4-многогранник

Графы шести выпуклых правильных 4-многогранников

{3,3,3}	{3,3,4}	{4,3,3}
5-клеточный пентатопа 4- симплекс	16-элементный Orthoplex 4- orthoplex	8-элементный Тессеракт 4- кубовый
{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}
Octaplex 24-элементный	Додекаплекс 120 ячеек	Тетраплекс 600 клеток

В геометрии , A 4-многогранник (иногда также называют polychoron , ^[1] polycell или polyhedroid ) является четырехмерным многогранником . ^{[2] [3]} Это связная и замкнутая фигура, состоящая из многогранников меньшей размерности: вершин , ребер , граней ( многоугольников ) и ячеек ( многогранников ). Каждое лицо делится ровно на две ячейки.

Двумерный аналог 4-многогранника - это многоугольник , а трехмерный аналог - многогранник .

Топологически 4-многогранники тесно связаны с однородными сотами , такими как кубические соты , которые образуют мозаику 3-пространства; аналогично трехмерный куб связан с бесконечной двумерной квадратной мозаикой . Выпуклые 4-многогранники можно разрезать и развернуть как сети в 3-м пространстве.

Определение [ править ]

4-многогранник - это замкнутая четырехмерная фигура. Он состоит из вершин (угловых точек), ребер , граней и ячеек . Клетка - это трехмерный аналог лица, а значит, многогранник . Каждая грань должна соединять ровно две ячейки, аналогично тому, как каждое ребро многогранника соединяет только две грани. Как и любой многогранник, элементы 4-многогранника нельзя разделить на два или более множеств, которые также являются 4-многогранниками, т. Е. Он не является составным.

Самый известный 4-многогранник - это тессеракт или гиперкуб, четырехмерный аналог куба.

Визуализация [ править ]

4-многогранники нельзя увидеть в трехмерном пространстве из-за их дополнительного измерения. Чтобы визуализировать их, используются несколько техник.

Ортогональная проекция

Ортогональные проекции могут использоваться, чтобы показать различные ориентации симметрии 4-многогранника. Их можно рисовать в 2D как графы вершин и ребер, а также можно отображать в 3D с твердыми гранями в виде видимых проекционных огибающих .

Перспективная проекция

Как трехмерную фигуру можно спроецировать на плоский лист, так и четырехмерную фигуру можно спроецировать на трехмерное пространство или даже на плоский лист. Одной из распространенных проекций является диаграмма Шлегеля, которая использует стереографическую проекцию точек на поверхности 3-сферы в трех измерениях, соединенных прямыми краями, гранями и ячейками, нарисованными в 3-м пространстве.

Разделение

Подобно тому, как разрез многогранника показывает поверхность разреза, разрез 4-многогранника показывает разрез «гиперповерхность» в трех измерениях. Последовательность таких секций может быть использована для понимания общей формы. Дополнительное измерение можно приравнять ко времени для создания плавной анимации этих поперечных сечений.

Сети

Сетка из 4-многогранника состоит из многогранных клеток , которые соединены своими гранями , и все занимают такое же трехмерное пространство, подобно тому , как многоугольник Грань сети многогранника связаны их кромки и все занимают ту же плоскость .

Топологические характеристики [ править ]

Топология любого данного 4-многогранника определяется его числами Бетти и коэффициентами кручения . ^[4]

Значение характеристики Эйлера, используемой для характеристики многогранников, бесполезно обобщается на более высокие измерения и равно нулю для всех 4-многогранников, независимо от их базовой топологии. Эта неадекватность характеристики Эйлера для надежного различения различных топологий в более высоких измерениях привела к открытию более сложных чисел Бетти. ^[4]

Точно так же понятие ориентируемости многогранника недостаточно для характеристики скручивания поверхности тороидальных 4-многогранников, и это привело к использованию коэффициентов кручения. ^[4]

Классификация [ править ]

Критерии [ править ]

Как и все многогранники, 4-многогранники можно классифицировать на основе таких свойств, как « выпуклость » и « симметрия ».

• 4-многогранник является выпуклым, если его граница (включая его клетки, грани и ребра) не пересекается с самим собой, а отрезок прямой, соединяющий любые две точки 4-многогранника, содержится в 4-многограннике или его внутренности; в противном случае он невыпуклый . Самопересекающиеся 4-многогранники также известны как звездные 4-многогранники по аналогии со звездообразными формами невыпуклых звездных многоугольников и многогранников Кеплера – Пуансо .
• 4-многогранник является правильным, если он транзитивен по своим флагам . Это означает, что все его клетки являются конгруэнтными правильными многогранниками , и аналогично его вершинные фигуры конгруэнтны и принадлежат к другому типу правильного многогранника.
• Выпуклый 4-многогранник является полурегулярным, если он имеет группу симметрий, в которой все вершины эквивалентны ( вершинно-транзитивны ), а его клетки являются правильными многогранниками . Ячейки могут быть двух или более типов при условии, что у них одинаковое лицо. Торольд Госсет в 1900 году выделил только 3 случая : выпрямленный 5-элементный , выпрямленный 600-элементный и курносый 24-элементный .
• 4-многогранник является однородным, если он имеет группу симметрии, в которой все вершины эквивалентны, а его клетки являются однородными многогранниками . Грани равномерного 4-многогранника должны быть правильными .
• 4-многогранник является скалярным, если он транзитивен по вершинам и имеет все ребра равной длины. Это позволяет использовать неоднородные ячейки, такие как выпуклые тела Джонсона с правильными гранями .
• Правильный 4-многогранник, который также является выпуклым , называется выпуклым правильным 4-многогранником .
• 4-многогранник является призматическим, если он является декартовым произведением двух или более многогранников меньшей размерности. Призматический 4-многогранник однороден, если его множители однородны. Гиперкуба является призматическим (произведение двух квадратов , или в виде куба и линии сегмента ), но рассматривается отдельно , поскольку она имеет другие , чем те , унаследованные от ее факторов симметрии.
• Плиточный или соты 3-пространства является разделением трехмерного евклидова пространства в повторяющуюся сетку из многогранных ячеек. Такие мозаики или мозаики бесконечны и не ограничивают «4-мерный» объем и являются примерами бесконечных 4-многогранников. Равномерное разбиение 3-пространства является одной вершина которого совпадает и связана с пространственной группой и чьи клетки являются равномерной многогранники .

