Циклическая группа

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу) прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа S n Клейн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ( Z ) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2; Z ) SL (2, Z ) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Евклидова E ( n ) Специальный ортогональный SO ( n ) Унитарный U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n ) G 2 П 4 E 6 E 7 E 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

В теории групп ветвь абстрактной алгебры , циклическая группа или моногенная группа - это группа, которая порождается одним элементом. ^[1] То есть, это набор из обратимых элементов с одной ассоциативной бинарной операцией , и она содержит элемент  г таким образом, что каждый другой элемент группы может быть получен путем многократного применения операции группы для  г или его обратного. Каждый элемент может быть записан как степень g в мультипликативной записи или как кратное gв аддитивной записи. Этот элемент g называется генератором группы. ^[1]

Каждая бесконечная циклическая группа изоморфна к аддитивной группе из Z , в целых числах . Каждая конечная циклическая группа порядка n изоморфна аддитивной группе Z / n Z , целым числам по модулю n . Каждая циклическая группа является абелевой группой (что означает, что ее групповая операция коммутативна ), и каждая конечно порожденная абелева группа является прямым произведением циклических групп.

Каждая циклическая группа простого порядка - это простая группа, которую нельзя разбить на более мелкие группы. В классификации конечных простых групп один из трех бесконечных классов состоит из циклических групп простого порядка. Таким образом, циклические группы простого порядка входят в число строительных блоков, из которых могут быть построены все группы.

Определение и обозначения [ править ]

Для любого элемента г в любой группе G , можно образовать подгруппу всех целых степеней ⟨ г ⟩ = { г ^к | k ∈ Z }, называемая циклической подгруппой группы g . Порядок из г является количество элементов в ⟨ г ⟩; то есть порядок элемента равен порядку его циклической подгруппы.

Циклическая группа представляет собой группу , которая равна одной из своих циклических подгрупп: G = ⟨ г ⟩ для некоторого элемента г , называемый генератором .

Для конечной циклической группы G порядка n имеем G = { e , g , g ² , ..., g ^{n −1} }, где e - единичный элемент, а g ⁱ = g ^j, если i ≡ j ( mod n ); в частности, g ⁿ = g ⁰ = e и g ⁻¹ = g ^{n −1}. Абстрактная группа определяется умножением этого часто обозначается С _п , и мы говорим , что G является изоморфной стандартной циклической группы C _п . Такая группа также изоморфна Z / n Z , группе целых чисел по модулю n с операцией сложения, которая является стандартной циклической группой в аддитивной записи. При изоморфизме χ, определяемом формулой χ ( g ⁱ ) = i, единичный элемент e соответствует 0, произведения соответствуют суммам, а степени соответствуют кратным числам.

Например, набор комплексных корней шестой степени из единицы

${\ Displaystyle G = \ left \ {\ pm 1, \ pm {\ left ({\ tfrac {1} {2}} {+} {\ tfrac {\ sqrt {3}} {2}} я \ справа) }, \ pm {\ left ({\ tfrac {1} {2}} {-} {\ tfrac {\ sqrt {3}} {2}} i \ right)} \ right \}}$

образует группу при умножении. Это является циклическим, так как оно порождается примитивным корнем , то есть G = ⟨ г ⟩ = {1, г , г ² , г ³ , г ⁴ , г ⁵ } с г ⁶ = 1. При изменении букв, это изоморфна (конструктивно такой же , как) стандарт , циклическая группа порядка 6, определяется как C ₆ = ⟨ г ⟩ = { е , г , г ² , г ³ , г ⁴ , г${\ displaystyle z = {\ tfrac {1} {2}} + {\ tfrac {\ sqrt {3}} {2}} i = e ^ {2 \ pi i / 6}:}$⁵ } с умножением g ^j · g ^k = g ^{j + k (mod 6)} , так что g ⁶ = g ⁰ = e. Эти группы также изоморфны Z / 6 Z = {0,1,2,3,4,5} с операцией сложения по модулю 6, где z ^k и g ^k соответствуют k . Например, 1 + 2 ≡ 3 (mod 6) соответствует z ¹ · z ² = z ³ , а 2 + 5 ≡ 1 (mod 6).соответствует z ² · z ⁵ = z ⁷ = z ¹ и так далее. Любой элемент генерирует свою собственную циклическую подгруппу, такие как ⟨ г ² ⟩ = { е , г ² , г ⁴ } порядка 3, изоморфно C ₃ и Z / 3 Z ; и ⟨ г ⁵ ⟩ = { е , г ⁵ , г ¹⁰ = г ⁴ , г ¹⁵ = г ³ ,г ²⁰ = г ² , г ²⁵ = г } = О , так что г ⁵ имеет порядок 6 и является альтернативой генератор G .

