Выпуклые однородные соты

Чередовались кубические сотнями являются одним из 28 космических заполнения однородных мозаик в евклидове 3-пространстве, состоящих из чередующихся желтых тетраэдров и красные октаэдры .

В геометрии , A выпуклые равномерные сотни являются однородной тесселяцией , который заполняет трехмерное евклидово пространства с неперекрывающимися выпуклыми однородными многогранными клетками.

Известно 28 таких сот:

• знакомые кубические соты и 7 их усечений;
• чередовались кубических соты и 4 усечения их;
• 10 призматических форм на основе однородных плоскостных мозаик (11, включая кубические соты);
• 5 модификаций некоторых из вышеперечисленных за счет удлинения и / или вращения.

Их можно рассматривать как трехмерный аналог однородных мозаик на плоскости .

Диаграмма Вороной ни решетка образует выпуклые равномерные сотни , в которых клетка зоноэдры .

История [ править ]

• 1900 : Торольд Госсет перечислил список полуправильных выпуклых многогранников с правильными ячейками ( Платоновы тела ) в своей публикации О правильных и полурегулярных фигурах в пространстве n измерений , включая одну правильную кубическую соту и две полуправильные формы с тетраэдрами и октаэдрами.
• 1905 : Альфредо Андреини перечислил 25 таких мозаик.
• 1991 : Рукопись Нормана Джонсона « Единообразные многогранники» определила список из 28 ^[1].
• 1994 : Бранко Грюнбаум в своей статье « Однородные мозаики 3-пространства» также независимо перечислил все 28, обнаружив ошибки в публикации Андреини. Он обнаружил, что в статье 1905 года, в которой перечислено 25, 1 была неправильная, а 4 отсутствовали . Грюнбаум заявляет в этой статье, что Норман Джонсон заслуживает приоритета для проведения такой же регистрации в 1991 году. Он также упоминает, что И. Алексеев из России связался с ним по поводу предполагаемого перечисления этих форм, но что Грюнбаум не смог это проверить в то время.
• 2006 : Георгий Ольшевский в своей рукописи Uniform Panoploid Tetracombs , наряду с повторением производного списка из 11 выпуклых однородных мозаик и 28 выпуклых однородных сот, расширяет дальнейший производный список из 143 выпуклых однородных тетракомбов (соты однородных 4-многогранников в 4- Космос). ^[2]

Только 14 из выпуклых однородных многогранников появляются в этих узорах:

• три из пяти Платоновых тел ,
• шесть из тринадцати архимедовых тел , и
• пять из бесконечного семейства призм .

Имена [ править ]

Этот набор можно назвать обычными и полуправильными сотами . Его назвали архимедовыми сотами по аналогии с выпуклыми однородными (нерегулярными) многогранниками, обычно называемыми архимедовыми телами . Недавно Конвей предложил назвать набор архитектурной мозаикой, а двойные соты - мозаикой Катоптра .

Отдельные соты перечислены с именами, данными им Норманом Джонсоном . (Некоторые из терминов, используемых ниже, определены в Uniform 4-polytope # Geometric Plations for 46 непризматических однородных 4-многогранников Витоффа )

Для перекрестных ссылок, они приведены в список индексов из A ndreini (1-22), W illiams (1-2,9-19), J ohnson (11-19, 21-25, 31-34, 41-49 , 51-52, 61-65), и G rünbaum (1-28). Кокстер использует δ ₄ для кубических сот , hδ ₄ для чередующихся кубических сот , qδ ₄ для четверти кубических сот , с индексами для других форм, основанных на кольцевых структурах диаграммы Кокстера.

Компактные евклидовы однородные мозаики (по их бесконечным семействам групп Кокстера) [ править ]

Фундаментальные бесконечные группы Кокстера для 3-пространства:

1. , [4,3,4], кубический,${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{3}}$ (8 уникальных форм плюс одно чередование)
2. , [4,3 ^1,1 ], чередовались кубической,${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {3}}$ (11 форм, 3 новых)
3. Циклическая группа, [(3,3,3,3)] или [3 ^[4] ],${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$ (5 форм, одна новая)

Между всеми тремя семьями существует переписка. Удаление одного зеркала из производства и удаление одного зеркала из производства . Это позволяет создавать несколько конструкций из одних и тех же сот. Если клетки окрашены в соответствии с уникальными положениями в каждой конструкции Wythoff, можно отобразить эти разные симметрии.${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{3}}$${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {3}}$${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {3}}$${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$

Кроме того, есть 5 специальных сот, которые не обладают чистой отражательной симметрией и построены из отражающих форм с операциями удлинения и вращения .

Всего выше уникальных сот 18.

