Додекаэдр

Общие додекаэдры

I h , заказ 120
Обычный-	Маленький звездчатый	Большой-	Великий звездчатый
Т ч , заказ 24	Т, заказ 12	О ч , заказ 48	Джонсон (J 84 )
Пиритоэдр	Тетартоид	Ромбический	Треугольный
D 4h , заказ 16		D 3h , заказ 12
Ромбо-гексагональный	Ромбо-квадрат	Трапецо-ромбический-	Ромбо-треугольный-

В геометрии , A додекаэдр (греческий δωδεκάεδρον , от δώδεκα ДОДЭКА «двенадцать» + ἕδρα Hedra «база», «место» или «лица») является любой многогранник с двенадцатью плоскими гранями. Самый известный додекаэдр - это правильный додекаэдр с правильными пятиугольниками в качестве граней, который является платоновым телом . Также есть три правильных звездчатых додекаэдра , которые построены в виде звездчатых элементов выпуклой формы. Все они имеют симметрию икосаэдра порядка 120.

Некоторые додекаэдры имеют ту же комбинаторную структуру, что и правильный додекаэдр (с точки зрения графа, образованного его вершинами и ребрами), но их пятиугольные грани не правильные: пиритоэдр , обычная кристаллическая форма в пирите , имеет пиритоэдрическую симметрию , а тетартоид имеет тетраэдрическую симметрию .

Ромбический додекаэдр можно рассматривать как предельный случай pyritohedron, и она имеет восьмигранную симметрию . Удлиненный Додекаэдр и trapezo-ромбический додекаэдр вариации, наряду с ромбической додекаэдры, являются пространственно-наполнением . Есть множество других додекаэдров .

В то время как правильный додекаэдр имеет много общих черт с другими Платоновыми телами, одно его уникальное свойство состоит в том, что можно начать с угла поверхности и провести бесконечное количество прямых линий через фигуру, которые возвращаются в исходную точку, не пересекаясь ни с одной другой. угол. ^[1]

Правильные додекаэдры [ править ]

Выпуклый правильный додекаэдр является одним из пяти правильных Платоновых тел и может быть представлен его символом Шлефли {5, 3}.

Двойной полиэдр является регулярным Икосаэдром {3, 5}, имеющий пять равностороннего треугольника вокруг каждой вершины.

Выпуклая додекаэдра также имеет три созвездий , все из которых являются регулярной звездой додекаэдры. Они образуют три из четырех многогранников Кеплера – Пуансо . Это малый звездчатый додекаэдр {5/2, 5}, большой додекаэдр {5, 5/2} и большой звездчатый додекаэдр {5/2, 3}. Малый звездчатый додекаэдр и большой додекаэдр двойственны друг другу; большой звездчатый додекаэдр двойственен большому икосаэдру {3, 5/2}. Все эти правильные звездчатые додекаэдры имеют правильные пятиугольные или пентаграммические грани. Выпуклый правильный додекаэдр и большой звездчатый додекаэдр - разные реализации одного и того жеабстрактный правильный многогранник ; малый звездчатый додекаэдр и большой додекаэдр - разные реализации другого абстрактного правильного многогранника.

Другие пятиугольные додекаэдры [ править ]

В кристаллографии , два важные додекаэдры могут происходить как кристаллические формы в некоторых классах симметрии в кубической кристаллической системе , топологический эквивалентно додекаэдр , но менее симметричен: в pyritohedron с pyritohedral симметрии и то tetartoid с тетраэдрической симметрией :

Пиритоэдр [ править ]

Пиритоэдр
(Смотрите здесь вращающуюся модель.)
Многоугольник лица	неправильный пятиугольник
Диаграммы Кокстера
Лица	12
Края	30 (6 + 24)
Вершины	20 (8 + 12)
Группа симметрии	T h , [4,3 + ], (3 * 2), порядок 24
Группа вращения	T , [3,3] + , (332), порядок 12
Двойной многогранник	Псевдоикосаэдр
Характеристики	лицо переходное
Сеть

Pyritohedron является додекаэдр с pyritohedral (Т _ч ) симметрии. Подобно правильному додекаэдру , он имеет двенадцать одинаковых пятиугольных граней, по три пересекающихся в каждой из 20 вершин (см. Рисунок). ^[2] Однако пятиугольники не обязаны быть регулярными, и лежащее в основе атомное расположение не имеет истинной оси симметрии пятого порядка. Его 30 ребер разделены на два набора - по 24 и 6 ребер одинаковой длины. Единственные оси вращательной симметрии - это три взаимно перпендикулярные оси второго порядка и четыре оси третьего порядка .

