Двугранный угол

Угол между двумя плоскостями (α, β, зеленый) в третьей плоскости (розовой), которая пересекает линию пересечения под прямым углом.

Двугранный угол представляет собой угол между двумя пересекающимися плоскостями. В химии это угол между плоскостями через два набора из трех атомов, имеющих два общих атома. В твердой геометрии , оно определяются как союз о наличии линии и два полуплоскость , которые имеют эту линию в качестве общего края . В более высоких измерениях двугранный угол представляет собой угол между двумя гиперплоскостями . ^[1]Говорят, что плоскости летательного аппарата расположены под положительным двугранным углом, когда как правый, так и левый основные плоскости наклонены вверх к боковой оси. Когда они наклонены вниз, говорят, что они находятся под отрицательным двугранным углом.

Математические основы [ править ]

Когда две пересекающиеся плоскости описываются в декартовых координатах двумя уравнениями

${\ displaystyle a_ {1} x + b_ {1} y + c_ {1} z + d_ {1} = 0}$

${\ displaystyle a_ {2} x + b_ {2} y + c_ {2} z + d_ {2} = 0}$

двугранный угол между ними определяется выражением:${\ displaystyle \ varphi}$

${\ displaystyle \ cos \ varphi = {\ frac {\ left \ vert a_ {1} a_ {2} + b_ {1} b_ {2} + c_ {1} c_ {2} \ right \ vert} {{\ sqrt {a_ {1} ^ {2} + b_ {1} ^ {2} + c_ {1} ^ {2}}} {\ sqrt {a_ {2} ^ {2} + b_ {2} ^ {2 } + c_ {2} ^ {2}}}}}}$

и удовлетворяет ${\ displaystyle 0 \ leq \ varphi \ leq \ pi / 2.}$

В качестве альтернативы, если n _A и n _B являются нормальными векторами к плоскостям, мы имеем

${\ displaystyle \ cos \ varphi = {\ frac {\ left \ vert \ mathbf {n} _ {\ mathrm {A}} \ cdot \ mathbf {n} _ {\ mathrm {B}} \ right \ vert} { | \ mathbf {n} _ {\ mathrm {A}} || \ mathbf {n} _ {\ mathrm {B}} |}}}$

где n _A  ·  n _B - скалярное произведение векторов и | n _A | | n _B | - произведение их длины. ^[2]

Абсолютное значение требуется в приведенных выше формулах, поскольку плоскости не меняются при изменении всех знаков коэффициентов в одном уравнении или замене одного вектора нормали его противоположным.

Однако абсолютных значений можно и следует избегать при рассмотрении двугранного угла двух полуплоскостей , границы которых являются одной линией. В этом случае полуплоскости можно описать точкой P их пересечения и тремя векторами b ₀ , b ₁ и b ₂ такими, что P + b ₀ , P + b ₁ и P + b _2, соответственно, принадлежат пересечению линия, первая полуплоскость и вторая полуплоскость. Двугранный угол из этих двух половин плоскостей определяются

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {(\mathbf {b} _{0}\times \mathbf {b} _{1})\cdot (\mathbf {b} _{0}\times \mathbf {b} _{2})}{|\mathbf {b} _{0}\times \mathbf {b} _{1}||\mathbf {b} _{0}\times \mathbf {b} _{2}|}}}$,

и удовлетворяет ${\displaystyle 0\leq \varphi <\pi .}$

В физике полимеров [ править ]

В некоторых научных областях, таких как физика полимеров , можно рассматривать цепочку точек и связей между последовательными точками. Если точки последовательно пронумерованы и расположены в положениях r ₁ , r ₂ , r ₃ и т. Д., Векторы связей определяются как u ₁ = r ₂ - r ₁ , u ₂ = r ₃ - r ₂ и u _i = r _{i +1} - r _i , в более общем плане. ^[3] Это относится ккинематические цепи или аминокислоты в структуре белка . В этих случаях часто интересуют плоскости, определяемые тремя последовательными точками, и двугранный угол между двумя последовательными такими плоскостями. Если ориентация была выбрана для всей цепочки, каждая пара последовательных точек определяет вектор, а сумма всех этих векторов u _i является вектором, указывающим от начала до конца цепочки. Если u ₁ , u ₂ и u ₃три последовательных таких вектора, у одного ситуация аналогична предыдущему случаю, за исключением того, что пересечение плоскостей ориентировано. Это позволяет определить двугранный угол, принадлежащий интервалу (- π , π ] . Этот двугранный угол определяется формулой ^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos \varphi &={\frac {(\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\cdot (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})}{|\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2}|\,|\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3}|}}\\\sin \varphi &={\frac {\mathbf {u} _{2}\cdot ((\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\times (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3}))}{|\mathbf {u} _{2}|\,|\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2}|\,|\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3}|}},\end{aligned}}}$

