Платоново твердое тело

В трехмерном пространстве , платонова тела является регулярным , выпуклый многогранник . Он состоит из конгруэнтных (одинаковых по форме и размеру), правильных (все углы равны и все стороны равны) многоугольных граней с одинаковым количеством граней, встречающихся в каждой вершине. Этим критериям соответствуют пять твердых тел:

Тетраэдр	Куб	Октаэдр	Додекаэдр	Икосаэдр
Четыре лица	Шесть лиц	Восемь лиц	Двенадцать лиц	Двадцать лиц
( Анимация ) ( 3D модель )	( Анимация ) ( 3D модель )	( Анимация ) ( 3D модель )	( Анимация ) ( 3D модель )	( Анимация ) ( 3D модель )

Геометры изучали Платоновы тела на протяжении тысяч лет. ^[1] Они названы в честь древнегреческого философа Платона, который в одном из своих диалогов, « Тимей» , выдвинул гипотезу о том , что классические элементы были сделаны из этих правильных тел. ^[2]

История [ править ]

Платоновы тела известны с древних времен. Было высказано предположение, что некоторые резные каменные шары, созданные людьми позднего неолита в Шотландии, представляют эти формы; однако эти шары имеют округлые выступы, а не являются многогранными, количество выступов часто отличается от количества вершин Платоновых тел, нет шара, выступы которого соответствуют 20 вершинам додекаэдра, и расположение выступов не соответствует всегда симметричный. ^[3]

В древние греки изучали Платоновых тел широко. Некоторые источники (например, Прокл ) приписывают свое открытие Пифагору . Другие данные свидетельствуют о том, что он мог быть знаком только с тетраэдром, кубом и додекаэдром и что открытие октаэдра и икосаэдра принадлежит Теэтету , современнику Платона. В любом случае Теэтет дал математическое описание всех пяти и, возможно, был ответственным за первое известное доказательство того, что никаких других выпуклых правильных многогранников не существует.

Платоновы тела занимают видное место в философии Платона , их тезки. Платон писал о них в диалоге Тимей ок. 360 г. до н.э., в котором он связал каждый из четырех классических элементов ( землю , воздух , воду и огонь).) с обычным твердым телом. Земля ассоциировалась с кубом, воздух - с октаэдром, вода - с икосаэдром, а огонь - с тетраэдром. У этих ассоциаций было интуитивное оправдание: жар огня ощущается острым и колющим (как маленькие тетраэдры). Воздух состоит из октаэдра; его крохотные компоненты настолько гладкие, что это почти не чувствуется. Вода, икосаэдр, вытекает из руки, когда ее поднимают, как будто она состоит из крошечных шариков. Напротив, шестигранник (куб) представляет собой очень несферическое твердое тело, представляющее «землю». Эти неуклюжие мелкие твердые частицы заставляют грязь крошиться и ломаться, когда их собирают в резком отличие от плавного потока воды. ^{[ необходима цитата ]} Более того, куб - единственное твердое тело, которое мозаично Считалось, что евклидово пространство является причиной прочности Земли.

По поводу пятого платоновского тела, додекаэдра, Платон невнятно заметил: «… бог использовал [его] для расстановки созвездий на всем небе». Аристотель добавил пятый элемент, aithēr (эфир по-латыни, «эфир» по-английски) и постулировал, что небеса сделаны из этого элемента, но он не был заинтересован в сопоставлении его с пятым телом Платона. ^[4]

Евклид полностью математически описал Платоновы тела в Элементах , последняя книга (Книга XIII) которых посвящена их свойствам. В предложениях 13–17 Книги XIII описывается построение тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра и додекаэдра в таком порядке. Для каждого твердого тела Евклид находит отношение диаметра описанной сферы к длине края. В предложении 18 он утверждает, что выпуклых правильных многогранников больше не существует. Андреас Шпайзер отстаивал точку зрения, что построение 5 правильных тел является главной целью дедуктивной системы, канонизированной в Элементах . ^[5] Большая часть информации в Книге XIII, вероятно, получена из работ Теэтета.

