Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп |
---|
Группа представляет собой набор вместе с ассоциативной операцией, допускающей единичный элемент и таким образом, что каждый элемент имеет обратный .
На протяжении всей статьи мы используем для обозначения единичного элемента группы.
A [ править ]
- абелева группа
- Группа является абелевой , если коммутативности, то есть для всех , ∈ . Точно так же группа неабелева, если это соотношение не выполняется ни для какой пары , ∈ .
- восходящая подгруппа
- Подгруппа Н группы G является восходящим , если есть восходящий ряд подгруппы , начиная с H и заканчивая G , таким образом, что каждый член ряда является нормальной подгруппой его преемника. Серия может быть бесконечной. Если серия конечна, то подгруппа субнормальна .
- автоморфизм
- Автоморфизм группы является изоморфизмом группы к себе.
C [ править ]
- центр группы
- Центр группы G , обозначается Z ( G ) , есть множество тех элементов группы , которые коммутируют со всеми элементами G , то есть множество всех ч ∈ G такое , что Hg = GH для всех г ∈ G . Z ( G ) всегда нормальная подгруппа из G . Группа G является абелевой тогда и только тогда , когда Z ( G ) = G .
- бесцентровая группа
- Группа G является бесцентровой , если ее центр Z ( G ) является тривиальным .
- центральная подгруппа
- Подгруппа группы является центральной подгруппой этой группы , если она лежит внутри центра группы .
- функция класса
- Класс функций на группе G является функцией , что она постоянна на классах сопряженных с G .
- номер класса
- Номер класса группы - это количество ее классов сопряженности .
- коммутатор
- Коммутатор двух элементов г и ч группы G является элементом [ г , ч ] = г -1 ч -1 GH . Некоторые авторы вместо этого определяют коммутатор как [ g , h ] = ghg −1 h −1 . Коммутатор двух элементов g и h равен единице группы тогда и только тогда, когда g и h коммутируют, то есть тогда и только тогда, когда gh = hg .
- коммутаторная подгруппа
- Коммутант или производная подгруппа группы является подгруппой порожденной всех коммутаторов группы.
- серия композиций
- Композиционный ряд группы G является субнормальными сериями конечной длины
- сопряженно-замкнутая подгруппа
- Подгруппой группы называется сопряженно-замкнутым , если любые два элемента из подгруппы, которые сопряжены в группе также сопряжены в подгруппе.
- класс сопряженности
- В классах сопряженных некоторой группы G являются теми подмножествами G , содержащих элементы группы, которые сопряжены друг с другом.
- сопряженные элементы
- Два элемента х и у группы G является сопряженным , если существует элемент г ∈ G таких , что г -1 XG = у . Элемент г -1 XG , обозначаемый х г , называется сопряженным х по г . Некоторые авторы определяют сопряжение x с помощью g как gxg −1 . Это часто обозначается g x . Сопряжение - это отношение эквивалентности . ЕгоКлассы эквивалентности называются классами сопряженности .
- сопряженные подгруппы
- Две подгруппы H 1 и H 2 группы G являются сопряженными подгруппами, если существует g ∈ G такой, что gH 1 g −1 = H 2 .
- контранормальная подгруппа
- Подгруппа группы G является contranormal подгруппы в G , если ее нормальное замыкание является G сам.
- циклическая группа
- Циклическая группа представляет собой группа, которая генерируется одним элементом, то есть группа , такие , что существует элемент г в группе таким образом, что каждый другой элемент группы может быть получен путем многократного применения операции группы для г или его обратный.
D [ править ]
- производная подгруппа
- Синоним коммутатора подгруппы .
- прямой продукт
- Прямое произведение двух групп G и H , обозначается G × H , является декартово произведение из базовых наборов G и H , снабженный покомпонентно определенной бинарной операции ( г 1 , ч 1 ) · ( г 2 , ч 2 ) = ( г 1 ⋅ г 2 , ч 1 ⋅ ч 2 ) . С помощью этой операции G × H сам образует группу.
F [ править ]
- факторная группа
- Синоним частной группы .
- FC-group
- Группа называется FC-группой, если каждый класс сопряженности ее элементов имеет конечную мощность.
- конечная группа
- Конечная группа представляет собой группа конечного порядка , то есть группа с конечным числом элементов.
- конечно порожденная группа
- Группа G является конечно порожденной , если существует конечное порождающее множество , то есть, если существует конечное множество S элементов G , такие , что каждый элемент из G может быть записан в виде комбинации конечного числа элементов S и обратных элементы S .
G [ править ]
- генераторная установка
- Порождающее множество группы G представляет собой подмножество S из G , такие , что каждый элемент из G может быть выражен в виде комбинации (при групповой операции) из конечного числа элементов S и обратных элементов S .
