Решетка (группа)

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Май 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Решетка на евклидовой плоскости .

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу) прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа S n Клейн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ( Z ) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2; Z ) SL (2, Z ) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Евклидова E ( n ) Специальный ортогональный SO ( n ) Унитарный U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n ) G 2 П 4 E 6 E 7 E 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

В геометрии и групповой теории , А решетка в является подгруппой аддитивной группы , которая изоморфна аддитивной группе , и которая охватывает в реальное векторное пространство . Другими словами, для любой основы из , подгруппа всех линейных комбинаций с целыми коэффициентами базисных векторов образует решетку. Решетку можно рассматривать как правильную мозаику пространства примитивной ячейкой . р п {\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}} ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$ Z п {\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {п}} ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

Решетки имеют много важных приложений в чистой математике, особенно в связи с алгебрами Ли , теорией чисел и теорией групп. Они также возникают в прикладной математике в связи с теорией кодирования , в криптографии из-за предполагаемой вычислительной сложности нескольких задач решетки и по-разному используются в физических науках. Например, в материаловедении и физике твердого тела решетка является синонимом «каркаса» кристаллической структуры , трехмерного массива регулярно расположенных точек, совпадающих в особых случаях с атомом или молекулой.позиции в кристалле . В более общем плане решеточные модели изучаются в физике , часто с помощью методов вычислительной физики .

Соображения и примеры симметрии [ править ]

Решетка - это группа симметрии дискретной трансляционной симметрии в n направлениях. Узор с этой решеткой трансляционной симметрии не может иметь больше, но может иметь меньшую симметрию, чем сама решетка. Как группа (отказавшись от своей геометрической структуры) решетка является конечно порожденной свободной абелевой группой и, следовательно, изоморфна .${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {п}}$

Решетка в смысле трехмерного массива регулярно расположенных точек, совпадающих, например, с положениями атома или молекулы в кристалле , или, в более общем смысле, с орбитой действия группы при трансляционной симметрии, является трансляцией трансляционной решетки: класс смежности , который не обязательно должен содержать начало координат и, следовательно, не обязательно должен быть решеткой в ​​предыдущем смысле.

Простым примером решетки в является подгруппа . Более сложные примеры включают решетку E8 , которая является решеткой в , и решетку Лича в . Период решетки в занимает центральное место в изучении эллиптических функций , разработанных в математике девятнадцатого века; он обобщается на более высокие измерения в теории абелевых функций . Решетки, называемые корневыми решетками , важны в теории простых алгебр Ли ; например, решетка E8 связана с одноименной алгеброй Ли.${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {п}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {8}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {24}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

Разделение пространства по решетке [ править ]

Таким образом, типичная решетка в имеет вид${\ displaystyle \ Lambda}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

${\ Displaystyle \ Lambda = \ left \ {\ left. \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} v_ {i} \; \ right \ vert \; a_ {i} \ in \ mathbb { Z} \ right \}}$

где { v ₁ , ..., v _n } - основа для . Различные основания могут генерировать такую же решетку, но абсолютное значение из определителя векторов v _я однозначно определяется Л, и обозначается й (Л). Если представить решетку как разделение всего на равные многогранники (копии n- мерного параллелепипеда , известного как фундаментальная область решетки), то d (Λ) равно n -мерному объему этого многогранника. Поэтому d (Λ) иногда называют коволомом.${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$решетки. Если это равно 1, решетка называется унимодулярной .

Точки решетки в выпуклых множествах [ править ]

Теорема Минковского связывает число й (Л) и объем симметричного выпуклого множества S к числу точек решетки , содержащихся в S . Количество точек решетки, содержащихся в многограннике, все вершины которого являются элементами решетки, описывается многочленом Эрхарта многогранника . Формулы для некоторых коэффициентов этого многочлена также содержат d (Λ).