В XVI веке немецкий астроном Иоганн Кеплер попытался связать пять известных в то время внеземных планет с пятью Платоновыми телами. В « Mysterium Cosmographicum» , опубликованной в 1596 году, Кеплер предложил модель Солнечной системы, в которой пять твердых тел помещены друг в друга и разделены серией вписанных и описанных сфер. Кеплер предположил, что отношения расстояний между шестью известными в то время планетами можно понять в терминах пяти Платоновых тел, заключенных в сферу, представляющую орбиту Сатурна . Каждая из шести сфер соответствовала одной из планет ( Меркурий , Венера, Земля , Марс , Юпитер и Сатурн). Твердые тела были упорядочены: самым внутренним из них был октаэдр, за ним следовали икосаэдр, додекаэдр, тетраэдр и, наконец, куб, тем самым определяя структуру Солнечной системы и отношения расстояний между планетами с помощью Платоновых тел. В конце концов, от первоначальной идеи Кеплера пришлось отказаться, но из его исследований вышли три закона орбитальной динамики , первый из которых заключался в том, что орбиты планет представляют собой эллипсы, а не круги, что изменило курс физики и астрономии. Он также открыл твердые тела Кеплера .

Декартовы координаты [ править ]

Для Платоновых тел с центром в начале координат ниже приведены простые декартовы координаты вершин. Греческая буква φ используется для обозначения золотого сечения. 1 + √ 5/2 ≈ 1,6180.

Координаты тетраэдра, додекаэдра и икосаэдра даны в двух наборах ориентации, каждый из которых содержит половину знака и перестановку позиций координат.

Эти координаты показывают определенные отношения между Платоновыми телами: вершины тетраэдра представляют половину вершин куба, как {4,3} или , один из двух наборов по 4 вершины в двойных позициях, как h {4,3} или . Обе тетраэдрические позиции образуют составной звездчатый октаэдр .

Координаты икосаэдра связаны с двумя чередующимися наборами координат неоднородного усеченного октаэдра , t {3,4} или, также называемый курносым октаэдром , как s {3,4} или, и видно в соединении двух икосаэдров .

Восемь вершин додекаэдра являются общими с кубом. Завершение всех ориентаций приводит к соединению пяти кубиков .

Комбинаторные свойства [ править ]

Выпуклый многогранник является платоновым телом тогда и только тогда, когда

1. все его грани - конгруэнтные выпуклые правильные многоугольники ,
2. ни одна из его граней не пересекается, кроме их краев, и
3. одинаковое количество граней пересекается в каждой из его вершин .

Следовательно, каждое Платоново твердое тело можно обозначить символом { p ,  q }, где

p - количество ребер (или, что то же самое, вершин) каждой грани, а

q - количество граней (или, что то же самое, ребер), которые пересекаются в каждой вершине.

Символ { p ,  q }, называемый символом Шлефли , дает комбинаторное описание многогранника. Символы Шлефли пяти Платоновых тел приведены в таблице ниже.

Вся прочая комбинаторная информация об этих телах, такая как общее количество вершин ( V ), ребер ( E ) и граней ( F ), может быть определена из p и q . Поскольку любое ребро соединяет две вершины и имеет две смежные грани, мы должны иметь:

${\ Displaystyle pF = 2E = qV. \,}$

Другое соотношение между этими значениями дается формулой Эйлера :

${\ Displaystyle V-E + F = 2. \,}$

Это можно доказать разными способами. Вместе эти три отношения полностью определяют V , E и F :

${\ Displaystyle V = {\ гидроразрыва {4p} {4- (p-2) (q-2)}}, \ quad E = {\ frac {2pq} {4- (p-2) (q-2) }}, \ quad F = {\ frac {4q} {4- (p-2) (q-2)}}.}.$

Замена p и q меняет местами F и V , оставляя E неизменным. Геометрическую интерпретацию этого свойства см. Ниже в § Двойственные многогранники .

Как конфигурация [ править ]

Элементы многогранника можно выразить в матрице конфигурации . Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам и граням. Диагональные числа говорят, сколько элементов каждого элемента встречается во всем многограннике. Недиагональные числа говорят, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним. Матрицы конфигурации двойных пар многогранников повернуты на 180 градусов друг от друга. ^[6]

Классификация [ править ]

Классический результат состоит в том, что существует только пять выпуклых правильных многогранников. Два общих аргумента, приведенные ниже, демонстрируют, что может существовать не более пяти Платоновых тел, но положительная демонстрация существования любого данного твердого тела - это отдельный вопрос, требующий явного построения.

