В математике , в частности теория групп , теорема Коши утверждает , что если G является конечной группой и р является простым числом деления порядка из G (числа элементов в G ), то G содержит элемент порядка р . То есть существует x в G такой, что p - наименьшее положительное целое число с x p = e , где e - единичный элементиз G . Он назван в честь Огюстена-Луи Коши , который открыл его в 1845 году. [1] [2]
Теорема связана с теоремой Лагранжа , в котором говорится , что порядок любой подгруппы конечной группы G делит порядок G . Из теоремы Коши следует, что для любого простого делителя p порядка группы G существует подгруппа группы G с порядком p - циклическая группа, порожденная элементом из теоремы Коши.
Теорема Коши обобщена первой теоремой Силова , из которой следует, что если p n - максимальная степень p, делящая порядок группы G , то G имеет подгруппу порядка p n (и, используя тот факт, что p -группа разрешима , одна может показать, что G имеет подгруппы порядка p r для любого r, меньшего или равного n ).
Заявление и доказательство
Многие тексты доказывают теорему с использованием сильной индукции и уравнения классов , хотя для доказательства теоремы в абелевом случае требуется значительно меньше оборудования . Для доказательства можно также использовать групповые действия . [3]
Теорема Коши - Пусть G будет конечная группа и р быть простой . Если p делит порядок группы G , то в G есть элемент порядка p .
Доказательство 1
Докажем сначала частный случай, когда , где G является абелевой , а затем общий случай; оба доказательства проводятся индукцией по n = | G |, и в качестве начального случая n = p, что тривиально, потому что теперь любой неединичный элемент имеет порядок p . Предположим сначала, что G абелева. Возьмем любой неединичный элемент a , и пусть H - циклическая группа, которую он порождает. Если p делит | H |, тогда a | H | / p - элемент порядка p . Если p не делит | H |, то он делит порядок [ G : H ] фактор-группы G / H , которая, следовательно, содержит элемент порядка p по предположению индукции. Этот элемент является классом xH для некоторого x в G , и если m является порядком x в G , то x m = e в G дает ( xH ) m = eH в G / H , поэтому p делит m ; как и раньше, x m / p теперь является элементом порядка p в G , что завершает доказательство для абелевого случая.
В общем случае, пусть Z является центром из G , который является абелевой подгруппой. Если p делит | Z |, то Z содержит элемент порядка р по делу абелевых групп, и этот элемент работает на G , а также. Таким образом , мы можем считать , что р не делит порядок Z . Поскольку p делит | G |, а G - несвязное объединение Z и классов сопряженности нецентральных элементов, существует класс сопряженности нецентрального элемента a , размер которого не делится на p . Но уравнение класса показывает, что размер равен [ G : C G ( a )], поэтому p делит порядок централизатора C G ( a ) группы a в G , которая является собственной подгруппой, поскольку a не является центральной. Эта подгруппа содержит элемент порядка p по предположению индукции, и все готово.
Доказательство 2
Это доказательство использует тот факт, что для любого действия (циклической) группы простого порядка p единственными возможными размерами орбит являются 1 и p , что непосредственно следует из теоремы о стабилизаторе орбиты .
Набор, на котором будет действовать наша циклическая группа, - это множество
из р -кортежей элементов G , чей продукт (в указанном порядке) дает идентичность. Такой p -набор однозначно определяется всеми его компонентами, кроме последнего, поскольку последний элемент должен быть обратным произведению этих предыдущих элементов. Также видно, что эти p - 1 элементов могут быть выбраны свободно, поэтому X имеет | G | p −1 элемент, который делится на p .
Теперь из - за того , что в группе , если аб = е , то и ба = е , следует , что любая циклическая перестановка компонентов элемента X снова дает элемент X . Следовательно, можно определить действие циклической группы C p порядка p на X циклическими перестановками компонентов, другими словами, в котором выбранный генератор C p посылает
- .
Как уже отмечалось, орбиты в X при этом действии либо имеют размер 1, либо размер p . Первое происходит именно с этими кортежами для которого . Подсчитывая элементы X по орбитам и уменьшая по модулю p , можно увидеть, что количество элементов, удовлетворяющихделится на p . Но x = e - один из таких элементов, поэтому должно быть не менее p - 1 других решений для x , и эти решения являются элементами порядка p . Это завершает доказательство.
Использует
Практически непосредственным следствием теоремы Коши является полезная характеризация конечных p -групп , где p - простое число. В частности, конечная группа G является p -группой (т. Е. Все ее элементы имеют порядок p k для некоторого натурального числа k ) тогда и только тогда, когда G имеет порядок p n для некоторого натурального числа n . Можно использовать абелев случай теоремы Коши в индуктивном доказательстве [4] первой из теорем Силова, аналогичном первому доказательству, приведенному выше, хотя есть также доказательства, в которых этот частный случай не рассматривается отдельно.
Пример 1
Пусть G конечная группа , где х 2 = е для всех элементов х из G . Тогда G имеет порядок 2 n для некоторого целого неотрицательного числа n . Пусть | G | является м . Если m равно 1, то G = { e } . В случае m ≥ 2 , если m имеет нечетный простой множитель p , G имеет элемент x, где x p = e из теоремы Коши. Это противоречит предположению. Следовательно, m должно быть 2 n . [5] G абелева группа, и G называется элементарной абелевой 2-группой или булевой группой . Хорошо известный пример - четырехгруппа Клейна .
Пример 2
Абелева простая группа - это либо { e }, либо циклическая группа C p , порядок которой является простым числом p . Пусть G абелева группа, то все подгруппы G являются нормальными подгруппами . Таким образом, если G простая группа, G имеет только нормальную подгруппу, либо { е } или G . Если | G | = 1 , то G есть { e } . Целесообразно. Если | G | ≥ 2 , пусть a ∈ G не e , циклическая группаявляется подгруппой группы G ине { e } , тогдаПусть n - порядок. Если n бесконечно, то
Так что в данном случае это не подходит. Тогда n конечно. Если n составное, n делится на простое число q, которое меньше n . По теореме Коши будет существовать подгруппа H порядка q , она не подходит. Следовательно, n должно быть простым числом.
Заметки
- ^ Коши 1845 .
- ^ Коши 1932 .
- ^ Маккей 1959 .
- ^ Якобсон 2009 , стр. 80.
- ^ Конечные группы, где x 2 = e имеет порядок 2 n , Stack Exchange, 2015-09-23
Рекомендации
- Коши, Огюстен-Луи (1845), «Памятка о мерах по перестановке, бывшей avec des lettres données, и о перестановках или заменах в аранжировке с помощью пейджа в аранжировке с отрывом» , Exercises d ' анализ и математика телосложения , Париж, 3 : 151–252.
- Коши, Огюстен-Луи (1932), Oeuvres complete (PDF) , вторая серия, 13 (переиздание), Париж: Готье-Виллар, стр. 171–282
- Джейкобсон, Натан (2009) [1985], Основы алгебры , Dover Books on Mathematics, I (Second ed.), Dover Publications , p. 80, ISBN 978-0-486-47189-1
- Маккей, Джеймс Х. (1959), "Еще одно доказательство теоремы Коши группы", American Mathematical Monthly , 66 (2): 119, DOI : 10,2307 / 2310010 , JSTOR 2310010 , MR 0098777 , Zbl 0082,02601
Внешние ссылки
- «Теорема Коши» . PlanetMath .
- «Доказательство теоремы Коши» . PlanetMath .