Группа точек

Blakeana Бауайние цветок на Гонконг флаге области имеет C 5 симметрии; звезда на каждом лепестке имеет симметрию D 5 .

Символ Инь и Ян имеет симметрию C 2 геометрии с инвертированными цветами.

В геометрии , A точечная группа представляет собой группу геометрических симметрий ( изометрий ) , которые держат по крайней мере одну точку фиксированной. Группы точек могут существовать в евклидовом пространстве любой размерности, и каждая группа точек в размерности d является подгруппой ортогональной группы O ( d ). Группы точек могут быть реализованы как наборы ортогональных матриц M, которые преобразуют точку x в точку y :

у = Mx

где начало координат - неподвижная точка. Точка-групповые элементы могут быть либо вращения ( определитель из М = 1) , либо отражений , или несобственных вращений (определитель М = -1).

Дискретные точечные группы более чем в одном измерении входят в бесконечные семейства, но из кристаллографической теоремы об ограничении и одной из теорем Бибербаха каждое число измерений имеет только конечное число точечных групп, которые симметричны по некоторой решетке или сетке с этим числом. Это кристаллографические точечные группы .

Группы киральных и ахиральных точек, группы отражения [ править ]

Точечные группы можно разделить на хиральные (или чисто вращательные) группы и ахиральные группы. ^[1] Киральные группы являются подгруппами специальной ортогональной группы SO ( d ): они содержат только сохраняющие ориентацию ортогональные преобразования, т. Е. Преобразования с определителем +1. Ахиральные группы содержат также преобразования определителя −1. В ахиральной группе преобразования, сохраняющие ориентацию, образуют (киральную) подгруппу индекса 2.

Конечные группы Кокстера или группы отражений - это точечные группы, которые генерируются исключительно набором отражающих зеркал, проходящих через одну и ту же точку. Группа Кокстера ранга n имеет n зеркал и представлена диаграммой Кокстера-Дынкина . Нотация Кокстера предлагает заключенную в скобки нотацию, эквивалентную диаграмме Кокстера, с символами разметки для групп точек вращения и других подсимметричных групп. Группы отражений обязательно ахиральные (за исключением тривиальной группы, содержащей только единичный элемент).

Список групп точек [ править ]

Одно измерение [ править ]

Есть только две одномерные группы точек: группа идентичности и группа отражения.

Группа	Coxeter	Диаграмма Кокстера	Заказ	Описание
C 1	[] +		1	Личность
D 1	[]		2	Группа отражения

Два измерения [ править ]

Группы точек в двух измерениях , иногда называемые группами розеток .

Они делятся на две бесконечные семьи:

1. Циклические группы С _п о п - кратных групп вращения
2. Диэдральные группы D _п из п - кратных вращения и групп отражений

Применение теоремы о кристаллографическом ограничении ограничивает n значениями 1, 2, 3, 4 и 6 для обоих семейств, что дает 10 групп.

Подмножество чисто отражающих точечных групп, определяемых 1 или 2 зеркалами, также может быть задано их группой Кокстера и соответствующими многоугольниками. К ним относятся 5 кристаллографических групп. Симметрия отражающих групп может быть удвоена изоморфизмом , отображая оба зеркала друг на друга с помощью биссектрисы, удваивая порядок симметрии.

Светоотражающий					Вращательный				Связанные полигоны
Группа	Группа Кокстера		Диаграмма Кокстера		Заказ	Подгруппа	Coxeter	Заказ
D 1	А 1	[]			2	C 1	[] +	1	Дигон
D 2	А 1 2	[2]			4	C 2	[2] +	2	Прямоугольник
D 3	А 2	[3]			6	C 3	[3] +	3	Равносторонний треугольник
D 4	BC 2	[4]			8	C 4	[4] +	4	Квадрат
D 5	H 2	[5]			10	С 5	[5] +	5	Правильный пятиугольник
D 6	G 2	[6]			12	С 6	[6] +	6	Правильный шестиугольник
D n	Я 2 (п)	[n]			2 п	C n	[n] +	п	Правильный многоугольник
Д 2 × 2	А 1 2 × 2	[[2]] = [4]		знак равно	8
Д 3 × 2	А 2 × 2	[[3]] = [6]		знак равно	12
Д 4 × 2	ВС 2 × 2	[[4]] = [8]		знак равно	16
Д 5 × 2	В 2 × 2	[[5]] = [10]		знак равно	20
Д 6 × 2	G 2 × 2	[[6]] = [12]		знак равно	24
D n × 2	Я 2 (п) × 2	[[n]] = [2n]		знак равно	4 п

Три измерения [ править ]

Точечные группы в трех измерениях , иногда называемые молекулярными точечными группами, после того, как они широко использовались при изучении симметрии малых молекул .