Призматические стеки из бесконечных групп Кокстера для 3-мерного пространства:

1. × , [4,4,2, ∞] призматическая группа,${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{2}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$ (2 новые формы)
2. × , [6,3,2, ∞] призматическая группа,${\ displaystyle {\ tilde {H}} _ {2}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$ (7 уникальных форм)
3. × [(3,3,3), 2, ∞] призматическая группа,${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {2}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$ (Нет новых форм)
4. × × , [∞, 2, ∞, 2, ∞] призматическая группа,${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$(Все они становятся кубическими сотами )

Кроме того, существует одна особая удлиненная форма треугольных призматических сот.

Общее количество уникальных призматических сот выше (не считая кубических сот, подсчитанных ранее) составляет 10.

Комбинируя эти числа, 18 и 10 дают нам в общей сложности 28 однородных сот.

Группа C ^~ ₃ , [4,3,4] (кубическая) [ править ]

Обычные кубические соты, представленные символом Шлефли {4,3,4}, предлагают семь уникальных производных однородных сот посредством операций усечения. (Одна избыточная форма, кубические соты с контурами , включена для полноты картины, хотя и идентична кубическим сотам.) Отражательная симметрия - это аффинная группа Кокстера [4,3,4]. Есть четыре подгруппы индекса 2, которые генерируют чередования: [1 ⁺ , 4,3,4], [(4,3,4,2 ⁺ )], [4,3 ⁺ , 4] и [4,3,4 ] ⁺ , с первыми двумя сгенерированными повторяющимися формами, а последние две - неоднородными.

C3 соты
Космическая группа	Фибрифолд	Расширенная симметрия	Расширенная диаграмма	Заказ	Соты
Рт 3 м (221)	4 - : 2	[4,3,4]		× 1	1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6
FM 3 м (225)	2 - : 2	[1 + , 4,3,4] ↔ [4,3 1,1 ]	↔	Половина	7 , 11 , 12 , 13
Я 4 3 мес. (217)	4 ч : 2	[[(4,3,4,2 + )]]		Половина × 2	(7) ,
Fd 3 м (227)	2 + : 2	[[1 + , 4,3,4,1 + ]] ↔ [[3 [4] ]]	↔	Квартал × 2	10 ,
Я 3 мес. (229)	8 часов : 2	[[4,3,4]]		× 2	(1) , 8 , 9

[4,3,4], пространственная группа Pm 3 m (221)

Справочные индексы	Название соты Диаграмма Кокстера и символ Шлефли	Количество ячеек / вершины и позиции в кубических сотах						Кадры (перспектива)	Фигура вершины	Двойная ячейка
		(0)	(1)	(2)	(3)	Alt	Твердые тела (частично)
Дж 11,15 A 1 Вт 1 G 22 δ 4	кубический (чон) т 0 {4,3,4} {4,3,4}				(8) (4.4.4)				октаэдр	Куб ,
J 12,32 A 15 Вт 14 G 7 O 1	ректификованный кубический (богатый) т 1 {4,3,4} r {4,3,4}	(2) (3.3.3.3)			(4) (3.4.3.4)				кубовид	Квадратная бипирамида
J 13 A 14 W 15 G 8 t 1 δ 4 O 15	усеченный кубический (тич) т 0,1 {4,3,4} т {4,3,4}	(1) (3.3.3.3)			(4) (3.8.8)				квадратная пирамида	Равнобедренная квадратная пирамида
J 14 A 17 W 12 G 9 t 0,2 δ 4 O 14	скошенный кубический (srich) т 0,2 {4,3,4} рр {4,3,4}	(1) (3.4.3.4)	(2) (4.4.4)		(2) (3.4.4.4)				наклонная треугольная призма	Треугольная бипирамида
J 17 A 18 W 13 G 25 t 0,1,2 δ 4 O 17	усеченный кубический (grich) t 0,1,2 {4,3,4} tr {4,3,4}	(1) (4.6.6)	(1) (4.4.4)		(2) (4.6.8)				неправильный тетраэдр	Треугольная пирамидилла
J 18 A 19 W 19 G 20 t 0,1,3 δ 4 O 19	усеченный кубический (прич) т 0,1,3 {4,3,4}	(1) (3.4.4.4)	(1) (4.4.4)	(2) (4.4.8)	(1) (3.8.8)				наклонная трапециевидная пирамида	Квадратный квартал пирамидилли
J 21,31,51 A 2 W 9 G 1 hδ 4 O 21	чередующийся кубический (октет) ч {4,3,4}				(8) (3.3.3)	(6) (3.3.3.3)			кубооктаэдр	Додекаэдрил
J 22,34 A 21 W 17 G 10 ч 2 δ 4 O 25	Кантик кубический (тато) ↔	(1) (3.4.3.4)		(2) (4.6.6)	(2) (3.6.6)				прямоугольная пирамида	Половинчатый октаэдр
J 23 A 16 W 11 G 5 ч 3 δ 4 O 26	Руническая кубическая (ратох) ↔	(1) куб		(3) (3.4.4.4)	(1) (3.3.3)				коническая треугольная призма	Четверть кубиля
J 24 A 20 W 16 G 21 ч 2,3 δ 4 O 28	Рунцикантическая кубическая (гратох) ↔	(1) (3.8.8)		(2) (4.6.8)	(1) (3.6.6)				Неправильный тетраэдр	Полупирамидилла
Неоднородный b	курносый ректификованный кубический sr {4,3,4}	(1) (3.3.3.3.3)	(1) (3.3.3)		(2) (3.3.3.3.4)	(4) (3.3.3)			Irr. трехуменьшенный икосаэдр
Неоднородный	Триректифицированный биснуб кубический 2с 0 {4,3,4}	(3.3.3.3.3)	(4.4.4)	(4.4.4)	(3.4.4.4)
Неоднородный	Руническое песнопение усеченный кубический sr 3 {4,3,4}	(3.4.4.4)	(4.4.4)	(4.4.4)	(3.3.3.3.4)

