаэдр является результатом отсечения от правильного тетраэдра четырех правильных тетраэдров половинного линейного размера (т. Е. Выпрямления тетраэдра).

Приведенное выше вложение делит куб на пять тетраэдров, один из которых правильный. Фактически, пять - это минимальное количество тетраэдров, необходимое для создания куба. Чтобы убедиться в этом, начиная с базового тетраэдра с 4 вершинами, каждый добавленный тетраэдр добавляет не более 1 новой вершины, поэтому необходимо добавить еще как минимум 4, чтобы создать куб с 8 вершинами.

Включение тетраэдров внутрь правильного соединения пяти кубов дает еще два правильных соединения, содержащих пять и десять тетраэдров.

Обычные тетраэдры не могут замощить пространство сами по себе, хотя этот результат кажется достаточно вероятным, чтобы Аристотель утверждал, что это возможно. Однако два правильных тетраэдра могут быть объединены с октаэдром, давая ромбоэдр, который может замостить пространство.

Однако известно несколько неправильных тетраэдров, копии которых могут покрывать пространство, например, тетраэдрические соты дисфеноида . Полный список остается открытой проблемой. ^[19]

Если ослабить требование, чтобы все тетраэдры были одинаковой формы, можно разбить пространство, используя только тетраэдры, разными способами. Например, можно разделить октаэдр на четыре одинаковых тетраэдра и снова объединить их с двумя правильными. (В качестве примечания: эти два вида тетраэдров имеют одинаковый объем.)

Тетраэдр уникален среди однородных многогранников тем, что не имеет параллельных граней.

Закон синусов для тетраэдров и пространства всех форм тетраэдров [ править ]

Следствием обычного закона синусов является то, что в тетраэдре с вершинами O , A , B , C мы имеем

${\displaystyle \sin \angle OAB\cdot \sin \angle OBC\cdot \sin \angle OCA=\sin \angle OAC\cdot \sin \angle OCB\cdot \sin \angle OBA.\,}$

Можно рассматривать две стороны этого тождества как соответствующие ориентации поверхности по часовой стрелке и против часовой стрелки.

Если поставить любую из четырех вершин на роль O, мы получим четыре таких тождества, но не более трех из них являются независимыми: если стороны трех из них умножаются по часовой стрелке, и получается, что произведение равно произведению «против часовой стрелки» стороны одних и тех же трех тождеств, а затем общие множители отменяются с обеих сторон, в результате получается четвертая идентичность.

Три угла являются углами некоторого треугольника тогда и только тогда, когда их сумма равна 180 ° (π радиан). Какое условие на 12 углов необходимо и достаточно, чтобы они были 12 углами какого-нибудь тетраэдра? Ясно, что сумма углов любой стороны тетраэдра должна составлять 180 °. Так как таких треугольников четыре, существует четыре таких ограничения на суммы углов, и количество степеней свободы , таким образом, уменьшается с 12 до 8. Четыре соотношения, задаваемые этим синусоидальным законом, дополнительно уменьшают количество степеней свободы, начиная с 8, не до 4, а до 5, поскольку четвертое ограничение не является независимым от первых трех. Таким образом, пространство всех форм тетраэдров 5-мерное. ^[20]

Закон косинусов для тетраэдров [ править ]

Пусть { P ₁ , P ₂ , P ₃ , P ₄ } - точки тетраэдра. Пусть Δ _i - площадь грани, противоположная вершине P _i, и пусть θ _ij - двугранный угол между двумя гранями тетраэдра, примыкающими к ребру P _i P _j .

Закон косинусов для этого тетраэдра, ^[21] , который относится к области граней тетраэдра к двугранным углам около вершины, задаются следующим соотношением:

${\displaystyle \Delta _{i}^{2}=\Delta _{j}^{2}+\Delta _{k}^{2}+\Delta _{l}^{2}-2(\Delta _{j}\Delta _{k}\cos \theta _{il}+\Delta _{j}\Delta _{l}\cos \theta _{ik}+\Delta _{k}\Delta _{l}\cos \theta _{ij})}$

Внутренняя точка [ править ]