Геометрическое доказательство [ править ]

Следующий геометрический аргумент очень похож на аргумент Евклида в « Элементах» :

1. Каждая вершина твердого тела должна быть вершиной как минимум для трех граней.
2. В каждой вершине твердого тела сумма между смежными гранями углов между их соответствующими смежными сторонами должна быть меньше 360 °. Величина менее 360 ° называется угловым дефектом .
3. Углы во всех вершинах всех граней Платонового тела идентичны: каждая вершина каждой грани должна давать меньше, чем 360 °/3 = 120 °.
4. Правильные многоугольники с шестью или более сторонами имеют только углы 120 ° или более, поэтому общая грань должна быть треугольником, квадратом или пятиугольником. Для этих разных форм лиц выполняется следующее:
   • Треугольные грани: каждая вершина правильного треугольника равна 60 °, поэтому фигура может иметь 3, 4 или 5 треугольников, пересекающихся в вершине; это тетраэдр, октаэдр и икосаэдр соответственно.
   • Квадратные грани: каждая вершина квадрата имеет угол 90 °, поэтому возможна только одна компоновка с тремя гранями в вершине - куб.
   • Пятиугольные грани: каждая вершина 108 °; опять же, возможно только одно расположение трех граней в вершине - додекаэдр.

Всего это дает 5 возможных Платоновых тел.

Топологическое доказательство [ править ]

Чисто топологическое доказательство можно сделать, используя только комбинаторную информацию о твердых телах. Ключевым моментом является наблюдение Эйлера, что V  -  E  +  F  = 2, и тот факт, что pF  = 2 E  =  qV , где p обозначает количество ребер каждой грани, а q - количество ребер, пересекающихся в каждой вершине. Комбинируя эти уравнения, получаем уравнение

${\ displaystyle {\ frac {2E} {q}} - E + {\ frac {2E} {p}} = 2.}$

Тогда простая алгебраическая манипуляция дает

${\displaystyle {1 \over q}+{1 \over p}={1 \over 2}+{1 \over E}.}$

Поскольку E строго положительно, мы должны иметь

${\displaystyle {\frac {1}{q}}+{\frac {1}{p}}>{\frac {1}{2}}.}$

Используя тот факт, что p и q оба должны быть не меньше 3, легко увидеть, что есть только пять возможностей для { p ,  q }:

{3, 3}, {4, 3}, {3, 4}, {5, 3}, {3, 5}.

Геометрические свойства [ править ]

Углы [ править ]

С каждым Платоновым телом связан ряд углов . Двугранный угол является внутренний угол между любыми двумя плоскостями граней. Двугранный угол θ твердого тела { p , q } определяется формулой

${\displaystyle \sin {\theta \over 2}={\frac {\cos \left({\frac {\pi }{q}}\right)}{\sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)}}.}$

Иногда это удобнее выразить в терминах касательной следующим образом:

${\displaystyle \tan {\theta \over 2}={\frac {\cos \left({\frac {\pi }{q}}\right)}{\sin \left({\frac {\pi }{h}}\right)}}.}$

Величина h (называемая числом Кокстера ) равна 4, 6, 6, 10 и 10 для тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра и икосаэдра соответственно.

Угловой дефицит в вершине многогранника разница между суммой гране- углов при этой вершине и 2 П . Дефект δ в любой вершине Платоновых тел { p , q } равен

${\displaystyle \delta =2\pi -q\pi \left(1-{2 \over p}\right).}$

По теореме Декарта это равно 4 π, деленному на количество вершин (т. Е. Общий дефект во всех вершинах равен 4 π ).

Трехмерный аналог плоского угла - телесный угол . Телесный угол Ω в вершине платонового тела задается через двугранный угол формулой

${\displaystyle \Omega =q\theta -(q-2)\pi .\,}$

Это следует из формулы сферического избытка для сферического многоугольника и того факта, что вершина многогранника { p , q } является правильным q -угольником.

Телесный угол грани, вытянутой из центра платонического тела, равен телесному углу полной сферы (4 π стерадиана), деленному на количество граней. Это равносильно угловому недостатку его дуала.

Различные углы, связанные с Платоновыми телами, представлены в таблице ниже. Числовые значения телесных углов даны в стерадианах . Постоянная φ =1 + √ 5/2это золотое сечение .

