В геометрии , икосаэдр ( / ˌ aɪ к ɒ ы ə ч я д т ən , - к ə -, - к oʊ - / или / aɪ ˌ к ɒ ы ə ч я д т ən / [1] ) является полиэдр с 20 гранями. Название происходит от древнегреческого εἴκοσι (eíkosi) «двадцать» и от древнегреческого. ἕδρα (hédra) 'сиденье'. Множественное число может быть «икосаэдрами» ( / - d r ə / ) или «икосаэдрами».
Есть бесконечное множество не- подобные формы икосаэдров, некоторые из них являются более симметричными , чем другие. Наиболее известен ( выпуклый , не звездчатый ) правильный икосаэдр - одно из Платоновых тел - чьи грани представляют собой 20 равносторонних треугольников .
Правильные икосаэдры
 Выпуклый правильный икосаэдр |  Большой икосаэдр |
Есть два объекта, выпуклый и невыпуклый, которые можно назвать правильными икосаэдрами. У каждого есть 30 ребер и 20 равносторонних треугольных граней, по пять пересекающихся в каждой из двенадцати вершин. Оба обладают икосаэдрической симметрией . Термин «правильный икосаэдр» обычно относится к выпуклой разновидности, в то время как невыпуклая форма называется большим икосаэдром .
Выпуклый правильный икосаэдр
Выпуклый правильный икосаэдр обычно называют просто правильным икосаэдром , одним из пяти правильных Платоновых тел , и представлен его символом Шлефли {3, 5}, содержащим 20 треугольных граней с 5 гранями, пересекающимися вокруг каждой вершины.
Его двойственный многогранник - это правильный додекаэдр {5, 3}, имеющий по три правильные пятиугольные грани вокруг каждой вершины.
Большой икосаэдр
Большой икосаэдр является одним из четырех регулярных звезды Кеплер-Пуансо многогранников . Его символ Шлефли - {3,5/2}. Подобно выпуклой форме, он также имеет 20 равносторонних треугольных граней, но его вершина представляет собой пентаграмму, а не пятиугольник, ведущий к геометрически пересекающимся граням. Пересечения треугольников не представляют новые ребра.
Его двойственный многогранник - большой звездчатый додекаэдр {5/2, 3} с тремя правильными пятиугольными гранями вокруг каждой вершины.
Звездчатые икосаэдры
Звездчатость - это процесс расширения граней или ребер многогранника до тех пор, пока они не встретятся, чтобы сформировать новый многогранник. Делается это симметрично, чтобы получившаяся фигура сохранила общую симметрию родительской фигуры.
В своей книге «Пятьдесят девять икосаэдров» Коксетер и др. перечислил 58 таких звёздчатых звёзд правильного икосаэдра.
Многие из них имеют одну грань в каждой из 20 плоскостей граней и также являются икосаэдрами. Среди них - большой икосаэдр.
Другие звездочки имеют более одной грани в каждой плоскости или образуют соединения более простых многогранников. Это не совсем икосаэдры, хотя их часто называют таковыми.
| Известные звёздчатые формы икосаэдра | |||||||||
| Обычный | Униформа двойников | Обычные соединения | Обычная звезда | Другие | |||||
| (Выпуклый) икосаэдр | Малый триамбический икосаэдр | Медиальный триамбический икосаэдр | Большой триамбический икосаэдр | Соединение пяти октаэдров | Соединение пяти тетраэдров | Соединение десяти тетраэдров | Большой икосаэдр | Выкапанный додекаэдр | Конечная звездчатость |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Процесс образования звезд на икосаэдре создает ряд связанных многогранников и соединений с икосаэдрической симметрией . | |||||||||
Пиритоэдрическая симметрия
| Пиритоэдрическая и тетраэдрическая симметрии | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| Диаграммы Кокстера |     (пиритоэдрический) (четырехгранный) | ||||
| Символ Шлефли | s {3,4} sr {3,3} или | ||||
| Лица | 20 треугольников: 8 равносторонних 12 равнобедренных | ||||
| Края | 30 (6 коротких + 24 длинных) | ||||
| Вершины | 12 | ||||
| Группа симметрии | T h , [4,3 + ], (3 * 2), порядок 24 | ||||
| Группа вращения | T d , [3,3] + , (332), порядок 12 | ||||
| Двойной многогранник | Пиритоэдр | ||||
| Характеристики | выпуклый | ||||
Сеть | |||||
| |||||
Икосаэдр может быть искажен или размечен в качестве нижнего pyritohedral симметрии, [2] и называется вздернутый октаэдр , вздернутый tetratetrahedron , вздернутый тетраэдр и псевдо-икосаэдр . Это можно рассматривать как чередующийся усеченный октаэдр . Если все треугольники равносторонние , симметрию можно также отличить, раскрасив наборы треугольников 8 и 12 по-разному.