Хотя правильные додекаэдры не существуют в кристаллах, форма пиритоэдра встречается в кристаллах минерального пирита , и это может быть источником вдохновения для открытия правильной платоновской твердой формы. Истинный правильный додекаэдр может иметь форму квазикристаллов (таких как квазикристалл гольмия-магния-цинка ) с икосаэдрической симметрией , которая включает в себя истинные оси вращения пятого порядка .

Кристаллический пирит [ править ]

Пирит природный (с углами граней справа) Его название происходит от одного из двух общих привычек кристалла , показанных на пирита (другой один являющийся куб ). В пиритоэдрическом пирите грани имеют индекс Миллера (210), что означает, что двугранный угол равен 2 · арктангенс (2) ≈ 126,87 °, и каждая пятиугольная грань имеет один угол примерно 121,6 ° между двумя углами примерно 106,6 °. и два противоположных угла примерно 102,6 °. Следующие формулы показывают размеры грани идеального кристалла (который редко встречается в природе). ${\ displaystyle {\ text {Height}} = {\ frac {\ sqrt {5}} {2}} \ cdot {\ text {Длинная сторона}}}$ ${\ displaystyle {\ text {Ширина}} = {\ frac {4} {3}} \ cdot {\ text {Длинная сторона}}}$ ${\ displaystyle {\ text {Короткие стороны}} = {\ sqrt {\ frac {7} {12}}} \ cdot {\ text {Длинная сторона}}}$

Декартовы координаты [ править ]

Восемь вершин куба имеют координаты (± 1, ± 1, ± 1).

Те из 12 дополнительных вершин: ( 0, ± (1 + h ), ± (1 - h ² ) ) , ( ± (1 + h ), ± (1 - h ² ), 0 ) и ( ± (1 - h ² ), 0, ± (1 + h ) ) .

h - высота клиновидной «крыши» над гранями этого куба с длиной ребра 2.

Важный случай: h =1/2(четверть длины ребра куба) для идеального природного пирита (также пиритоэдра в структуре Вейра – Фелана ).

Другой - h =1/φ= 0,618 ... для правильного додекаэдра . См. Раздел « Геометрическая свобода» для других случаев.

Два пиритоэдра с переставленными ненулевыми координатами находятся в двойных положениях друг относительно друга, как додекаэдры в соединении двух додекаэдров .

Геометрическая свобода [ править ]

Пиритоэдр имеет геометрическую степень свободы с предельными случаями кубической выпуклой оболочки на одном пределе коллинеарных ребер и ромбическим додекаэдром в качестве другого предела, поскольку 6 ребер вырождены до нулевой длины. Правильный додекаэдр представляет собой специальный промежуточный случай, когда все ребра и углы равны.

Эти предельные случаи можно обойти, создав вогнутые или невыпуклые пиритоэдры. Эндо-додекаэдр является вогнутым и равносторонним; он может замощить пространство с помощью выпуклого правильного додекаэдра. Продолжая оттуда в этом направлении, мы проходим через вырожденный случай, когда двенадцать вершин совпадают в центре, и переходим к правильному большому звездчатому додекаэдру, где все ребра и углы снова равны, а грани искажены в правильные пентаграммы . С другой стороны, за ромбическим додекаэдром мы получаем невыпуклый равносторонний додекаэдр с самопересекающимися равносторонними пятиугольными гранями в форме рыбы.

Тетартоид [ править ]

Tetartoid (также тетрагональной пятиугольной Додекаэдр , пятиугольник-tritetrahedron и tetrahedric пятиугольника додекаэдра ) является додекаэдр с хиральным тетраэдрической симметрии (Т). Подобно правильному додекаэдру , он имеет двенадцать одинаковых пятиугольных граней, по три пересекающихся в каждой из 20 вершин. Однако пятиугольники не правильные, и фигура не имеет осей симметрии пятого порядка.

