Правильный многоугольник

Множество выпуклых правильных n-угольников
Правильные многоугольники
Ребра и вершины	п
Символ Шлефли	{ n }
Диаграмма Кокстера – Дынкина
Группа симметрии	D n , порядок 2n
Двойной многоугольник	Самодвойственный
Площадь (с длиной стороны, с )	${\ displaystyle A = {\ tfrac {1} {4}} ns ^ {2} \ cot \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right)}$
Внутренний угол	${\ Displaystyle (п-2) \ раз {\ гидроразрыва {180 ^ {\ circ}} {п}}}$
Сумма внутренних углов	${\ Displaystyle \ влево (п-2 \ вправо) \ раз 180 ^ {\ circ}}$
Диаметр вписанной окружности	${\ displaystyle d _ {\ text {IC}} = s \ cot \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right)}$
Диаметр описанной окружности	${\ displaystyle d _ {\ text {OC}} = s \ csc \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right)}$
Характеристики	Выпуклый , циклический , равносторонний , изогональный , изотоксальный

В евклидовой геометрии , правильный многоугольник является многоугольник , который равноугольным (все углы равны в меру) и равносторонний (все стороны имеют одинаковую длину). Правильные многоугольники могут быть выпуклыми или звездчатыми . В пределе последовательность правильных многоугольников с увеличивающимся числом сторон приближается к кругу , если периметр или площадь фиксированы, или к правильному апейрогону (фактически прямая линия ), если длина края фиксирована.

Общие свойства [ править ]

Эти свойства применимы ко всем правильным многоугольникам, будь то выпуклые или звездообразные .

Правильный n- сторонний многоугольник имеет вращательную симметрию порядка n .

Все вершины правильного многоугольника лежат на общей окружности ( описанной окружности ); т. е. они являются конциклическими точками . То есть правильный многоугольник - это циклический многоугольник .

Вместе со свойством сторон равной длины это означает, что каждый правильный многоугольник также имеет вписанную окружность или вписанную окружность, которая касается каждой стороны в средней точке. Таким образом, правильный многоугольник - это касательный многоугольник .

Правильный n- сторонний многоугольник можно построить с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда нечетные простые множители n являются различными простыми числами Ферма . См. Конструируемый многоугольник .

Симметрия [ править ]

Группа симметрии из п односторонняя правильный многоугольник является группа диэдра D _п (порядка 2 п ): D ₂ , D 3 , D 4 , ... Он состоит из вращений в С _п , вместе с симметрией отражения в п осей которые проходят через центр. Если n четно, то половина этих осей проходит через две противоположные вершины, а другая половина - через середины противоположных сторон. Если n нечетное, то все оси проходят через вершину и середину противоположной стороны.

Правильные выпуклые многоугольники [ править ]

Все правильные простые многоугольники (простой многоугольник - это тот, который нигде не пересекает себя) являются выпуклыми. Те, у которых одинаковое количество сторон, также похожи .

П односторонний выпуклый правильный многоугольник обозначается его символом Шлефли { п }. При n <3 имеем два вырожденных случая:

Моногон {1}

Вырождаются в обычном пространстве . (Большинство авторитетов не рассматривают моногон как настоящий многоугольник, отчасти из-за этого, а также потому, что приведенные ниже формулы не работают, и его структура не соответствует структуре какого-либо абстрактного многоугольника .)

Дигон {2}; "двойной отрезок"

Вырождаются в обычном пространстве . (Из-за этого некоторые авторитеты не считают двуугольник настоящим многоугольником.)

В определенных контекстах все рассматриваемые полигоны будут правильными. В таких условиях приставка обычная принято опускать. Например, все грани однородных многогранников должны быть правильными, а грани будут описаны просто как треугольник, квадрат, пятиугольник и т. Д.