- групповой автоморфизм
- См. Автоморфизм .
- групповой гомоморфизм
- См. Гомоморфизм .
- групповой изомоморфизм
- См. Изомоморфизм .
H [ править ]
- гомоморфизм
- Указанные две группы ( G , *) и ( H , ·) , А гомоморфизм из G в H является функцией ч : G → H , что для всех а и б в G , ч ( * б ) = ч ( ) · Ч ( б ) .
Я [ править ]
- индекс подгруппы
- Индекс из подгруппы H группы G , обозначаемый | G : H | или [ G : Н ] или ( G : H ) , это число смежных классов из H в G . Для нормальной подгруппы N группы G , индекс N в G равна порядка в фактор - группы G / N . Дляконечная подгруппа H конечной группы G , индекс H в G равен частному от порядков G и H .
- изоморфизм
- Указанные две группы ( G , *) и ( H , ·) , изоморфизм между G и H является биективен гомоморфизм из G в H , то есть соответствие один к одному между элементами групп таким образом , что уважает данные групповые операции. Две группы изоморфны, если существует отображение группового изоморфизма одна в другую. Изоморфные группы можно рассматривать как одно и то же, только с разными метками на отдельных элементах.
L [ править ]
- решетка подгрупп
- Решетка подгрупп одной группы является решетка определяется ее подгруппами , частично упорядоченных по включению множеств .
- локально циклическая группа
- Группа называется локально циклической, если каждая конечно порожденная подгруппа циклическая . Каждая циклическая группа является локально циклической, и каждая конечно порожденная локально циклическая группа циклическая. Каждая локально циклическая группа абелева . Каждая подгруппа , каждая фактор-группа и любой гомоморфный образ локально циклической группы являются локально циклическими.
N [ править ]
- нормальное закрытие
- Нормальное замыкание подмножества S группы G есть пересечение всех нормальных подгрупп из G , содержащих S .
- нормальное ядро
- Нормальная сердцевина из подгруппы H группы G является самой крупной нормальной подгруппой из G , которая содержится в H .
- нормализатор
- Для подмножества S группы G , то нормализаторная из S в G , обозначается N G ( S ) , является подгруппа группы G определяется
- .
O [ править ]
- порядок группы
- Порядок группы является количество элементов (то есть количество элементов) из . Группа с конечным порядком называется конечной группой .
- порядок элемента группы
- Порядок элемента г группы G является наименьшим положительным целым числом п таким образом, что г п = е . Если такого целого числа не существует, то порядок g называется бесконечным. Порядок конечной группы делится на порядок каждого элемента.
P [ править ]
- идеальное ядро
- Совершенное ядро группы является крупнейшей совершенной подгруппой.
- идеальная группа
- Совершенная группа представляет собой группу , которая равна его собственной коммутанте .
- периодическая группа
- Группа является периодической, если каждый элемент группы имеет конечный порядок . Каждая конечная группа периодична.
- группа перестановок
- Группа перестановок - это группа, элементы которой являются перестановками данного множества M ( взаимно однозначными функциями от множества M к самому себе) и чья групповая операция является композицией этих перестановок. Группа , состоящая из всех перестановок множества М является симметрической группой из М .
- p -группа
- Если p - простое число , то p -группа - это группа, в которой порядок каждого элемента является степенью p . Конечная группа является p -группой тогда и только тогда, когда порядок группы является степенью p .
- p -подгруппа
- Подгруппа , которая также является р -группа . Изучение p -подгрупп - центральный объект теорем Силова .
Q [ править ]
- факторгруппа
- Принимая во внимание группу и нормальную подгруппу из , то фактор - группа является множество / из левых классов вместе с операцией Отношения между нормальными подгруппами, гомоморфизмам, и фактор - групп суммированный в основной теореме о гомоморфизмах .
R [ править ]
- реальный элемент
- Элемент g группы G называется вещественным элементом группы G, если он принадлежит к тому же классу сопряженности, что и его обратный, то есть, если в G есть элемент h с , где определяется как h −1 gh . Элемент группы G является реальным , если и только если для всех представлений о G след соответствующей матрицы является действительным числом.
S [ править ]
- серийная подгруппа
- Подгруппа Н группы G является последовательной подгруппой в G , если существует цепь С подгрупп G от H до G таким образом, что для каждой пары последовательных подгрупп X и Y в C , X является нормальной подгруппой в Y . Если цепь конечна, то Н является субнормальной подгруппой из G .
- простая группа
- Простая группа является нетривиальной группой , чья только нормальные подгруппы являются единичной группой и сама группа.
