Курносый дисфеноид

Курносый дисфеноид
Тип	Джонсон Дж 83 - Дж 84 - Дж 85
Лица	4 + 8 треугольников
Края	18
Вершины	8
Конфигурация вершины	4 (3 4 ) 4 (3 5 )
Группа симметрии	D 2d
Двойной многогранник	Гиробифастигий удлиненный
Характеристики	выпуклый , дельтаэдр
Сеть

3D модель курносого дисфеноида

В геометрии , в курносым равногранный тетраэдр , сиамского додекаэдре , треугольной додекаэдре , тригональной додекаэдр , или dodecadeltahedron является трехмерным выпуклый многогранник с двенадцатью равносторонних треугольников , как его граней . Это не правильный многогранник, потому что некоторые вершины имеют четыре грани, а другие - пять. Это додекаэдр , один из восьми дельтаэдров (выпуклые многогранники с равносторонними треугольными гранями) и одно из 92 тел Джонсона ( неоднородныевыпуклые многогранники с правильными гранями). Его можно представить как квадратную антипризму, в которой оба квадрата заменены двумя равносторонними треугольниками.

Курносый дисфеноид также является фигурой вершины изогональной 13-5 ступенчатой ​​призмы, полихорон, построенный из дуопризмы 13-13, путем выбора вершины на трехугольнике , затем выбора 5-й вершины на следующем трехугольнике, делая это до тех пор, пока не достигнете исходной точки. трехугольник. Однако его нельзя сделать однородным, потому что курносый дисфеноид не имеет описанной окружности .

История и название [ править ]

Эта форма была названа сиамским додекаэдром в статье Ханса Фройденталя и Б.Л. ван дер Вардена (1947), которая впервые описала набор из восьми выпуклых дельтаэдров . ^[1] Название додекадельтаэдра было дано той же форме Берналом (1964) , имея в виду тот факт, что это 12-сторонний дельтаэдр. Существуют и другие симплициальные додекаэдры , например гексагональная бипирамида., но это единственное, что можно реализовать с равносторонними гранями. Бернала интересовали формы отверстий, оставшихся в нерегулярных плотно упакованных сферах, поэтому он использовал ограничительное определение дельтаэдров, в котором дельтаэдр - это выпуклый многогранник с треугольными гранями, которые могут быть образованы центрами совокупности конгруэнтных сферы, касания которых представляют собой ребра многогранника, и такие, что нет места для упаковки другой сферы внутри клетки, созданной этой системой сфер. Это ограничительное определение запрещает треугольную бипирамиду (как образующую два тетраэдрических отверстия, а не одно отверстие), пятиугольную бипирамиду (поскольку сферы для ее вершин взаимопроникают, поэтому она не может встречаться в сферах) и икосаэдр.(потому что в нем есть внутреннее пространство для другой сферы). Бернал пишет , что курносый равногранный тетраэдр является «очень распространенной координацией для ионов кальция в кристаллографии ». ^[2] В координационной геометрии он обычно известен как тригональный додекаэдр или просто как додекаэдр.

Курносый равногранный тетраэдр название происходит от Norman Johnson «s 1966 классификации твердых Johnson , выпуклых многогранников , у которого все грани являются регулярными. ^[3] Он существует сначала в серии многогранников с осевой симметрией, поэтому также может быть назван дигональным gyrobianticupola .

Свойства [ править ]

Курносый дисфеноид 4-связный , то есть требуется удаление четырех вершин, чтобы разъединить оставшиеся вершины. Это один из четырех 4-связных симплициальных хорошо покрытых многогранников, что означает, что все максимальные независимые множества его вершин имеют одинаковый размер. Остальные три многогранника с этим свойством - это правильный октаэдр , пятиугольная бипирамида и неправильный многогранник с 12 вершинами и 20 треугольными гранями. ^[4]

Курносый дисфеноид имеет ту же симметрию, что и тетрагональный дисфеноид : он имеет ось вращательной симметрии 180 °, проходящую через середины двух его противоположных краев, две перпендикулярные плоскости симметрии отражения через эту ось и четыре дополнительные операции симметрии, задаваемые перпендикуляром отражения. к оси, затем следует четверть оборота и, возможно, еще одно отражение, параллельное оси. ^[5] То есть он имеет антипризматическую симметрию D _{2 d} , группу симметрии 8-го порядка.