Вместо факторных обозначений Z / n Z , Z / ( n ) или Z / n некоторые авторы обозначают конечную циклическую группу как Z _n , но это противоречит обозначениям теории чисел , где Z _p обозначает p -адическую группу. числовое кольцо или локализация в простом идеале .

С другой стороны, в бесконечной циклической группы G = ⟨ г ⟩ , полномочия г ^к дают различные элементы для всех целых к , таким образом , что G = {..., г ^-2 , г ^-1 , е , г , г ² , ...}, а G изоморфна стандартной группе C = C _∞ и Z , аддитивной группе целых чисел. Примером может служить первая группа фризов . Здесь нет конечных циклов, и название «циклический» может вводить в заблуждение. ^[2]

Чтобы избежать этой путаницы, Бурбаки ввел термин моногенная группа для группы с одним образующим и ограничил «циклическую группу», чтобы обозначать конечную моногенную группу, избегая термина «бесконечная циклическая группа». ^{[примечание 1]}

Примеры [ править ]

Целочисленное и модульное сложение [ править ]

Набор целых чисел Z с помощью операции сложения образует группу. ^[1] Это бесконечная циклическая группа , потому что все целые числа могут быть записаны путем многократного добавления или вычитания единственного числа 1. В этой группе 1 и -1 являются единственными образующими. Каждая бесконечная циклическая группа изоморфна Z .

Для любого натурального п , множество целых чисел по модулю  п , опять - таки с операцией сложения, образует конечная циклическая группа, обозначаемый Z / н Z . ^[1] Модульное целое число i является генератором этой группы, если i является взаимно простым с n , потому что эти элементы могут генерировать все другие элементы группы посредством сложения целых чисел. (Число таких образующих равно φ ( n ), где φ - функция Эйлера .) Каждая конечная циклическая группа G изоморфна Z/ n Z , где n = | G | это порядок группы.

Операции сложения целых и модульных целых чисел, используемые для определения циклических групп, являются операциями сложения коммутативных колец , также обозначаемых Z и Z / n Z или Z / ( n ). Если р является простым , то Z / р Z представляет собой конечное поле , и обычно обозначается Р _р или GF ( р ) для поля Галуа.

Модульное умножение [ править ]

Для каждого положительного целого числа n набор целых чисел по модулю  n , взаимно простых с  n , записывается как ( Z / n Z ) ^× ; он образует группу при операции умножения. Эта группа не всегда циклическая, но такова, когда n равно 1, 2, 4, степени нечетного простого числа или удвоенной степени нечетного простого числа (последовательность A033948 в OEIS ). ^{[4] [5]} Это мультипликативная группа единиц кольца Z / n Z ; Существуютφ ( n ) из них, где снова φ - функция Эйлера . Например, ( Z / 6 Z ) ^× = {1,5}, а поскольку 6 дважды нечетное простое число, это циклическая группа. Напротив, ( Z / 8 Z ) ^× = {1,3,5,7} является 4-группой Клейна и не является циклической. Когда ( Z / n Z ) ^× является циклическим, его образующие называются первообразными корнями по модулю n .

Для простого числа p группа ( Z / p Z ) ^× всегда циклическая, состоящая из ненулевых элементов конечного поля порядка p . В более общем смысле, каждая конечная подгруппа мультипликативной группы любого поля циклическая. ^[6]

Вращательные симметрии [ править ]

Множество вращательных симметрий одного многоугольника образует конечную циклическую группу. ^[7] Если есть п различных способов перемещения многоугольника к себе путем поворотом ( в том числе вращения нуля) , то эта группа симметрии изоморфна Z / п Z . В трех или более высоких измерениях существуют другие конечные группы симметрии, которые являются циклическими , но не все вращаются вокруг оси, а вместо этого представляют собой вращательные отражения .