- подгруппа
- Подгруппа группы G является подмножеством Н из элементов G , что сам по себе образует группу при ношении с ограничением групповой операции из G в H × H . Подмножество H группы G является подгруппой G тогда и только тогда, когда оно непусто и замкнуто относительно произведений и обратных, то есть тогда и только тогда, когда для любых a и b в H , ab и a −1 также находятся в H .
- подгруппа серии
- Подгруппа серии группы G представляет собой последовательность подгрупп из G , таких , что каждый элемент в серии является подгруппой следующего элемента:
Т [ править ]
- торсионная группа
- Синоним периодической группы .
- транзитивно нормальная подгруппа
- Подгруппа группы называется транзитивно нормальными в группе , если каждая нормальная подгруппа подгруппы также нормальна во всей группе.
- тривиальная группа
- Единичная группа представляет собой группу , состоящую из одного элемента, а именно единичный элемент группы. Все такие группы изоморфны , и часто говорят о тривиальных группы.
Основные определения [ править ]
Подгруппа . Подмножество группыкоторая остается группойкогда операцияограниченаназывается подгруппой в.
Учитывая подмножество в . Обозначим через наименьшую подгруппу содержащих . называется подгруппой, порожденной .
Нормальная подгруппа . является нормальной подгруппой весли для всехвив,также принадлежит.
И подгруппы, и нормальные подгруппы данной группы образуют полную решетку при включении подмножеств; это свойство и некоторые связанные с ним результаты описываются решеточной теоремой .
Групповой гомоморфизм . Это функциисо специальным свойством:
для любых элементов и оф .
Ядро гомоморфизма групп . Это прообраз тождества в области гомоморфизма групп. Каждая нормальная подгруппа является ядром гомоморфизма групп и наоборот.
Групповой изоморфизм . Групповые гомоморфизмы, имеющие обратные функции . Оказывается, что обратное к изоморфизму тоже должно быть гомоморфизмом.
Изоморфные группы . Две группы изоморфны, если существует отображение группового изоморфизма одна в другую. Изоморфные группы можно рассматривать как одно и то же, только с разными метками на отдельных элементах. Одна из фундаментальных проблем теории групп - это классификация групп с точностью до изоморфизма.
Прямое произведение , прямая сумма и полупрямое произведение групп. Это способы объединения групп для создания новых групп; пожалуйста, обратитесь к соответствующим ссылкам для объяснения.
Типы групп [ править ]
Конечно порожденная группа . Если существует такое конечное множество,тоговорят, что оно конечно порождено . Можно принять, чтоIfимеет только один элемент,это циклическая группа конечного порядка, бесконечная циклическая группа или, возможно, группатолько с одним элементом.
Простая группа . Простые группы - это те группы, которые имеют толькосебя как нормальные подгруппы . Название вводит в заблуждение, потому что простая группа на самом деле может быть очень сложной. Примером может служить группа монстров , порядка 10 54 . Каждая конечная группа строится из простых групп с помощью групповых расширений , поэтому изучение конечных простых групп занимает центральное место в изучении всех конечных групп. Конечные простые группы известны и классифицированы .
Структура любой конечной абелевой группы относительно проста; каждая конечная абелева группа является прямой суммой циклических p-групп. Это может быть расширено до полной классификации всех конечно порожденных абелевых групп , то есть всех абелевых групп, порожденных конечным множеством.
Для неабелевых групп ситуация намного сложнее.
Бесплатная группа . Учитываялюбой набор, можно определить группукачестве самой маленькой группысодержащей свободную полугруппу из. Группа состоит из конечных строк (слов), которые могут состоять из элементов, вместе с другими элементами, необходимыми для формирования группы. Умножение строк определяется конкатенацией, например
Каждая группа - это, по сути, факторная группа свободной группы, созданной . Пожалуйста, обратитесь к презентации группы для получения дополнительных объяснений. Затем можно задать алгоритмические вопросы об этих презентациях, например:
- Эти два представления определяют изоморфные группы ?; или же
- Указывает ли это представление на тривиальную группу?
Общим случаем этого является проблема слова , и некоторые из этих вопросов на самом деле не решаются никаким общим алгоритмом.
Линейная группа , обозначит через GL ( п , F ), является группойматрицыразмерностью обратимых матриц , где элементы матриц взяты из области , таких как действительные числа или комплексные числа.
Групповое представление (не путать с представлением группы). Представление группы - это гомоморфизм группы в общую линейную группу. По сути, пытаются «представить» данную абстрактную группу как конкретную группу обратимых матриц, которую гораздо легче изучать.
См. Также [ править ]
- Словарь групп Ли и алгебр Ли
- Глоссарий теории колец
- Композиция серии
- Нормальная серия