[[4,3,4]] соты, пространственная группа Im 3 m (229)

Справочные индексы	Название соты Диаграмма Кокстера и символ Шлефли	Количество ячеек / вершины и позиции в кубических сотах			Твердые тела (частично)	Кадры (перспектива)	Фигура вершины	Двойная ячейка
		(0,3)	(1,2)	Alt
J 11,15 A 1 Вт 1 G 22 δ 4 O 1	рунический кубический (то же, что и обычный кубический ) (чон) т 0,3 {4,3,4}	(2) (4.4.4)	(6) (4.4.4)				октаэдр	Куб
J 16 A 3 W 2 G 28 t 1,2 δ 4 O 16	усеченный кубический (пакетный) т 1,2 {4,3,4} 2 т {4,3,4}	(4) (4.6.6)					( дисфеноид )	Сплюснутый тетраэдрил
J 19 A 22 W 18 G 27 t 0,1,2,3 δ 4 O 20	усеченный кубический (отч) т 0,1,2,3 {4,3,4}	(2) (4.6.8)	(2) (4.4.8)				неправильный тетраэдр	Восьмая пирамидилла
J 21,31,51 A 2 W 9 G 1 hδ 4 O 27	Четвертькубические соты ht 0 ht 3 {4,3,4}	(2) (3.3.3)	(6) (3.6.6)				удлиненная треугольная антипризма	Сплюснутый кубиль
J 21,31,51 A 2 W 9 G 1 hδ 4 O 21	Переменный бегущий кубический (то же, что и переменный кубический) ht 0,3 {4,3,4}	(4) (3.3.3)	(4) (3.3.3)	(6) (3.3.3.3)			кубооктаэдр
Неоднородный	2с 0,3 {(4,2,4,3)}
Неоднородный а	Альтернативный битусеченный кубический h2t {4,3,4}	(4) (3.3.3.3.3)		(4) (3.3.3)
Неоднородный	2с 0,3 {4,3,4}
Неоднородный c	Чередующийся омниусеченный кубический ht 0,1,2,3 {4,3,4}	(2) (3.3.3.3.4)	(2) (3.3.3.4)	(4) (3.3.3)

B ^~ ₃ , [4,3 ^1,1 ] группа [ править ]

Группа , [4,3] предлагает 11 производных форм посредством операций усечения, четыре из которых являются уникальными однородными сотами. Есть 3 подгруппы индекса 2, которые генерируют чередования: [1 ⁺ , 4,3 ^1,1 ], [4, (3 ^1,1 ) ⁺ ] и [4,3 ^1,1 ] ⁺ . Первый генерирует повторяющиеся соты, а последние два неоднородны, но включены для полноты картины.${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {3}}$

Соты из этой группы называются чередующимися кубическими, потому что первую форму можно рассматривать как кубические соты с удаленными чередующимися вершинами, уменьшая кубические ячейки до тетраэдров и создавая ячейки октаэдра в зазорах.

Узлы индексируются слева направо как 0,1,0 ', 3 с 0' внизу и взаимозаменяемы с 0 . Приведенные альтернативные кубические имена основаны на этом порядке.