Углы [ править ]

Для правильного выпуклого n -угольника каждый внутренний угол имеет размер:

${\ displaystyle {\ frac {180 (n-2)} {n}}}$ градусы;

${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {(п-2) \ pi} {п}}}$радианы; или же

${\ displaystyle {\ frac {(n-2)} {2n}}}$полные обороты ,

и каждый внешний угол (то есть дополнительный к внутреннему углу) имеет меру градусов, при этом сумма внешних углов равна 360 градусам или 2π радианам, или одному полному обороту.${\ displaystyle {\ tfrac {360} {n}}}$

Когда n приближается к бесконечности, внутренний угол приближается к 180 градусам. Для правильного многоугольника с 10 000 сторон ( мириагон ) внутренний угол составляет 179,964 °. По мере увеличения количества сторон внутренний угол может приближаться к 180 °, а форма многоугольника приближается к форме круга. Однако многоугольник никогда не может стать кругом. Значение внутреннего угла никогда не может стать точно равным 180 °, поскольку окружность фактически превратилась бы в прямую линию. По этой причине круг - это не многоугольник с бесконечным числом сторон.

Диагонали [ править ]

Для n > 2 количество диагоналей равно ; т.е. 0, 2, 5, 9, ..., для треугольника, квадрата, пятиугольника, шестиугольника, .... Диагонали делят многоугольник на 1, 4, 11, 24, ... части OEIS :  A007678 .${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} п (п-3)}$

Для правильного n -угольника, вписанного в окружность единичного радиуса, произведение расстояний от данной вершины до всех других вершин (включая смежные вершины и вершины, соединенные диагональю) равно n .

Точки в плоскости [ править ]

Для правильного простого n -угольника с описанным радиусом R и расстояниями d _i от произвольной точки на плоскости до вершин имеем ^[1]

${\ displaystyle {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} d_ {i} ^ {4}} {n}} + 3R ^ {4} = \ left ({\ frac {\ sum _ { i = 1} ^ {n} d_ {i} ^ {2}} {n}} + R ^ {2} \ right) ^ {2}.}$

Для больших степеней расстояний от произвольной точки на плоскости до вершин правильного -угольника, если${\ displaystyle d_ {i}}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle S_ {n} ^ {(2m)} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} d_ {i} ^ {2m}}$,

затем ^[2]

${\displaystyle S_{n}^{(2m)}=(S_{n}^{(2)})^{m}+\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {m}{2}}\rfloor }{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}R^{2k}(S_{n}^{(2)}-R^{2})^{k}(S_{n}^{(2)})^{m-2k}}$,

и

${\displaystyle S_{n}^{(2m)}=(S_{n}^{(2)})^{m}+\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {m}{2}}\rfloor }{\frac {1}{2^{k}}}{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}(S_{n}^{(4)}-(S_{n}^{(2)})^{2})^{k}(S_{n}^{(2)})^{m-2k}}$,

где положительное целое число меньше .${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$

Если - расстояние от произвольной точки на плоскости до центра тяжести правильного -угольника с описанным радиусом , то ^[2]${\displaystyle L}$${\displaystyle n}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}=n((R^{2}+L^{2})^{m}+\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {m}{2}}\rfloor }{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}R^{2k}L^{2k}(R^{2}+L^{2})^{m-2k})}$,

где = 1,2,…, -1.${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$

Внутренние точки [ править ]

Для правильного n -угольника сумма перпендикулярных расстояний от любой внутренней точки до n сторон равна n раз апофемой ^{[3] : p. 72} (апофема - это расстояние от центра до любой стороны). Это обобщение теоремы Вивиани для случая n = 3. ^{[4] [5]}

Circumradius [ править ]

Описанная окружность R от центра правильного многоугольника на одной из вершин связана длиной стороны с или к апофеме а по

${\displaystyle R={\frac {s}{2\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}={\frac {a}{\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}}$

Для построимых многоугольников , алгебраические выражения для этих отношений существуют; см. Бицентрический многоугольник # Правильные многоугольники .

Сумма перпендикуляров от вершин правильного n -угольника к любой прямой, касающейся описанной окружности, равна n -кратному радиусу описанной окружности. ^{[3] : с. 73}

Сумма квадратов расстояний от вершин правильного n -угольника до любой точки на его описанной окружности равна 2 nR ^2, где R - радиус описанной окружности. ^{[3] : стр.73}

Сумма квадратов расстояний от середин сторон правильного n -угольника до любой точки описанной окружности равна 2 nR ² -нс ²/4, где s - длина стороны, R - радиус описанной окружности. ^{[3] : с. 73}

Если - расстояния от вершин правильного -угольника до любой точки его описанной окружности, то ^[2]${\displaystyle d_{i}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle 3(\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2})^{2}=2n\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}}$.