Они входят в 7 бесконечных семейств аксиальных или призматических групп и 7 дополнительных полиэдральных или платоновых групп. В обозначениях Шенфлиса *

• Осевые группы: C _n , S _{2 n} , C _{n h} , C _{n v} , D _n , D _{n d} , D _{n h}
• Группы полиэдров : T, T _d , T _h , O, O _h , I, I _h

Применение кристаллографической теоремы об ограничении к этим группам дает 32 кристаллографические точечные группы .

Группы отражения [ править ]

Группы точек отражения, определяемые 1-3 зеркальными плоскостями, также могут быть заданы их группой Кокстера и связанными с ними многогранниками. Группа [3,3] может быть удвоена, записана как [[3,3]], отображая первое и последнее зеркала друг на друга, удваивая симметрию до 48 и изоморфная группе [4,3].

Schönflies	Группа Кокстера		Диаграмма Кокстера			Заказ	Связанные правильные и призматические многогранники
Т д	А 3	[3,3]				24	Тетраэдр
T d × Dih 1 = O h	А 3 × 2 = ВС 3	[[3,3]] = [4,3]			знак равно	48	Звездчатый октаэдр
О ч	BC 3	[4,3]				48	Куб , октаэдр
Я ч	H 3	[5,3]				120	Икосаэдр , додекаэдр
Д 3ч	А 2 × А 1	[3,2]				12	Треугольная призма
D 3h × Dih 1 = D 6h	А 2 × А 1 × 2	[[3], 2]			знак равно	24	Гексагональная призма
Д 4ч	ВС 2 × А 1	[4,2]				16	Квадратная призма
D 4h × Dih 1 = D 8h	ВС 2 × А 1 × 2	[[4], 2] = [8,2]			знак равно	32	Восьмиугольная призма
Д 5ч	H 2 × A 1	[5,2]				20	Пятиугольная призма
Д 6ч	G 2 × A 1	[6,2]				24	Гексагональная призма
D nh	Я 2 (п) × А 1	[n, 2]				4 п	n -угольная призма
D nh × Dih 1 = D 2nh	Я 2 (п) × А 1 × 2	[[n], 2]			знак равно	8 п
Д 2ч	А 1 3	[2,2]				8	Кубоид
D 2h × Dih 1	А 1 3 × 2	[[2], 2] = [4,2]			знак равно	16
D 2h × Dih 3 = O h	А 1 3 × 6	[3 [2,2]] = [4,3]			знак равно	48
C 3v	А 2	[1,3]				6	Хосоэдр
C 4v	BC 2	[1,4]				8
C 5v	H 2	[1,5]				10
C 6v	G 2	[1,6]				12
C nv	Я 2 (п)	[1, n]				2 п
C nv × Dih 1 = C 2 nv	Я 2 ( п ) × 2	[1, [ n ]] = [1,2n]			знак равно	4 п
C 2 v	А 1 2	[1,2]				4
C 2 v × Dih 1	А 1 2 × 2	[1, [2]]			знак равно	8
C s	А 1	[1,1]				2

Четыре измерения [ править ]

Четырехмерные точечные группы (киральные и ахиральные) перечислены у Конвея и Смита ^[1], раздел 4, таблицы 4.1–4.3.

В следующем списке приведены четырехмерные группы отражений (за исключением тех, которые оставляют подпространство фиксированным и, следовательно, являются группами отражений меньшей размерности). Каждая группа определяется как группа Кокстера , и, как многогранные группы 3D, она может быть названа соответствующим выпуклым правильным 4-многогранником . Связанные чистые вращательные группы существуют для каждой с половинным порядком и могут быть представлены скобкой Кокстера с показателем '+', например [3,3,3] ⁺ имеет три точки 3-кратного вращения и порядок симметрии 60. Передние-задние симметричные группы, такие как [3,3,3] и [3,4,3], могут быть удвоены, что показано в виде двойных скобок в обозначениях Кокстера, например [[3,3,3]] с его порядком, удвоенным до 240 .