В3 соты
Космическая группа	Фибрифолд	Расширенная симметрия	Расширенная диаграмма	Заказ	Соты
FM 3 м (225)	2 - : 2	[4,3 1,1 ] ↔ [4,3,4,1 + ]	↔	× 1	1 , 2 , 3 , 4
FM 3 м (225)	2 - : 2	<[1 + , 4,3 1,1 ]> ↔ <[3 [4] ]>	↔	× 2	(1) , (3)
Рт 3 м (221)	4 - : 2	<[4,3 1,1 ]>		× 2	5 , 6 , 7 , (6) , 9 , 10 , 11

[4,3 ^1,1 ] однородные соты, пространственная группа Fm 3 м (225)

Указанные индексы	Название соты Диаграммы Кокстера	Ячейки по местоположению (и считайте вокруг каждой вершины)				Твердые тела (частично)	Кадры (перспектива)	фигура вершины
		(0)	(1)	(0 ')	(3)
J 21,31,51 A 2 W 9 G 1 hδ 4 O 21	Альтернативный куб (октет) ↔			(6) (3.3.3.3)	(8) (3.3.3)			кубооктаэдр
J 22,34 A 21 W 17 G 10 ч 2 δ 4 O 25	Кантик кубический (тато) ↔	(1) (3.4.3.4)		(2) (4.6.6)	(2) (3.6.6)			прямоугольная пирамида
J 23 A 16 W 11 G 5 ч 3 δ 4 O 26	Руническая кубическая (ратох) ↔	(1) куб		(3) (3.4.4.4)	(1) (3.3.3)			коническая треугольная призма
J 24 A 20 W 16 G 21 ч 2,3 δ 4 O 28	Рунцикантическая кубическая (гратох) ↔	(1) (3.8.8)		(2) (4.6.8)	(1) (3.6.6)			Неправильный тетраэдр

<[4,3 ^1,1 ]> однородные соты, пространственная группа Pm 3 м (221)

Указанные индексы	Название соты Диаграммы Кокстера ↔	Ячейки по местоположению (и считайте вокруг каждой вершины)				Твердые тела (частично)	Кадры (перспектива)	фигура вершины
		(0,0 ')	(1)	(3)	Alt
J 11,15 A 1 Вт 1 G 22 δ 4 O 1	Кубический (чон) ↔	(8) (4.4.4)						октаэдр
J 12,32 A 15 W 14 G 7 t 1 δ 4 O 15	Ректификованный кубический (богатый) ↔	(4) (3.4.3.4)		(2) (3.3.3.3)				кубовид
	Ректификованный кубический (богатый) ↔	(2) (3.3.3.3)		(4) (3.4.3.4)				кубовид
J 13 A 14 W 15 G 8 t 0,1 δ 4 O 14	Усеченный кубический (тич) ↔	(4) (3.8.8)		(1) (3.3.3.3)				квадратная пирамида
J 14 A 17 W 12 G 9 t 0,2 δ 4 O 17	Канеллированный кубический (srich) ↔	(2) (3.4.4.4)	(2) (4.4.4)	(1) (3.4.3.4)				обиликовая треугольная призма
J 16 A 3 W 2 G 28 t 0,2 δ 4 O 16	Bitruncated cubic (пакетный) ↔	(2) (4.6.6)		(2) (4.6.6)				равнобедренный тетраэдр
J 17 A 18 W 13 G 25 t 0,1,2 δ 4 O 18	Усеченный кубический (grich) ↔	(2) (4.6.8)	(1) (4.4.4)	(1) (4.6.6)				неправильный тетраэдр
J 21,31,51 A 2 W 9 G 1 hδ 4 O 21	Альтернативный куб (октет) ↔	(8) (3.3.3)			(6) (3.3.3.3)			кубооктаэдр
J 22,34 A 21 W 17 G 10 ч 2 δ 4 O 25	Кантик кубический (тато) ↔	(2) (3.6.6)		(1) (3.4.3.4)	(2) (4.6.6)			прямоугольная пирамида
Неоднородный а	Альтернативный битусеченный кубический ↔	(2) (3.3.3.3.3)		(2) (3.3.3.3.3)	(4) (3.3.3)
Неоднородный b	Чередующийся косоусеченный кубический ↔	(2) (3.3.3.3.4)	(1) (3.3.3)	(1) (3.3.3.3.3)	(4) (3.3.3)			Irr. трехуменьшенный икосаэдр

A ^~ ₃ , [3 ^[4] )] группа [ править ]

Есть 5 форм ^[3], построенных из , [3 ^[4] ] группы Кокстера , из которых единственна только четверть кубических сот . Существует одна подгруппа индекса 2 [3 ^[4] ] ^+, которая генерирует пренебрежительную форму, которая не является единообразной, но включена для полноты.${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$