Расслоения [ править ]

Кокстеровские гласит , что каждый зоногон (2 м -угольник которого противоположные стороны параллельны и равны по длине) можно разрезать на или м ( м -1) / 2 параллелограммов. Эти мозаики содержатся в виде подмножеств вершин, ребер и граней в ортогональных проекциях m -кубов . ^[6] В частности, это верно для правильных многоугольников с равным числом сторон, и в этом случае все параллелограммы являются ромбическими. В списке OEIS :  A006245 указано количество решений для небольших полигонов.${\displaystyle {\tbinom {n}{2}}}$

Площадь [ править ]

Площадь A выпуклого правильного n- стороннего многоугольника со стороной s , описанным радиусом R , апофемой a и периметром p определяется формулой ^{[7] [8]}

${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}nsa={\tfrac {1}{2}}pa={\tfrac {1}{4}}ns^{2}\cot \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)=na^{2}\tan \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)={\tfrac {1}{2}}nR^{2}\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}\right)}$

Для правильных многоугольников со стороной s = 1, радиусом описанной окружности R = 1 или апофемой a = 1 получается следующая таблица: ^[9] (Обратите внимание, что, поскольку as , ^[10], площадь, когда она стремится к as, увеличивается).${\displaystyle \cot x\rightarrow 1/x}$${\displaystyle x\rightarrow 0}$${\displaystyle s=1}$${\displaystyle n^{2}/4\pi }$${\displaystyle n}$

Количество сторон	Площадь при стороне s = 1		Площадь при окружном радиусе R = 1			Площадь при апофеме а = 1
	Точный	Приближение	Точный	Приближение	В качестве (приблизительно) фракции описанной окружности  зоны	Точный	Приближение	В качестве (приблизительно) кратный  вписанной  область
п	${\displaystyle {\tfrac {n}{4}}\cot \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)}$		${\displaystyle {\tfrac {n}{2}}\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}\right)}$		${\displaystyle {\tfrac {n}{2\pi }}\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}\right)}$	${\displaystyle n\tan \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)}$		${\displaystyle {\tfrac {n}{\pi }}\tan \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)}$
3	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{4}}}$	0,433012702	${\displaystyle {\tfrac {3{\sqrt {3}}}{4}}}$	1,299038105	0,4134966714	${\displaystyle 3{\sqrt {3}}}$	5,196152424	1,653986686
4	1	1.000000000	2	2.000000000	0,6366197722	4	4,000000000	1,273239544
5	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}$	1,720477401	${\displaystyle {\tfrac {5}{4}}{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}}$	2,377641291	0,7568267288	${\displaystyle 5{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}$	3,632712640	1,156328347
6	${\displaystyle {\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2}}}$	2,598076211	${\displaystyle {\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2}}}$	2,598076211	0,8269933428	${\displaystyle 2{\sqrt {3}}}$	3,464101616	1.102657791
7		3,633912444		2,736410189	0,8710264157		3,371022333	1.073029735
8	${\displaystyle 2+2{\sqrt {2}}}$	4,828427125	${\displaystyle 2{\sqrt {2}}}$	2,828427125	0,9003163160	${\displaystyle 8\left({\sqrt {2}}-1\right)}$	3,313708500	1.054786175
9		6,181824194		2,892544244	0,9207254290		3,275732109	1.042697914
10	${\displaystyle {\tfrac {5}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}$	7.694208843	${\displaystyle {\tfrac {5}{2}}{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}}$	2,938926262	0,9354892840	${\displaystyle 2{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}}$	3,249196963	1.034251515
11		9.365639907		2,973524496	0,9465022440		3,229891423	1.028106371
12	${\displaystyle 6+3{\sqrt {3}}}$	11,19615242	3	3.000000000	0,9549296586	${\displaystyle 12\left(2-{\sqrt {3}}\right)}$	3,215390309	1.023490523
13		13,18576833		3,020700617	0,9615188694		3.204212220	1.019932427
14		15.33450194		3,037186175	0,9667663859		3,195408642	1.017130161
15	[11]	17.64236291	[12]	3,050524822	0,9710122088	[13]	3,188348426	1.014882824
16	[14]	20.10935797	${\displaystyle 4{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}$	3,061467460	0,9744953584	[15]	3,182597878	1.013052368
17		22,73549190		3,070554163	0,9773877456		3,177850752	1.011541311
18		25,52076819		3,078181290	0,9798155361		3,173885653	1.010279181
19		28,46518943		3,084644958	0,9818729854		3,170539238	1,009213984
20	[16]	31,56875757	[17]	3,090169944	0,9836316430	[18]	3,167688806	1,008306663
100		795.5128988		3,139525977	0,9993421565		3,142626605	1.000329117
1000		79577.20975		3,141571983	0,9999934200		3,141602989	1,000003290
10 000		7957746,893		3,141592448	0,9999999345		3,141592757	1,000000033
1,000,000		79577471545		3,141592654	1.000000000		3,141592654	1.000000000