Пусть P - любая внутренняя точка тетраэдра объема V, вершинами которого являются A , B , C и D , а площади противоположных граней - F _a , F _b , F _c и F _d . Затем ^{[22] : с.62, №1609.}

${\displaystyle PA\cdot F_{\mathrm {a} }+PB\cdot F_{\mathrm {b} }+PC\cdot F_{\mathrm {c} }+PD\cdot F_{\mathrm {d} }\geq 9V.}$

Для вершин A , B , C и D , внутренней точки P и оснований J , K , L и M перпендикуляров от P к граням, и предположим, что грани имеют равные площади, тогда ^{[22] : p.226 , # 215}

${\displaystyle PA+PB+PC+PD\geq 3(PJ+PK+PL+PM).}$

Inradius [ править ]

Обозначая внутренний радиус тетраэдра как r, а внутренние радиусы его треугольных граней как r _i для i = 1, 2, 3, 4, мы имеем ^{[22] : p.81, # 1990}

${\displaystyle {\frac {1}{r_{1}^{2}}}+{\frac {1}{r_{2}^{2}}}+{\frac {1}{r_{3}^{2}}}+{\frac {1}{r_{4}^{2}}}\leq {\frac {2}{r^{2}}},}$

с равенством тогда и только тогда, когда тетраэдр правильный.

Если A ₁ , A ₂ , A ₃ и A ₄ обозначают площадь каждой грани, значение r определяется как

${\displaystyle r={\frac {3V}{A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_{4}}}}$.

Эта формула получается путем деления тетраэдра на четыре тетраэдра, точки которых являются тремя точками одной из исходных граней и центром. Поскольку четыре субтетраэдра заполняют объем, мы имеем .${\displaystyle V={\frac {1}{3}}A_{1}r+{\frac {1}{3}}A_{2}r+{\frac {1}{3}}A_{3}r+{\frac {1}{3}}A_{4}r}$

Circumradius [ править ]

Обозначим описанной окружности тетраэдра как R . Пусть a , b , c - длины трех ребер, которые встречаются в вершине, а A , B , C - длины противоположных ребер. Пусть V - объем тетраэдра. Затем ^{[23] [24]}

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {(aA+bB+cC)(aA+bB-cC)(aA-bB+cC)(-aA+bB+cC)}}{24V}}.}$

Circumcenter [ править ]

Центр описанной окружности тетраэдра может быть найден как пересечение трех биссектрисных плоскостей. Биссектрисная плоскость определяется как плоскость с центром и ортогональна ребру тетраэдра. С помощью этого определения центр описанной окружности C тетраэдра с вершинами x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ может быть сформулирован как произведение матрица-вектор: ^[25]

${\displaystyle {\begin{aligned}C&=A^{-1}B&{\text{where}}&\ &A=\left({\begin{matrix}\left[x_{1}-x_{0}\right]^{T}\\\left[x_{2}-x_{0}\right]^{T}\\\left[x_{3}-x_{0}\right]^{T}\end{matrix}}\right)&\ &{\text{and}}&\ &B={\frac {1}{2}}\left({\begin{matrix}x_{1}^{2}-x_{0}^{2}\\x_{2}^{2}-x_{0}^{2}\\x_{3}^{2}-x_{0}^{2}\end{matrix}}\right)\\\end{aligned}}}$

В отличие от центроида, центр описанной окружности не всегда может лежать внутри тетраэдра. Аналогично тупому треугольнику, у тупого тетраэдра центр описанной окружности находится вне объекта.

Центроид [ править ]

Центр масс тетраэдра вычисляется как среднее арифметическое его четырех вершин, см. Центроид .

Лица [ править ]

Сумма площадей любых трех граней больше площади четвертой грани. ^{[22] : с.225, №159.}

Целочисленные тетраэдры [ править ]

Существуют тетраэдры с целочисленными длинами ребер, площадью граней и объемом. Их называют героновскими тетраэдрами . В одном примере один край 896, противоположный край 990 и четыре других края 1073; две грани представляют собой равнобедренные треугольники с площадями436 800, а два других - равнобедренные, с площадью47 120 , а громкость124 185 600 . ^[26]

Тетраэдр может иметь целочисленный объем и последовательные целые числа в качестве ребер, например, с ребрами 6, 7, 8, 9, 10 и 11 и объемом 48. ^[27]

Связанные многогранники и соединения [ править ]

Правильный тетраэдр можно рассматривать как треугольную пирамиду .