Соты формата А3
Космическая группа	Фибрифолд	Квадратная симметрия	Расширенная симметрия	Расширенная диаграмма	Расширенная группа	Сотовые диаграммы
Ж 4 3 мес. (216)	1 о : 2	а1	[3 [4] ]		${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$	(Никто)
FM 3 м (225)	2 - : 2	d2	<[3 [4] ]> ↔ [4,3 1,1 ]	↔	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$× 2 1 ↔${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {3}}$	1 , 2
Fd 3 м (227)	2 + : 2	g2	[[3 [4] ]] или [2 + [3 [4] ]]	↔	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$× 2 2	3
Рт 3 м (221)	4 - : 2	d4	<2 [3 [4] ]> ↔ [4,3,4]	↔	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$× 4 1 ↔${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{3}}$	4
Я 3 (204)	8 −o	r8	[4 [3 [4] ]] + ↔ [[4,3 + , 4]]	↔	½ × 8 ↔ ½ × 2${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{3}}$	(*)
Я 3 мес. (229)	8 часов : 2		[4 [3 [4] ]] ↔ [[4,3,4]]		${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$× 8 ↔ × 2${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{3}}$	5

[[3 ^[4] ]] однородные соты, пространственная группа Fd 3 m (227)

Указанные индексы	Название соты Диаграммы Кокстера	Ячейки по местоположению (и считайте вокруг каждой вершины)		Твердые тела (частично)	Кадры (перспектива)	фигура вершины
		(0,1)	(2,3)
Дж 25,33 A 13 Вт 10 G 6 qδ 4 O 27	четверть кубической (батато) ↔ q {4,3,4}	(2) (3.3.3)	(6) (3.6.6)			треугольная антипризма

<[3 ^[4] ]> ↔ [4,3 ^1,1 ] однородные соты, пространственная группа Fm 3 m (225)

Указанные индексы	Название соты Диаграммы Кокстера ↔	Ячейки по местоположению (и считайте вокруг каждой вершины)			Твердые тела (частично)	Кадры (перспектива)	фигура вершины
		0	(1,3)	2
J 21,31,51 A 2 W 9 G 1 hδ 4 O 21	чередующийся кубический (октет) ↔ ↔ ч {4,3,4}		(8) (3.3.3)	(6) (3.3.3.3)			кубооктаэдр
J 22,34 A 21 W 17 G 10 ч 2 δ 4 O 25	кантик кубический (тато) ↔ ↔ ч 2 {4,3,4}	(2) (3.6.6)	(1) (3.4.3.4)	(2) (4.6.6)			Прямоугольная пирамида

[2 [3 ^[4] ]] ↔ [4,3,4] однородные соты, пространственная группа Pm 3 m (221)

Указанные индексы	Название соты Диаграммы Кокстера ↔	Ячейки по местоположению (и считайте вокруг каждой вершины)		Твердые тела (частично)	Кадры (перспектива)	фигура вершины
		(0,2)	(1,3)
J 12,32 A 15 W 14 G 7 t 1 δ 4 O 1	ректификованный кубический (богатый) ↔ ↔ ↔ г {4,3,4}	(2) (3.4.3.4)	(1) (3.3.3.3)			кубовид

[4 [3 ^[4] ]] ↔ [[4,3,4]] однородные соты, пространственная группа Im 3 m (229)

Указанные индексы	Название соты Диаграммы Кокстера ↔ ↔	Ячейки по местоположению (и считайте вокруг каждой вершины)		Твердые тела (частично)	Кадры (перспектива)	фигура вершины
		(0,1,2,3)	Alt
J 16 A 3 W 2 G 28 t 1,2 δ 4 O 16	усеченный кубический (пакетный) ↔ ↔ 2т {4,3,4}	(4) (4.6.6)				равнобедренный тетраэдр
Неоднородный а	Чередующийся косоусеченный кубический ↔ ↔ h2t {4,3,4}	(4) (3.3.3.3.3)	(4) (3.3.3)

Неуитофовские формы (закрученные и удлиненные) [ править ]

Еще три однородных соты образуются путем разрушения той или иной из вышеупомянутых сот, грани которых образуют непрерывную плоскость, затем вращения чередующихся слоев на 60 или 90 градусов ( вращение ) и / или вставки слоя призм ( удлинение ).

Чередующиеся кубические мозаики вытянутой и гиродлинной формы имеют одинаковую фигуру вершины, но не похожи друг на друга. В удлиненной форме каждая призма встречает тетраэдр на одном треугольном конце и октаэдр на другом. В гиродлинной форме призмы, которые встречаются с тетраэдрами на обоих концах, чередуются с призмами, которые встречаются с октаэдрами на обоих концах.

Гиродлинная треугольная призматическая мозаика имеет ту же вершину, что и одна из плоских призматических мозаик; эти два могут быть получены из вращающихся и плоских треугольных призматических плиток, соответственно, путем вставки слоев кубов.