Группа Кокстера / обозначения		Диаграмма Кокстера		Заказ	Связанные многогранники
А 4	[3,3,3]			120	5-элементный
А 4 × 2	[[3,3,3]]			240	5-элементный двойной состав
ВС 4	[4,3,3]			384	16 ячеек / Тессеракт
D 4	[3 1,1,1 ]			192	Демитессерактика
D 4 × 2 = BC 4	<[3,3 1,1 ]> = [4,3,3]		знак равно	384
D 4 × 6 = F 4	[3 [3 1,1,1 ]] = [3,4,3]		знак равно	1152
П 4	[3,4,3]			1152	24-элементный
F 4 × 2	[[3,4,3]]			2304	24-элементный двойной состав
H 4	[5,3,3]			14400	120 ячеек / 600 ячеек
А 3 × А 1	[3,3,2]			48	Тетраэдрическая призма
А 3 × А 1 × 2	[[3,3], 2] = [4,3,2]		знак равно	96	Октаэдрическая призма
ВС 3 × А 1	[4,3,2]			96
H 3 × A 1	[5,3,2]			240	Икосаэдрическая призма
А 2 × А 2	[3,2,3]			36	Дуопризма
А 2 × BC 2	[3,2,4]			48
А 2 × В 2	[3,2,5]			60
А 2 × G 2	[3,2,6]			72
ВС 2 × ВС 2	[4,2,4]			64
ВС 2 2 × 2	[[4,2,4]]			128
BC 2 × H 2	[4,2,5]			80
BC 2 × G 2	[4,2,6]			96
В 2 × В 2	[5,2,5]			100
H 2 × G 2	[5,2,6]			120
G 2 × G 2	[6,2,6]			144
I 2 (p) × I 2 (q)	[p, 2, q]			4 шт.
I 2 (2p) × I 2 (q)	[[p], 2, q] = [2p, 2, q]		знак равно	8 шт.
I 2 (2p) × I 2 (2q)	[[p]], 2, [[q]] = [2 p , 2,2 q ]		знак равно	16 шт.
Я 2 (п) 2 × 2	[[p, 2, p]]			8 п. 2
И 2 (2п) 2 × 2	[[[p], 2, [p]]]] = [[2p, 2,2p]]		знак равно	32 п. 2
А 2 × А 1 × А 1	[3,2,2]			24
ВС 2 × А 1 × А 1	[4,2,2]			32
В 2 × А 1 × А 1	[5,2,2]			40
G 2 × A 1 × A 1	[6,2,2]			48
I 2 (p) × A 1 × A 1	[п, 2,2]			8 п.
I 2 (2p) × A 1 × A 1 × 2	[[p], 2,2] = [2p, 2,2]		знак равно	16 п.
Я 2 (п) × А 1 2 × 2	[p, 2, [2]] = [p, 2,4]		знак равно	16 п.
I 2 (2p) × A 1 2 × 4	[[p]], 2, [[2]] = [2p, 2,4]		знак равно	32 п
А 1 × А 1 × А 1 × А 1	[2,2,2]			16	4- ортотоп
А 1 2 × А 1 × А 1 × 2	[[2], 2,2] = [4,2,2]		знак равно	32
А 1 2 × А 1 2 × 4	[[2]], 2, [[2]] = [4,2,4]		знак равно	64
А 1 3 × А 1 × 6	[3 [2,2], 2] = [4,3,2]		знак равно	96
А 1 4 × 24	[3,3 [2,2,2]] = [4,3,3]		знак равно	384

Пять измерений [ править ]

В следующей таблице приведены пятимерные группы отражений (исключая те, которые являются группами отражений более низкой размерности), путем перечисления их как группы Кокстера . Связанные киральные группы существуют для каждой с половинным порядком и могут быть представлены скобкой Кокстера с показателем '+', например [3,3,3,3] ⁺ имеет четыре точки 3-кратного вращения и порядок симметрии 360 .