Правильный тетраэдр можно рассматривать как вырожденный многогранник, однородную двуугольную антипризму , где многоугольники основания являются сокращенными двуугольниками .

Правильный тетраэдр можно рассматривать как вырожденный многогранник, равномерный двойственный двояковыпуклый трапецоэдр , содержащий 6 вершин в двух наборах коллинеарных ребер.

Процесс усечения, применяемый к тетраэдру, дает серию однородных многогранников . Усечение ребер до точек дает октаэдр как выпрямленный тетраэдр. Процесс завершается двунаправленной связью, уменьшая исходные грани до точек и снова создавая самодвойственный тетраэдр.

Семейство равномерных тетраэдрических многогранников
Симметрия : [3,3] , (* 332)							[3,3] + , (332)
{3,3}	т {3,3}	г {3,3}	т {3,3}	{3,3}	рр {3,3}	tr {3,3}	ср {3,3}
Двойники к однородным многогранникам
V3.3.3	V3.6.6	V3.3.3.3	V3.6.6	V3.3.3	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3.3

Этот многогранник топологически связан как часть последовательности правильных многогранников с символами Шлефли {3, n }, продолжающихся в гиперболическую плоскость .

Тетраэдр топологически связан с серией правильных многогранников и мозаик с фигурами вершин порядка 3 .

• Соединения тетраэдров
• Два тетраэдра в кубе

• Соединение пяти тетраэдров

• Соединение десяти тетраэдров

Интересный многогранник можно построить из пяти пересекающихся тетраэдров . Это соединение пяти тетраэдров известно сотни лет. Он регулярно встречается в мире оригами . Соединение двадцати вершин даст правильный додекаэдр . Существуют как левосторонние, так и правосторонние формы, которые являются зеркальным отображением друг друга. Наложение обеих форм дает соединение из десяти тетраэдров , в котором десять тетраэдров расположены в виде пяти пар восьмиугольных звездочек.. Октангула стелла представляет собой соединение двух тетраэдров в двойном положении, и его восемь вершин определяют куб как их выпуклую оболочку.

Площадь осоэдр еще один многогранник с четырьмя гранями, но он не имеет треугольных граней.

Приложения [ править ]

Численный анализ [ править ]

В численном анализе , осложненные трехмерный формы , как правило , разбиваются на или аппроксимированы путем, в полигональной сетке нерегулярных тетраэдров в процессе создания уравнения для анализа метода конечных элементов , особенно в численном решении от дифференциальных уравнений . Эти методы находят широкое применение в практических приложениях в вычислительной гидродинамике , аэродинамике , электромагнитных полях , гражданском строительстве , химической инженерии , морской архитектуре и технике.и связанные поля.

Химия [ править ]

Форма тетраэдра наблюдается в природе в ковалентно связанных молекулах. Все sp 3 -гибридизованные атомы окружены атомами (или неподеленными электронными парами ) в четырех углах тетраэдра. Например, в молекуле метана ( CH
₄) или ион аммония ( NH⁺
₄) четыре атома водорода окружают центральный атом углерода или азота с тетраэдрической симметрией. По этой причине один из ведущих журналов по органической химии называется Tetrahedron . Центральный угол между любыми двумя вершинами идеального тетраэдра агссоз (-1/3), или примерно 109,47 °. ^[5]

Вода , H
₂O также имеет тетраэдрическую структуру с двумя атомами водорода и двумя неподеленными парами электронов вокруг центральных атомов кислорода. Однако его тетраэдрическая симметрия не идеальна, поскольку неподеленные пары отталкиваются сильнее, чем одинарные связи O – H.

Четвертичные фазовые диаграммы смесей химических веществ представлены графически в виде тетраэдров.

Однако четвертичные фазовые диаграммы в технике связи представлены графически на двумерной плоскости.