Призматические стеки [ править ]

Одиннадцать призматических мозаик получаются путем наложения одиннадцати одинаковых плоских мозаик , показанных ниже, в параллельные слои. (Одна из этих сот - кубическая, показанная выше.) Вершина каждой - неправильная бипирамида , грани которой представляют собой равнобедренные треугольники .

C ^~ ₂ × I ^~ ₁ (∞), [4,4,2, ∞], призматическая группа [ править ]

Есть только 3 уникальных соты из квадратной плитки, но все 6 усечений плитки перечислены ниже для полноты, а изображения мозаики показаны цветами, соответствующими каждой форме.

Индексы	Символы Кокстера-Дынкина и Шлефли	Имя соты	Плоская черепица	Твердые тела (частично)	Плитка
J 11,15 A 1 G 22	{4,4} × {∞}	Кубический (квадратный призматический) (чон)	(4.4.4.4)
	г {4,4} × {∞}
	rr {4,4} × {∞}
J 45 A 6 G 24	т {4,4} × {∞}	Усеченный / усеченный квадратный призматический (тассиф)	(4.8.8)
	тр {4,4} × {∞}
J 44 A 11 G 14	sr {4,4} × {∞}	Курносый квадратный призматический (сассиф)	(3.3.4.3.4)
Неоднородный	ht 0,1,2,3 {4,4,2, ∞}

Призматическая группа G ^~ ₂ xI ^~ ₁ (∞), [6,3,2, ∞] [ править ]

Индексы	Символы Кокстера-Дынкина и Шлефли	Имя соты	Плоская черепица	Твердые тела (частично)	Плитка
J 41 A 4 G 11	{3,6} × {∞}	Треугольная призматическая (тип)	(3 6 )
J 42 A 5 G 26	{6,3} × {∞}	Шестиугольная призматическая (бедра)	(6 3 )
	т {3,6} × {∞}
J 43 A 8 G 18	г {6,3} × {∞}	Трехгексагональная призматическая (тиф)	(3.6.3.6)
J 46 A 7 G 19	т {6,3} × {∞}	Усеченная шестиугольная призматическая (таф)	(3.12.12)
J 47 A 9 G 16	rr {6,3} × {∞}	Ромби-тригексагональная призматическая (ротаф)	(3.4.6.4)
J 48 A 12 G 17	sr {6,3} × {∞}	Курносый шестиугольный призматический (снатаф)	(3.3.3.3.6)
J 49 A 10 G 23	tr {6,3} × {∞}	усеченная трехгексагональная призматическая (отатаф)	(4.6.12)
Дж 65 А 11 ' Г 13	{3,6}: e × {∞}	удлиненно-треугольная призматическая (этоф)	(3.3.3.4.4)
J 52 A 2 ' G 2	h3t {3,6,2, ∞}	вращающийся четырехгранно-октаэдрический (гито)	(3 6 )
	s2r {3,6,2, ∞}
Неоднородный	ht 0,1,2,3 {3,6,2, ∞}

Перечень форм Wythoff [ править ]

Ниже приведены все непризматические конструкции Витхоффа группами Кокстера вместе с их чередованиями . Единые решения индексируются списком Бранко Грюнбаума . Зеленые фоны показаны на повторяющихся сотах, а отношения выражены в расширенных диаграммах симметрии.

Группа Коксетера	Расширенная симметрия	Соты		Киральная расширенная симметрия	Чередование сот
[4,3,4]	[4,3,4]	6	22 |7 |8 9 |25 |20	[1 + , 4,3 + , 4,1 + ]	(2)	1 |б
	[2 + [4,3,4]] знак равно	(1)	22	[2 + [(4,3 + , 4,2 + )]]	(1)	1 |6
	[2 + [4,3,4]]	1	28 год	[2 + [(4,3 + , 4,2 + )]]	(1)	а
	[2 + [4,3,4]]	2	27	[2 + [4,3,4]] +	(1)	c
[4,3 1,1 ]	[4,3 1,1 ]	4	1 |7 |10 |28 год
	[1 [4,3 1,1 ]] = [4,3,4] знак равно	(7)	22 |7 |22 |7 |9 |28 |25	[1 [1 + , 4,3 1,1 ]] +	(2)	1 |6 |а
				[1 [4,3 1,1 ]] + = [4,3,4] +	(1)	б
[3 [4] ]	[3 [4] ]	(никто)
	[2 + [3 [4] ]]	1	6
	[1 [3 [4] ]] = [4,3 1,1 ] знак равно	(2)	1 |10
	[2 [3 [4] ]] = [4,3,4] знак равно	(1)	7
	[(2 + , 4) [3 [4] ]] = [2 + [4,3,4]] знак равно	(1)	28 год	[(2 + , 4) [3 [4] ]] + = [2 + [4,3,4]] +	(1)	а

