Полугруппа

Ассоциативное свойство конкатенации строк.

Алгебраические структуры между магмами и группами : полугруппа - это магма с ассоциативностью . Моноид является полугруппа с единицей .

В математике полугруппа - это алгебраическая структура, состоящая из множества вместе с ассоциативной бинарной операцией .

Бинарная операция полугруппы чаще всего обозначается мультипликативно : x · y , или просто xy , обозначает результат применения полугрупповой операции к упорядоченной паре ( x , y ) . Ассоциативность формально выражается следующим образом: ( x · y ) · z = x · ( y · z ) для всех x , y и z в полугруппе.

Полугруппы можно рассматривать как частный случай магм , где операция является ассоциативной, или как обобщение групп , не требующее наличия элемента идентичности или инверсий. ^{[примечание 1]} Как и в случае групп или магм, операция полугруппы не обязательно должна быть коммутативной , поэтому x · y не обязательно равно y · x ; Хорошо известным примером ассоциативной, но некоммутативной операции является умножение матриц . Если операция полугруппы коммутативна, то полугруппа называется коммутативной полугруппой или (реже, чем ваналогичный случай групп ) ее можно назвать абелевой полугруппой .

Моноид представляет собой алгебраическую структуру промежуточного между группами и полугруппами, и является полугруппа , имеющей единичный элемент , таким образом , подчиняться все , кроме одной из аксиом группы; наличие обратных точек от моноида не требуется. Естественным примером являются строки с конкатенацией в качестве двоичной операции и пустой строкой в ​​качестве элемента идентификации. Ограничение непустыми строками дает пример полугруппы, которая не является моноидом. Положительные целые числа с добавлением образуют коммутативную полугруппу, которая не является моноидом, тогда как неотрицательные целые числаобразуют моноид. Полугруппу без элемента идентичности можно легко превратить в моноид, просто добавив элемент идентичности. Следовательно, моноиды изучаются в теории полугрупп, а не в теории групп. Полугруппы не следует путать с квазигруппами , которые являются обобщением групп в другом направлении; операция в квазигруппе не обязательно должна быть ассоциативной, но квазигруппы сохраняют от групп понятие деления . Деление на полугруппы (или на моноиды) вообще невозможно.

Формальное изучение полугрупп началось в начале 20 века. Ранние результаты включают теорему Кэли для полугрупп, реализующих любую полугруппу как полугруппу преобразования , в которой произвольные функции заменяют роль биекций из теории групп. Глубокий результат в классификации конечных полугрупп - теория Крона – Родса , аналогичная разложению Жордана – Гельдера для конечных групп. Некоторые другие методы изучения полугрупп, например отношения Грина , ни на что не похожи в теории групп.

Теория конечных полугрупп имеет особое значение в теоретической информатике с 1950-х годов из-за естественной связи между конечными полугруппами и конечными автоматами через синтаксический моноид . В теории вероятностей полугруппы связаны с марковскими процессами . ^[1] В других областях прикладной математики полугруппы являются фундаментальными моделями линейных инвариантных во времени систем . В уравнениях с частными производными полугруппа связана с любым уравнением, пространственная эволюция которого не зависит от времени.

Существует множество специальных классов полугрупп , полугрупп с дополнительными свойствами, которые появляются в конкретных приложениях. Некоторые из этих классов даже ближе к группам, поскольку демонстрируют некоторые дополнительные, но не все свойства группы. Из них отметим: регулярные полугруппы , ортодоксальные полугруппы , полугруппы с инволюцией , инверсные полугруппы и полугруппы с сокращением . Есть также интересные классы полугрупп, не содержащих никаких групп, кроме тривиальной ; примерами последнего типа являются связки и их коммутативный подкласс - полурешетки , которые также являютсяупорядоченные алгебраические структуры .

Определение [ править ]

Полугруппа - это набор вместе с бинарной операцией " " (то есть функцией ), который удовлетворяет ассоциативному свойству :${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ cdot}$ ${\ displaystyle \ cdot: S \ times S \ rightarrow S}$

Для всех , то уравнение имеет место.${\ displaystyle a, b, c \ in S}$${\ Displaystyle (а \ cdot b) \ cdot c = a \ cdot (b \ cdot c)}$

Если говорить более кратко, полугруппа - это ассоциативная магма .

