Правильный додекаэдр

Правильный додекаэдр
(Нажмите здесь, чтобы повернуть модель)
Тип	Платоново твердое тело
Элементы	F = 12, E = 30 V = 20 (χ = 2)
Лица по сторонам	12 {5}
Обозначение Конвея	D
Символы Шлефли	{5,3}
Конфигурация лица	V3.3.3.3.3
Символ Wythoff	3 | 2 5
Диаграмма Кокстера
Симметрия	I h , H 3 , [5,3], (* 532)
Группа вращения	Я , [5,3] + , (532)
Рекомендации	U 23 , C 26 , W 5
Характеристики	правильный , выпуклый
Двугранный угол	116.56505 ° = агссоз (- 1 / √ 5 )
5.5.5 ( фигура вершины )	Правильный икосаэдр ( двойственный многогранник )
Сеть

Анимация складывания сетки правильного (пятиугольного) додекаэдра

3D модель правильного додекаэдра

Додекаэдр или пятиугольный Додекаэдр является додекаэдром , что является регулярным , который состоит из 12 регулярных пятиугольных граней, три встречи в каждой вершине . Это одно из пяти Платоновых тел . У него 12 граней, 20 вершин, 30 ребер и 160 диагоналей (60 диагоналей граней , 100 пространственных диагоналей ). ^[1] Он представлен символом Шлефли {5,3}.

Размеры [ править ]

Если длина ребра правильного додекаэдра является « », то радиусом из описанной сферы (одна , которая касается додекаэдра на все вершины) является${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle r_ {u} = a {\ frac {\ sqrt {3}} {4}} \ left (1 + {\ sqrt {5}} \ right) \ приблизительно 1.401 \, 258 \, 538 \ cdot a }$ OEIS :  A179296

а радиус вписанной сферы ( касательной к каждой из граней правильного додекаэдра) равен

${\ displaystyle r_ {i} = a {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {{\ frac {5} {2}} + {\ frac {11} {10}} {\ sqrt {5} }}} \ приблизительно 1.113 \, 516 \, 364 \ cdot a}$

в то время как средний радиус, который касается середины каждого края, равен

${\ displaystyle r_ {m} = a {\ frac {1} {4}} \ left (3 + {\ sqrt {5}} \ right) \ приблизительно 1,309 \, 016 \, 994 \ cdot a}$

Эти количества также могут быть выражены как

${\ displaystyle r_ {u} = a \, {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} \ phi}$

${\ displaystyle r_ {i} = a \, {\ frac {\ phi ^ {2}} {2 {\ sqrt {3- \ phi}}}}}}$

${\ displaystyle r_ {m} = a \, {\ frac {\ phi ^ {2}} {2}}}$

где ϕ - золотое сечение .

Заметим, что для правильного додекаэдра с длиной ребра, равным единице, r _u - радиус описывающей сферы вокруг куба с длиной ребра ϕ , а r _i - апофема правильного пятиугольника с длиной ребра ϕ .

Площадь и объем поверхности [ править ]

Площадь поверхности A и объем V правильного додекаэдра с длиной ребра a равны:

${\displaystyle {\displaystyle A=3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}a^{2}\approx 20.645\,728\,807a^{2}}}$

${\displaystyle V={\frac {1}{4}}(15+7{\sqrt {5}})a^{3}\approx 7.663\,118\,9606a^{3}}$

Кроме того, площадь поверхности и объем правильного додекаэдра связаны с золотым сечением . Додекаэдр с длиной ребра в одну единицу обладает свойствами: ^[2]

${\displaystyle {\displaystyle A={\frac {15\varphi }{\sqrt {3-\varphi }}}}}$

${\displaystyle {\displaystyle V={\frac {5\varphi ^{3}}{6-2\varphi }}}}$

Двумерные проекции симметрии [ править ]

Додекаэдра имеет две специальных ортогональные проекции , по центру, на вершинах и пятиугольные гранях, соответствуют А ₂ и Н ₂ плоскостей кокстеровских .

В перспективной проекции , рассматриваемой поверх пятиугольной грани, правильный додекаэдр можно рассматривать как диаграмму Шлегеля с линейными краями , или как стереографическую проекцию как сферический многогранник . Эти проекции также используются для показа четырехмерного 120-ячеечного , правильного 4-мерного многогранника, построенного из 120 додекаэдров, проецируя его до 3-х измерений .

Сферическая мозаика [ править ]

Правильный додекаэдр также можно представить в виде сферической мозаики .

Декартовы координаты [ править ]

Следующие декартовы координаты определяют 20 вершин правильного додекаэдра с центром в начале координат, соответствующим масштабом и ориентацией: ^[3]

(± 1, ± 1, ± 1)

(0, ± ϕ , ±1/ϕ)

(±1/ϕ, 0, ± ϕ )

(± ϕ , ±1/ϕ, 0)

где ϕ =1 + √ 5/2- золотое сечение (также пишется τ ) ≈ 1,618. Длина кромки2/ϕ= √ 5 - 1 . Описанной окружности составляет  √ 3 .