Многогранник	Двугранный угол ( θ )	загар θ/2	Дефект ( δ )	Вершина телесного угла ( Ω )	Телесный угол лица
тетраэдр	70,53 °	${\displaystyle 1 \over {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle \cos ^{-1}\left({\frac {23}{27}}\right)\quad \approx 0.551286}$	${\displaystyle \pi }$
куб	90 °	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pi \over 2}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\quad \approx 1.57080}$	${\displaystyle 2\pi \over 3}$
октаэдр	109,47 °	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {2\pi } \over 3}$	${\displaystyle 4\sin ^{-1}\left({1 \over 3}\right)\quad \approx 1.35935}$	${\displaystyle \pi \over 2}$
додекаэдр	116,57 °	${\displaystyle \varphi }$	${\displaystyle \pi \over 5}$	${\displaystyle \pi -\tan ^{-1}\left({\frac {2}{11}}\right)\quad \approx 2.96174}$	${\displaystyle \pi \over 3}$
икосаэдр	138,19 °	${\displaystyle \varphi ^{2}}$	${\displaystyle \pi \over 3}$	${\displaystyle 2\pi -5\sin ^{-1}\left({2 \over 3}\right)\quad \approx 2.63455}$	${\displaystyle \pi \over 5}$

Радиусы, площадь и объем [ править ]

Еще одно достоинство регулярности состоит в том, что все Платоновы тела обладают тремя концентрическими сферами:

• описанная сфера , которая проходит через все вершины,
• midsphere , что касается каждого края в средней точке края, и
• вписана сфера , которая является касательной к каждой грани в центре лица.

В радиусы этих сфер называется описанной окружности , в midradius , и inradius . Это расстояния от центра многогранника до вершин, середин ребер и центров граней соответственно. Радиус описанной окружности R и радиус r твердого тела { p ,  q } с длиной ребра a задаются выражениями

${\displaystyle R=\left({a \over 2}\right)\tan {\frac {\pi }{q}}\tan {\frac {\theta }{2}}}$

${\displaystyle r=\left({a \over 2}\right)\cot {\frac {\pi }{p}}\tan {\frac {\theta }{2}}}$

где θ - двугранный угол. Средний радиус ρ определяется выражением

${\displaystyle \rho =\left({a \over 2}\right){\frac {\cos \left({\frac {\pi }{p}}\right)}{\sin \left({\frac {\pi }{h}}\right)}}}$

где h - величина, использованная выше в определении двугранного угла ( h = 4, 6, 6, 10 или 10). Отношение радиуса описанной окружности к внутреннему радиусу симметрично по p и q :

${\displaystyle {R \over r}=\tan {\frac {\pi }{p}}\tan {\frac {\pi }{q}}={\frac {\sqrt {{\sin ^{-2}{\left({\frac {\theta }{2}}\right)}}-{\cos ^{2}{\left({\frac {\alpha }{2}}\right)}}}}{\sin {\left({\frac {\alpha }{2}}\right)}}}.}$

Площадь поверхности , , из платоновского твердого { р ,  д } легко вычисляется как площадь обычного р -угольника раз число граней F . Это:

${\displaystyle A=\left({a \over 2}\right)^{2}Fp\cot {\frac {\pi }{p}}.}$

Объем вычисляется как F раз объем пирамиды , основание которого является регулярным р -угольник и высота которого является inradius г . То есть,

${\displaystyle V={\tfrac {1}{3}}rA.}$

В следующей таблице перечислены различные радиусы Платоновых тел, а также их площадь поверхности и объем. Общий размер фиксируется, принимая длину кромки a равной 2.

Многогранник ( a  = 2)	Inradius ( r )	Средний радиус ( ρ )	Циркумрадиус ( R )	Площадь поверхности ( A )	Объем ( V )	Объем (края блока)
тетраэдр	${\displaystyle 1 \over {\sqrt {6}}}$	${\displaystyle 1 \over {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {3 \over 2}}}$	${\displaystyle 4{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {8}}{3}}\approx 0.942809}$	${\displaystyle \approx 0.117851}$
куб	${\displaystyle 1\,}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 24\,}$	${\displaystyle 8\,}$	${\displaystyle 1\,}$
октаэдр	${\displaystyle {\sqrt {2 \over 3}}}$	${\displaystyle 1\,}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 8{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {128}}{3}}\approx 3.771236}$	${\displaystyle \approx 0.471404}$
додекаэдр	${\displaystyle {\frac {\varphi ^{2}}{\xi }}}$	${\displaystyle \varphi ^{2}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}\,\varphi }$	${\displaystyle 12{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}$	${\displaystyle {\frac {20\varphi ^{3}}{\xi ^{2}}}\approx 61.304952}$	${\displaystyle \approx 7.663119}$
икосаэдр	${\displaystyle {\frac {\varphi ^{2}}{\sqrt {3}}}}$	${\displaystyle \varphi }$	${\displaystyle \xi \varphi }$	${\displaystyle 20{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\frac {20\varphi ^{2}}{3}}\approx 17.453560}$	${\displaystyle \approx 2.181695}$