Примеры полугрупп [ править ]

• Пустая полугруппа : пустое множество образует полугруппу с пустой функцией в качестве бинарной операции.
• Полугруппа с одним элементом : по существу существует только один (а именно, только один с точностью до изоморфизма ), одноэлемент { a } с операцией a · a = a .
• Полугруппа с двумя элементами : есть пять, которые принципиально разные.
• Моноид «триггер»: полугруппа с тремя элементами, представляющими три операции на переключателе - установка, сброс и ничего не делать.
• Множество натуральных чисел с добавлением. (С включенным 0 это становится моноидом .)
• Набор целых чисел с минимумом или максимумом. (С учетом положительной / отрицательной бесконечности это становится моноидом.)
• Квадратные неотрицательные матрицы заданного размера с матричным умножением.
• Любой идеал из кольца с умножением кольца.
• Множество всех конечных строк над фиксированным алфавитом Σ с конкатенацией строк как полугрупповой операцией - так называемая « свободная полугруппа над Σ». С включенной пустой строкой эта полугруппа становится свободным моноидом над Σ.
• Распределение вероятностей Р вместе со всеми сверточными степенями Р, с сверткой в качестве операции. Это называется сверточной полугруппой.
• Полугруппы преобразований и моноиды .
• Множество непрерывных функций от топологического пространства к себе с композицией функций образует моноид с тождественной функцией, действующей как тождество. В более общем смысле, эндоморфизмы любого объекта категории образуют моноид при композиции.
• Произведение Титса граней расположения гиперплоскостей .

Основные понятия [ править ]

Идентичность и ноль [ править ]

Левой единицей полугруппы (или в более общем случае , магма ) представляет собой элемент , что для всех в , . Аналогично, правое тождество является элементом таким образом, что для всех ин , . И левая, и правая идентичности называются односторонними идентичностями . Полугруппа может иметь одну или несколько левых идентичностей, но не иметь правую идентичность, и наоборот.${\ displaystyle S}$${\ displaystyle e}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle ex = x}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle xf = x}$

Двусторонняя идентичность (или просто идентичность ) является элементом , который является одновременно левым и правым идентичность. Полугруппы с двусторонней идентичностью называются моноидами . Полугруппа может иметь не более одной двусторонней идентичности. Если полугруппа имеет двустороннюю идентичность, то двусторонняя идентичность является единственной односторонней идентичностью в полугруппе. Если полугруппа имеет как левую, так и правую идентичность, то она имеет двустороннюю идентичность (которая, следовательно, является уникальной односторонней идентичностью).

Полугруппа без идентичности может быть вложена в моноид, образованный присоединением элемента к и определением для всех . ^{[2] [3]} Обозначение означает моноид, полученный присоединением тождества, если это необходимо ( для моноида). ^[3]${\ displaystyle S}$${\ Displaystyle е \ notin S}$${\ displaystyle S}$${\ Displaystyle е \ cdot s = s \ cdot e = s}$${\ displaystyle s \ in S \ cup \ {e \}}$${\ Displaystyle S ^ {1}}$${\ displaystyle S}$${\ Displaystyle S ^ {1} = S}$

Точно так же каждая магма имеет не более одного поглощающего элемента , который в теории полугрупп называется нулем . Аналогично приведенной выше конструкции для каждой полугруппы можно определить вложенную полугруппу с 0 .${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S ^ {0}}$${\ displaystyle S}$

Подполугруппы и идеалы [ править ]

Полугрупповая операция индуцирует операцию над набором своих подмножеств: для данных подмножеств A и B полугруппы S их произведение A · B , обычно обозначаемое AB , является множеством { ab | a в A и b в B }. (Это понятие определяется так же, как и для групп .) В терминах этой операции подмножество A называется

• подполугруппой , если АА является подмножеством А ,
• правый идеал , если AS является подмножеством А , и
• левый идеал , если SA является подмножеством A .

Если A является одновременно левым идеалом и правым идеалом, то он называется идеалом (или двусторонним идеалом ).