Группа Кокстера / обозначения		Диаграммы Кокстера		Заказ	Связанные регулярные и призматические многогранники
А 5	[3,3,3,3]			720	5-симплекс
А 5 × 2	[[3,3,3,3]]			1440	5-симплексный двойной состав
BC 5	[4,3,3,3]			3840	5-куб , 5-ортоплекс
D 5	[3 2,1,1 ]			1920 г.	5-полукуб
Д 5 × 2	<[3,3,3 1,1 ]>		знак равно	3840
А 4 × А 1	[3,3,3,2]			240	5-элементная призма
А 4 × А 1 × 2	[[3,3,3], 2]			480
ВС 4 × А 1	[4,3,3,2]			768	призма тессеракта
F 4 × A 1	[3,4,3,2]			2304	24-элементная призма
Ф 4 × А 1 × 2	[[3,4,3], 2]			4608
В 4 × А 1	[5,3,3,2]			28800	Призма на 600 или 120 ячеек
Д 4 × А 1	[3 1,1,1 , 2]			384	Призма демитессеракта
А 3 × А 2	[3,3,2,3]			144	Дуопризма
А 3 × А 2 × 2	[[3,3], 2,3]			288
А 3 × BC 2	[3,3,2,4]			192
А 3 × В 2	[3,3,2,5]			240
А 3 × G 2	[3,3,2,6]			288
А 3 × I 2 (п)	[3,3,2, п]			48p
ВС 3 × А 2	[4,3,2,3]			288
ВС 3 × ВС 2	[4,3,2,4]			384
BC 3 × H 2	[4,3,2,5]			480
BC 3 × G 2	[4,3,2,6]			576
ВС 3 × I 2 (п)	[4,3,2, п]			96p
В 3 × А 2	[5,3,2,3]			720
H 3 × BC 2	[5,3,2,4]			960
В 3 × В 2	[5,3,2,5]			1200
H 3 × G 2	[5,3,2,6]			1440
H 3 × I 2 (п)	[5,3,2, п]			240p
А 3 × А 1 2	[3,3,2,2]			96
ВС 3 × А 1 2	[4,3,2,2]			192
В 3 × А 1 2	[5,3,2,2]			480
А 2 2 × А 1	[3,2,3,2]			72	дуопризм призма
А 2 × ВС 2 × А 1	[3,2,4,2]			96
А 2 × В 2 × А 1	[3,2,5,2]			120
A 2 × G 2 × A 1	[3,2,6,2]			144
ВС 2 2 × А 1	[4,2,4,2]			128
ВС 2 × В 2 × А 1	[4,2,5,2]			160
ВС 2 × G 2 × A 1	[4,2,6,2]			192
H 2 2 × A 1	[5,2,5,2]			200
H 2 × G 2 × A 1	[5,2,6,2]			240
G 2 2 × A 1	[6,2,6,2]			288
I 2 (p) × I 2 (q) × A 1	[p, 2, q, 2]			8пк
А 2 × А 1 3	[3,2,2,2]			48
ВС 2 × А 1 3	[4,2,2,2]			64
В 2 × А 1 3	[5,2,2,2]			80
G 2 × A 1 3	[6,2,2,2]			96
Я 2 (п) × А 1 3	[п, 2,2,2]			16p
А 1 5	[2,2,2,2]			32	5- ортотоп
А 1 5 × (2 ! )	[[2], 2,2,2]		знак равно	64
А 1 5 × (2! × 2 ! )	[[2]], 2, [2], 2]		знак равно	128
А 1 5 × (3 ! )	[3 [2,2], 2,2]		знак равно	192
А 1 5 × (3! × 2 ! )	[3 [2,2], 2, [[2]]		знак равно	384
А 1 5 × (4 ! )	[3,3 [2,2,2], 2]]		знак равно	768
А 1 5 × (5 ! )	[3,3,3 [2,2,2,2]]		знак равно	3840

Шесть измерений [ править ]

В следующей таблице представлены шестимерные группы отражений (исключая те, которые являются группами отражений более низкой размерности), путем перечисления их как группы Кокстера . Связанные группы чистого вращения существуют для каждой с половинным порядком и могут быть представлены скобкой Кокстера с показателем '+', например [3,3,3,3,3] ⁺ имеет пять точек 3-кратного вращения и порядок симметрии 2520.

