Звездчатость

Построение звездчатого двенадцатиугольника : правильный многоугольник с символом Шлефли {12/5}.

В геометрии , плеяде'ученое это процесс расширения на полигон в двух измерениях , многогранник в трех измерениях, или, в общем случае , многогранник в п размерах , чтобы сформировать новую фигуру. Начиная с исходной фигуры, процесс расширяет определенные элементы, такие как ее края или плоскости лица, обычно симметрично, до тех пор, пока они снова не встретятся друг с другом, чтобы сформировать замкнутую границу новой фигуры. Новая фигура представляет собой звездообразную форму оригинала. Слово stellation происходит от латинского stellātus , « звездный », которое, в свою очередь, происходит от латинского stella , «звезда».

Определение Кеплера [ править ]

В 1619 году Кеплер определил звёздчатость для многоугольников и многогранников как процесс расширения ребер или граней до тех пор, пока они не встретятся, чтобы сформировать новый многоугольник или многогранник.

Он построил звездчатый правильный додекаэдр, чтобы получить два правильных звездчатых многогранника, малый звездчатый додекаэдр и большой звездчатый додекаэдр . Он также построил звездчатый правильный октаэдр, чтобы получить стеллу octangula , правильное соединение двух тетраэдров.

Звездчатые многоугольники [ править ]

Симметричная звездчатость правильного многоугольника создает правильный звездообразный многоугольник или многоугольное соединение . Эти многоугольники характеризуются числом m, которое многоугольная граница наматывается вокруг центра фигуры. Как и у всех правильных многоугольников, их вершины лежат на окружности. m также соответствует количеству вершин по кругу, чтобы добраться от одного конца данного ребра до другого, начиная с 1.

Регулярная звезда многоугольника представлена своим Шлефли символ { п / м }, где п есть число вершин, т является шагом используются в секвенирования краев вокруг него, а м и п являются взаимно простым (не имеет общий фактора ). Случай m = 1 дает выпуклый многоугольник { n }. m также должно быть меньше половины n ; в противном случае линии будут либо параллельны, либо расходятся, не позволяя фигуре когда-либо сомкнуться.

Если n и m имеют общий делитель, то фигура является правильным составным. Например, {6/2} - это правильное соединение двух треугольников {3} или гексаграмма , а {10/4} - соединение двух пентаграмм {5/2}.

Некоторые авторы используют символ Шлефли для таких регулярных соединений. Другие считают, что этот символ указывает на единственный путь, который проходит m раз.п/мвершинных точек, так что одно ребро накладывается на другое, и каждая вершина посещается m раз. В этом случае для соединения может использоваться модифицированный символ, например 2 {3} для гексаграммы и 2 {5/2} для обычного соединения двух пентаграмм.

Правильный n -угольник имеетп - 4/2созвездиях , если п является даже ( в предположении соединения нескольких вырожденного digons не считается), ип - 3/2созвездиях , если п является нечетным .

Пентаграмма , {5/2}, является единственным плеяде'ученой из пятиугольника	Гексаграмма , {6/2}, то плеяде'ученая из шестиугольника и соединение двух треугольников.	Эннеагон (девятиугольник) {9} имеет 3 enneagrammic формы: {9/2}, {9/3}, {9/4}, с {9/3} представляет собой соединение 3 треугольников.
Угольник имеет две heptagrammic формы: {7/2}, {7/3}

Как и семиугольник , то восьмиугольника также имеет два octagrammic созвездий, один, {8/3} будучи звездой многоугольник , а другие, {8/2}, будучи соединением двух квадратов .

Звездчатые многогранники [ править ]

Многогранник образует звёздочку, расширяя грани или грани многогранника до тех пор, пока они снова не встретятся, чтобы сформировать новый многогранник или соединение. Внутренность нового многогранника разбита гранями на ряд ячеек. Плоскости граней многогранника могут разделять пространство на множество таких ячеек, и по мере продолжения звездчатого процесса все больше этих ячеек будет заключено в них. Для симметричного многогранника эти ячейки будут разделены на группы или множества конгруэнтных ячеек - мы говорим, что ячейки в таком конгруэнтном множестве относятся к одному типу. Распространенный метод поиска звездчатых звездочек включает выбор одного или нескольких типов клеток.

Это может привести к огромному количеству возможных форм, поэтому часто вводятся дополнительные критерии, чтобы сократить набор до тех звездчатых, которые в некотором роде значительны и уникальны.

Набор ячеек, образующих замкнутый слой вокруг его ядра, называется оболочкой. Для симметричного многогранника оболочка может состоять из одного или нескольких типов ячеек.

На основе таких идей было выделено несколько ограничительных категорий интересов.