Из всех n -угольников с заданным периметром правильным является тот, у которого наибольшая площадь. ^[19]

Конструируемый многоугольник [ править ]

Некоторые правильные многоугольники легко построить с помощью циркуля и линейки ; другие правильные многоугольники вообще не могут быть построены. В древнегреческие математики знали , как построить правильный многоугольник с 3, 4 или 5 сторон, ^{[20] : р. xi,} и они знали, как построить правильный многоугольник с удвоенным числом сторон данного правильного многоугольника. ^{[20] : pp. 49–50} В связи ^{с этим возник} вопрос: можно ли построить все правильные n -угольники с помощью циркуля и линейки? Если нет, то какие n -угольники можно построить, а какие нет?

Карл Фридрих Гаусс доказал конструктивность правильного 17-угольника в 1796 году. Пятью годами позже он разработал теорию гауссовских периодов в своих Disquisitiones Arithmeticae . Эта теория позволила ему сформулировать достаточное условие конструктивности правильных многоугольников:

Правильный n -угольник можно построить с помощью циркуля и линейки, если n является произведением степени 2 и любого количества различных простых чисел Ферма (включая ни одного).

( Простое число Ферма - это простое число формы ) Гаусс без доказательства заявил, что это условие также необходимо , но никогда не публиковал свое доказательство. Полное доказательство необходимости было дано Пьером Ванцелем в 1837 году. Результат известен как теорема Гаусса – Ванцеля .${\displaystyle 2^{(2^{n})}+1.}$

Точно так же правильный n -угольник можно построить тогда и только тогда, когда косинус его общего угла является конструктивным числом, то есть его можно записать в терминах четырех основных арифметических операций и извлечения квадратных корней.

Правильные наклонные многоугольники [ править ]

Регулярный пространственный многоугольник в 3-пространстве можно рассматривать как неплоская дорожку зигзагов между двумя параллельными плоскостями, определяются как боковые края однородной антипризмы . Все края и внутренние углы равны.

В более общем смысле правильные косые многоугольники можно определить в n -пространстве. Примеры включают многоугольники Петри , многоугольные пути ребер, которые делят правильный многогранник на две половины и которые рассматриваются как правильный многоугольник в ортогональной проекции.

В бесконечном пределе правильные косые многоугольники становятся косыми апейрогонами .

Правильные звездчатые многоугольники [ править ]

Правильные звездчатые многоугольники

2 <2q <p, НОД (p, q) = 1 {5/2} {7/2} {7/3} ...
Символ Шлефли	{p / q}
Вершины и ребра	п
Плотность	q
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии	Двугранный (D p )
Двойной многоугольник	Самодвойственный
Внутренний угол ( градусы )	${\displaystyle {\frac {180(p-2q)}{p}}}$[21]

Невыпуклый правильный многоугольник - это правильный многоугольник со звездой . Самый распространенный пример - пентаграмма , которая имеет те же вершины, что и пятиугольник , но соединяет чередующиеся вершины.

Для n- стороннего звездчатого многоугольника символ Шлефли изменен, чтобы указать плотность или «звездность» m многоугольника как { n / m }. Если , например, m равно 2, то соединяется каждая вторая точка. Если m равно 3, то каждая третья точка соединяется. Граница многоугольника обвивается вокруг центра m раз.