Группа Кокстера		Диаграмма Кокстера	Заказ	Связанные регулярные и призматические многогранники
А 6	[3,3,3,3,3]		5040 (7!)	6-симплекс
А 6 × 2	[[3,3,3,3,3]]		10080 (2 × 7!)	6-симплексный двойной состав
BC 6	[4,3,3,3,3]		46080 (2 6 × 6!)	6-куб , 6-ортоплекс
D 6	[3,3,3,3 1,1 ]		23040 (2 5 × 6!)	6-полукуб
E 6	[3,3 2,2 ]		51840 (72 × 6!)	1 22 , 2 21
А 5 × А 1	[3,3,3,3,2]		1440 (2 × 6!)	5-симплексная призма
ВС 5 × А 1	[4,3,3,3,2]		7680 (2 6 × 5!)	5-кубическая призма
Д 5 × А 1	[3,3,3 1,1 , 2]		3840 (2 5 × 5!)	Призма с 5 полукубами
А 4 × I 2 (п)	[3,3,3,2, p]		240p	Дуопризма
ВС 4 × I 2 (п)	[4,3,3,2, p]		768p
F 4 × I 2 (п)	[3,4,3,2, п]		2304p
H 4 × I 2 (п)	[5,3,3,2, p]		28800p
D 4 × I 2 (п)	[3,3 1,1 , 2, п]		384p
А 4 × А 1 2	[3,3,3,2,2]		480
ВС 4 × А 1 2	[4,3,3,2,2]		1536
F 4 × A 1 2	[3,4,3,2,2]		4608
В 4 × А 1 2	[5,3,3,2,2]		57600
Д 4 × А 1 2	[3,3 1,1 , 2,2]		768
А 3 2	[3,3,2,3,3]		576
A 3 × BC 3	[3,3,2,4,3]		1152
А 3 × В 3	[3,3,2,5,3]		2880
ВС 3 2	[4,3,2,4,3]		2304
BC 3 × H 3	[4,3,2,5,3]		5760
H 3 2	[5,3,2,5,3]		14400
A 3 × I 2 (p) × A 1	[3,3,2, п, 2]		96p	Двойная призма
ВС 3 × I 2 (p) × A 1	[4,3,2, п, 2]		192p
H 3 × I 2 (п) × A 1	[5,3,2, п, 2]		480p
А 3 × А 1 3	[3,3,2,2,2]		192
ВС 3 × А 1 3	[4,3,2,2,2]		384
В 3 × А 1 3	[5,3,2,2,2]		960
I 2 (p) × I 2 (q) × I 2 (r)	[p, 2, q, 2, r]		8pqr	Триапризма
I 2 (p) × I 2 (q) × A 1 2	[p, 2, q, 2,2]		16пк
Я 2 (п) × А 1 4	[п, 2,2,2,2]		32p
А 1 6	[2,2,2,2,2]		64	6- ортотоп

Семь измерений [ править ]

В следующей таблице представлены семимерные группы отражений (исключая те, которые являются группами отражений более низкой размерности), путем перечисления их как группы Кокстера . Связанные киральные группы существуют для каждой с половинным порядком, определяемым четным числом отражений, и могут быть представлены скобкой Кокстера с показателем '+', например [3,3,3,3,3,3] ⁺ имеет шесть точек 3-кратного вращения и порядок симметрии 20160.