Константы φ и ξ в приведенном выше выражении равны

${\displaystyle \varphi =2\cos {\pi \over 5}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\qquad \xi =2\sin {\pi \over 5}={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}=5^{\frac {1}{4}}\varphi ^{-{\frac {1}{2}}}.}$

Среди Платоновых тел додекаэдр или икосаэдр можно рассматривать как лучшее приближение к сфере. Икосаэдр имеет наибольшее количество граней и наибольший двугранный угол, он наиболее плотно охватывает вписанную сферу, а его отношение площади поверхности к объему наиболее близко к таковому у сферы того же размера (т. Е. Либо той же площади поверхности, либо Тот же объем.) Додекаэдр, с другой стороны, имеет наименьший угловой дефект, наибольший телесный угол при вершине и больше всего заполняет свою описанную сферу.

Точка в космосе [ править ]

Для произвольной точки в пространстве Платонового тела с описанным радиусом , расстояния которой до центра тяжести Платонового тела и его вершин равны и соответственно, и${\displaystyle R}$${\displaystyle n}$${\displaystyle L}$${\displaystyle d_{i}}$

${\displaystyle S_{[n]}^{(2m)}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}}$,

у нас есть ^[7]

${\displaystyle S_{[4]}^{(2)}=S_{[6]}^{(2)}=S_{[8]}^{(2)}=S_{[12]}^{(2)}=S_{[20]}^{(2)}=R^{2}+L^{2},}$

${\displaystyle S_{[4]}^{(4)}=S_{[6]}^{(4)}=S_{[8]}^{(4)}=S_{[12]}^{(4)}=S_{[20]}^{(4)}=(R^{2}+L^{2})^{2}+{\frac {4}{3}}R^{2}L^{2},}$

${\displaystyle S_{[6]}^{(6)}=S_{[8]}^{(6)}=S_{[12]}^{(6)}=S_{[20]}^{(6)}=(R^{2}+L^{2})^{3}+4R^{2}L^{2}(R^{2}+L^{2}),}$

${\displaystyle S_{[12]}^{(8)}=S_{[20]}^{(8)}=(R^{2}+L^{2})^{4}+8R^{2}L^{2}(R^{2}+L^{2})^{2}+{\frac {16}{5}}R^{4}L^{4},}$

${\displaystyle S_{[12]}^{(10)}=S_{[20]}^{(10)}=(R^{2}+L^{2})^{5}+{\frac {40}{3}}R^{2}L^{2}(R^{2}+L^{2})^{3}+16R^{4}L^{4}(R^{2}+L^{2}).}$

Для всех пяти Платоновых тел мы имеем ^[7]

${\displaystyle S_{[n]}^{(4)}+{\frac {16}{9}}R^{4}=(S_{[n]}^{(2)}+{\frac {2}{3}}R^{2})^{2}.}$

Если - расстояния от вершин платонового тела до любой точки на его описанной сфере, то ^[7]${\displaystyle d_{i}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle 4(\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2})^{2}=3n\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}.}$

Недвижимость Руперта [ править ]

Многогранник Р называется иметь Руперта свойство , если многогранник одного и того же или большего размера и такой же формы , как P может проходить через отверстие в P . ^[8] Все пять Платоновых тел обладают этим свойством. ^{[8] [9] [10]}

Симметрия [ править ]

Двойные многогранники [ править ]

Каждый многогранник имеет двойственный (или «полярный») многогранник с перестановками граней и вершин . Двойственное тело каждого Платонова тела является другим Платоновым телом, так что мы можем расположить пять тел в двойные пары.

• Тетраэдр самодуальный (т.е. его двойственный - другой тетраэдр).
• Куб и октаэдр образуют дуальную пару.
• Додекаэдр и икосаэдр образуют двойную пару.

Если многогранник имеет символ Шлефли { p ,  q }, то его двойственный элемент имеет символ { q ,  p }. В самом деле, каждое комбинаторное свойство одного Платонового тела можно интерпретировать как другое комбинаторное свойство двойственного.

Можно построить двойственный многогранник, взяв его вершины за центры граней исходной фигуры. Соединение центров смежных граней в оригинале формирует ребра дуального и, таким образом, меняет местами количество граней и вершин, сохраняя при этом количество ребер.

