Алгебраическая структура

В математике , алгебраическая структура состоит из непустого множества А ( так называемый базовый набором , установленный носителем или домен ), совокупность операций по А конечной арности ( как правило , бинарные операции ), а также конечное множество идентичностей , известных как аксиомы , что эти операции должны удовлетворять.

Алгебраическая структура может быть основана на других алгебраических структурах с операциями и аксиомами, включающими несколько структур. Например, векторное пространство включает в себя вторую структуру, называемую полем , и операцию, называемую скалярным умножением между элементами поля (называемыми скалярами ) и элементами векторного пространства (называемыми векторами ).

В контексте универсальной алгебры , множество с этой структурой , называется алгеброй , ^[1] в то время как в других контекстах, он (несколько двусмысленно) называется алгебраическая структура , термин алгебра резервируется для конкретных алгебраических структур, вектор пространства над полем или модули над коммутативным кольцом .

Свойства конкретных алгебраических структур изучаются в абстрактной алгебре . Общая теория алгебраических структур формализована в универсальной алгебре. Язык теории категорий используется для выражения и изучения отношений между различными классами алгебраических и неалгебраических объектов. Это связано с тем, что иногда можно найти прочные связи между некоторыми классами объектов, иногда разных типов. Например, теория Галуа устанавливает связь между определенными полями и группами: двумя алгебраическими структурами разного типа.

Введение [ править ]

Сложение и умножение действительных чисел являются типичными примерами операций, которые объединяют два элемента набора для получения третьего элемента набора. Эти операции подчиняются нескольким алгебраическим законам. Например, a + ( b + c ) = ( a + b ) + c и a ( bc ) = ( ab ) c как ассоциативные законы . Также a + b = b + a и ab = ba в качестве законов коммутативности.Многие системы, изучаемые математиками, имеют операции, которые подчиняются некоторым, но не обязательно всем законам обычной арифметики. Например, повороты объекта в трехмерном пространстве можно комбинировать, например, путем выполнения первого поворота объекта и последующего применения к нему второго поворота в его новой ориентации, сделанного предыдущим поворотом. Вращение как операция подчиняется ассоциативному закону, но может не удовлетворять коммутативному закону.

Математики дают имена множествам с одной или несколькими операциями, которые подчиняются определенному набору законов, и изучают их абстрактно как алгебраические структуры. Когда можно показать, что новая проблема подчиняется законам одной из этих алгебраических структур, вся работа, проделанная с этой категорией в прошлом, может быть применена к новой проблеме.

Вообще говоря, алгебраические структуры могут включать произвольный набор операций, включая операции, которые объединяют более двух элементов ( операции с более высокой степенью арности ), и операции, которые принимают только один аргумент ( унарные операции ). Примеры, используемые здесь, ни в коем случае не являются полным списком, но они предназначены для того, чтобы быть репрезентативным списком и включать наиболее распространенные структуры. Более длинные списки алгебраических структур можно найти во внешних ссылках и в Категория: Алгебраические структуры . Структуры перечислены в приблизительном порядке возрастания сложности.

Примеры [ править ]

Один набор с операциями [ править ]

Простые структуры : без бинарных операций :

• Набор : вырожденная алгебраическая структура S , не имеющая операций.
• Заостренный набор : S имеет один или несколько выделенных элементов, часто 0, 1 или оба.
• Одинарная система: S и одна унарная операция над S .
• Острая унарная система : унарная система с S точечным множеством.

Групповые структуры : одна бинарная операция. Двоичная операция может быть обозначена любым символом или без символа (сопоставление), как это делается для обычного умножения действительных чисел.

• Магма или группоид : S и один бинарная операция над S .
• Полугруппа : ассоциативная магма.
• Моноид : полугруппа с элементом идентичности .
• Группа : моноид с унарной операцией (инверсией), порождающей инверсные элементы .
• Абелева группа : группа, бинарная операция которой коммутативна .
• Полурешетка : полугруппа, операция которой идемпотентна и коммутативна. Бинарную операцию можно назвать либо встречей, либо соединением .
• Квазигруппа : магма, подчиняющаяся свойству латинского квадрата. Квазигруппу также можно представить с помощью трех бинарных операций. ^[2]

• Петля : квазигруппа с идентичностью .

