Додекагон

Правильный двенадцатигранник
Правильный двенадцатигранник
Тип	Правильный многоугольник
Ребра и вершины	12
Символ Шлефли	{12}, т {6}, тт {3}
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии	Двугранный (D 12 ), порядок 2 × 12
Внутренний угол ( градусы )	150 °
Двойной многоугольник	Себя
Характеристики	Выпуклый , циклический , равносторонний , изогональный , изотоксальный

В геометрии , A двенадцатиугольник или 12-угольника является любой двенадцать-сторонний многоугольник .

Обычный двенадцатигранник [ править ]

Регулярная двенадцатиугольник является фигура со сторонами той же длины и внутренних углов одного и того же размера. Он имеет двенадцать линий отражательной симметрии и вращательной симметрии 12-го порядка. Правильный двенадцатигранник представлен символом Шлефли {12} и может быть построен как усеченный шестиугольник , t {6}, или дважды усеченный треугольник , tt {3 }. Внутренний угол в каждой вершине правильного двенадцатиугольника составляет 150 °.

Площадь [ править ]

Площадь регулярного двенадцатиугольника бокового длины а определяется по формуле:

${\ displaystyle {\ begin {align} A & = 3 \ cot \ left ({\ frac {\ pi} {12}} \ right) a ^ {2} = 3 \ left (2 + {\ sqrt {3}} \ right) a ^ {2} \\ & \ simeq 11.19615242 \, a ^ {2} \ end {align}}}$

А с точки зрения апофемы r (см. Также начертанный рисунок ) площадь равна:

${\ displaystyle {\ begin {align} A & = 12 \ tan \ left ({\ frac {\ pi} {12}} \ right) r ^ {2} = 12 \ left (2 - {\ sqrt {3}} \ right) r ^ {2} \\ & \ simeq 3.2153903 \, r ^ {2} \ end {align}}}$

С точки зрения радиуса описанной окружности R , площадь равна: ^[1]

${\displaystyle A=6\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)R^{2}=3R^{2}}$

Размах S двенадцатиугольника - это расстояние между двумя параллельными сторонами, равное удвоенному апофему. Простая формула для определения площади (с учетом длины стороны и размаха):

${\displaystyle A=3aS}$

Это можно проверить с помощью тригонометрического соотношения:

${\displaystyle S=a(1+2\cos {30^{\circ }}+2\cos {60^{\circ }})}$

Периметр [ править ]

Периметр регулярного двенадцатиугольника с точкой зрения является описанной окружностью: ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}p&=24R\tan \left({\frac {\pi }{12}}\right)=12R{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}\\&\simeq 6.21165708246\,R\end{aligned}}}$

Периметр в терминах апофемы:

${\displaystyle {\begin{aligned}p&=24r\tan \left({\frac {\pi }{12}}\right)=24r(2-{\sqrt {3}})\\&\simeq 6.43078061835\,r\end{aligned}}}$

Этот коэффициент вдвое больше коэффициента, найденного в уравнении апофемы для площади. ^[3]

Конструкция Додекагона [ править ]

Поскольку 12 = 2 ² × 3, правильный двенадцатигранник можно построить с помощью построения циркуля и линейки :

Рассечение [ править ]

Кокстер утверждает, что каждый зоноэдр (2 м -угольник, противоположные стороны которого параллельны и равной длины) можно разрезать на m ( m -1) / 2 параллелограммов. ^[4] В частности, это верно для правильных многоугольников с равным числом сторон, и в этом случае все параллелограммы являются ромбическими. Для регулярного Двенадцатиугольника , т = 6, и он может быть разделен на 15: 3, 6 квадратах ширина 30 ° ромбов и 6 узких 15 ° ромбов. Это разложение основано на многоугольной проекции 6-куба Петри с 15 из 240 граней. Последовательность OEIS, последовательность A006245 определяет количество решений как 908, включая до 12-кратных поворотов и хиральных форм в отражении.

Один из способов использования блоков математических манипуляций - создание ряда различных додекагонов. ^[5] Они связаны с ромбическим рассечением, с 3 ромбами 60 °, объединенными в шестиугольники, полушестиугольные трапеции или разделенными на 2 равносторонних треугольника.

Симметрия [ править ]

Регулярно двенадцатиугольник имеет DIH ₁₂ симметрии, порядка 24. Есть 15 различных подгруппы двугранные и циклические симметрии. Симметрия каждой подгруппы допускает одну или несколько степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g12 не имеет степеней свободы, но может рассматриваться как направленные ребра .

