Решаемая группа

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу) прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа S n Клейн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ( Z ) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2; Z ) SL (2, Z ) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Евклидова E ( n ) Специальная ортогональная SO ( n ) Унитарная U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n ) G 2 П 4 E 6 E 7 E 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

В математике , более конкретно в области теории групп , разрешимая группа или разрешимая группа - это группа, которая может быть построена из абелевых групп с использованием расширений . Эквивалентно, разрешимая группа - это группа, производный ряд которой заканчивается в тривиальной подгруппе .

Мотивация [ править ]

Исторически слово «разрешимый» возникло из теории Галуа и доказательства общей неразрешимости уравнения пятой степени . В частности, полиномиальное уравнение разрешимо в радикалах тогда и только тогда, когда соответствующая группа Галуа разрешима ^[1] (отметим, что эта теорема верна только в характеристике 0). Это означает, что с полиномом связана башня расширений поля${\displaystyle f\in F[x]}$

${\displaystyle F=F_{0}\subset F_{1}\subset F_{2}\subset \cdots \subset F_{m}=K}$

такой, что

1. ${\displaystyle F_{i}=F_{i-1}[\alpha _{i}]}$где , то есть решение уравнения где${\displaystyle \alpha _{i}^{m_{i}}\in F_{i-1}}$${\displaystyle \alpha _{i}}$${\displaystyle x^{m_{i}}-a}$${\displaystyle a\in F_{i-1}}$
2. ${\displaystyle F_{m}}$ содержит поле разбиения для ${\displaystyle f(x)}$

Пример [ править ]

Например, наименьшее расширение поля Галуа, содержащее элемент${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle a={\sqrt[{5}]{{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}}}$

дает разрешимую группу. С ним связаны расширения полей

${\displaystyle \mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\subset \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2\pi i/5}{\sqrt[{5}]{{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}}\right)}$

дающая разрешимую группу, содержащую (действующую на ) и (действующую на ).${\displaystyle \mathbb {Z} /5}$${\displaystyle e^{2\pi i/5}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2\times \mathbb {Z} /2}$${\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}$

Определение [ править ]

Группа G называется разрешимой, если у нее есть субнормальный ряд , все фактор-группы (фактор-группы) которого абелевы , то есть если существуют подгруппы 1 = G ₀ < G ₁ <⋅⋅⋅ < G _k = G такие, что G _{j -1} является нормальным в G _J и G _J  / G _{J -1} является абелевой группой, J = 1, 2, ..., K .

Или, что то же самое, если производный ряд , нисходящий нормальный ряд

${\displaystyle G\triangleright G^{(1)}\triangleright G^{(2)}\triangleright \cdots ,}$

где каждая подгруппа является Коммутантом из предыдущей, в конце концов достигает тривиальную подгруппу G . Эти два определения эквивалентны, так как для каждой группы H и каждый нормальной подгруппой N из Н , фактор Н / Н абелева тогда и только тогда , когда Н содержит коммутант Н . Мера п такие , что G ^{( п )} = 1, называется производной длиной разрешимой группы G .

Для конечных групп, эквивалентное определение является то , что разрешимой группа представляет собой группа с композиционным рядом которых все факторы являются циклическими группами из простого порядка . Это эквивалентно, потому что конечная группа имеет конечную композиционную длину, и каждая простая абелева группа является циклической простого порядка. Теорема Жордана – Гёльдера гарантирует, что если один композиционный ряд обладает этим свойством, то все композиционные ряды также будут обладать этим свойством. Для группы Галуа полинома эти циклические группы соответствуют корням (радикалам) n- й степени над некоторым полем. Эквивалентность не обязательно справедлива и для бесконечных групп: например, так как каждая нетривиальная подгруппа группы Z из целых чисел относительно сложения является изоморфной к Z самому по себе, оно не имеет серии состава, но нормальный ряд {0, Z }, только с его фактор-группа, изоморфная Z , доказывает, что она действительно разрешима.

Примеры [ править ]

Абелевы группы [ править ]

Основным примером разрешимых групп являются абелевы группы. Они тривиально разрешимы, поскольку субнормальный ряд задается только самой группой и тривиальной группой. Но неабелевы группы могут быть или не быть разрешимыми.

Нильпотентные группы [ править ]

В более общем смысле все нильпотентные группы разрешимы. В частности, конечные p -группы разрешимы, так как все конечные p -группы нильпотентны.

Группы кватернионов [ править ]

В частности, группа кватернионов - это разрешимая группа, заданная расширением группы

${\displaystyle 1\to \mathbb {Z} /4\to Q\to \mathbb {Z} /2\to 1}$

где - подгруппа, порожденная .${\displaystyle \mathbb {Z} /4}$${\displaystyle i}$

Расширения группы [ править ]

Расширения групп образуют прототипические примеры разрешимых групп. То есть, если и - разрешимые группы, то любое расширение${\displaystyle G}$${\displaystyle G'}$

${\displaystyle 1\to G\to G''\to G'\to 1}$

определяет разрешимую группу . Фактически, все разрешимые группы могут быть образованы из таких расширений групп.${\displaystyle G''}$

Неабелева группа, которая не является нильпотентной [ править ]

Небольшим примером разрешимой ненильпотентной группы является симметрическая группа S ₃ . Фактически, поскольку наименьшая простая неабелева группа - это A ₅ ( знакопеременная группа степени 5), отсюда следует, что любая группа с порядком меньше 60 разрешима.