В более общем смысле, можно дуализовать Платоново твердое тело относительно сферы радиуса d, концентричной с твердым телом. Радиусы ( R ,  ρ ,  r ) твердого тела и его двойственного ( R *,  ρ *,  r *) связаны соотношением

${\displaystyle d^{2}=R^{\ast }r=r^{\ast }R=\rho ^{\ast }\rho .}$

Дуализация по отношению к средней сфере ( d  =  ρ ) часто удобна, потому что средняя сфера имеет одинаковое отношение к обоим многогранникам. Если принять d ²  =  Rr, получится двойное твердое тело с одинаковым радиусом описанной окружности и внутренним радиусом (т.е. R * =  R и r * =  r ).

Группы симметрии [ править ]

В математике понятие симметрии изучается с понятием математической группы . Каждый многогранник имеет ассоциированную группу симметрии , которая представляет собой набор всех преобразований ( евклидовых изометрий ), которые оставляют многогранник инвариантным. Порядок группы симметрии является число симметрий многогранника. Часто различают полную группу симметрии , которая включает отражения , и собственную группу симметрии , которая включает только вращения .

Группы симметрии Платоновых тел представляют собой особый класс трехмерных точечных групп, известных как группы полиэдров . Высокая степень симметрии Платоновых тел можно интерпретировать по-разному. Наиболее важно то, что вершины каждого твердого тела эквивалентны под действием группы симметрии, как и ребра и грани. Говорят, что действие группы симметрии транзитивно на вершинах, ребрах и гранях. Фактически, это еще один способ определения регулярности многогранника: многогранник является правильным тогда и только тогда, когда он однороден по вершинам , ребрам и граням .

Есть только три группы симметрии, связанные с Платоновыми телами, а не пять, поскольку группа симметрии любого многогранника совпадает с группой симметрии его двойственного. В этом легко убедиться, рассмотрев конструкцию двойственного многогранника. Любая симметрия оригинала должна быть симметрией двойственного и наоборот. Три группы полиэдров:

• тетраэдрическая группа Т ,
• октаэдрические группы O (который также является группа симметрии куба), и
• икосаэдрическая группа I (который также является группа симметрии додекаэдра).

Порядки собственных групп (вращений) равны 12, 24 и 60 соответственно - ровно в два раза больше числа ребер в соответствующих многогранниках. Порядки групп полной симметрии снова вдвое больше (24, 48 и 120). См. (Coxeter 1973) вывод этих фактов. Все Платоновы тела, кроме тетраэдра, центрально-симметричны, что означает , что они сохраняются при отражении через начало координат .

В следующей таблице перечислены различные свойства симметрии Платоновых тел. Перечисленные группы симметрии представляют собой полные группы с подгруппами вращения, указанными в скобках (аналогично для количества симметрий). Построение калейдоскопа Уайтхоффа - это метод построения многогранников непосредственно из их групп симметрии. Они перечислены для справки по символу Витхоффа для каждого из Платоновых тел.

В природе и технике [ править ]

Тетраэдр, куб и октаэдр естественным образом встречаются в кристаллических структурах . Этим ни в коем случае не исчерпывается количество возможных форм кристаллов. Однако среди них нет ни правильного икосаэдра, ни правильного додекаэдра. Одна из форм, называемая пиритоэдром (названная в честь группы минералов, для которой он типична), имеет двенадцать пятиугольных граней, расположенных в том же порядке, что и грани правильного додекаэдра. Однако грани пиритоэдра не правильные, поэтому и пиритоэдр не правильный. Аллотропы бора и многие соединения бора , такие как карбид бора , включают дискретный B ₁₂икосаэдры в их кристаллических структурах. Карборановые кислоты также имеют молекулярные структуры, близкие к правильным икосаэдрам.

В начале 20 века Эрнст Геккель описал (Haeckel, 1904) ряд видов радиолярий , скелеты некоторых из которых имеют форму различных правильных многогранников. Примеры включают Circoporus octahedrus , Circogonia icosahedra , Lithocubus geometryus и Circorrhegma dodecahedra . Формы этих существ должны быть очевидны из их названий.

Многие вирусы , например вирус герпеса, имеют форму правильного икосаэдра. Вирусные структуры состоят из повторяющихся идентичных белковых субъединиц, и икосаэдр является самой простой формой для сборки с использованием этих субъединиц. Используется правильный многогранник, потому что он может быть построен из единственного базового белка, используемого снова и снова; это экономит место в вирусном геноме .

В метеорологии и климатологии все больший интерес вызывают глобальные численные модели атмосферного потока, в которых используются геодезические сетки , основанные на икосаэдре (уточненном триангуляцией ) вместо более широко используемой сетки долготы / широты . Это дает преимущество равномерно распределенного пространственного разрешения без сингулярностей (т. Е. Полюсов) за счет несколько большей числовой сложности.