Группа всех вращений окружности S ¹ ( круговая группа , также обозначаемая S ¹ ) не является циклической, потому что не существует единственного вращения, целые степени которого генерируют все вращения. В самом деле, бесконечная циклическая группа С _∞ является счетным , в то время как S ^- не является. Группа вращений рациональными углами является счетным, но до сих пор не циклическая.

Теория Галуа [ править ]

П - й корень из единицы является комплексным числом , чей п й степень равна 1, корень из полинома х ^п  - 1. Множество всех п - й корней формы единства циклической группы порядка п относительно умножения. ^[1] Например, многочлен z ³ - 1 множится как ( z - 1) ( z - ω ) ( z - ω ² ) , где ω = e ^{2 πi / 3}; множество {1, ω , ω ² } = { ω ⁰ , ω ¹ , ω ² } образует циклическую группу при умножении. Группа Галуа из расширения поля из рациональных чисел , порожденные п - й корней из форм в другую группу, изоморфна мультипликативной группе ( Z / п Z ) ^× порядка ф ( п ) , который является циклическим для некоторых , но не все  n (см. выше).

Расширение поля называется циклическим расширением, если его группа Галуа циклическая. Для полей нулевой характеристики такие расширения являются предметом теории Куммера и тесно связаны с разрешимостью в радикалах . Для расширения конечных полей характеристики p его группа Галуа всегда конечна и циклическая, порожденная степенью отображения Фробениуса . ^[8] И наоборот, учитывая конечное поле F и конечная циклическая группа G , существует конечное расширение поля F , группа Галуа которого G . ^[9]

Подгруппы [ править ]

Все подгруппы и фактор-группы циклических групп циклические. В частности, все подгруппы Z имеют вид ⟨ м ⟩ = м Z , с т положительное целое число. Все эти подгруппы отличаются друг от друга, и , кроме тривиальной группы {0} = 0 Z , все они изоморфны к Z . Решетка подгрупп в Z изоморфно двойной решетки натуральных чисел упорядоченных по делимости . ^[10] Таким образом, поскольку простое число pне имеет нетривиальных делителей, р Z максимальная собственная подгруппа, фактор - группа Z / р Z является простым ; на самом деле циклическая группа проста тогда и только тогда, когда ее порядок простой. ^[11]

Все фактор-группы Z / n Z конечны, за исключением Z / 0 Z = Z / {0}. Для каждого положительного делителя d числа n фактор-группа Z / n Z имеет ровно одну подгруппу порядка d , порожденную классом вычетов числа n / d . Других подгрупп нет.

Дополнительные свойства [ править ]

Каждая циклическая группа абелева . ^[1] То есть его групповая операция коммутативна : gh = hg (для всех g и h в G ). Это ясно для групп целочисленного и модульного сложения, поскольку r + s ≡ s + r (mod n ) , и это следует для всех циклических групп, поскольку все они изоморфны этим стандартным группам. Для конечной циклической группы порядка п , г ^п есть единичный элемент для любого элемента г. Это снова следует из использования изоморфизма к модульному сложению, поскольку kn ≡ 0 (mod n ) для любого целого числа k . (Это также верно для общей группы порядка n в силу теоремы Лагранжа .)

Для простого мощности р ^к , группа Z / р ^к Z называется первичной циклической группой . Основная теорема абелевых групп состояний , что каждая конечно порожденная абелева группа является прямым произведением конечного числа первичных циклических и бесконечных циклических групп.

Поскольку циклическая группа абелева, каждый из ее классов сопряженности состоит из одного элемента. Следовательно, циклическая группа порядка n имеет n классов сопряженности.

Если d является делителем из п , то число элементов в Z / п Z , которые имеют порядок д является φ ( d ), а число элементов, порядок делит d точно d . Если G конечная группа , в которой, для каждого п > 0 , G содержит не более п элементов порядка разделительные п , то G должен быть циклическими. ^{[примечание 2]} Порядок элемента m в Z / nZ - это n / gcd ( n , m ).