Если S является полугруппой, то пересечение любого набора подполугрупп S также подполугруппа S . Таким образом, подполугруппы группы S образуют полную решетку .

Примером полугруппы без минимального идеала может служить сложение натуральных чисел. Минимальный идеал коммутативной полугруппы, если он существует, - это группа.

Отношения Грина , набор из пяти отношений эквивалентности, которые характеризуют элементы с точки зрения основных идеалов, которые они порождают, являются важными инструментами для анализа идеалов полугруппы и связанных понятий структуры.

Подмножество, обладающее тем свойством, что каждый элемент коммутирует с любым другим элементом полугруппы, называется центром полугруппы. ^[4] Центр полугруппы на самом деле является подполугруппой. ^[5]

Гомоморфизмы и сравнения [ править ]

A полугруппового гомоморфизм является функцией , которая сохраняет Полугрупповые структуры. Функция f : S → T между двумя полугруппами является гомоморфизмом, если уравнение

f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) .

выполняется для всех элементов a , b в S , т.е. результат будет тем же самым при выполнении операции полугруппы после или до применения отображения f .

Гомоморфизм полугрупп между моноидами сохраняет тождество, если он является гомоморфизмом моноидов . Но есть гомоморфизмы полугрупп, которые не являются гомоморфизмами моноидов, например каноническое вложение полугруппы без единицы в . Условия, характеризующие гомоморфизмы моноидов, обсуждаются далее. Позвольте быть гомоморфизм полугруппы. Образ также является полугруппой. Если является моноидом с элементом идентичности , то является элементом идентичности в образе . Если также является моноидом с единичным элементом и принадлежит образу , то , т.е. является гомоморфизмом моноида. В частности, если это сюръективны${\ displaystyle S}$${\ Displaystyle S ^ {1}}$${\ displaystyle f: S_ {0} \ to S_ {1}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle S_ {0}}$${\ displaystyle e_ {0}}$${\ displaystyle f (е_ {0})}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle S_ {1}}$${\displaystyle e_{1}}$${\displaystyle e_{1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(e_{0})=e_{1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$, то это гомоморфизм моноида.

Две полугруппы S и Т называются изоморфными , если существует взаимно однозначное соответствие F  : S ↔ Т со свойством , что для любых элементов , б в S , F ( AB ) = F ( ) е ( б ) . Такое же строение имеют изоморфные полугруппы.

A полугруппового конгруэнтность является отношением эквивалентности , который совместит с операцией полугрупповой. То есть, подмножество , что является отношением эквивалентности и и предполагает для каждого в S . Как и любое отношение эквивалентности, полугрупповая конгруэнция индуцирует классы конгруэнции${\displaystyle \sim }$${\displaystyle \sim \;\subseteq S\times S}$${\displaystyle x\sim y\,}$${\displaystyle u\sim v\,}$${\displaystyle xu\sim yv\,}$${\displaystyle x,y,u,v}$${\displaystyle \sim }$

${\displaystyle [a]_{\sim }=\{x\in S\mid x\sim a\}}$

а полугрупповая операция индуцирует бинарную операцию над классами конгруэнции:${\displaystyle \circ }$

${\displaystyle [u]_{\sim }\circ [v]_{\sim }=[uv]_{\sim }}$

Поскольку является конгруэнцией, множество всех классов конгруэнции образует полугруппу с , называемую фактор-полугруппой или фактор-полугруппой , и обозначается . Отображение является гомоморфизмом полугрупп, называемым фактор-отображением , канонической сюръекцией или проекцией ; если S - моноид, то факторполугруппа - это моноид с единицей . Наоборот, ядро любого гомоморфизма полугрупп является конгруэнцией полугрупп. Эти результаты являются не чем иным, как конкретизацией первой теоремы об изоморфизме универсальной алгебры.${\displaystyle \sim }$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle \circ }$${\displaystyle S/\!\!\sim }$${\displaystyle x\mapsto [x]_{\sim }}$${\displaystyle [1]_{\sim }}$. Классы конгруэнтности и факторные моноиды являются объектами изучения в системах переписывания строк .