Кольцеобразные структуры или рингоиды : две бинарные операции, часто называемые сложением и умножением , с распределением умножения поверх сложения.

• Полукольцо : такой рингоид, что S является моноидом относительно каждой операции. Обычно предполагается, что сложение является коммутативным и ассоциативным, и предполагается, что моноидное произведение распределяется по сложению с обеих сторон, а аддитивная единица 0 является поглощающим элементом в том смысле, что 0  x = 0 для всех x .
• Почти кольцо : полукольцо, аддитивный моноид которого является (не обязательно абелевой) группой.
• Кольцо : полукольцо, аддитивный моноид которого является абелевой группой.
• Кольцо Ли : рингоид, аддитивный моноид которого является абелевой группой, но мультипликативная операция которого удовлетворяет тождеству Якоби, а не ассоциативности.
• Коммутативное кольцо : кольцо, в котором операция умножения коммутативна.
• Булево кольцо : коммутативное кольцо с идемпотентной операцией умножения.
• Поле : коммутативное кольцо, которое содержит мультипликативный обратный для каждого ненулевого элемента.
• Алгебры Клини : полукольцо с идемпотентным сложением и унарной операцией, звезда Клини , удовлетворяющая дополнительным свойствам.
• * -алгебра : кольцо с дополнительной унарной операцией (*), удовлетворяющее дополнительным свойствам.

Структуры решетки : две или более бинарных операций, включая операции, называемые встречей и объединением , связанные законом поглощения . ^[3]

• Полная решетка : решетка, в которой существуют произвольные встречи и соединения .
• Ограниченная решетка : решетка с наибольшим и наименьшим элементами.
• Дополненная решетка : ограниченная решетка с унарной операцией дополнения, обозначается постфиксом ^⊥ . Соединение элемента с его дополнением является наибольшим элементом, а соединение двух элементов - наименьшим элементом.
• Модульная решетка : решетка, элементы которой удовлетворяют дополнительному модульному тождеству .
• Распределительная решетка : решетка, в которой каждый из встречных и соединенных распределяется по другому. Дистрибутивные решетки модульны, но обратное неверно.
• Булева алгебра : дополненная дистрибутивная решетка. Либо встреча, либо присоединение могут быть определены с точки зрения другого и дополнения. Можно показать, что это эквивалентно кольцевой структуре с тем же названием выше.
• Алгебра Гейтинга : ограниченная дистрибутивная решетка с добавленной бинарной операцией, относительным псевдодополнением , обозначаемой infix → и управляемой аксиомами  x  →  x = 1,  x  ( x  →  y ) = x y ,  y  ( x  →  y ) = y ,  x  → ( y z ) = ( x  →  y ) ( x  →  z ).

Арифметика : две бинарные операции , сложение и умножение. S - бесконечное множество . Арифметика - это точечные унарные системы, унарная операция которых является инъективным преемником , и с выделенным элементом 0.

• Арифметика Робинсона . Сложение и умножение рекурсивно определяются с помощью преемника. 0 - это единичный элемент для сложения и аннулирует умножение. Арифметика Робинсона указана здесь, хотя она и является разнообразной из-за ее близости к арифметике Пеано.
• Арифметика Пеано . Робинсон арифметика с аксиомой схемы по индукции . Большинство аксиом колец и полей, имеющих отношение к свойствам сложения и умножения, являются теоремами арифметики Пеано или ее собственными расширениями.

Два набора с операциями [ править ]

Модульные структуры: составные системы, включающие два набора и использующие как минимум две бинарные операции.

• Группа с операторами : группа G с множеством Ω и бинарной операцией Ω ×  G → G, удовлетворяющей некоторым аксиомам.
• Модуль : абелева группа М и кольцо R , действующее в качестве операторов на М . Члены R иногда называют скалярами , а бинарная операция скалярного умножения - это функция R  ×  M → M , которая удовлетворяет нескольким аксиомам. С учетом кольцевых операций эти системы имеют не менее трех операций.
• Векторное пространство : модуль, в котором кольцо R является телом или полем .
• Градуированное векторное пространство : векторное пространство с разложением прямой суммы, разбивающее пространство на "оценки".
• Квадратичные пространство : векторное пространство V над полем F с квадратичной формой на V со значениями в F .