Если п и т являются взаимно простыми , то прямое произведение двух циклических групп Z / п Z и Z / м Z изоморфна циклической группой Z / нм Z , а также и обратное утверждение: это одна форма теоремы китайского остатка . Например, Z / 12 Z изоморфно прямому произведению Z / 3 Z × Z / 4 Z при изоморфизме ( k mod 12) → ( kmod 3, k mod 4); но он не изоморфен Z / 6 Z × Z / 2 Z , в котором каждый элемент имеет порядок не выше 6.

Если р является простым числом , то любая группа с р элементами изоморфна простой группой Z / р Z . Число n называется циклическим числом, если Z / n Z - единственная группа порядка n , что верно именно тогда, когда gcd ( n , φ ( n )) = 1 . ^[13] Циклические числа включают в себя все простые числа, но некоторые из них составные, например 15. Однако все циклические числа нечетные, кроме 2. Циклические числа:

1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 19, 23, 29, 31, 33, 35, 37, 41, 43, 47, 51, 53, 59, 61, 65, 67, 69, 71, 73, 77, 79, 83, 85, 87, 89, 91, 95, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 115, 119, 123, 127, 131, 133, 137, 139, 141, 143, ... (последовательность A003277 в OEIS )

Определение сразу следует , что циклические группы имеют группу представление C _∞ = ⟨ х | ⟩ И С _п = ⟨ х | х ^п ⟩ для конечного п . ^[14]

Связанные объекты [ править ]

Представления [ править ]

Теория представлений циклической группы является критическим базовым случаем теории представлений более общих конечных групп. В сложном случае представление циклической группы распадается на прямую сумму линейных характеров, что делает прозрачной связь между теорией характеров и теорией представлений. В случае положительной характеристики неразложимые представления циклической группы образуют модель и индуктивную основу теории представлений групп с циклическими силовскими подгруппами и, в более общем смысле, теории представлений блоков циклического дефекта.

График цикла [ править ]

Цикл график иллюстрирует различные циклы в группе , и особенно полезно при визуализации структуры малых конечных групп . Граф циклов для циклической группы - это просто круговой граф , в котором порядок групп равен количеству узлов. Один генератор определяет группу как направленный путь на графике, а обратный генератор определяет обратный путь. Тривиальные пути (идентичность) можно нарисовать в виде цикла, но обычно они подавляются. Z ₂ иногда рисуется с двумя изогнутыми краями как мультиграф . ^[15]

Циклическая группа Z _n с порядком n соответствует одному циклу, изображенному на графике просто как n- сторонний многоугольник с элементами в вершинах.

График Кэли [ править ]

Граф Кэли представляет собой график , определяется из пары ( G , S ) , где G представляет собой группу , и S представляет собой набор образующих группы; у него есть вершина для каждого элемента группы и ребро для каждого произведения элемента с образующей. В случае конечной циклической группы с ее единственным образующим граф Кэли является графом циклов , а для бесконечной циклической группы с ее образующей граф Кэли является дважды бесконечным графом путей . Однако графы Кэли также могут быть определены из других наборов генераторов. Графы Кэли циклических групп с произвольными образующими называются циркулянтными графами . ^[16]Эти графы могут быть представлены геометрически как набор равноотстоящих точек на окружности или на прямой, каждая из которых связана с соседями с таким же набором расстояний, что и каждая другая точка. Это в точности транзитивные по вершинам графы , группа симметрии которых включает транзитивную циклическую группу. ^[17]

Эндоморфизмы [ править ]

Кольцо эндоморфизмов абелевой группы Z / п Z является изоморфной к Z / п Z себя как кольцо . ^[18] При этом изоморфизме число r соответствует эндоморфизму Z / n Z, который отображает каждый элемент в сумму r его копий. Это биекция тогда и только тогда , когда т взаимно прост с п , так что группа автоморфизмов из Z / п Z изоморфна единичной группы (Z / n Z ) ^× . ^[18]

Аналогичным образом , кольцо эндоморфизмов аддитивной группы Z изоморфно кольцу Z . Его группа автоморфизмов изоморфна группе единиц кольца Z , которая есть ({−1, +1}, ×) ≅ C ₂ .