• Основные звёздчатые. Добавление последовательных оболочек к сердцевинному многограннику приводит к набору звездообразных линий.
• Полностью поддерживаемые звездчатые формы. Нижние грани ячейки могут выглядеть снаружи как «выступ». В полностью поддерживаемой звёздчатой ​​форме такие выступы отсутствуют, и все видимые части лица видны с одной и той же стороны.
• Моноакральные звездочки. Буквально «однопостовый». Если в звёздчатой ​​форме присутствует только один вид пика или вершины (т. Е. Все вершины конгруэнтны в пределах одной орбиты симметрии), звёздчатость является моноакральной. Все такие звёздчатые формы полностью поддерживаются.
• Первичные звездчатые. Если многогранник имеет плоскости зеркальной симметрии, ребра, попадающие в эти плоскости, считаются лежащими в первичных линиях. Если все ребра лежат в основных линиях, звездчатость является первичной. Полностью поддерживаются все основные звездчатые формы.
• Звездочки Миллера. В «Пятьдесят девяти икосаэдрах» Кокстер , Дю Валь, Флэтер и Петри записывают пять правил, предложенных Миллером . Хотя эти правила относятся конкретно к геометрии икосаэдра, они были адаптированы для работы с произвольными многогранниками. Они обеспечивают, среди прочего, сохранение вращательной симметрии исходного многогранника, а также то, что каждая звездочка отличается по внешнему виду. Все четыре только что определенные формы звездчатости являются подмножествами звездчатых звезд Миллера.

Мы также можем выделить некоторые другие категории:

• Частичные плеяде'ученый один , где не все элементы заданной размерности вытянуты.
• Суб-симметричного плеяде'ученый один , где не все элементы расширяются симметрично.

В Архимеде твердые и двойственные также могут быть звездообразными. Здесь мы обычно добавляем правило, согласно которому все исходные плоскости граней должны присутствовать в звездчатой ​​форме, т.е. мы не рассматриваем частичные звездчатые формы. Например, куб обычно не считается звездчатым кубооктаэдром .

Обобщая правила Миллера, можно выделить:

• 4 звёздчатые формы ромбического додекаэдра
• 187 звёздчатых образов тетраэдра триакиса
• 358 833 097 звёздчатых звёзд ромбического триаконтаэдра
• 17 созвездиях в кубооктаэдр (4 приведены в Веннингер «ы многогранника моделей )
• Неизвестное количество звёздчатых элементов икосододекаэдра ; Есть 7071671 не- хиральных созвездий, но число хиральных созвездий неизвестно. (20 показаны в Веннингер «ы многогранника моделей )

Семнадцать из невыпуклых однородных многогранников являются звездчатыми архимедовыми телами.

Правила Миллера [ править ]

В книге «Пятьдесят девять икосаэдров» Дж. К. П. Миллер предложил набор правил для определения того, какие звездчатые формы следует считать «должным образом значимыми и отличными».

Эти правила были адаптированы для использования со звёздчатыми элементами многих других многогранников. По правилам Миллера мы находим:

• У тетраэдра нет звёздчатой ​​формы , потому что все грани смежные
• У куба нет звёздчатой ​​формы , потому что несмежные грани параллельны и, следовательно, не могут быть расширены для встречи в новых ребрах.
• Имеется 1 звёздчатая форма октаэдра , stella octangula.
• Додекаэдр состоит из трех звездчатых элементов : малого звездчатого додекаэдра , большого додекаэдра и большого звездчатого додекаэдра , все из которых являются многогранниками Кеплера – Пуансо.
• Икосаэдр состоит из 58 звездообразных элементов , включая большой икосаэдр (один из многогранников Кеплера – Пуансо), а также вторую и последнюю звездчатую структуру икосаэдра. 59-я модель в «Пятьдесят девяти икосаэдрах» - это сам оригинальный икосаэдр.

Многие «звездочки Миллера» нельзя получить напрямую с помощью метода Кеплера. Например, у многих есть полые центры, в которых полностью отсутствуют исходные грани и ребра многогранника ядра: не остается ничего, что могло бы быть звездчатым. С другой стороны, метод Кеплера также дает звездчатые формы, которые запрещены правилами Миллера, поскольку их ячейки связаны ребрами или вершинами, даже если их грани представляют собой одиночные многоугольники. Это несоответствие не привлекало особого внимания до Inchbald (2002).

Другие правила звездчатости [ править ]

Правила Миллера никоим образом не представляют собой «правильный» способ перечисления звёздчатых чисел. Они основаны на объединении частей в звездчатой ​​диаграмме определенным образом и не принимают во внимание топологию получаемых граней. Таким образом, есть некоторые вполне разумные звездчатые формы икосаэдра, которые не входят в их список - одна была идентифицирована Джеймсом Бриджем в 1974 году, в то время как некоторые "звездчатые формы Миллера" вызывают сомнения относительно того, следует ли их вообще рассматривать как звездчатые - одна из набор икосаэдров состоит из нескольких совершенно разрозненных ячеек, симметрично плавающих в пространстве.

Пока еще не полностью разработан альтернативный набор правил, учитывающий это. Наибольший прогресс был достигнут на основе представления о том, что звёздчатость - это процесс, обратный или двойственный к фасетированию , при котором части многогранника удаляются без создания новых вершин. Для каждой звёздчатости некоторого многогранника существует двойственная фасетка двойственного многогранника , и наоборот. Изучая грани дуального, мы получаем представление о звездчатых формах оригинала. Бридж обнаружил свою новую звездчатую форму икосаэдра, изучив грани его дуального, додекаэдра.