Конечные группы нечетного порядка [ править ]

Знаменитая теорема Фейта – Томпсона утверждает, что всякая конечная группа нечетного порядка разрешима. В частности, это означает, что если конечная группа проста, то она либо простая циклическая, либо четного порядка.

Не пример [ править ]

Группа S ₅ не разрешима - у нее есть композиционный ряд {E, A ₅ , S ₅ } (и теорема Жордана – Гёльдера утверждает, что любой другой композиционный ряд эквивалентен этому), давая фактор-группы, изоморфные A ₅ и C ₂ ; и A ₅ не абелева. Обобщая это рассуждение вместе с тем фактом, что A _n является нормальной максимальной максимальной неабелевой простой подгруппой в S _n при n > 4, мы видим, что S _n не разрешима для n> 4. Это ключевой шаг в доказательстве того, что для любого n > 4 существуют многочлены степени n , не разрешимые в радикалах ( теорема Абеля – Руффини ). Это свойство также используется в теории сложности при доказательстве теоремы Баррингтона .

Подгруппы GL ₂ [ править ]

Рассмотрим подгруппы

${\displaystyle B=\left\{{\begin{bmatrix}*&*\\0&*\end{bmatrix}}\right\}{\text{, }}U=\left\{{\begin{bmatrix}1&*\\0&1\end{bmatrix}}\right\}}$ из ${\displaystyle GL_{2}(\mathbb {F} )}$

для какого-то поля . Затем групповое частное можно найти, взяв произвольные элементы , умножив их вместе и выяснив, какую структуру это дает. Так${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle B/U}$${\displaystyle B,U}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\0&c\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&ad+b\\0&c\end{bmatrix}}}$

Обратите внимание, что условие определителя на подразумевает , следовательно , это подгруппа (которые являются матрицами где ). Для фиксированного линейного уравнения следует , что это произвольный элемент в, поскольку . Так как мы можем взять любую матрицу и умножить ее на матрицу${\displaystyle GL_{2}}$${\displaystyle ac\neq 0}$${\displaystyle \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }\subset B}$${\displaystyle b=0}$${\displaystyle a,b}$${\displaystyle ad+b=0}$${\displaystyle d=-b/a}$${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle b\in \mathbb {F} }$${\displaystyle B}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}}$

с , мы можем получить диагональную матрицу в . Это показывает фактор-группу .${\displaystyle d=-b/a}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B/U\cong \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }}$

Замечание [ править ]

Обратите внимание, что это описание дает разложение as, где действует by . Это подразумевает . Также матрица вида${\displaystyle B}$${\displaystyle \mathbb {F} \rtimes (\mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times })}$${\displaystyle (a,c)}$${\displaystyle b}$${\displaystyle (a,c)(b)=ab}$${\displaystyle (a,c)(b+b')=(a,c)(b)+(a,c)(b')=ab+ab'}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\0&c\end{bmatrix}}}$

соответствует элементу в группе.${\displaystyle (b)\times (a,c)}$

Подгруппы Бореля [ править ]

Для линейной алгебраической группы ее борелевская подгруппа определяется как подгруппа, которая замкнута, связна и разрешима в , и это максимально возможная подгруппа с этими свойствами (обратите внимание, что вторые две являются топологическими свойствами). Например, в и группа верхнетреугольных или нижнетреугольных матриц являются двумя из борелевских подгрупп. В приведенном выше примере подгруппа в является подгруппой Бореля.${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle GL_{n}}$${\displaystyle SL_{n}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle GL_{2}}$

Подгруппа Бореля в GL ₃ [ править ]

В есть подгруппы${\displaystyle GL_{3}}$

${\displaystyle B=\left\{{\begin{bmatrix}*&*&*\\0&*&*\\0&0&*\end{bmatrix}}\right\},{\text{ }}U_{1}=\left\{{\begin{bmatrix}1&*&*\\0&1&*\\0&0&1\end{bmatrix}}\right\}}$

Обратите внимание , поэтому группа Бореля имеет вид${\displaystyle B/U_{1}\cong \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }}$

${\displaystyle U\rtimes (\mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times })}$

Подгруппа Бореля в произведении простых линейных алгебраических групп [ править ]

В группе продуктов подгруппа Бореля может быть представлена ​​матрицами вида${\displaystyle GL_{n}\times GL_{m}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}T&0\\0&S\end{bmatrix}}}$

где - верхнетреугольная матрица, а - верхнетреугольная матрица.${\displaystyle T}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle S}$${\displaystyle m\times m}$

Z-группы [ править ]

Любая конечная группа, p -силовские подгруппы которой циклические, является полупрямым произведением двух циклических групп, в частности разрешимой. Такие группы называются Z-группами .