(Невырожденные) правильные звезды с числом сторон до 12:

• Пентаграмма - {5/2}
• Гептаграмма - {7/2} и {7/3}
• Октаграмма - {8/3}
• Эннеаграмма - {9/2} и {9/4}
• Декаграмма - {10/3}
• Хендекаграмма - {11/2}, {11/3}, {11/4} и {11/5}
• Додекаграмма - {12/5}

m и n должны быть взаимно простыми , иначе число выродится.

Вырожденные правильные звезды с числом сторон до 12:

• Тетрагон - {4/2}
• Шестиугольники - {6/2}, {6/3}
• Октагоны - {8/2}, {8/4}
• Эннеагон - {9/3}
• Декагоны - {10/2}, {10/4} и {10/5}
• Додекагоны - {12/2}, {12/3}, {12/4} и {12/6}

В зависимости от точного происхождения символа Шлефли мнения о природе вырожденной фигуры различаются. Например, {6/2} можно лечить одним из двух способов:

• На протяжении большей части 20-го века (см., Например, Coxeter (1948) ), мы обычно использовали / 2 для обозначения соединения каждой вершины выпуклого {6} с его ближайшими соседями на расстоянии двух шагов, чтобы получить правильное соединение двух треугольников. , или гексаграмма .
  Коксетер поясняет это обычное соединение с помощью обозначения {kp} [k {p}] {kp} для соединения {p / k}, поэтому гексаграмма представлена ​​как {6} [2 {3}] {6}. ^[23] Более компактно Кокстер также записывает 2 {n / 2}, например 2 {3} для гексаграммы как составной, как чередование правильных четных многоугольников, с курсивом на ведущем множителе, чтобы отличить его от совпадающей интерпретации. ^[24]
• Многие современные геометры, такие как Грюнбаум (2003), ^[22], считают это неверным. Они используют / 2 для обозначения перемещения на два места вокруг {6} на каждом шаге, получая треугольник "с двойной обмоткой", у которого две вершины наложены друг на друга в каждой угловой точке и два ребра вдоль каждого сегмента линии. Это не только лучше согласуется с современными теориями абстрактных многогранников , но и более точно копирует способ, которым Пуансо (1809) создавал свои звездные многоугольники - беря один отрезок провода и сгибая его в последовательных точках под одним и тем же углом. пока фигура не закрылась.

Двойственность правильных многоугольников [ править ]

Все правильные многоугольники самодвойственны к конгруэнтности, а для нечетных n они самодвойственны идентичности.

Кроме того, правильные звездные фигуры (соединения), состоящие из правильных многоугольников, также самодуальны.

Правильные многоугольники как грани многогранников [ править ]

Равномерное многогранник имеет правильные многоугольники, лица, такие , что для любых двух вершин существует изометрия отображение друг в друг (так же , как есть для правильного многоугольника).

Квазирегулярная полиэдр является равномерным полиэдр , который имеет только два вида лица , чередующиеся вокруг каждой вершины.

Правильный многогранник является однородным многогранник , который имеет только один вид лица.

Оставшиеся (неоднородные) выпуклые многогранники с правильными гранями известны как тела Джонсона .

Многогранник с правильными треугольниками на гранях называется дельтаэдром .

См. Также [ править ]

• Евклидовы мозаики выпуклыми правильными многоугольниками
• Платоново твердое тело
• Апейрогон - Многоугольник с бесконечными сторонами также может быть правильным, {∞}.
• Список правильных многогранников и соединений
• Равносторонний многоугольник
• Карлайл круг

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Кокстер, HSM (1948). «Правильные многогранники». Метуэн и Ко. Cite journal requires |journal= (help)
• Grünbaum, B .; Ваши многогранники такие же, как мои многогранники? Дискретные и вычислительные. geom: festschrift Гудмана-Поллака , Под ред. Аронов и др., Springer (2003), стр. 461–488.
• Пуансо, Л .; Memoire sur les polygones et polyèdres. J. de l'École Polytechnique 9 (1810), стр. 16–48.

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик У. «Правильный многоугольник» . MathWorld .
• Описание регулярного многоугольника с интерактивной анимацией
• Окружность правильного многоугольника с интерактивной анимацией
• Площадь правильного многоугольника Три разные формулы с интерактивной анимацией
• Построение правильных многоугольников художниками эпохи Возрождения на Конвергенции