Проблемы вычислительной решетки [ править ]

Вычислительные решеточные задачи имеют множество приложений в информатике. Например, алгоритм редукции решеточного базиса Ленстры – Ленстры – Ловаса (LLL) использовался в криптоанализе многих схем шифрования с открытым ключом ^[1], и многие криптографические схемы на основе решеток, как известно, безопасны при предположении, что определенные решеточные задачи сложны в вычислительном отношении . ^[2]

Решетки в двух измерениях: подробное обсуждение [ править ]

Согласно кристаллографической теореме ограничения существует пять типов двумерной решетки . Ниже группа обоев решетки представлена ​​в обозначениях IUC , Orbifold и Coxeter , а также диаграмма обоев, показывающая области симметрии. Обратите внимание, что образец с этой решеткой трансляционной симметрии не может иметь больше, но может иметь меньшую симметрию, чем сама решетка. Полный список подгрупп имеется. Например, ниже шестиугольная / треугольная решетка дана дважды с полной 6-кратной и половиной 3-кратной отражательной симметрией. Если группа симметрии паттерна содержит n- кратный поворот, то решетка имеет n-кратна симметрия для четного п и 2 п -кратен для нечетного п .

Для классификации данной решетки начните с одной точки и возьмите ближайшую вторую точку. Для третьей точки, находящейся не на одной линии, рассмотрите ее расстояния до обеих точек. Среди точек, для которых меньшее из этих двух расстояний меньше всего, выберите точку, для которой большее из двух меньше всего. ( Логически не эквивалентно, но в случае решеток, дающих тот же результат, просто «Выберите точку, для которой наибольшая из двух является наименьшей».)

Эти пять случаев соответствуют равностороннему, прямолинейному, равнобедренному, прямому, равнобедренному и разностороннему треугольнику . В ромбической решетке кратчайшее расстояние может быть либо диагональю, либо стороной ромба, то есть отрезок прямой, соединяющий первые две точки, может быть или не быть одной из равных сторон равнобедренного треугольника. Это зависит от того, что меньший угол ромба меньше 60 ° или от 60 ° до 90 °.

Общий случай известен как решетка периодов . Если векторы p и q порождают решетку, вместо p и q мы также можем взять p и p - q и т. Д. В общем, в 2D мы можем взять a p + b q и c p + d q для целых чисел a , b , c и d такие, что ad-bc равно 1 или -1. Это гарантирует, что p и qсами по себе являются целочисленными линейными комбинациями двух других векторов. Каждая пара p , q определяет параллелограмм, все с одинаковой площадью, величиной перекрестного произведения . Один параллелограмм полностью определяет весь объект. Без дополнительной симметрии этот параллелограмм является фундаментальным параллелограммом .

Векторы p и q могут быть представлены комплексными числами. С точностью до размера и ориентации пара может быть представлена ​​их частным. Выражаясь геометрически: если две точки решетки равны 0 и 1, мы рассматриваем положение третьей точки решетки. Эквивалентность в смысле создания одной и той же решетки представлена модульной группой : представляет собой выбор другой третьей точки в той же сетке,${\ displaystyle T: z \ mapsto z + 1}$${\ Displaystyle S: z \ mapsto -1 / z}$представляет выбирает другую сторону треугольника в качестве опорной части 0-1, который в общем случае предполагает изменение масштабирования решетки, и вращая его. Каждый «изогнутый треугольник» на изображении содержит для каждой формы двумерной решетки одно комплексное число, серая область - это каноническое представление, соответствующее приведенной выше классификации, с 0 и 1 двумя ближайшими друг к другу точками решетки; дублирования можно избежать, включив только половину границы. Ромбические решетки представлены точками на его границе с гексагональной решеткой в ​​качестве вершины и i для квадратной решетки. Прямоугольные решетки расположены на мнимой оси, а оставшаяся область представляет собой параллелограмметические решетки, причем зеркальное отображение параллелограмма представлено зеркальным отображением на мнимой оси.