Возникновение [ править ]

Плитка [ править ]

Правильный двенадцатигранник может заполнить вершину плоскости другими правильными многоугольниками 4 способами:

Вот 3 примера периодических плоских мозаик , в которых используются правильные додекагоны, определяемые конфигурацией их вершин :

Наклонить двенадцатигранник [ править ]

Перекос двенадцатиугольник является перекос многоугольник с 12 вершинами и ребрами , но не существующие на одной и той же плоскости. Внутренняя часть такого двенадцатигранника обычно не определяется. Перекос зигзагообразный двенадцатиугольник имеет вершины чередующихся между двумя параллельными плоскостями.

Регулярная перекос двенадцатиугольник является вершиной-симметрический с равными длинами ребер. В трех измерениях это будет зигзагообразный косой двенадцатигранник, и его можно будет увидеть в вершинах и боковых гранях шестиугольной антипризмы с той же симметрией D _5d , [2 ⁺ , 10], порядка 20. Додекаграммная антипризма , s { 2,24 / 5} и додекаграммная скрещенная антипризма , s {2,24 / 7} также имеют правильные косые додекагоны.

Полигоны Петри [ править ]

Правильный двенадцатиугольник - это многоугольник Петри для многих многомерных многогранников, рассматриваемых как ортогональные проекции в плоскостях Кокстера . Примерами в 4 измерениях являются 24-клеточная , курносая 24-клеточная , 6-6 дуопризма , 6-6 дуопирамида . В 6 измерениях 6-куб , 6-ортоплекс , 2 21 , 1 22 . Это также многоугольник Петри для большой 120-клеточной и большой звездчатой ​​120-клеточной .

Связанные рисунки [ править ]

Dodecagram представляет собой 12-сторонний многоугольник , звезда, представленный символом {12 / N}. Есть один правильный звездообразный многоугольник : {12/5}, использующий те же вершины, но соединяющий каждую пятую точку. Также есть три соединения: {12/2} уменьшается до 2 {6} как два шестиугольника , и {12/3} уменьшается до 3 {4} как три квадрата , {12/4} уменьшается до 4 {3 } как четыре треугольника, а {12/6} сокращается до 6 {2} как шесть вырожденных двуугольников .

Более глубокие усечения правильного двенадцатиугольника и додекаграммы могут создавать изогональные ( вершинно-транзитивные ) промежуточные формы звездообразного многоугольника с равными разнесенными вершинами и двумя длинами ребер. Усеченный шестиугольник - это двенадцатиугольник, t {6} = {12}. Квазиусеченный шестиугольник, перевернутый как {6/5}, представляет собой додекаграмму: t {6/5} = {12/5}. ^[7]

Примеры использования [ править ]

В заглавных буквах буквы E , H и X (и I в шрифте с засечками ) имеют двенадцатигранный контур. Крест является двенадцатиугольником, как логотип для Chevrolet автомобильного подразделения.

Обычный двенадцатигранник занимает видное место во многих зданиях. Торре - дель - Оро является двенадцатиугольными военная вышка в Севилье , на юге Испании , построенный династией Альмохадов . Церковь Вера-Крус начала XIII века в Сеговии , Испания, имеет двенадцатигранную форму. Другой пример - Порта ди Венере (Ворота Венеры) в Спелло , Италия , построенные в I веке до нашей эры и имеющие две двенадцатигранных башни, названные «Башнями Проперция».

Обычные двенадцатиугольные монеты включают в себя:

• Британский трехпенсовый бит с 1937 по 1971 год, когда он перестал быть законным платежным средством.
• Британская монета в один фунт , введена в обращение в 2017 году.
• 50-центовая австралийская монета
• Фиджийский 50 центов
• Тонга 50-сенити , с 1974 г.
• Соломоновы Острова 50 центов
• Хорватская 25 кун
• Румынский 5000 лей , 2001–2005
• Канадский пенни , 1982–1996 гг.
• Южновьетнамский 20 ng , 1968–1975
• Замбийский 50 нгве , 1969–1992
• Малавийская 50 тамбала , 1986–1995
• Мексиканские 20 сентаво , 1992-2009 гг.

На Филиппинах на местных карнавалах (перяхан) обычно используются колеса обозрения на 12 мест или гондолы.

См. Также [ править ]

• Додекагональное число
• Додекаэдр - правильный многогранник с 12 пятиугольными гранями.
• Додекаграмма

Примечания [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Додекагон» . MathWorld .
• Плитка Кюршака и теорема
• Определение и свойства двенадцатиугольника с интерактивной анимацией
• Обычный двенадцатигранник в классе с использованием шаблонных блоков