Хотя правильные додекаэдры не существуют в кристаллах, тетартоидная форма существует. Название тетартоид происходит от греческого корня для одной четверти, потому что он имеет одну четверть полной октаэдрической симметрии и половину пиритоэдрической симметрии. ^[3] Минерал кобальтит может иметь эту форму симметрии. ^[4]

Абстракции, разделяющие топологию и симметрию твердого тела, могут быть созданы из куба и тетраэдра. В кубе каждая грань разделена пополам наклонным краем. В тетраэдре каждое ребро делится на три части, и каждая из новых вершин соединяется с центром грани. (В обозначениях многогранников Конвея это гиротетраэдр.)

Декартовы координаты [ править ]

Следующие точки являются вершинами тетраэдрического пятиугольника относительно тетраэдрической симметрии :

( а , б , в ); (- а , - б , в ); (-п/d ₁, -п/d ₁, п/d ₁); (- в , - а , б ); (-п/d ₂, п/d ₂, п/d ₂),

при следующих условиях: ^[5]

0 ≤ a ≤ b ≤ c ,

n = a ² c - bc ² ,

d ₁ = a ² - ab + b ² + ac - 2 bc ,

d ₂ = a ² + ab + b ² - ac - 2 bc ,

nd ₁ д ₂ ≠ 0 .

Геометрическая свобода [ править ]

Додекаэдра является tetartoid более необходимой симметрии. Триакистетраэдр является вырожденным случаем с 12 ребрами нулевой длиной. (В терминах использованных выше цветов это означает, что белые вершины и зеленые ребра поглощаются зелеными вершинами.)

Дуал треугольной гиробиантикуполы [ править ]

Форма более низкой симметрии правильного додекаэдра может быть построена как двойник многогранника, построенного из двух треугольных антикупол, соединенных основанием к основанию, называемых треугольными гиробиантикуполами. Он имеет симметрию D _3d , порядок 12. Он имеет 2 набора по 3 одинаковых пятиугольника сверху и снизу, соединенных 6 пятиугольниками по сторонам, которые чередуются вверх и вниз. Эта форма имеет шестиугольное поперечное сечение, и идентичные копии могут быть соединены как частичные шестиугольные соты, но все вершины не будут совпадать.

Ромбический додекаэдр [ править ]

Ромбический додекаэдр является зоноэдром с двенадцатью ромбическими гранями и октаэдрической симметрией. Он двойственен квазирегулярному кубооктаэдру ( архимедову твердому телу ) и встречается в природе в виде кристалла. Ромбический додекаэдр собирается вместе, заполняя пространство.

Ромбический додекаэдр можно рассматривать как вырожденный pyritohedron где 6 специальных ребра были сокращены до нулевой длины, уменьшая пятиугольники в ромбические грани.

Ромбический додекаэдр имеет несколько звёздчатых элементов , первая из которых также является параллелоэдром, заполняющим пространство .

Другой важный ромбический додекаэдр, додекаэдр Билински , имеет двенадцать граней, совпадающих с гранями ромбического триаконтаэдра , то есть диагонали находятся в соотношении золотого сечения . Он также является зоноэдром и был описан Билински в 1960 году. ^[6] Эта фигура является еще одним заполнителем пространства, а также может встречаться в непериодических заполнениях пространства вместе с ромбическим триаконтаэдром, ромбическим икосаэдром и ромбическими гексаэдрами. ^[7]

Другие додекаэдры [ править ]

Существует 6 384 634 топологически различных выпуклых додекаэдра, исключая зеркальные изображения - число вершин колеблется от 8 до 20. ^[8] (Два многогранника «топологически различны», если они имеют внутренне различное расположение граней и вершин, такое, что невозможно определить искажайте одно в другое, просто изменяя длину краев или углы между краями или гранями.)