Группа Кокстера		Диаграмма Кокстера	Заказ	Связанные многогранники
А 7	[3,3,3,3,3,3]		40320 (8!)	7-симплекс
А 7 × 2	[[3,3,3,3,3,3]]		80640 (2 × 8!)	7-симплексный двойной состав
BC 7	[4,3,3,3,3,3]		645120 (2 7 × 7!)	7-куб , 7-ортоплекс
Д 7	[3,3,3,3,3 1,1 ]		322560 (2 6 × 7!)	7-полукруглый
E 7	[3,3,3,3 2,1 ]		2903040 (8 × 9!)	3 21 , 2 31 , 1 32
А 6 × А 1	[3,3,3,3,3,2]		10080 (2 × 7!)
ВС 6 × А 1	[4,3,3,3,3,2]		92160 (2 7 × 6!)
Д 6 × А 1	[3,3,3,3 1,1 , 2]		46080 (2 6 × 6!)
E 6 × A 1	[3,3,3 2,1 , 2]		103680 (144 × 6!)
А 5 × I 2 (п)	[3,3,3,3,2, p]		1440p
ВС 5 × I 2 (п)	[4,3,3,3,2, p]		7680p
D 5 × I 2 (п)	[3,3,3 1,1 , 2, p]		3840p
А 5 × А 1 2	[3,3,3,3,2,2]		2880
ВС 5 × А 1 2	[4,3,3,3,2,2]		15360
Д 5 × А 1 2	[3,3,3 1,1 , 2,2]		7680
А 4 × А 3	[3,3,3,2,3,3]		2880
A 4 × BC 3	[3,3,3,2,4,3]		5760
А 4 × В 3	[3,3,3,2,5,3]		14400
ВС 4 × А 3	[4,3,3,2,3,3]		9216
ВС 4 × ВС 3	[4,3,3,2,4,3]		18432
BC 4 × H 3	[4,3,3,2,5,3]		46080
В 4 × А 3	[5,3,3,2,3,3]		345600
H 4 × BC 3	[5,3,3,2,4,3]		691200
В 4 × В 3	[5,3,3,2,5,3]		1728000
F 4 × A 3	[3,4,3,2,3,3]		27648
F 4 × BC 3	[3,4,3,2,4,3]		55296
F 4 × H 3	[3,4,3,2,5,3]		138240
Д 4 × А 3	[3 1,1,1 , 2,3,3]		4608
D 4 × BC 3	[3,3 1,1 , 2,4,3]		9216
Д 4 × В 3	[3,3 1,1 , 2,5,3]		23040
A 4 × I 2 (p) × A 1	[3,3,3,2, п, 2]		480p
ВС 4 × I 2 (p) × A 1	[4,3,3,2, п, 2]		1536p
D 4 × I 2 (p) × A 1	[3,3 1,1 , 2, п, 2]		768p
F 4 × I 2 (p) × A 1	[3,4,3,2, п, 2]		4608p
H 4 × I 2 (p) × A 1	[5,3,3,2, п, 2]		57600p
А 4 × А 1 3	[3,3,3,2,2,2]		960
ВС 4 × А 1 3	[4,3,3,2,2,2]		3072
F 4 × A 1 3	[3,4,3,2,2,2]		9216
В 4 × А 1 3	[5,3,3,2,2,2]		115200
Д 4 × А 1 3	[3,3 1,1 , 2,2,2]		1536
А 3 2 × А 1	[3,3,2,3,3,2]		1152
А 3 × ВС 3 × А 1	[3,3,2,4,3,2]		2304
А 3 × В 3 × А 1	[3,3,2,5,3,2]		5760
ВС 3 2 × А 1	[4,3,2,4,3,2]		4608
ВС 3 × В 3 × А 1	[4,3,2,5,3,2]		11520
H 3 2 × A 1	[5,3,2,5,3,2]		28800
А 3 × I 2 (p) × I 2 (q)	[3,3,2, p, 2, q]		96pq
ВС 3 × I 2 (p) × I 2 (q)	[4,3,2, p, 2, q]		192pq
H 3 × I 2 (p) × I 2 (q)	[5,3,2, p, 2, q]		480 пикселей
А 3 × И 2 (п) × А 1 2	[3,3,2, п, 2,2]		192p
ВС 3 × I 2 (p) × A 1 2	[4,3,2, п, 2,2]		384p
H 3 × I 2 (п) × A 1 2	[5,3,2, п, 2,2]		960p
А 3 × А 1 4	[3,3,2,2,2,2]		384
ВС 3 × А 1 4	[4,3,2,2,2,2]		768
В 3 × А 1 4	[5,3,2,2,2,2]		1920 г.
I 2 (p) × I 2 (q) × I 2 (r) × A 1	[p, 2, q, 2, r, 2]		16pqr
I 2 (p) × I 2 (q) × A 1 3	[p, 2, q, 2,2,2]		32пк
I 2 (p) × A 1 5	[п, 2,2,2,2,2]		64p
А 1 7	[2,2,2,2,2,2]		128

Восемь измерений [ править ]

В следующей таблице представлены восьмимерные группы отражений (исключая те, которые являются группами отражений более низкой размерности), путем перечисления их как группы Кокстера . Связанные киральные группы существуют для каждой с половинным порядком, определяемым четным числом отражений, и могут быть представлены скобкой Кокстера с показателем '+', например [3,3,3,3,3,3, 3] ⁺ имеет семь точек 3-кратного вращения и порядок симметрии 181440.