Ядерная конгруэнция на S является один , который является ядром эндоморфизма S . ^[6]

Полугруппа S удовлетворяет условию максимума на конгруэнции, если любое семейство конгруэнций на S , упорядоченное по включению, имеет максимальный элемент. По лемме Цорна , это равносильно тому , что условие восходящей цепи имеет место: нет бесконечной строго возрастающая цепь конгруэнции на S . ^[7]

Каждый идеал я полугруппа индуцирует фактор полугруппу, то фактор полугруппу Rees , через конгруэнцию р , определяемый х ρ у , если либо х = у , или оба х и у находятся в I .

Коэффициенты и деления [ править ]

Следующие понятия ^[8] вводят идею о том, что одна полугруппа содержится в другой.

Полугруппы Т является фактором полугруппы S , если есть сюръективен полугруппа морфизм из S в T . Например, это частное от , используя морфизм, состоящий в взятии остатка по модулю 2 от целого числа.${\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,+)}$${\displaystyle (\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} ,+)}$

Полугруппа Т делит полугруппа S , отмечено , если Т представляет собой частное от деления подполугруппой S . В частности, подполугруппы S делит T , в то время как это не всегда так , что есть фактор S .${\displaystyle T\preceq S}$

Оба эти отношения транзитивны.

Состав полугрупп [ править ]

Для любого подмножества A из S есть наименьшее подполугруппой Т из S , который содержит А , и мы говорим , что генерирует T . Один элемент x из S порождает подполугруппу { x ⁿ | n ∈ Z ⁺ }. Если это конечно, то говорят , что x имеет конечный порядок , в противном случае он имеет бесконечный порядок . Полугруппа называется периодической, если все ее элементы имеют конечный порядок. Полугруппа, порожденная одним элементом, называется моногенный (или циклический ). Если моногенная полугруппа бесконечна, то она изоморфна полугруппе натуральных чисел с операцией сложения. Если он конечный и непустой, то он должен содержать хотя бы один идемпотент . Отсюда следует, что каждая непустая периодическая полугруппа имеет хотя бы один идемпотент.

Подгруппа, которая также является группой, называется подгруппой . Между подгруппами полугруппы и ее идемпотентами существует тесная связь. Каждая подгруппа содержит ровно один идемпотент, а именно единичный элемент подгруппы. Для каждого идемпотента e полугруппы существует единственная максимальная подгруппа, содержащая e . Таким образом возникает каждая максимальная подгруппа, поэтому между идемпотентами и максимальными подгруппами существует взаимно однозначное соответствие. Здесь термин максимальная подгруппа отличается от его стандартного использования в теории групп.

Когда порядок конечен, можно сказать больше. Например, каждая непустая конечная полугруппа периодична, имеет минимальный идеал и хотя бы один идемпотент. Количество конечных полугрупп данного размера (больше 1) (очевидно) больше, чем количество групп того же размера. Например, из шестнадцати возможных «таблиц умножения» для набора из двух элементов {a, b} восемь образуют полугруппы ^{[примечание 2],} тогда как только четыре из них являются моноидами и только две образуют группы. Подробнее о структуре конечных полугрупп см. Теория Крона – Родса .

Специальные классы полугрупп [ править ]

• Моноид является полугруппа с единицей .
• Группа является полугруппой с единицей и обратным элементом .
• Подполугруппа - это подмножество полугруппы, замкнутое относительно операции полугруппы.
• Полугруппа одно , имеющее свойство отмены : ^[9] · Ь = · с означает Ь = с и аналогично для Ь · = C · .
• Группа является полугруппа, операция идемпотентная .
• Полурешетка является полугруппа, операция идемпотентная и коммутативное .
• 0-простые полугруппы.
• Полугруппы преобразований : любая конечная полугруппа S может быть представлена ​​преобразованиями множества (состояний) Q не более | S | + 1 состояние. Каждый элемент х из S , то отображает Q в себя , х : Q → Q и последовательность х определяется д ( х ) = ( дй ) у каждого ц в Q . Последовательность явно является ассоциативной операцией, здесь эквивалентной композиции функций.. Это представление является базовым для любого автомата или конечного автомата (FSM).
• Бициклический полугруппа является фактически моноидом, который может быть описан как свободная полугруппа с двумя образующими р и д , в соответствии с соотношением рдом = 1 .
• C 0 -полугруппы .
• Регулярные полугруппы . Каждый элемент x имеет по крайней мере один обратный y, удовлетворяющий xyx = x и yxy = y ; элементы x и y иногда называют «взаимно обратными».
• Инверсные полугруппы - это регулярные полугруппы, в которых каждый элемент имеет ровно одну инверсную. С другой стороны, регулярная полугруппа обратна тогда и только тогда, когда любые два идемпотента коммутируют.
• Аффинная полугруппа: полугруппа, изоморфная конечно порожденной подполугруппе в Z ^d . Эти полугруппы имеют приложения к коммутативной алгебре .