Сферы с центрами в вершинах курносого дисфеноида образуют кластер, который, согласно численным экспериментам, имеет минимально возможный потенциал Леннарда-Джонса среди всех восьмисферных кластеров. ^[6]

С точностью до симметрии и параллельного переноса курносый дисфеноид имеет пять типов простых (несамопересекающихся) замкнутых геодезических . Это пути на поверхности многогранника, которые избегают вершин и локально выглядят как кратчайший путь: они следуют отрезкам прямых линий через каждую грань многогранника, которую они пересекают, и когда они пересекают ребро многогранника, они образуют дополнительные углы на две стороны обращены к краю. Интуитивно можно было бы натянуть резинку вокруг многогранника вдоль этого пути, и он остался бы на месте: нет возможности локально изменить путь и сделать его короче. Например, геодезическая одного типа пересекает два противоположных края курносого дисфеноида в их средних точках (где ось симметрии выходит из многогранника) под углом π/ 3. Второй тип геодезических проходит около пересечения курносого дисфеноида с плоскостью, которая перпендикулярно делит пополам ось симметрии ( экватор многогранника), пересекая ребра восьми треугольников под углами, которые чередуются между π / 2 и π / 6. Сдвиг геодезической на поверхности многогранника на небольшую величину (достаточно малую, чтобы сдвиг не заставлял ее пересекать какие-либо вершины) сохраняет свойство геодезической и сохраняет ее длину, поэтому в обоих этих примерах были сдвинуты версии многогранника. того же типа, которые расположены менее симметрично. Длины пяти простых замкнутых геодезических на курносом дисфеноиде с ребрами единичной длины равны

${\displaystyle 2{\sqrt {3}}\approx 3.464}$(для экваториальных геодезического), , (для геодезического через середины противоположных краев), и .${\displaystyle {\sqrt {13}}\approx 3.606}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle 2{\sqrt {7}}\approx 5.292}$${\displaystyle {\sqrt {19}}\approx 4.359}$

За исключением тетраэдра, который имеет бесконечно много типов простых замкнутых геодезических, курносый дисфеноид имеет большинство типов геодезических любого дельтаэдра. ^[7]

Строительство [ править ]

Курносый дисфеноид построен, как следует из его названия, как курносый многогранник, образованный из тетрагонального дисфеноида , формы более низкой симметрии правильного тетраэдра .

Операция snub создает одну циклическую полосу треугольников, разделяющую два противоположных края (красный на рисунке) и их смежные треугольники. В Snub антипризм аналогичны в том , одну циклическую группу треугольников, но и в Snub антипризм эти полосы разделения двух противоположных граней и их смежных треугольника , а не две противоположные кромки.

Курносый дисфеноид также можно построить из квадратной антипризмы , заменив две квадратные грани парами равносторонних треугольников. Однако это одно из элементарных тел Джонсона, которые не возникают в результате манипуляций с платоновыми и архимедовыми телами "вырезать и вставить" .

Физическая модель курносого дисфеноида может быть сформирована путем складывания сетки, образованной 12 равносторонними треугольниками ( 12-ромб ), как показано. Альтернативная сеть, предложенная Джоном Монтроллом, имеет меньше вогнутых вершин на границе, что делает ее более удобной для построения оригами . ^[8]

Декартовы координаты [ править ]

Пусть - положительный вещественный корень кубического многочлена${\displaystyle q\approx 0.16902}$

${\displaystyle 2x^{3}+11x^{2}+4x-1.}$

Кроме того, пусть

${\displaystyle r={\sqrt {q}}\approx 0.41112,}$

${\displaystyle s={\sqrt {\frac {1-q}{2q}}}\approx 1.56786,}$

а также

${\displaystyle t=2rs={\sqrt {2-2q}}\approx 1.28917.}$

Тогда восьми вершинам курносого дисфеноида можно задать декартовы координаты.

${\displaystyle (\pm t,r,0),\,(0,-r,\pm t),}$

${\displaystyle (\pm 1,-s,0),\,(0,s,\pm 1).}$^[6]

Поскольку эта конструкция включает решение кубического уравнения, курносый дисфеноид не может быть построен с помощью циркуля и линейки , в отличие от других семи дельтаэдров. ^[9]

С этими координатами можно вычислить объем курносого дисфеноида с длиной ребра a как , где , - положительный корень полинома${\displaystyle \xi a^{3}}$${\displaystyle \xi \approx 0.85949}$

${\displaystyle 5832x^{6}-1377x^{4}-2160x^{2}-4.}$^[10]

Связанные многогранники [ править ]

Другая конструкция курносого дисфеноида - двуугольная gyrobianticupola . Он имеет такую ​​же топологию и симметрию, но без равносторонних треугольников. Он имеет 4 вершины в квадрате на центральной плоскости в виде двух антикупол, прикрепленных с вращательной симметрией. Его двойник имеет прямоугольные пятиугольники и может создавать мозаику в пространстве.

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. Курносый дисфеноид . MathWorld .