Некоторые многогранники придерживаются точки зрения, что звездчатость - это двусторонний процесс, так что любые два многогранника, имеющие одну и ту же плоскость граней, являются звездообразными друг относительно друга. Это понятно, если кто-то разрабатывает общий алгоритм, подходящий для использования в компьютерной программе, но в остальном он не особенно полезен.

Многие примеры звездчатых звезд можно найти в списке звездчатых моделей Веннингера .

Звездчатые многогранники [ править ]

Звездчатый процесс можно применить и к многогранникам более высокой размерности. Плеяде'ученая диаграмма из п -многогранника существует в ( п  - 1) -мерной гиперплоскости данной грани .

Например, в 4-пространстве, правнуки звездообразных 120-клеток является окончательным плеяде'ученым в очередной 4-многограннике 120-клетке .

Именование звёздочек [ править ]

Первым систематическим названием звездчатых многогранников было присвоение Кэли правильных звездных многогранников (ныне известных как многогранники Кеплера – Пуансо ). Эта система широко, но не всегда систематически применялась для других многогранников и высших многогранников.

Джон Конвей разработал терминологию для звездчатых многоугольников , многогранников и полихор (Coxeter 1974). В этой системе процесс расширения края , чтобы создать новую фигуру называется плеяде'ученым , что из наполняющих граней называется greatening и что из наполняющих клеток называются возвеличиванием (последнее не относится к многогранникам). Это позволяет систематически использовать такие слова, как «звездчатый», «великий» и «великий» при разработке названий для полученных фигур. Например, Конвей предложил несколько незначительных изменений названий многогранников Кеплера – Пуансо .

Звёздчатость до бесконечности [ править ]

Веннингер заметил, что некоторые многогранники, например куб, не имеют конечных звёздчатых элементов. Однако звездчатые ячейки могут быть сконструированы как призмы, простирающиеся до бесконечности. Фигура, составляющая эти призмы, может быть названа звёздочкой в ​​бесконечность . Однако по большинству определений многогранников эти звёздчатые формы не являются строго многогранниками.

Фигуры Веннингера возникли как двойники однородных гемиполиэдров , где грани, проходящие через центр, отправляются в вершины «на бесконечность».

От математики к искусству [ править ]

Помимо своего вклада в математику, Магнус Веннингер описывается в контексте взаимосвязи математики и искусства как создание «особенно красивых» моделей сложных звездчатых многогранников. ^[1]

Итальянское Возрождение художник Паоло Уччелло создал мозаичный пол , показывая небольшой звездчатый додекаэдр в базилике Святого Марка, Венеция , с. 1430. Изображение Уччелло было использовано в качестве символа Венецианской биеннале 1986 года на тему «Искусство и наука». ^[2] То же плеяде'ученых занимает центральное место в двух литографий по MC Escher : Контраст (порядка и хаоса) , 1950, и Гравитация , 1952. ^[3]

См. Также [ править ]

• Пятьдесят девять икосаэдров
• Список моделей многогранников Веннингера Включает 44 звездчатых формы октаэдра, додекаэдра, икосаэдра и икосододекаэдра, перечисленных в книге Магнуса Веннингера 1974 года "Модели многогранников"
• Полиэдрическое соединение Включает 5 обычных соединений и 4 двойных правильных соединения.
• Список многогранных звездчатых

Ссылки [ править ]

• Мост, Нью-Джерси; Огранка додекаэдра, Acta Crystallographica A30 (1974), стр. 548–552.
• Кокстер , HSM; Правильные комплексные многогранники (1974).
• Кокстер , HSM; Du Val, P .; Flather, HT; и Петри, Дж. Ф. Пятьдесят девять икосаэдров , 3-е издание. Стрэдброк, Англия: Публикации Тарквин (1999).
• Inchbald, G .; В поисках потерянных икосаэдров, The Mathematical Gazette 86 (2002), стр. 208-215.
• Messer, P .; Звёздчатые формы ромбического триаконтаэдра и за его пределами, Симметрия: культура и наука , 11 (2000), стр. 201–230.
• Веннингер, Магнус (1974). Модели многогранников . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-09859-9.
• Веннингер, Магнус (1983). Двойные модели . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-24524-9.

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Звездчатость» . MathWorld .
• Звездчатость икосаэдра и огранка додекаэдра
• Stella: Polyhedron Navigator - Программа для исследования многогранников и печати сетей для их физического построения. Включает однородные многогранники, звёздчатые формы, соединения, тела Джонсона и т. Д.
• Перечень звёздчатых знаков
• Владимир Булатов Зубчатые многогранники.
• Апплет Владимира Булатова Polyhedra Stellations в виде приложения для OS X
• Апплет звездчатого типа
• Интерактивное создание звёздчатых многогранников различной симметрии
• Пятьдесят девять икосаэдров - апплет
• 59 Звёздчатые формы Икосаэдра, Джордж Харт
• Звездчатая форма: красивая математика
• Дальнейшие звездчатые формы однородных многогранников, Джон Лоуренс Хадсон The Mathematical Intelligencer, Том 31, номер 4, 2009 г.