Тензорное произведение и Hom циклических групп [ править ]

Тензорное произведение Z / м Z ⊗ Z / п Z может быть показано, что изоморфна Z / НОД ( т , п ) Z . Таким образом, мы можем сформировать набор гомоморфизмов групп из Z / m Z в Z / n Z , обозначенный hom ( Z / m Z , Z / n Z ) , который сам является группой.

Для тензорного произведения это является следствием общего факта, что R / I ⊗ _R R / J ≅ R / ( I + J ) , где R - коммутативное кольцо с единицей, а I и J - идеалы кольца. Напомним, что для группы Hom она изоморфна подгруппе в Z / n Z, состоящей из элементов порядка, делящего m . Эта подгруппа циклическая порядка gcd ( m , n ), что завершает доказательство.

Связанные классы групп [ править ]

Несколько других классов групп были определены их отношением к циклическим группам:

Практически циклические группы [ править ]

Группа называется виртуально циклической, если она содержит циклическую подгруппу конечного индекса (количество смежных классов, которые имеет эта подгруппа). Другими словами, любой элемент в практически циклической группе может быть получен путем умножения члена циклической подгруппы на член определенного конечного множества. Каждая циклическая группа практически циклическая, как и любая конечная группа. Бесконечная группа практически циклична тогда и только тогда, когда она конечно порождена и имеет ровно два конца ; ^{[Примечание 3]} примером такой группы является прямым произведением из Z / п Z и Z , в которой коэффициент Zимеет конечный индекс  n . Каждая абелева подгруппа гиперболической группы Громова практически циклическая. ^[20]

Локально циклические группы [ править ]

Локально циклическая группа представляет собой группу , в которой каждая конечно порожденная подгруппа является циклической. Примером может служить аддитивная группа рациональных чисел : каждый конечный набор рациональных чисел представляет собой набор целых кратных одной единичной дроби , обратной их наименьшему общему знаменателю , и порождает как подгруппу циклическую группу целых кратных этой дроби. единица фракции. Группа является локально циклической тогда и только тогда, когда ее решетка подгрупп является дистрибутивной решеткой . ^[21]

Циклически упорядоченные группы [ править ]

Циклический упорядоченная группа представляет собой группу вместе с циклическим порядком , сохраняемым групповой структурой. Каждой циклической группе может быть дана структура как циклически упорядоченная группа, согласованная с порядком целых чисел (или целых чисел по модулю порядка группы). Каждая конечная подгруппа циклически упорядоченной группы циклична. ^[22]

Метациклические и полициклические группы [ править ]

Метациклическая группа представляет собой группа , содержащая циклическую нормальную подгруппу , фактор также циклическая. ^[23] Эти группы включают циклические группы, дициклические группы и прямые произведения двух циклических групп. В полициклические группы обобщают метациклические группы, позволяя более одного уровня расширения группы. Группа является полициклической, если она имеет конечную убывающую последовательность подгрупп, каждая из которых нормальна в предыдущей подгруппе с циклическим фактором, заканчивающимся тривиальной группой. Каждая конечно порожденная абелева группа или нильпотентная группа полициклическая. ^[24]

См. Также [ править ]

• График цикла (группа)
• Циклический модуль
• Циклическое просеивание
• Группа Прюфера ( счетно бесконечный аналог)
• Группа кругов ( бесчисленно бесконечный аналог)

Сноски [ править ]

Заметки [ править ]

Цитаты [ править ]

Ссылки [ править ]