Решетки в трех измерениях [ править ]

14 типов решеток в 3D называются решетками Браве . Они характеризуются своей космической группой . Трехмерные узоры с трансляционной симметрией определенного типа не могут иметь больше, но могут иметь меньшую симметрию, чем сама решетка.

Решетки в сложном пространстве [ править ]

Решетка в - это дискретная подгруппа, охватывающая как реальное векторное пространство. Поскольку размерность реального векторного пространства равна решетке, в нем есть свободная абелева группа ранга .${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {п}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {п}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {п}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {п}}$${\ displaystyle 2n}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {п}}$${\ displaystyle 2n}$

Например, гауссовские целые числа образуют решетку в , так как это основа для более .${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [я] = \ mathbb {Z} + я \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} = \ mathbb {C} ^ {1}}$${\displaystyle (1,i)}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

В группах Ли [ править ]

В более общем смысле решетка Γ в группе Ли G - это дискретная подгруппа , такая, что фактор-группа G / Γ имеет конечную меру для меры на ней, унаследованной от меры Хаара на G (левоинвариантной или правоинвариантной - определение не зависит от этого выбора). Это, безусловно, будет иметь место, когда G / Γ компактно , но это достаточное условие не является необходимым, как показывает случай модулярной группы в SL 2 ( R ) , которая является решеткой, но где фактор не компактный (у него есть бугорки). Имеются общие результаты о существовании решеток в группах Ли.

Решетка называется равномерной или кокомпактной, если G / Γ компактна; в противном случае решетка называется неоднородной .

Решетки в общих векторных пространствах [ править ]

Хотя мы обычно рассматриваем решетки, это понятие можно обобщить на любое конечномерное векторное пространство над любым полем . Это можно сделать следующим образом:${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Пусть К является полем , пусть V быть п - мерный К - векторное пространство , пусть быть K - базис для V и пусть R быть кольцо содержится в K . Тогда R- решетка в V, порожденная B , задается следующим образом:${\displaystyle B=\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}=\left\{\sum _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {v} _{i}\mid a_{i}\in R\right\}.}$

В общем, разные основания B будут порождать разные решетки. Однако, если матрица перехода Т между основаниями в - в общей линейной группе из R (в простых терминах это означает , что все элементы матрицы Т в R , и все элементы матрицы находятся в R - что эквивалентно тому, что определитель из Т в - на единичной группы элементов в R с мультипликативным обратными) , то решетки , генерируемые этими основаниями будут изоморфны , поскольку Т${\displaystyle GL_{n}(R)}$${\displaystyle T^{-1}}$${\displaystyle R^{*}}$ индуцирует изоморфизм между двумя решетками.

Важные случаи таких решеток встречаются в теории чисел, где K - p -адическое поле, а R - целые p -адические числа .

Для векторного пространства, которое также является внутренним пространством продукта , двойственная решетка может быть конкретно описана множеством

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{*}=\{\mathbf {v} \in V\mid \langle \mathbf {v} ,\mathbf {x} \rangle \in R\,{\text{ for all }}\,\mathbf {x} \in {\mathcal {L}}\},}$

или эквивалентно как

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{*}=\{\mathbf {v} \in V\mid \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} _{i}\rangle \in R,\ i=1,...,n\}.}$

Связанные понятия [ править ]

• Примитивный элемент решетки - это элемент, который не является положительным целым числом, кратным другому элементу решетки. ^{[ необходима цитата ]}

См. Также [ править ]

• Решетка (заказ)
• Решетка (модуль)
• Обратная решетка
• Унимодулярная решетка
• Кристаллическая система
• Теорема компактности Малера
• Решетчатый граф
• Криптография на основе решеток

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Конвей, Джон Хортон ; Слоан, Нил Дж. А. (1999), Сферические упаковки, решетки и группы , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 290 (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98585-5, MR  0920369

Внешние ссылки [ править ]

• Каталог решеток (Небе и Слоан)