Пиритоэдрическая симметрия имеет символ (3 * 2), [3 + , 4] с порядком 24. Тетраэдрическая симметрия имеет символ (332), [3,3] + с порядком 12. Эти более низкие симметрии допускают геометрические искажения от 20. равносторонние треугольные грани вместо 8 равносторонних треугольников и 12 равнобедренных равнобедренных треугольников .
Эти симметрии предлагают диаграммы Кокстера : и соответственно, каждый из которых представляет более низкую симметрию правильного икосаэдра 
, (* 532), [5,3] икосаэдрическая симметрия порядка 120.
Декартовы координаты
Координаты 12 вершин могут быть определены векторами, определенными всеми возможными циклическими перестановками и знакопеременами координат формы (2, 1, 0). Эти координаты представляют собой усеченный октаэдр с удаленными чередующимися вершинами.
Эта конструкция называется курносым тетраэдром в его правильной форме икосаэдра и порождается теми же операциями, которые выполняются, начиная с вектора ( ϕ , 1, 0), где ϕ - золотое сечение . [2]
Икосаэдр Джессена
В икосаэдре Джессена, который иногда называют ортогональным икосаэдром Джессена , 12 равнобедренных граней расположены по-другому, так что фигура не является выпуклой и имеет прямые двугранные углы .
Это ножницы, конгруэнтные кубу, что означает, что его можно разрезать на более мелкие многогранные части, которые можно переставить, чтобы сформировать твердый куб.
Другие икосаэдры
Ромбический икосаэдр
Ромбический икосаэдр является зоноэдром из 20 конгруэнтных ромбов. Его можно получить из ромбического триаконтаэдра , удалив 10 срединных граней. Несмотря на то, что все грани совпадают, ромбический икосаэдр не является гранно-транзитивным .
Симметрии пирамиды и призмы
Общие икосаэдры с симметрией пирамиды и призмы включают:
- 19-гранная пирамида (плюс 1 основание = 20).
- 18-гранная призма (плюс 2 конца = 20).
- 9-сторонняя антипризма (2 набора по 9 сторон + 2 конца = 20).
- 10-сторонняя бипирамида (2 набора по 10 сторон = 20).
- 10-гранный трапецоэдр (2 набора по 10 сторон = 20).
Твердые тела Джонсона
Некоторые тела Джонсона являются икосаэдрами: [3]
| J22 | J35 | J36 | J59 | J60 | J92 |
|---|---|---|---|---|---|
Гиро-удлиненный треугольный купол | Ортобикупола удлиненной треугольной формы | Гиробикупола удлиненной треугольной формы | Парабиаугментированный додекаэдр | Метабиауглеродный додекаэдр | Гебешфеноротунда треугольная |
| 16 треугольников 3 квадрата 1 шестиугольник | 8 треугольников 12 квадратов | 8 треугольников 12 квадратов | 10 треугольников 10 пятиугольников | 10 треугольников 10 пятиугольников | 13 треугольников 3 квадрата 3 пятиугольника 1 шестиугольник |
Смотрите также
- 600 ячеек
использованная литература
- ^ Джонс, Дэниел (2003) [1917], Питер Роуч; Джеймс Хартманн; Джейн Сеттер (ред.), Словарь английского произношения , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 3-12-539683-2
- ^ a b Джон Баэз (11 сентября 2011 г.). «Золото дураков» .
- ^ Икосаэдр на MathWorld.
 | Викискладе есть медиафайлы по теме Икосаэдра . |