или, используя функцию atan2 ,

${\displaystyle \varphi =\operatorname {atan2} (\mathbf {u} _{2}\cdot ((\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\times (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})),|\mathbf {u} _{2}|\,(\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\cdot (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})).}$

Этот двугранный угол не зависит от ориентации цепочки (порядка, в котором рассматриваются точки). Фактически, изменение этого порядка заключается в замене каждого вектора его противоположным вектором и замене индексов 1 и 3. Обе операции не изменяют косинус и меняют знак синуса. Таким образом, вместе они не меняют угол.

Более простая формула для того же двугранного угла следующая (доказательство приводится ниже)

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos \varphi &={\frac {(\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\cdot (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})}{|\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2}|\,|\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3}|}}\\\sin \varphi &={\frac {|\mathbf {u} _{2}|\,\mathbf {u} _{1}\cdot (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})}{|\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2}|\,|\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3}|}},\end{aligned}}}$

или эквивалентно,

${\displaystyle \varphi =\operatorname {atan2} (|\mathbf {u} _{2}|\,\mathbf {u} _{1}\cdot (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3}),(\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\cdot (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})).}$

Это можно вывести из предыдущих формул, используя формулу векторного четырехкратного произведения и того факта, что тройное скалярное произведение равно нулю, если оно содержит дважды одинаковый вектор:

${\displaystyle (\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\times (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})=[(\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})\cdot \mathbf {u} _{1}]\mathbf {u} _{2}-[(\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})\cdot \mathbf {u} _{2}]\mathbf {u} _{1}=[(\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})\cdot \mathbf {u} _{1}]\mathbf {u} _{2}}$

Особые случаи , и , которые называют пер , гош ⁺ и гош ^- конформации.${\displaystyle \varphi =\pi }$${\displaystyle \varphi =+\pi /3}$${\displaystyle \varphi =-\pi /3}$

В стереохимии [ править ]

Названия конфигураций в соответствии с двугранным углом	Syn n- бутан проекции Ньюмена	Syn n- бутана козлы проекция

Диаграмма свободной энергии н- бутана как функция двугранного угла.

В стереохимии , А угол кручения определяются как конкретный пример двугранного угла, описывающей геометрическую отношения двух частей молекулы , соединенной химической связью . ^{[5] [6]} Каждый набор из трех неколлинеарных атомов молекулы определяет плоскость. Когда две такие плоскости пересекаются (т. Е. Набор из четырех последовательно соединенных атомов), угол между ними составляет двугранный угол. Двугранные углы используются для определения молекулярной конформации . ^[7] Стереохимические схемы, соответствующие углам между 0 ° и ± 90 °, называются син (-ами), соответствующие углам между ± 90 ° и 180 ° анти(а). Точно так же устройства, соответствующие углам от 30 ° до 150 ° или от -30 ° до -150 °, называются клинальными (c), а устройства между 0 ° и ± 30 ° или ± 150 ° и 180 ° называются перипланарными (p).

Эти два типа терминов можно комбинировать, чтобы определить четыре диапазона углов; От 0 ° до ± 30 ° синпериплоскостной (sp); От 30 ° до 90 ° и от -30 ° до -90 ° синклинально (sc); От 90 ° до 150 ° и от -90 ° до -150 ° антиклиналь (ас); От ± 150 ° до 180 ° антиперипланарный (ap). Синперипланарная конформация также известна как син- или цис- конформация; антиперипланарный как анти- или транс ; и синклинальный как гош или перекос .