• Алонсо, JM; и другие. (1991), «Заметки о словесных гиперболических группах», Теория групп с геометрической точки зрения (Триест, 1990) (PDF) , River Edge, NJ: World Scientific, Corollary 3.6, MR  1170363 , заархивировано из оригинала (PDF) в 2013 г. -04-25 , дата обращения 26.11.2013
• Альспах, Брайан (1997), "Изоморфизм и графы Кэли на абелевых группах", Симметрия графов (Монреаль, PQ, 1996) , NATO Adv. Sci. Inst. Сер. C Math. Phys. Sci., 497 , Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., Pp. 1–22, ISBN. 978-0-792-34668-5, Руководство по ремонту  1468786
• Алуффи, Паоло (2009), «6.4 Пример: подгруппы циклических групп», Алгебра, Глава 0 , Исследования в области математики , 104 , Американское математическое общество, стр. 82–84, ISBN 978-0-8218-4781-7
• Бурбаки, Николас (1998-08-03) [1970], Алгебра I: Главы 1-3 , Элементы математики, 1 (переиздание в мягкой обложке), Springer Science & Business Media, ISBN 978-3-540-64243-5
• Кокстер, HSM ; Мозер, WOJ (1980), Генераторы и соотношения для дискретных групп , Нью-Йорк: Springer-Verlag, с. 1, ISBN 0-387-09212-9
• Ладжуа, Кэролайн; Мура, Роберта (ноябрь 2000 г.), «Что в имени? Трудность в обучении в связи с циклическими группами», Для изучения математики , 20 (3): 29–33, JSTOR  40248334
• Кокс, Дэвид А. (2012), Теория Галуа , Чистая и прикладная математика (2-е изд.), John Wiley & Sons, Теорема 11.1.7, стр. 294, DOI : 10.1002 / 9781118218457 , ISBN 978-1-118-07205-9
• Галлиан, Джозеф (2010), Contemporary Abstract Algebra (7-е изд.), Cengage Learning, Упражнение 43, стр. 84, ISBN 978-0-547-16509-7
• Гэннон, Терри (2006), Самогон за гранью монстра: мост, соединяющий алгебру, модульные формы и физику , Кембриджские монографии по математической физике, Cambridge University Press, стр. 18, ISBN 978-0-521-83531-2, Z _n является простым тогда и только тогда, когда n простое.
• Jungnickel, Дитер (1992), "О единственности циклической группы порядка п ", Американского математического в месяц , 99 (6): 545-547, DOI : 10,2307 / 2324062 , JSTOR  2324062 , МР  1166004
• Фукс, Ласло (2011), Частично упорядоченные алгебраические системы , Международная серия монографий по чистой и прикладной математике, 28 , Courier Dover Publications, стр. 63, ISBN 978-0-486-48387-0
• Курцвейл, Ганс; Штельмахер, Бернд (2004), Теория конечных групп: Введение , Universitext, Springer, стр. 50, ISBN 978-0-387-40510-0
• Мотвани, Раджив ; Рагхаван, Прабхакар (1995), рандомизированные алгоритмы , Cambridge University Press, теорема 14.14, стр. 401, ISBN 978-0-521-47465-8
• Руда, Øystein (1938), "Структуры и теория групп II.", Дюк математический журнал , 4 (2): 247-269, DOI : 10,1215 / S0012-7094-38-00419-3 , ЛВП : 10338.dmlcz / 100155 , Руководство по ремонту  1546048
• Ротман, Джозеф Дж. (1998), Теория Галуа , Universitext, Springer, теорема 62, стр. 65, ISBN 978-0-387-98541-1
• Столлингс, Джон (1970), "Группы когомологической размерности один", Приложения категориальной алгебры (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XVIII, New York, 1968) , Providence, RI: Amer. Математика. Soc., Стр. 124–128, MR  0255689
• Стюарт, Ян ; Голубицкий, Мартин (2010), Страшная симметрия: Бог - это геометр? , Courier Dover Publications, стр. 47–48, ISBN 978-0-486-47758-9
• Вильфред, В. (2004), «О циркулянтных графах», в Балакришнане, Р.; Sethuraman, G .; Уилсон, Робин Дж. (Ред.), Теория графов и ее приложения (Университет Анна, Ченнаи, 14–16 марта 2001 г.) , Alpha Science, стр. 34–36, ISBN 8173195692
• Виноградов И.М. (2003), «§ VI ПЕРВИЧНЫЕ КОРНИ И ИНДЕКСЫ» , Элементы теории чисел , Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, стр. 105–132, ISBN. 0-486-49530-2

Дальнейшее чтение [ править ]

• Херштейн, И. Н. (1996), Абстрактная алгебра (3-е изд.), Прентис Холл , стр. 53–60, ISBN 978-0-13-374562-7, MR  1375019

Внешние ссылки [ править ]

• Милн, Теория групп, http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/gt.html
• Введение в циклические группы
• Вайсштейн, Эрик В. «Циклическая группа» . MathWorld .
• Циклические группы малого порядка на GroupNames