Геометрия пространственных фреймов часто основана на платоновых телах. В системе MERO Платоновы тела используются для обозначения различных конфигураций пространственных фреймов. Например,1/2O + T относится к конфигурации, состоящей из половины октаэдра и тетраэдра.

Было синтезировано несколько платоновых углеводородов , включая кубан и додекаэдран .

• Тетраэдран

• Кубан

• Додекаэдран

Платоновы тела часто используются для изготовления кубиков , потому что кубики такой формы можно сделать чистыми . Шестигранные кости очень распространены, но другие числа обычно используются в ролевых играх . Такие кости обычно называют d n, где n - количество граней (d8, d20 и т. Д.); см. нотацию игральных костей для более подробной информации.

Эти формы часто встречаются в других играх или головоломках. Головоломки, похожие на кубик Рубика, бывают всех пяти форм - см. Волшебные многогранники .

Жидкие кристаллы с симметрией Платоновых тел [ править ]

Для промежуточной материальной фазы, называемой жидкими кристаллами , существование такой симметрии было впервые предложено в 1981 г. Х. Клейнертом и К. Маки. ^{[11] [12]} В алюминии структура икосаэдра была открыта через три года после этого Дэном Шехтманом , что принесло ему Нобелевскую премию по химии в 2011 году.

Связанные многогранники и многогранники [ править ]

Равномерные многогранники [ править ]

Существует четыре невыпуклых правильных многогранника, называемых многогранниками Кеплера – Пуансо . Все они имеют симметрию икосаэдра и могут быть получены как звездчатые формы додекаэдра и икосаэдра.

Следующими наиболее правильными выпуклыми многогранниками после Платоновых тел являются кубооктаэдр , который является выпрямлением куба и октаэдра, и икосододекаэдр , который является выпрямлением додекаэдра и икосаэдра (выпрямление самодвойственного тетраэдра есть правильный октаэдр). Оба они квазирегулярны , что означает, что они однородны по вершинам и ребрам и имеют правильные грани, но не все грани конгруэнтны (входят в два разных класса). Они образуют два из тринадцати архимедовых тел , которые представляют собой выпуклые однородные многогранники с многогранной симметрией. Их двойники, ромбический додекаэдр иромбический триаконтаэдр , реберно-гранно-транзитивные, но их грани не правильные, и их вершины бывают двух типов каждая; они два из тринадцати каталонских твердых тел .

Однородные многогранники образуют гораздо более широкий класс многогранников. Эти фигуры однородны по вершинам и имеют один или несколько типов правильных или звездообразных многоугольников для лиц. К ним относятся все упомянутые выше многогранники вместе с бесконечным набором призм , бесконечным набором антипризм и 53 другими невыпуклыми формами.

Тела Джонсона - это выпуклые многогранники, которые имеют правильные грани, но не являются однородными. Среди них пять из восьми выпуклых дельтаэдров , которые имеют одинаковые правильные грани (все равносторонние треугольники), но не являются однородными. (Три других выпуклых дельтаэдра - это платоновский тетраэдр, октаэдр и икосаэдр.)

Обычные мозаики [ править ]

Три регулярных мозаики плоскости тесно связаны с платоновыми телами. Действительно, можно рассматривать Платоновы тела как регулярные мозаики сферы . Это делается путем проецирования каждого твердого тела на концентрическую сферу. Грани проецируются на правильные сферические многоугольники, которые точно покрывают сферу. Сферические мозаики образуют два бесконечных дополнительных набора правильных мозаик: хосоэдры {2, n } с двумя вершинами на полюсах и лунообразными гранями и двойственные дигедры { n , 2} с двумя полусферическими гранями и равномерно расположенными вершинами на экватор. Такие мозаики были бы вырожденными в истинном трехмерном пространстве как многогранники.

Можно показать, что каждая регулярная мозаика сферы характеризуется парой целых чисел { p ,  q } с1/п + 1/q > 1/2. Точно так же регулярная мозаика плоскости характеризуется условием1/п + 1/q знак равно 1/2. Есть три возможности:

Аналогичным образом можно рассматривать регулярные мозаики гиперболической плоскости . Для них характерно состояние1/п + 1/q < 1/2. Таких мозаик существует бесконечное множество.

Высшие измерения [ править ]

В более чем трех измерениях многогранники обобщаются до многогранников , причем выпуклые правильные многогранники более высокой размерности являются эквивалентами трехмерных Платоновых тел.