Структурная теорема для коммутативных полугрупп [ править ]

Существует структурная теорема коммутативных полугрупп в терминах полурешеток . ^[10] Полурешетка (или, точнее, полурешетка) - это частично упорядоченное множество, в котором каждая пара элементов имеет точную нижнюю границу , обозначенную . Операция превращает в полугруппу, удовлетворяющую дополнительному закону идемпотентности .${\displaystyle (L,\leq )}$${\displaystyle a,b\in L}$${\displaystyle a\wedge b}$${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle L}$${\displaystyle a\wedge a=a}$

Если дан гомоморфизм произвольной полугруппы в полурешетку, каждый прообраз является (возможно, пустой) полугруппой. Кроме того, становится градуированной по , в том смысле , что${\displaystyle f:S\to L}$${\displaystyle S_{a}=f^{-1}\{a\}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle L}$

${\displaystyle S_{a}S_{b}\subseteq S_{a\wedge b}}$

Если это на, полурешетка изоморфна фактор из по отношению эквивалентности таким образом, что тогда и только тогда . Это отношение эквивалентности является полугрупповой конгруэнцией, как определено выше.${\displaystyle f}$${\displaystyle L}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle x\sim y}$${\displaystyle f(x)=f(y)}$

Всякий раз, когда мы берем фактор коммутативной полугруппы по конгруэнции, мы получаем другую коммутативную полугруппу. Структурная теорема гласит, что для любой коммутативной полугруппы существует лучшая конгруэнция, такая, что фактор по этому отношению эквивалентности является полурешеткой. Обозначив эту полурешетку через , мы получим гомоморфизм из на . Как уже упоминалось, эта полурешетка становится градуированной.${\displaystyle S}$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle S}$${\displaystyle L}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$${\displaystyle L}$${\displaystyle S}$

Кроме того, все компоненты являются архимедовыми полугруппами . Архимедова полугруппа - это полугруппа, в которой для любой пары элементов существует элемент и такой, что .${\displaystyle S_{a}}$${\displaystyle x,y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle x^{n}=yz}$

Архимедово свойство непосредственно следует из упорядочения в полурешетке , поскольку при таком упорядочивании мы имеем тогда и только тогда, когда для некоторых и .${\displaystyle L}$${\displaystyle f(x)\leq f(y)}$${\displaystyle x^{n}=yz}$${\displaystyle z}$${\displaystyle n>0}$

Группа дробей [ править ]

Группа фракций или завершения группы полугруппы S является группа G = G ( S ) порождается элементами S , как генераторы и все уравнениями х = г , которые справедливы в S качестве отношений . ^[11] Существует очевидный гомоморфизм полугрупп j  : S → G ( S ), который переводит каждый элемент S в соответствующий генератор. Это универсальное свойстводля морфизмов из S в группу: ^{[12] для} любой группы H и любого гомоморфизма полугрупп k  : S → H существует единственный гомоморфизм групп f  : G → H с k = fj . Мы можем думать о G как «наиболее общей» группа , которая содержит гомоморфный образ S .