Примеры [ править ]

Все 28 из этих мозаик находятся в кристаллических аранжировках. ^{[ необходима цитата ]}

Чередовались кубический сот имеет особого значение , так как его вершины образуют кубическую плотную упаковку сфер. Заполняющая пространство ферма из упакованных октаэдров и тетраэдров была, по-видимому, впервые открыта Александром Грэмом Беллом и независимо повторно обнаружена Бакминстером Фуллером (который назвал ее октетной фермой и запатентовал ее в 1940-х годах). [3] [4] [5] [6] . Фермы октета в настоящее время являются одними из самых распространенных типов ферм, используемых в строительстве.

Формы Frieze [ править ]

Если ячейкам разрешено быть однородными мозаиками , можно определить более однородные соты:

Семьи:

• ${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{2}}$х : [4,4,2]${\ displaystyle A_ {1}}$ Соты из кубических плит (3 формы)
• ${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}$х : [6,3,2]${\ displaystyle A_ {1}}$ Сотовые трехгексагональные плиты (8 форм)
• ${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {2}}$х : [(3,3,3), 2]${\ displaystyle A_ {1}}$ Треугольные сотовые плиты (без новых форм)
• ${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$х х : [∞, 2,2]${\ displaystyle A_ {1}}$${\ displaystyle A_ {1}}$ знак равно Соты с кубической колонной (1 форма)
• ${\ displaystyle I_ {2} (p)}$x : [p, 2, ∞]${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$ Полигональные соты-колонны
• ${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{2}}$x x : [∞, 2, ∞, 2] = [4,4,2] -${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{2}}$${\ displaystyle A_ {1}}$ знак равно (То же, что и сотовая серия из кубических плит)

Примеры (частично нарисованы)

Кубическая плита сотовая	Гексагональные плиты с чередованием вощины	Трехгранная сотовая плита
(4) 4 3 : куб (1) 4 4 : квадратная мозаика	(4) 3 3 : тетраэдр (3) 3 4 : октаэдр (1) 3 6 : гексагональная мозаика	(2) 3.4.4: треугольная призма (2) 4.4.6: шестиугольная призма (1) (3.6) 2 : трехгексагональная мозаика

Чешуйчатые соты [ править ]

Scaliform сот является вершина транзитивным , как равномерные сотни , с правильным многоугольником сталкивается в то время как клетка и высшие элементы только должны быть orbiforms , равносторонний, с их вершинами , лежащими на гиперсферах. Для трехмерных сот это позволяет использовать подмножество тел Джонсона вместе с однородными многогранниками. Некоторые чешуйчатые формы могут образовываться в процессе чередования, оставляя, например, промежутки между пирамидами и куполами . ^[4]

Евклидовы соты чешуйчатые

Фризные плиты			Призматические стеки
s 3 {2,6,3},	s 3 {2,4,4},	с {2,4,4},	3s 4 {4,4,2, ∞},
(1) 3.4.3.4: треугольный купол (2) 3.4.6: треугольный купол (1) 3.3.3.3: октаэдр (1) 3.6.3.6: трехгексагональная мозаика	(1) 3.4.4.4: квадратный купол (2) 3.4.8: квадратный купол (1) 3.3.3: тетраэдр (1) 4.8.8: усеченная квадратная мозаика	(1) 3.3.3.3: квадратная пирамида (4) 3.3.4: квадратная пирамида (4) 3.3.3: тетраэдр (1) 4.4.4.4: квадратная мозаика	(1) 3.3.3.3: квадратная пирамида (4) 3.3.4: квадратная пирамида (4) 3.3.3: тетраэдр (4) 4.4.4: куб

Гиперболические формы [ править ]

Существует 9 семейств групп Кокстера компактных однородных сот в гиперболическом 3-пространстве , порожденных конструкциями Витхоффа и представленных кольцевыми перестановками диаграмм Кокстера-Дынкина для каждого семейства.

Всего из этих 9 семейств образовалось 76 уникальных сот:

• [3,5,3]: - 9 форм
• [5,3,4]: - 15 форм
• [5,3,5]: - 9 форм
• [5,3 ^1,1 ]: - 11 форм (7 совпадают с семейством [5,3,4], 4 уникальны)
• [(4,3,3,3)]: - 9 форм
• [(4,3,4,3)]: - 6 форм
• [(5,3,3,3)]: - 9 форм
• [(5,3,4,3)]: - 9 форм
• [(5,3,5,3)]: - 6 форм

Полный список гиперболических однородных сот не был доказан, и существует неизвестное количество неитхоффовских форм. Один известный пример относится к семейству {3,5,3}.