Структуры, подобные алгебре : составная система, определенная над двумя наборами, кольцом R и R -модулем M, снабженным операцией, называемой умножением. Это можно рассматривать как систему с пятью бинарными операциями: две операции на R , два на М и одинучастием как R и M .

• Алгебра над кольцом (также R-алгебра ): модуль над коммутативным кольцом R , который также несет операцию умножения, совместимую со структурой модуля. Это включает в себя дистрибутивности относительно сложения и линейности относительно умножения на элементы из R . Особенно хорошо развита теория алгебры над полем .
• Ассоциативная алгебра : алгебра над кольцом такая, что умножение ассоциативно .
• Неассоциативная алгебра : модуль над коммутативным кольцом, снабженный операцией умножения колец, которая не обязательно ассоциативна. Часто ассоциативность заменяется другой идентичностью, например чередованием , тождеством Якоби или тождеством Джордана .
• Коалгебра : векторное пространство с «коумножением», определенным вдвойне по отношению к ассоциативным алгебрам.
• Алгебра Ли : особый тип неассоциативной алгебры, произведение которой удовлетворяет тождеству Якоби .
• Коалгебра Ли : векторное пространство с "коумножением", определенным двойственно по отношению к алгебрам Ли.
• Градуированная алгебра : градуированное векторное пространство со структурой алгебры, совместимой с градуировкой. Идея состоит в том, что если известны степени двух элементов a и b , то известна степень ab , и поэтому при разложении определяется местонахождение продукта ab .
• Внутреннее пространство продукта : F векторное пространство V с определенной билинейной формой V × V → F .

Четыре или более двоичных операций:

• Биалгебра : ассоциативная алгебра с согласованной структурой коалгебры.
• Биалгебра Ли : алгебра Ли с совместимой структурой биалгебры.
• Алгебра Хопфа : биалгебра с аксиомой связности (антипод).
• Алгебра Клиффорда : градуированная ассоциативная алгебра, снабженная внешним продуктом, из которого может быть получено несколько возможных внутренних продуктов. Внешние алгебры и геометрические алгебры являются частными случаями этой конструкции.

Гибридные конструкции [ править ]

Алгебраические структуры также могут сосуществовать с дополнительной структурой неалгебраической природы, такой как частичный порядок или топология . Добавленная структура должна быть в некотором смысле совместима с алгебраической структурой.

• Топологическая группа : группа с топологией, совместимой с групповой операцией.
• Группа Ли : топологическая группа со структурой согласованного гладкого многообразия .
• Упорядоченные группы , упорядоченные кольца и упорядоченные поля : каждый тип структуры с совместимым частичным порядком .
• Архимедова группа : линейно упорядоченная группа, для которой выполняется свойство Архимеда .
• Топологическое векторное пространство : векторное пространство, M имеет совместимую топологию.
• Нормированное векторное пространство : векторное пространство с согласованной нормой . Если такое пространство полно (как метрическое пространство), то оно называется банаховым пространством .
• Гильбертово пространство : пространство внутреннего продукта над действительными или комплексными числами, внутреннее произведение которого приводит к структуре банахова пространства.
• Вершинная операторная алгебра
• Алгебра фон Неймана : * -алгебра операторов в гильбертовом пространстве, снабженная слабой операторной топологией .

Универсальная алгебра [ править ]

Алгебраические структуры определяются через различные конфигурации аксиом . Универсальная алгебра абстрактно изучает такие объекты. Одна из основных дихотомий - между структурами, которые аксиоматизируются полностью идентичностями, и структурами, которые таковыми не являются. Если все аксиомы , определяющие класс алгебр тождество, то этот класс является разнообразием (не следует путать с алгебраическими многообразиями в алгебраической геометрии ).