Электричество и электроника [ править ]

Если шесть равные резисторы являются припаяны вместе , чтобы сформировать тетраэдр, то измеренное сопротивление между любыми двумя вершинами составляет половину от одного резистора. ^{[28] [29]}

Поскольку кремний является наиболее распространенным полупроводником, используемым в твердотельной электронике , а кремний имеет валентность четыре, тетраэдрическая форма четырех химических связей в кремнии сильно влияет на то, как образуются кристаллы кремния и какие формы они принимают.

Игры [ править ]

Королевская игра Ур , начиная с 2600 г. до н.э., была сыграна с набором тетраэдрических кости.

Особенно в отыгрыше , это твердое вещество известно как 4-сторонний штамп , одной из наиболее распространенных многогранных костей , при этом число прокатки появляется вокруг нижнего или на верхней вершине. Некоторые головоломки, похожие на кубик Рубика, являются четырехгранными, например, Пираминкс и Пираморфикс .

Цветовое пространство [ править ]

Тетраэдры используются в алгоритмах преобразования цветового пространства специально для случаев, когда ось яркости сегментирует цветовое пространство по диагонали (например, RGB, CMY). ^[30]

Современное искусство [ править ]

Австрийская художница Мартина Шеттина создала тетраэдр с помощью люминесцентных ламп . Он был показан на биеннале светового искусства в Австрии 2010. ^[31]

Он используется в качестве обложки альбома, окруженный черным пламенем в «Конец всего грядущего » Мудвейна .

Популярная культура [ править ]

По словам Марвина Мински , ученого-когнитивиста и эксперта по искусственному интеллекту, который консультировал Кубрика по компьютеру HAL 9000 и другим аспектам фильма, Стэнли Кубрик изначально планировал, что монолит в 2001 году: космическая одиссея будет тетраэдром . Кубрик отказался от идеи использовать тетраэдр, поскольку посетитель, который видел кадры с ним, не узнал, что это было, и он не хотел, чтобы в фильме было что-то непонятное обычным людям. ^[32]

В сезоне 6, эпизоде ​​15 « Футурамы» , названном « Мёбиус Дик », экипаж «Планетного экспресса» проходит через область в космосе, известную как Бермудский тетраэдр. Многие другие корабли, проходящие через этот район, таинственным образом исчезли, в том числе и экипаж первой команды Planet Express.

В фильме 2013 года « Обливион» большая структура на орбите над Землей имеет конструкцию тетраэдра и называется Тет.

Геология [ править ]

Гипотеза тетраэдра , первоначально опубликованная Уильямом Лоутианом Грином для объяснения образования Земли ^[33], была популярна в начале 20 века. ^{[34] [35]}

Структурная инженерия [ править ]

Тетраэдр с жесткими краями по своей природе жесткий. По этой причине его часто используют для придания жесткости рамным конструкциям, например, космическим каркасам .

Авиация [ править ]

На некоторых аэродромах большой каркас в форме тетраэдра с двумя сторонами, покрытыми тонким материалом, устанавливается на вращающейся оси и всегда направлен против ветра. Он достаточно большой, чтобы его можно было увидеть с воздуха, и иногда он подсвечивается. Его цель - служить ориентиром для пилотов, указывающих направление ветра. ^[36]

Тетраэдрический граф [ править ]

Скелет тетраэдра (включающие вершины и ребра) образует граф с 4 вершин и 6 ребер. Это частный случай полного графа K ₄ и графа колеса W ₄ . ^[37] Это один из 5 Платоновых графов , каждый из которых является скелетом своего Платонового тела .

См. Также [ править ]

• Спираль Бурдейка – Кокстера
• Конфигурация Мебиуса
• Caltrop
• Демигиперкуб и симплекс - n -мерные аналоги
• Пентахорон - 4-х мерный аналог
• Тетра Пак
• Тетраэдрический змей
• Тетраэдрическое число
• Упаковка тетраэдра
• Треугольная дипирамида - построена путем соединения двух тетраэдров вдоль одной грани.
• Треугольный тетраэдр

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме тетраэдра .

• Вайсштейн, Эрик В. «Тетраэдр» . MathWorld .
• Бесплатные бумажные модели тетраэдра и многих других многогранников
• Удивительный, заполняющий пространство, необычный тетраэдр, который также включает описание «вращающегося кольца тетраэдров», также известного как калейдоцикл .