Уравнения, определяющие аспекты [ править ]

Подобно симметрии координат вершин, уравнения двенадцати граней правильного додекаэдра также демонстрируют симметрию своих коэффициентов:

x ± ϕy = ± ϕ ²

y ± ϕz = ± ϕ ²

z ± ϕx = ± ϕ ²

Свойства [ править ]

• Двугранный угол регулярного додекаэдра равен 2  арктангенс ( φ ) или приблизительно116,565 ° (где снова ϕ =1 + √ 5/2, золотое сечение ). OEIS :  A137218 Обратите внимание, что тангенс двугранного угла точно равен −2.
• Если исходный правильный додекаэдр имеет длину ребра 1, то его дуальный икосаэдр имеет длину ребра ϕ .
• Если пять Платоновых тел построены с одинаковым объемом, правильный додекаэдр имеет самые короткие края.
• Имеет 43380 сетей .
• Число раскраски карты граней правильного додекаэдра равно 4.
• Расстояние между вершинами одной и той же грани, не соединенными ребром, равно ϕ, умноженному на длину ребра.
• Если два ребра имеют общую вершину, то середины этих ребер образуют треугольник 36-72-72 с центром тела.

Геометрические отношения [ править ]

Додекаэдра является третьим в бесконечном множестве усеченного trapezohedra которая может быть построена путем усечения двух осевых вершин пятиугольного трапецоэдра .

В созвездиях регулярного додекаэдра составляют три из четырех Кеплер-Пуансо многогранников .

Выпрямляются додекаэдр образует икосододекаэдр .

Правильный додекаэдр имеет икосаэдрическую симметрию I _h , группу Кокстера [5,3], порядок 120, с абстрактной групповой структурой A 5 × Z 2 .

Отношение к правильному икосаэдру [ править ]

Когда правильный додекаэдр вписан в сферу , он занимает больше объема сферы (66,49%), чем икосаэдр, вписанный в ту же сферу (60,55%).

Правильный додекаэдр с длиной ребра 1 имеет более чем в три с половиной раза объем икосаэдра с такой же длиной ребер (7,663 ... по сравнению с 2,181 ...), что примерно составляет 3,512 461 179 75 , или в точных терминах:3/5(3 ϕ + 1) или (1,8 ϕ + 0,6) .

У правильного додекаэдра 12 граней и 20 вершин, а у правильного икосаэдра 20 граней и 12 вершин. У обоих по 30 ребер.

Связь с вложенным кубом [ править ]

Куб может быть встроен в правильный додекаэдр, прикрепленный к восьми из его равноудаленных вершин в пяти различных положениях. ^[4] Фактически, пять кубов могут перекрываться и сцепляться внутри правильного додекаэдра, в результате чего получается соединение пяти кубов .

Отношение ребра правильного додекаэдра к ребру куба, вложенного внутрь такого правильного додекаэдра, равно 1:  ϕ или ( ϕ  - 1): 1.

Отношение объема правильного додекаэдра к объему куба, заключенного внутри такого правильного додекаэдра, равно 1: 2/2 +  ϕ, или же 1 +  ϕ/2 : 1 или (5 +  √ 5 ): 4.

Например, вложенный куб с объемом 64 (и длиной ребра 4) будет вложен в правильный додекаэдр объемом 64 + 32 ϕ (и длиной ребра 4 ϕ  - 4).

Таким образом, разница в объеме между окружающим правильным додекаэдром и замкнутым кубом всегда равна половине объема куба, умноженного на  ϕ .

Из этих соотношений выводятся простые формулы для объема правильного додекаэдра с длиной ребра a через золотую середину:

V = ( aϕ ) ³ ·1/4(5 +  √ 5 )

V =1/4(14 ϕ  + 8) а ³

Отношение к золотому прямоугольнику [ править ]

Золотые прямоугольники отношения ( ϕ  + 1): 1 и ϕ  : 1 также идеально вписываются в правильный додекаэдр. ^[5] Пропорционально этому золотому прямоугольнику, край замкнутого куба равен ϕ , когда длинная длина прямоугольника равна ϕ  + 1 (или ϕ ² ), а короткая длина равна 1 (ребро, общее с правильным додекаэдром).

Кроме того, в центре каждой грани правильного додекаэдра образуют три пересекающихся золотых прямоугольника. ^[6]

Связь с 6-кубом и ромбическим триаконтаэдром [ править ]

Его можно спроецировать в 3D из 6-мерного 6-полукуба, используя те же базисные векторы, которые образуют оболочку ромбического триаконтаэдра из 6-куба . Показанные здесь 12 внутренних вершин, которые не соединены ребрами внешней оболочки с 6D нормальной длиной √ 2 , образуют правильный икосаэдр .