Группа Кокстера		Диаграмма Кокстера	Заказ	Связанные многогранники
А 8	[3,3,3,3,3,3,3]		362880 (9!)	8-симплекс
А 8 × 2	[[3,3,3,3,3,3,3]]		725760 (2 × 9!)	8-симплексный двойной состав
BC 8	[4,3,3,3,3,3,3]		10321920 (2 8 8!)	8-куб , 8-ортоплекс
D 8	[3,3,3,3,3,3 1,1 ]		5160960 (2 7 8!)	8-полукруглый
E 8	[3,3,3,3,3 2,1 ]		696729600 (192 × 10!)	4 21 , 2 41 , 1 42
А 7 × А 1	[3,3,3,3,3,3,2]		80640	7-симплексная призма
BC 7 × A 1	[4,3,3,3,3,3,2]		645120	7-кубическая призма
Д 7 × А 1	[3,3,3,3,3 1,1 , 2]		322560	Призма с 7 полукубами
E 7 × A 1	[3,3,3,3 2,1 , 2]		5806080	3 21 призма, 2 31 призма, 1 42 призма
А 6 × I 2 (п)	[3,3,3,3,3,2, p]		10080p	дуопризма
ВС 6 × I 2 (п)	[4,3,3,3,3,2, p]		92160p
D 6 × I 2 (п)	[3,3,3,3 1,1 , 2, p]		46080p
E 6 × I 2 (п)	[3,3,3 2,1 , 2, p]		103680p
А 6 × А 1 2	[3,3,3,3,3,2,2]		20160
ВС 6 × А 1 2	[4,3,3,3,3,2,2]		184320
Д 6 × А 1 2	[3 3,1,1 , 2,2]		92160
E 6 × A 1 2	[3,3,3 2,1 , 2,2]		207360
А 5 × А 3	[3,3,3,3,2,3,3]		17280
ВС 5 × А 3	[4,3,3,3,2,3,3]		92160
Д 5 × А 3	[3 2,1,1 , 2,3,3]		46080
A 5 × BC 3	[3,3,3,3,2,4,3]		34560
ВС 5 × ВС 3	[4,3,3,3,2,4,3]		184320
D 5 × BC 3	[3 2,1,1 , 2,4,3]		92160
А 5 × В 3	[3,3,3,3,2,5,3]
BC 5 × H 3	[4,3,3,3,2,5,3]
Д 5 × В 3	[3 2,1,1 , 2,5,3]
A 5 × I 2 (p) × A 1	[3,3,3,3,2, п, 2]
ВС 5 × I 2 (p) × A 1	[4,3,3,3,2, п, 2]
D 5 × I 2 (p) × A 1	[3 2,1,1 , 2, p, 2]
А 5 × А 1 3	[3,3,3,3,2,2,2]
ВС 5 × А 1 3	[4,3,3,3,2,2,2]
Д 5 × А 1 3	[3 2,1,1 , 2,2,2]
А 4 × А 4	[3,3,3,2,3,3,3]
ВС 4 × А 4	[4,3,3,2,3,3,3]
Д 4 × А 4	[3 1,1,1 , 2,3,3,3]
F 4 × A 4	[3,4,3,2,3,3,3]
В 4 × А 4	[5,3,3,2,3,3,3]
ВС 4 × ВС 4	[4,3,3,2,4,3,3]
D 4 × BC 4	[3 1,1,1 , 2,4,3,3]
F 4 × BC 4	[3,4,3,2,4,3,3]
H 4 × BC 4	[5,3,3,2,4,3,3]
Д 4 × Д 4	[3 1,1,1 , 2,3 1,1,1 ]
F 4 × D 4	[3,4,3,2,3 1,1,1 ]
В 4 × Г 4	[5,3,3,2,3 1,1,1 ]
F 4 × F 4	[3,4,3,2,3,4,3]
В 4 × Ж 4	[5,3,3,2,3,4,3]
В 4 × В 4	[5,3,3,2,5,3,3]
А 4 × А 3 × А 1	[3,3,3,2,3,3,2]			призмы дуопризмы
А 4 × ВС 3 × А 1	[3,3,3,2,4,3,2]
А 4 × В 3 × А 1	[3,3,3,2,5,3,2]
ВС 4 × А 3 × А 1	[4,3,3,2,3,3,2]