Значения OEIS [ править ]

Количество разрешимых групп порядка n равно (начиная с n = 0)

0, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 2, 2, 1, 5, 1, 2, 1, 14, 1, 5, 1, 5, 2, 2, 1, 15, 2, 2, 5, 4, 1, 4, 1, 51, 1, 2, 1, 14, 1, 2, 2, 14, 1, 6, 1, 4, 2, 2, 1, 52, 2, 5, 1, 5, 1, 15, 2, 13, 2, 2, 1, 12, 1, 2, 4, 267, 1, 4, 1, 5, 1, 4, 1, 50, ... ( последовательность A201733 в OEIS )

Порядки неразрешимых групп равны

60, 120, 168, 180, 240, 300, 336, 360, 420, 480, 504, 540, 600, 660, 672, 720, 780, 840, 900, 960, 1008, 1020, 1080, 1092, 1140, 1176, 1200, 1260, 1320, 1344, 1380, 1440, 1500, ... (последовательность A056866 в OEIS )

Свойства [ править ]

Разрешимость закрывается при выполнении ряда операций.

• Если G разрешима и H является подгруппой в G , то H разрешима. ^[2]
• Если G разрешима и существует гомоморфизм из G на H , то H разрешима; эквивалентно (по первой теореме об изоморфизме ), если G разрешима и N - нормальная подгруппа группы G , то G / N разрешима. ^[3]
• Предыдущие свойства могут быть расширены в следующем «три по цене двух» собственности: G разрешима тогда и только тогда, N и G / N разрешимы.
• В частности, если G и H разрешимы, прямое произведение G × H разрешимо.

Разрешимость замкнута при расширении группы :

• Если H и G / H разрешимы, то G тоже ; в частности, если N и H разрешимы, то их полупрямое произведение также разрешимо.

Также закрывается под венком:

• Если G и Н разрешимы, и Х представляет собой G - множество, то сплетение из G и H относительно X также разрешима.

Для любого натурального числа N разрешимые группы производной длины не выше N образуют подмногообразие многообразия групп, поскольку они замкнуты относительно взятия гомоморфных образов, подалгебр и (прямых) произведений . Прямое произведение последовательности разрешимых групп с неограниченной производной длиной не разрешимо, поэтому класс всех разрешимых групп не является многообразием.

Теорема Бернсайда [ править ]

Теорема утверждает бернсайдовая, что если G является конечной группой из порядка р д ^б , где р и д являются простыми числами , а и б являются неотрицательными целыми числами , то G разрешим.

Понятия, связанные с данным [ править ]

Сверхрешаемые группы [ править ]

В качестве усиления разрешимости группа G называется сверхразрешимой (или сверхразрешимой ), если у нее есть инвариантный нормальный ряд, все факторы которого циклические. Поскольку нормальный ряд по определению имеет конечную длину, несчетные группы не сверхразрешимы. На самом деле все сверхразрешимые группы конечно порождены , а абелева группа сверхразрешима тогда и только тогда, когда она конечно порождена. Знакопеременная группа A ₄ является примером конечной разрешимой группы, которая не является сверхразрешимой.

Если ограничиться конечно порожденными группами, мы можем рассмотреть следующее расположение классов групп:

циклическая < абелева < нильпотентная < сверхразрешимая < полициклическая < разрешимая < конечно порожденная группа .

Практически решаемые группы [ править ]

Группа G называется виртуально разрешимой, если в ней есть разрешимая подгруппа конечного индекса. Это похоже на практически абелеву . Ясно, что все разрешимые группы виртуально разрешимы, так как можно просто выбрать саму группу, имеющую индекс 1.

Гипоабелев [ править ]

Разрешаемой группой называется группа, производный ряд которой достигает тривиальной подгруппы на конечном этапе. Для бесконечной группы конечный производный ряд может не стабилизироваться, но трансфинитный производный ряд всегда стабилизируется. Группа, трансфинитный производный ряд которой достигает тривиальной группы, называется гипоабелевой группой , и каждая разрешимая группа является гипоабелевой группой. Первый ординал α такой, что G ^{( α )} = G ^{( α +1)} , называется (трансфинитной) производной длиной группы G , и было показано, что каждый ординал является производной длиной некоторой группы ( Мальцев, 1949 ).

См. Также [ править ]

• Просчитываемая группа
• Параболическая подгруппа

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Мальцев А.И. (1949), "Обобщенные нильпотентные алгебры и их ассоциированные группы", Матем. Сборник Н.С. , 25 (67): 347–366, MR  0032644
• Ротман, Джозеф Дж. (1995), Введение в теорию групп , Тексты для выпускников по математике, 148 (4-е изд.), Springer, ISBN 978-0-387-94285-8

Внешние ссылки [ править ]

• Последовательность OEIS A056866 (Порядки неразрешимых групп)
• Разрешаемые группы как повторяющиеся расширения