Паракомпактные гиперболические формы [ править ]

Также существует 23 паракомпактных группы Кокстера ранга 4. Эти семейства могут создавать однородные соты с неограниченными гранями или фигурами вершин, включая идеальные вершины на бесконечности:

Резюме группы симплектических гиперболических паракомпактов

Тип	Группы Кокстера	Уникальное количество сот
Линейные графики	| | | | | |	4 × 15 + 6 + 8 + 8 = 82
Трайдентальные графики	| |	4 + 4 + 0 = 8
Циклические графы	| | | | | | | |	4 × 9 + 5 + 1 + 4 + 1 + 0 = 47
Графы петли и хвоста	| | |	4 + 4 + 4 + 2 = 14

Ссылки [ править ]

• Джон Х. Конвей , Хайди Берджел, Хаим Гудман-Штраус , (2008) Симметрии вещей , ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 21, Присвоение имен архимедовым и каталонским многогранникам и мозаикам, Архитектурная и катоптрическая мозаика, стр 292–298, включает все непризматические формы) 
• Бранко Грюнбаум , (1994) Равномерные мозаики трехмерного пространства. Геомбинаторика 4, 49 - 56.
• Норман Джонсон (1991) Однородные многогранники , рукопись
• Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна . ISBN Dover Publications, Inc. 0-486-23729-X. (Глава 5: Упаковка многогранников и заполнение пространства)
• Кричлоу, Кит (1970). Порядок в космосе: справочник по дизайну . Викинг Пресс. ISBN 0-500-34033-1.
• Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, публикацией Wiley-Interscience, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [7] 
  • (Документ 22) HSM Кокстер, Регулярные и полурегулярные многогранники I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10] (1.9 Однородные заполнители пространств)
• А. Андрейни , (1905) Sulle reti di poliedri regolari e semiregolari e sulle corrispondenti reti correlative (О правильных и полуправильных сетях многогранников и о соответствующих корреляционных сетях), Mem. Итальянское общество науки, сер. 3, 14 75–129. PDF [8]
• DMY Sommerville , (1930) Введение в геометрию n измерений. Нью-Йорк, EP Dutton,. 196 стр. (Dover Publications edition, 1958) Глава X: Правильные многогранники
• Энтони Пью (1976). Многогранники: визуальный подход . Калифорния: Калифорнийский университет Press в Беркли. ISBN 0-520-03056-7. Глава 5. Соединение многогранников.
• Кристаллография квазикристаллов: концепции, методы и структуры. Автор: Вальтер Штюрер, София Делуди (2009), с. 54-55. 12 упаковок из 2 или более однородных многогранников с кубической симметрией

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с однородными мозаиками евклидова 3-мерного пространства .

• Вайсштейн, Эрик В. «Соты» . MathWorld .
• Равномерные соты в 3-пространственных моделях VRML
• Элементарные соты Вершины переходного пространства, заполняющего соты с неоднородными ячейками.
• Единые перегородки 3-х пространств, их родственники и вложения , 1999 г.
• Равномерные многогранники
• Многогранники виртуальной реальности Энциклопедия многогранников
• октет фермы анимация
• Обзор: А.Ф. Уэллс, Трехмерные сети и многогранники, HSM Coxeter (Источник: Bull. Amer. Math. Soc. Volume 84, Number 3 (1978), 466-470.)
• Клитцинг, Ричард. «Трехмерные евклидовы мозаики» .
• (последовательность A242941 в OEIS )

v т е Фундаментальные выпуклые регулярные и однородные соты размером 2-9
Космос	Семья	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {B}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {D}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$/ /${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$${\displaystyle {\tilde {E}}_{n-1}}$
E 2	Равномерная черепица	{3 [3] }	δ 3	hδ 3	qδ 3	Шестиугольный
E 3	Равномерно выпуклые соты	{3 [4] }	δ 4	hδ 4	qδ 4
E 4	Равномерные 4-соты	{3 [5] }	δ 5	hδ 5	qδ 5	24-ячеечные соты
E 5	Равномерные 5-соты	{3 [6] }	δ 6	hδ 6	qδ 6
E 6	Равномерные 6-соты	{3 [7] }	δ 7	hδ 7	qδ 7	2 22
E 7	Равномерные 7-соты	{3 [8] }	δ 8	hδ 8	qδ 8	1 33 • 3 31
E 8	Равномерные 8-соты	{3 [9] }	δ 9	hδ 9	qδ 9	1 52 • 2 51 • 5 21
E 9	Равномерные 9-соты	{3 [10] }	δ 10	hδ 10	qδ 10
E n -1	Uniform ( n -1) - соты	{3 [n] }	δ n	hδ n	qδ n	1 к2 • 2 к1 • к 21