ВС 4 × ВС 3 × А 1	[4,3,3,2,4,3,2]
ВС 4 × В 3 × А 1	[4,3,3,2,5,3,2]
В 4 × А 3 × А 1	[5,3,3,2,3,3,2]
H 4 × BC 3 × A 1	[5,3,3,2,4,3,2]
В 4 × В 3 × А 1	[5,3,3,2,5,3,2]
F 4 × A 3 × A 1	[3,4,3,2,3,3,2]
F 4 × BC 3 × A 1	[3,4,3,2,4,3,2]
F 4 × H 3 × A 1	[3,4,2,3,5,3,2]
Д 4 × А 3 × А 1	[3 1,1,1 , 2,3,3,2]
D 4 × BC 3 × A 1	[3 1,1,1 , 2,4,3,2]
Д 4 × В 3 × А 1	[3 1,1,1 , 2,5,3,2]
А 4 × I 2 (p) × I 2 (q)	[3,3,3,2, p, 2, q]			триапризм
ВС 4 × I 2 (p) × I 2 (q)	[4,3,3,2, p, 2, q]
F 4 × I 2 (p) × I 2 (q)	[3,4,3,2, p, 2, q]
H 4 × I 2 (p) × I 2 (q)	[5,3,3,2, p, 2, q]
D 4 × I 2 (p) × I 2 (q)	[3 1,1,1 , 2, p, 2, q]
А 4 × И 2 (п) × А 1 2	[3,3,3,2, п, 2,2]
ВС 4 × I 2 (p) × A 1 2	[4,3,3,2, п, 2,2]
F 4 × I 2 (p) × A 1 2	[3,4,3,2, п, 2,2]
В 4 × I 2 (п) × А 1 2	[5,3,3,2, п, 2,2]
D 4 × I 2 (p) × A 1 2	[3 1,1,1 , 2, п, 2,2]
А 4 × А 1 4	[3,3,3,2,2,2,2]
ВС 4 × А 1 4	[4,3,3,2,2,2,2]
F 4 × A 1 4	[3,4,3,2,2,2,2]
В 4 × А 1 4	[5,3,3,2,2,2,2]
Д 4 × А 1 4	[3 1,1,1 , 2,2,2,2]
А 3 × А 3 × I 2 (п)	[3,3,2,3,3,2, p]
BC 3 × A 3 × I 2 (п)	[4,3,2,3,3,2, p]
H 3 × A 3 × I 2 (п)	[5,3,2,3,3,2, p]
ВС 3 × ВС 3 × I 2 (п)	[4,3,2,4,3,2, p]
H 3 × BC 3 × I 2 (п)	[5,3,2,4,3,2, p]
В 3 × В 3 × I 2 (п)	[5,3,2,5,3,2, p]
А 3 × А 3 × А 1 2	[3,3,2,3,3,2,2]
ВС 3 × А 3 × А 1 2	[4,3,2,3,3,2,2]
В 3 × А 3 × А 1 2	[5,3,2,3,3,2,2]
ВС 3 × ВС 3 × А 1 2	[4,3,2,4,3,2,2]
H 3 × BC 3 × A 1 2	[5,3,2,4,3,2,2]
В 3 × В 3 × А 1 2	[5,3,2,5,3,2,2]
A 3 × I 2 (p) × I 2 (q) × A 1	[3,3,2, p, 2, q, 2]
ВС 3 × I 2 (p) × I 2 (q) × A 1	[4,3,2, p, 2, q, 2]
H 3 × I 2 (p) × I 2 (q) × A 1	[5,3,2, p, 2, q, 2]
А 3 × И 2 (п) × А 1 3	[3,3,2, п, 2,2,2]
ВС 3 × I 2 (p) × A 1 3	[4,3,2, п, 2,2,2]
H 3 × I 2 (п) × A 1 3	[5,3,2, п, 2,2,2]
А 3 × А 1 5	[3,3,2,2,2,2,2]
ВС 3 × А 1 5	[4,3,2,2,2,2,2]
В 3 × А 1 5	[5,3,2,2,2,2,2]
I 2 (p) × I 2 (q) × I 2 (r) × I 2 (s)	[p, 2, q, 2, r, 2, s]		16 шт.
I 2 (p) × I 2 (q) × I 2 (r) × A 1 2	[p, 2, q, 2, r, 2,2]		32pqr
I 2 (p) × I 2 (q) × A 1 4	[p, 2, q, 2,2,2,2]		64pq
Я 2 (п) × А 1 6	[п, 2,2,2,2,2,2]		128p
А 1 8	[2,2,2,2,2,2,2]		256