Например, при п - бутана две плоскости могут быть определены в терминах двух центральных атомов углерода , и любой из атомов углерода метил. Син -conformation показан выше, с двугранным углом 60 ° менее стабилен , чем анти -conformation с двугранным углом 180 °.

Для использования макромолекул рекомендуются символы T, C, G ⁺ , G ^- , A ⁺ и A ^- (ap, sp, + sc, −sc, + ac и −ac соответственно).

Белки [ править ]

Рамачандрана участок (известный также как Рамачандрана диаграммы или [ ф , ф ] участка), первоначально разработанный в 1963 году Г.Н. Рамачандрану , К. Рамакришнан и В. Sasisekharan, ^[8] способ визуализировать энергетически допустимые области для позвоночника двугранные углы ψ против ф из аминокислотных остатков в структуре белка . На рисунке справа показано определение двугранных углов φ и ψ основной цепи ^[9] ( Рамачандран назвал φ и φ ′ ).

В белковой цепи три двугранных угла определяются как φ (фи), ψ (фунт / кв. Дюйм) и ω (омега), как показано на диаграмме. Планарность пептидной связи обычно ограничивает ω величиной 180 ° (типичный транс- случай) или 0 ° (редкий цис- случай). Расстояние между атомами C ^α в транс- и цис- изомерах составляет приблизительно 3,8 и 2,9 Å соответственно. Подавляющее большинство пептидных связей в белках являются транс , хотя пептидная связь с азотом пролина имеет повышенное преобладание.цис по сравнению с другими парами аминокислот. ^[10]

Боковые цепи двугранные углы обозначены х _п (хи - п ). ^[11] Они имеют тенденцию группироваться около 180 °, 60 ° и -60 °, которые называются транс , гош ⁺ и гош ^- конформациями. На стабильность некоторых двугранных углов боковой цепи влияют значения φ и ψ . ^[12] Например, существуют прямые стерические взаимодействия между C γ боковой цепи в гош ⁺ ротамере и азотом основной цепи следующего остатка, когда ψ составляет около -60 °. ^[13]

Преобразование двугранных углов в декартовы координаты в цепочках [ править ]

Обычно каркасы полимеров, особенно белков, представляют во внутренних координатах ; то есть список последовательных двугранных углов и длин связей. Однако в некоторых типах вычислительной химии вместо этого используются декартовы координаты . При оптимизации вычислительной структуры некоторым программам необходимо переключаться между этими представлениями во время своих итераций. Эта задача может доминировать над временем расчета. Для процессов с большим количеством итераций или с длинными цепочками это также может привести к кумулятивной численной неточности. Хотя все алгоритмы преобразования дают математически идентичные результаты, они различаются по скорости и числовой точности. ^{[14] [необходим неосновной источник ]}

Геометрия [ править ]

У каждого многогранника есть двугранный угол на каждом ребре, описывающий отношения двух граней, которые имеют это ребро. Этот двугранный угол, также называемый лицевым углом , измеряется как внутренний угол по отношению к многограннику. Угол 0 ° означает, что векторы нормалей к граням антипараллельны, а грани перекрывают друг друга, что означает, что он является частью вырожденного многогранника. Угол 180 ° означает, что грани параллельны, как в мозаике . На вогнутых частях многогранника существует угол больше 180 °.

Каждый двугранный угол в реберно-транзитивном многограннике имеет одно и то же значение. Сюда входят 5 Платоновых тел , 13 каталонских тел , 4 многогранника Кеплера – Пуансо , два квазирегулярных тела и два квазирегулярных дуальных тела.

Для трех граней многогранника, которые пересекаются в общей вершине P и имеют ребра AP, BP и CP, косинус двугранного угла между гранями, содержащими APC и BPC, равен: ^[15]

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {\cos(\angle \mathrm {APB} )-\cos(\angle \mathrm {APC} )\cos(\angle \mathrm {BPC} )}{\sin(\angle \mathrm {APC} )\sin(\angle \mathrm {BPC} )}}}$

См. Также [ править ]

• Атропоизомер

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Двугранный угол в деревообработке на Tips.FM
• Анализ 5 правильных многогранников дает пошаговый вывод этих точных значений.