Используемые базисные векторы трехмерной проекции [ u , v , w ]:

и = (1, φ , 0, -1, φ , 0)

v = ( φ , 0, 1, φ , 0, -1)

w = (0, 1, φ , 0, -1, φ )

История и использование [ править ]

Обычные додекаэдрические объекты нашли практическое применение, а также сыграли роль в изобразительном искусстве и философии.

Ямвлих утверждает, что Гиппас , пифагорейец, погиб в море, потому что он хвастался, что впервые раскрыл «сферу с двенадцатью пятиугольниками». ^[7] В Теэтете , диалоге Платона, Платон смог доказать, что существует всего пять однородных правильных тел; позже они стали известны как платоновы тела . Тимей (ок. 360 г. до н. Э.), Как персонаж диалога Платона, связывает другие четыре платоновых тела с четырьмя классическими элементами , добавляя, что существует пятый твердый узор, который, хотя и обычно ассоциируется с правильным додекаэдром, никогда прямо не упоминается как такой; «это Бог использовал для описания вселенной». ^[8] Аристотель также постулировал, что небеса состоят из пятого элемента, который он назвал aithêr ( эфир на латыни, эфир на американском английском).

Обычные додекаэдры использовались как игральные кости и, вероятно, также как гадательные приспособления. В эллинистическую эпоху были изготовлены небольшие полые бронзовые римские додекаэдры , которые были найдены в различных римских руинах в Европе. Их цель не ясна.

В искусстве ХХ века додекаэдры появляются в работах М.К. Эшера , таких как его литографии « Рептилии» (1943) и « Гравитация» (1952). На картине Сальвадора Дали « Таинство Тайной вечери» (1955) комната представляет собой полый правильный додекаэдр. Жерар Карис основал все свое художественное творчество на правильном додекаэдре и пятиугольнике, которые представлены как новое направление в искусстве, названное пентагонизмом.

В современных ролевых играх правильный додекаэдр часто используется в качестве двенадцатигранной кости , одной из наиболее распространенных многогранных игральных костей .

Компания Immersive Media , производящая камеры, создала камеру Dodeca 2360, первую в мире камеру с полным движением на 360 °, которая снимает видео высокого разрешения со всех сторон одновременно со скоростью более 100 миллионов пикселей в секунду или 30 кадров в секунду. ^{[ рекламный язык ]} Он основан на правильном додекаэдре. ^{[ необходима цитата ]}

Megaminx извилистые головоломки, наряду с его большими и малыми аналогами порядка, в форме додекаэдра.

В детском романе «Призрак Толлбут» правильный додекаэдр появляется как персонаж в стране математики. Каждое его лицо имеет различное выражение - например, счастливое, злое, грустное, - которое он поворачивает вперед по мере необходимости, чтобы соответствовать своему настроению.

В природе [ править ]

Ископаемая кокколитофора Braarudosphaera bigelowii (см. Рисунок), одноклеточная прибрежная фитопланктонная водоросль , имеет раковину из карбоната кальция с правильной додекаэдрической структурой около 10 микрометров в поперечнике. ^[9]

Некоторые квазикристаллы имеют додекаэдрическую форму (см. Рисунок). Некоторые регулярные кристаллы , такие как гранат и алмазы также сказали выставляться «двенадцатигранной» привычка , но это утверждение на самом деле относится к ромбическому додекаэдру формы. ^[10]

Форма вселенной [ править ]

Были предложены различные модели глобальной геометрии Вселенной. В дополнение к примитивной геометрии , эти предложения включают додекаэдрическое пространство Пуанкаре, пространство с положительной кривизной, состоящее из правильного додекаэдра, противоположные грани которого соответствуют друг другу (с небольшим поворотом). Это было предложено Жан-Пьером Люмине и его коллегами в 2003 г. ^{[11] [12],} а оптимальная ориентация модели на небе была оценена в 2008 г. ^[13].

В рассказе Бертрана Рассела 1954 года «Кошмар математика: видение профессора Скверпунта» цифра 5 гласила: «Я - количество пальцев на руке. Я делаю пятиугольники и пентаграммы. И без меня додекаэдра не могло бы существовать. ; и, как всем известно, Вселенная - это додекаэдр. Так что, если бы не я, вселенной не могло быть ".

Заполнение пространства кубом и билунабиротондами [ править ]

Правильные додекаэдры заполняют пространство кубами и двунабиротондами ( твердое тело Джонсона 91) в соотношении от 1 к 1 к 3. ^{[14] [15]} Только додекаэдры образуют решетку пиритоэдров, соединенных с ребром . Двунабиротонды заполняют ромбические промежутки. Каждый куб встречается с шестью билунабиротондами в трех ориентациях.

