Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Для ребра в теории графов см. Край (теория графов)

В геометрии , край представляет собой особый тип сегмента линии , соединяющей две вершины в многоугольник , многогранника или многомерный многогранник . [1] В многоугольнике ребро - это отрезок линии на границе [2], который часто называют стороной . В многограннике или, в более общем смысле, многограннике ребро - это отрезок прямой, на котором встречаются две грани . [3] Отрезок, соединяющий две вершины, проходя через внутреннюю или внешнюю часть, не является ребром, а называется диагональю .

Связь с ребрами в графах [ править ]

В теории графов , край является абстрактным объектом , соединяющие два вершин графа , в отличии от полигонов и ребер многогранника , которые имеют конкретное геометрическое представление в виде отрезка. Однако любой многогранник может быть представлен его скелетом или ребром-скелетом, графом, вершины которого являются геометрическими вершинами многогранника, а ребра соответствуют геометрическим ребрам. [4] И наоборот, графы, являющиеся каркасом трехмерных многогранников, могут быть охарактеризованы теоремой Стейница как в точности 3-связные плоские графы . [5]

Количество ребер в многограннике [ править ]

Поверхность любого выпуклого многогранника имеет эйлерову характеристику

где V - количество вершин , E - количество ребер, а F - количество граней . Это уравнение известно как формула многогранника Эйлера . Таким образом, количество ребер на 2 меньше суммы количества вершин и граней. Например, у куба 8 вершин и 6 граней, а значит, 12 ребер.

Случаи с другими лицами [ править ]

В многоугольнике два ребра пересекаются в каждой вершине; вообще говоря, по теореме Балински по крайней мере d ребер пересекаются в каждой вершине d -мерного выпуклого многогранника. [6] Аналогично, в многограннике ровно две двумерные грани пересекаются на каждом ребре, [7] в то время как в многогранниках более высоких измерений три или более двумерных грани встречаются на каждом ребре.

Альтернативная терминология [ править ]

В теории многомерных многогранников выпуклых , A фасет или сторона из г - мерного многогранника является одним из ее ( г  - 1) -мерных особенностей, гребень является ( d  - 2) -мерная функция, а пик находится a ( d  - 3) -мерный элемент. Таким образом, ребра многоугольника - это его грани, ребра трехмерного выпуклого многогранника - его гребни, а ребра четырехмерного многогранника - его вершины. [8]

См. Также [ править ]

  • Расширенная сторона

Ссылки [ править ]

  1. ^ Зиглер, Гюнтер М. (1995), Лекции по многогранникам , Тексты для выпускников по математике , 152 , Springer, Определение 2.1, стр. 51.
  2. Перейти ↑ Weisstein, Eric W. Polygon Edge. Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/PolygonEdge.html
  3. ^ Вайсштейн, Эрик В. "Край многогранника". Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/PolytopeEdge.html
  4. ^ Сенешаль, Марджори (2013), Формирование пространства: изучение многогранников в природе, искусстве и геометрическом воображении , Спрингер, стр. 81, ISBN 9780387927145.
  5. ^ Писанский, Томаж ; Рандич, Милан (2000), «Мосты между геометрией и теорией графов», в Горини, Кэтрин А. (ред.), Геометрия в действии, Примечания МАА, 53 , Вашингтон, округ Колумбия: Математика. Доц. Америка, стр. 174–194, MR 1782654 . См., В частности, теорему 3, с. 176 .
  6. ^ Balinski, М. Л. (1961), "О структуре графа выпуклых многогранников в п - пространстве" , Тихоокеанский журнал математики , 11 (2): 431-434, DOI : 10,2140 / pjm.1961.11.431 , МР 0126765 .
  7. ^ Веннингер, Магнус Дж. (1974), Модели многогранников , Cambridge University Press, стр. 1, ISBN 9780521098595.
  8. ^ Зайдель, Раймунд (1986), «Построение многомерные выпуклые оболочки в логарифмической стоимости на лице», Труды восемнадцатой ежегодной ACM симпозиум по теории вычислений (STOC '86) , стр 404-413,. DOI : 10,1145 / 12130,12172.

Внешние ссылки [ править ]

  • Вайсштейн, Эрик В. "Многоугольный край" . MathWorld .
  • Вайсштейн, Эрик В. «Многогранный край» . MathWorld .