Классы [ править ]

Ниже перечислены различные категории 4-многогранников, классифицированные в соответствии с указанными выше критериями:

Равномерный 4-многогранник ( вершинно-транзитивный ):

• Выпуклые равномерные 4-многогранники (64 плюс два бесконечных семейства)
  • 47 непризматических выпуклых однородных 4-многогранников, включающих:
    • 6 Выпуклый правильный 4-многогранник
  • Призматические однородные 4-многогранники :
    • {} × {p, q}: 18 многогранных гиперпризм (включая кубическую гиперпризму, правильный гиперкуб ).
    • Призмы, построенные на антипризмах (бесконечное семейство)
    • {p} × {q}: дуопризма (бесконечная семья)
• Невыпуклые равномерные 4-многогранники (10 + неизвестно)
  Правнуки звездообразный 120-клеток является самым крупным из 10 регулярных звездных 4-многогранников, имеющий 600 вершин.
  • 10 (регулярных) многогранников Шлефли-Гесса
  • 57 гиперпризм, построенных на невыпуклых однородных многогранниках
  • Неизвестное общее количество невыпуклых однородных 4-многогранников: Норман Джонсон и другие сотрудники определили 1849 известных случаев (выпуклых и звездчатых), все из которых построены с помощью фигур вершин с помощью программного обеспечения Stella4D . ^[5]

Другие выпуклые 4-многогранники :

• Многогранная пирамида
• Многогранная призма

Бесконечные равномерные 4-многогранники трехмерного евклидова пространства (равномерные мозаики выпуклых равномерных ячеек)

• 28 выпуклых однородных сот : однородные выпуклые многогранные мозаики, в том числе:
  • 1 обычная мозаика, кубические соты : {4,3,4}

Бесконечные равномерные 4-многогранники гиперболического 3-пространства (равномерные мозаики выпуклых равномерных ячеек)

• 76 Выпуклые однородные соты Витоффа в гиперболическом пространстве , в том числе:
  • 4 регулярная мозаика компактного гиперболического 3- мерного пространства : {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4}, {5,3,5}

Двойной однородный 4-многогранник ( клеточно-транзитивный ):

• 41 уникальный двойственный выпуклый равномерный 4-многогранник
• 17 уникальных двойных выпуклых однородных многогранных призм
• бесконечное семейство двойственных выпуклых однородных дуопризм (неправильные тетраэдрические клетки)
• 27 уникальных выпуклых двойных однородных сот, в том числе:
  • Ромбические додекаэдрические соты
  • Дисфеноидные четырехгранные соты

Другие:

• Периодические соты, заполняющие пространство структуры Вейра – Фелана, с нерегулярными ячейками

Абстрактные правильные 4-многогранники :

• 11-элементный
• 57 ячеек

В эти категории входят только 4-многогранники, обладающие высокой степенью симметрии. Возможны многие другие 4-многогранники, но они не изучены так широко, как включенные в эти категории.

См. Также [ править ]

• Правильный 4-многогранник
• 3-сфера (или glome ) является еще одним широко обсуждалась цифра , которая находится в 4-мерном пространстве. Это не 4-многогранник, так как он не ограничен многогранными клетками.
• Duocylinder представляет собой фигуру , в 4-мерном пространстве , связанное с duoprisms . Это также не 4-многогранник, потому что его ограничивающие объемы не являются полиэдральными.

Ссылки [ править ]

Заметки [ править ]

Библиография [ править ]

• HSM Coxeter :
  • HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins и JCP Miller : Uniform Polyhedra , Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Londne, 1954.
  • HSM Coxeter, Regular Polytopes , 3rd Edition, Dover New York, 1973.
• Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, публикацией Wiley-Interscience, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] 
  • (Документ 22) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
  • (Документ 23) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
  • (Документ 24) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• JH Conway и MJT Guy : четырехмерные архимедовы многогранники , материалы коллоквиума по выпуклости в Копенгагене, стр. 38 и 39, 1965 г.
• Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
• Четырехмерные архимедовы многогранники (немецкий), Марко Мёллер, докторская диссертация 2004 г. [2]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме 4-многогранники .

• Вайсштейн, Эрик В. «Полихорон» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. "Многогранная формула" . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. "Регулярные полихоронные эйлеровы характеристики" . MathWorld .
• Страница четырехмерных фигур Георгия Ольшевского.
• Ольшевский, Георгий. «Полихорон» . Глоссарий по гиперпространству . Архивировано из оригинала 4 февраля 2007 года.
• Униформа Полихора , Джонатан Бауэрс
• Uniform polychoron Viewer - Java3D-апплет с исходниками
• Д-р Р. Клитцинг, полихора