Связанные многогранники и мозаики [ править ]

Правильный додекаэдр топологически связан с серией мозаик вершиной n ³ .

Правильный додекаэдр может быть преобразован последовательностью усечения в его двойственный икосаэдр:

Семейство однородных икосаэдрических многогранников
Симметрия : [5,3] , (* 532)							[5,3] + , (532)
{5,3}	т {5,3}	г {5,3}	т {3,5}	{3,5}	рр {5,3}	tr {5,3}	ср {5,3}
Двойники к однородным многогранникам
V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

Однородные октаэдрические многогранники
Симметрия : [4,3], (* 432)							[4,3] + (432)	[1 + , 4,3] = [3,3] (* 332)		[3 + , 4] (3 * 2)
{4,3}	т {4,3}	г {4,3} г {3 1,1 }	т {3,4} т {3 1,1 }	{3,4} {3 1,1 }	rr {4,3} s 2 {3,4}	tr {4,3}	sr {4,3}	ч {4,3} {3,3}	ч 2 {4,3} т {3,3}	с {3,4} с {3 1,1 }
		знак равно	знак равно	знак равно				знак равно или же	знак равно или же	знак равно
Двойники к однородным многогранникам
V4 3	V3.8 2	В (3,4) 2	V4.6 2	V3 4	V3.4 3	V4.6.8	V3 4 .4	V3 3	V3.6 2	V3 5

Правильный додекаэдр является членом последовательности неоднородных многогранников и мозаик, состоящих из пятиугольников с конфигурациями граней (V3.3.3.3. N ). (При n  > 6 последовательность состоит из мозаик гиперболической плоскости.) Эти транзитивные по граням фигуры обладают ( n 32) симметрией вращения .

Расположение вершин [ править ]

Правильный додекаэдр имеет общее расположение вершин с четырьмя невыпуклыми однородными многогранниками и тремя однородными составными многогранниками .

Внутри помещаются пять кубов , края которых являются диагоналями граней правильного додекаэдра, и вместе они составляют правильную многогранную смесь из пяти кубов. Поскольку два тетраэдра могут поместиться на чередующихся вершинах куба, пять и десять тетраэдров также могут поместиться в правильный додекаэдр.

Звездчатые [ править ]

Три звёздчатых элемента правильного додекаэдра являются правильными ( невыпуклыми ) многогранниками: (многогранники Кеплера – Пуансо )

Додекаэдрический граф [ править ]

Скелет додекаэдра (вершины и ребра) образуют граф . Это один из пяти платоновых графов , каждый из которых является скелетом своего платоновского тела .

Этот граф также может быть построен как обобщенный граф Петерсена G (10,2). Высокая степень симметрии многоугольника воспроизводится в свойствах этого графа, который является дистанционно-транзитивным , дистанционно-регулярным и симметричным . Группа автоморфизмов имеет порядок 120. Вершины можно раскрасить в 3 цвета, как и ребра, а диаметр равен 5. ^[17]

Граф додекаэдра является гамильтоновым - есть цикл, содержащий все вершины. Действительно, это название происходит от математической игры, изобретенной в 1857 году Уильямом Роуэном Гамильтоном , икозианской игры . Целью игры было найти гамильтонов цикл по краям додекаэдра.

См. Также [ править ]

• 120-элементный , правильный полихорон (4-мерный многогранник, поверхность которого состоит из 120 додекаэдрических ячеек)
• Braarudosphaera bigelowii - кокколитофора в форме додекаэдра( одноклеточные водоросли фитопланктона ).
• Додекаэдран (молекула)
• Додекаэдр пентакиса
• Курносый додекаэдр
• Усеченный додекаэдр

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме додекаэдра .

• Вайсштейн, Эрик В. «Правильный додекаэдр» . MathWorld .
• Клитцинг, Ричард. "Трехмерные выпуклые равномерные многогранники o3o5x - лань" .
• Редактируемая печатная сетка додекаэдра с интерактивным трехмерным изображением
• Равномерные многогранники
• Оригами Многогранники - Модели, сделанные из Модульного Оригами
• Додекаэдр - трехмерная модель, которая работает в вашем браузере
• Многогранники виртуальной реальности Энциклопедия многогранников
  • VRML # Правильный додекаэдр
• К.Дж.Маклин, Геометрический анализ пяти платоновых тел и других полуправильных многогранников
• Додекаэдр 3D визуализация
• Stella: Polyhedron Navigator : Программное обеспечение, используемое для создания некоторых изображений на этой странице.
• Как сделать додекаэдр из пенополистирольного куба
• Греческий, индийский и китайский элементы - теория семи элементов