В середине 19 века швейцарский математик Людвиг Шлефли открыл четырехмерные аналоги платоновых тел, названные выпуклыми правильными 4-многогранниками . Таких фигур ровно шесть; пять аналогичны 5-элементному платоновому телу как {3,3,3}, 16-элементному как {3,3,4}, 600-элементному как {3,3,5}, тессеракт как {4,3, 3}, и 120-элементный как {5,3,3}, и шестой, самодвойственный 24-элементный , {3,4,3}.

Во всех измерениях больше четырех существует только три выпуклых правильных многогранника: симплекс как {3,3, ..., 3}, гиперкуб как {4,3, ..., 3} и кросс-многогранник как {3,3, ..., 4}. ^[13] В трех измерениях они совпадают с тетраэдром как {3,3}, кубом как {4,3} и октаэдром как {3,4}.

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Источники [ править ]

• Атья, Майкл ; Сатклифф, Пол (2003). «Многогранники в физике, химии и геометрии». Milan J. Math . 71 : 33–58. arXiv : math-ph / 0303071 . DOI : 10.1007 / s00032-003-0014-1 .
• Бойер, Карл ; Мерцбах, Ута (1989). История математики (2-е изд.). Вайли. ISBN 0-471-54397-7.
• Кокстер, HSM (1973). Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-61480-8.
• Евклид (1956). Хит, Томас Л. (ред.). Тринадцать Книг Элементов Евклида, Книги 10–13 (2-е недв. Изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-60090-4.
• Гарднер, Мартин (1987). 2-я книга «Математические головоломки и диверсии» в журнале Scientific American , University of Chicago Press, глава 1: Пять платоновых тел, ISBN 0226282538 
• Геккель, Эрнст , Э. (1904). Kunstformen der Natur . Доступно как Haeckel, E. (1998); Виды искусства в природе , Престел, США. ISBN 3-7913-1990-6 . 
• Кеплер. Johannes Strena seu de nive sexangula (О шестиугольной снежинке) , статья Кеплера 1611 года, в которой обсуждалась причина шестиугольной формы снежных кристаллов, а также формы и симметрии в природе. Говорит о платоновых телах.
• Кляйнерт, Хаген и Маки, К. (1981). «Структуры решетки в холестерических жидких кристаллах» (PDF) . Fortschritte der Physik . 29 (5): 219–259. Bibcode : 1981ForPh..29..219K . DOI : 10.1002 / prop.19810290503 .
• Ллойд, Дэвид Роберт (2012). «Сколько лет Платоновым телам?». Бюллетень BSHM: Журнал Британского общества истории математики . 27 (3): 131–140. DOI : 10.1080 / 17498430.2012.670845 .
• Пью, Энтони (1976). Многогранники: визуальный подход . Калифорния: Калифорнийский университет Press в Беркли. ISBN 0-520-03056-7.
• Вейль, Герман (1952). Симметрия . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-02374-3.
• Вильдберг, Кристиан (1988). Иоанн Филопон критиковал теорию эфира Аристотеля. Вальтер де Грюйтер. С. 11–12. ISBN 9783110104462 

Внешние ссылки [ править ]

Использование внешних ссылок в этой статье может не соответствовать политикам или рекомендациям Википедии . Пожалуйста, улучшите эту статью , удалив лишние или неприемлемые внешние ссылки и преобразовав полезные ссылки, где это уместно, в сноски . ( Декабрь 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Викискладе есть медиафайлы, связанные с Платоновыми телами .

• Платоновы тела в энциклопедии математики
• Вайсштейн, Эрик В. «Платоновы твердые тела» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Изоэдр» . MathWorld .
• Книга XIII Элементов Евклида .
• Интерактивные трехмерные многогранники на Java
• Платоновы тела в визуальных многогранниках
• Solid Body Viewer - это интерактивная программа просмотра трехмерных многогранников, которая позволяет сохранять модель в формате svg, stl или obj.
• Интерактивное складывание / разворачивание платоновых тел в Java
• Бумажные модели Платоновых тел, созданные с помощью сетей, созданных программой Stella
• Бумажные модели (сети) без платоновых тел
• Грайм, Джеймс; Стеклс, Кэти. «Платоновы тела» . Numberphile . Брэди Харан .
• Обучение математике с использованием моделей, созданных студентами- художниками
• Обучение математике с учителем рисования инструкции по созданию моделей
• Фреймы образов Платоновых тел алгебраических поверхностей
• Платоновы тела с некоторыми формулами вывода
• Как сделать четыре платоновых тела из куба