Топологически различные додекаэдры (исключая пятиугольные и ромбические формы)

• Равномерные многогранники:
  • Десятиугольная призма - 10 квадратов, 2 декагона, симметрия D 10h , порядок 40.
  • Пятиугольная антипризма - 10 равносторонних треугольников, 2 пятиугольника, симметрия D 5d , порядок 20
• Твердые тела Джонсона (со стандартной поверхностью):
  • Пятиугольный купол - 5 треугольников, 5 квадратов, 1 пятиугольник, 1 декагон, симметрия C 5v , порядок 10
  • Курносый дисфеноид - 12 треугольников, D 2d , порядка 8
  • Удлиненная квадратная дипирамида - 8 треугольников и 4 квадрата, симметрия D 4h , порядок 16
  • Метабидоуменьшенный икосаэдр - 10 треугольников и 2 пятиугольника, симметрия C 2v , порядок 4
• Конгруэнтное неправильное лицо : ( переходное лицо )
  • Гексагональная бипирамида - 12 равнобедренных треугольников , двойная шестиугольной призме , симметрия D 6h , порядок 24
  • Шестиугольный трапецоэдр - 12 воздушных змеев , двойных шестиугольной антипризме , симметрия D 6d , порядок 24
  • Тетраэдр Триаки - 12 равнобедренных треугольников, двойственный усеченному тетраэдру , симметрия T d , порядок 24
• Другое менее регулярное столкновение:
  • Гендекагональная пирамида - 11 равнобедренных треугольников и 1 правильный пятиугольник , C 11v , порядок 11
  • Трапецо-ромбический додекаэдр - 6 ромбов, 6 трапеций - двойственный треугольной ортобикуполе , симметрия D 3h , порядок 12
  • Ромбо-шестиугольный додекаэдр или удлиненный додекаэдр - 8 ромбов и 4 равносторонних шестиугольника , симметрия D 4h , порядок 16
  • Усеченный пятиугольный трапецоэдр , D 5d , порядок 20, топологически эквивалентен правильному додекаэдру

Практическое использование [ править ]

Арман Шпиц использовал додекаэдр в качестве эквивалента «глобуса» для своего проектора для планетария «Цифровой купол» . ^{[9] на} основе предложения Альберта Эйнштейна .

См. Также [ править ]

• 120-элементный - правильный полихорон (4-мерный многогранник), поверхность которого состоит из 120 додекаэдрических ячеек.
• Braarudosphaera bigelowii - кокколитофора в форме додекаэдра( одноклеточные водоросли фитопланктона ).
• Додекаэдр пентакиса
• Римский додекаэдр
• Курносый додекаэдр
• Усеченный додекаэдр

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме 12-гранные многогранники .

• Вайсштейн, Эрик В. «Додекаэдр» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Удлиненный додекаэдр» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. "Пиритоэдр" . MathWorld .
• Четвертое твердое тело Платона и «Пиритоэдр» , Пол Стивенсон, 1993, The Mathematical Gazette, Vol. 77, № 479 (июль 1993 г.), стр. 220–226 [1]
• ГРЕЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
• Плеяде'ученые из Pyritohedron моделей VRML и анимации Pyritohedron и его созвездий
• Клитцинг, Ричард. "Трехмерные выпуклые равномерные многогранники o3o5x - лань" .
• Редактируемая печатная сетка додекаэдра с интерактивным трехмерным изображением
• Равномерные многогранники
• Оригами Многогранники - Модели, сделанные из Модульного Оригами
• Додекаэдр - 3D-модель, которая работает в вашем браузере
• Многогранники виртуальной реальности Энциклопедия многогранников
  • Вариации додекаэдров
  • Модели VRML
  1. Правильный додекаэдр Правильный
  2. Ромбический додекаэдр квазирегулярный
  3. Десятиугольная призма вершинно-транзитивная
  4. Пятиугольная антипризма вершинно-транзитивная
  5. Гексагональная дипирамида гранно -транзитивная
  6. Тетраэдр Триаки гранно -транзитивный
  7. гексагональный трапецоэдр гранно -переходный
  8. Правильные грани пятиугольного купола
• К.Дж.Маклин, Геометрический анализ пяти платоновых тел и других полуправильных многогранников
• Додекаэдр 3D визуализация
• Stella: Polyhedron Navigator : Программное обеспечение, используемое для создания некоторых изображений на этой странице.
• Как сделать додекаэдр из пенополистирольного куба
• Римские додекаэдры: загадочные объекты, найденные на территории Римской империи.