Идентичности - это уравнения, сформулированные с использованием только тех операций, которые позволяет структура, и переменных, которые неявно универсально количественно определены в соответствующей вселенной . Тождества не содержат связок , экзистенциально количественные переменные , или отношений любого рода , отличные от разрешенных операций. Изучение многообразий - важная часть универсальной алгебры . Алгебраическая структура в разнообразии может пониматься как фактор-алгебра терминологической алгебры (также называемая «абсолютно свободной алгеброй »), разделенная отношениями эквивалентности, порожденными набором тождеств. Итак, набор функций с заданными сигнатурамипорождает свободную алгебру, термин алгебры T . Учитывая набор эквациональных идентичностей (аксиом), можно считать их симметричное, транзитивное замыкание E . Фактор-алгебра T / E тогда является алгебраической структурой или многообразием. Так, например, группы имеют сигнатуру, содержащую два оператора: оператор умножения m , принимающий два аргумента, и обратный оператор i , принимающий один аргумент, и единичный элемент e , константу, которую можно рассматривать как оператор, принимающий ноль. аргументы. Для (счетного) набора переменных x , y , zи т. д. термин «алгебра» - это совокупность всех возможных терминов, включающих m , i , e и переменные; так, например, m (i (x), m (x, m (y, e))) будет элементом термина алгебра. Одной из аксиом, определяющих группу, является тождество m (x, i (x)) = e ; другой - m (x, e) = x . Аксиомы можно представить в виде деревьев . Эти уравнения индуцируют классы эквивалентности на свободной алгебре; фактор-алгебра тогда имеет алгебраическую структуру группы.

Некоторые структуры не образуют разновидностей, потому что:

1. Необходимо, чтобы 0 ≠ 1, 0 было аддитивным тождественным элементом, а 1 - мультипликативным тождественным элементом, но это не тождество;
2. Структуры , такие как поля имеют некоторые аксиомы , которые держат только для ненулевых членов S . Чтобы алгебраическая структура была разнообразной, ее операции должны быть определены для всех членов S ; частичных операций быть не может.

Структуры, аксиомы которых неизбежно включают неединичности, являются одними из самых важных в математике, например поля и тела . Структуры с неидентичными типами проблем не представляют. Например, прямое произведение двух полей не является полем, потому что , но поля не имеют делителей нуля .${\ Displaystyle (1,0) \ cdot (0,1) = (0,0)}$

Теория категорий [ править ]

Теория категорий - еще один инструмент для изучения алгебраических структур (см., Например, Mac Lane 1998). Категория - это набор объектов со связанными морфизмами. Каждая алгебраическая структура имеет собственное понятие гомоморфизма , а именно любую функцию, совместимую с операцией (операциями), определяющей структуру. Таким образом, каждая алгебраическая структура порождает категорию . Например, в категории групп все группы являются объектами, а все гомоморфизмы групп - морфизмами. Эту конкретную категорию можно рассматривать как категорию множеств.с добавленной теоретико-категориальной структурой. Точно так же категория топологических групп (морфизмы которых являются гомоморфизмами непрерывных групп) является категорией топологических пространств с дополнительной структурой. Стирающий функтор между категориями алгебраических структур «забывает» часть структуры.

В теории категорий существуют различные концепции, которые пытаются уловить алгебраический характер контекста, например

• алгебраическая категория
• существенно алгебраическая категория
• презентабельная категория
• местная презентабельная категория
• монадические функторы и категории
• универсальная собственность .

Различные значения слова «структура» [ править ]

При небольшом злоупотреблении обозначениями слово «структура» может также относиться только к операциям со структурой, а не к самому основному набору. Например, предложение «Мы определили кольцевую структуру на множестве » означает, что мы определили кольцевые операции на множестве . В качестве другого примера группу можно рассматривать как набор , оснащенный алгебраической структурой, а именно операцией .${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle (\ mathbb {Z}, +)}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle +}$

См. Также [ править ]

• Бесплатный объект
• Список алгебраических структур
• Математическая структура
• Наброски алгебраических структур
• Подпись (логика)
• Структура (математическая логика)

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Мак Лейн, Сондерс ; Биркофф, Гаррет (1999), Алгебра (2-е изд.), AMS Chelsea, ISBN 978-0-8218-1646-2
• Мишель, Энтони Н .; Хергет, Чарльз Дж. (1993), Прикладная алгебра и функциональный анализ , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-67598-5
• Burris, Stanley N .; Санкаппанавар, HP (1981), курс универсальной алгебры , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-90578-3

Теория категорий

• Mac Lane, Saunders (1998), Категории для рабочего математика (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98403-2
• Тейлор, Пол (1999), Практические основы математики , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-63107-5

Внешние ссылки [ править ]

• Структуры алгебры Джипсена. Включает в себя множество структур, не упомянутых здесь.
• Страница Mathworld по абстрактной алгебре.
• Стэнфорд энциклопедия философии : Алгебра по Vaughan Pratt .