Важный вопрос - охарактеризовать те полугруппы, для которых это отображение является вложением. Это не всегда так: например, возьмем S в качестве полугруппы подмножеств некоторого множества X с теоретико-множественным пересечением в качестве бинарной операции (это пример полурешетки). Так как А . A = A выполняется для всех элементов S , это должно быть верно и для всех образующих G ( S ): следовательно, это тривиальная группа . Очевидно, что для встраиваемости необходимо, чтобы S обладал свойством отмены . Когда Sкоммутативно, этого условия также достаточно ^[13], и группа Гротендика полугруппы дает конструкцию группы дробей. Проблема некоммутативных полугрупп восходит к первой содержательной статье о полугруппах. ^{[14] [15]} Анатолий Мальцев дал необходимые и достаточные условия вложимости в 1937 г. ^[16]

Полугрупповые методы в уравнениях с частными производными [ править ]

Теория полугрупп может быть использована для изучения некоторых задач в области дифференциальных уравнений в частных производных . Грубо говоря, полугрупповой подход состоит в том, чтобы рассматривать зависящее от времени уравнение в частных производных как обыкновенное дифференциальное уравнение на функциональном пространстве. Например, рассмотрим следующую начальную / краевую задачу для уравнения теплопроводности на пространственном интервале (0, 1) ⊂ R и временах t ≥ 0 :

${\displaystyle {\begin{cases}\partial _{t}u(t,x)=\partial _{x}^{2}u(t,x),&x\in (0,1),t>0;\\u(t,x)=0,&x\in \{0,1\},t>0;\\u(t,x)=u_{0}(x),&x\in (0,1),t=0.\end{cases}}}$

Пусть X = L ² ((0, 1) R ) - пространство L p интегрируемых с квадратом вещественных функций с областью определения интервала (0, 1), и пусть A - оператор второй производной с областью определения

${\displaystyle D(A)={\big \{}u\in H^{2}((0,1);\mathbf {R} ){\big |}u(0)=u(1)=0{\big \}},}$

где H ² - пространство Соболева . Тогда указанная выше начальная / краевая задача может быть интерпретирована как начальная задача для обыкновенного дифференциального уравнения в пространстве X :

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {u}}(t)=Au(t);\\u(0)=u_{0}.\end{cases}}}$

На эвристическом уровне решение этой проблемы «должно» быть u ( t ) = exp ( tA ) u ₀ . Однако, для строгого лечения, смысл должен быть дан экспонентом от TĀ . Как функция от t , exp ( tA ) представляет собой полугруппу операторов из X в себя, переводящую начальное состояние u ₀ в момент времени t = 0 в состояние u ( t ) = exp ( tA ) u ₀ в момент времени t . Оператор Aназывается инфинитезимальным генератором полугруппы.

История [ править ]

Изучение полугрупп отставало от изучения других алгебраических структур с более сложными аксиомами, такими как группы или кольца . Ряд источников ^{[17] [18]} приписывают первое использование термина (на французском языке) Ж.-А. де Сегье в Élements de la Théorie des Groupes Abstraits (Элементы теории абстрактных групп) в 1904 году. Этот термин используется в английском языке в 1908 году в Теории групп конечного порядка Гарольда Хинтона .

Антон Сушкевич получил первые нетривиальные результаты о полугруппах. Его статья 1928 года «Über die endlichen Gruppen One das Gesetz der eindeutigen Umkehrbarkeit» («О конечных группах без правила единственной обратимости») определила структуру конечных простых полугрупп и показала, что минимальный идеал (или отношения Грина J-класс) конечная полугруппа проста. ^[18] С этого момента основы теории полугрупп были заложены Дэвидом Рисом , Джеймсом Александром Грином , Евгением Сергеевичем Ляпиным , Альфредом Х. Клиффордом и Гордоном Престоном.. Последние два опубликовали двухтомную монографию по теории полугрупп в 1961 и 1967 годах соответственно. В 1970 году новое периодическое издание под названием Semigroup Forum (в настоящее время редактируется Springer Verlag ) стало одним из немногих математических журналов, полностью посвященных теории полугрупп.

Теория представлений полугрупп была разработана в 1963 году Борисом Шейном с использованием бинарных отношений на множестве A и композиции отношений для полугруппового произведения. ^[19] В алгебраической конференции в 1972 году Шайн обследовали литературу по B _A , полугруппы отношений на A . ^[20] В 1997 году Шейн и Ральф Маккензи доказали, что каждая полугруппа изоморфна транзитивной полугруппе бинарных отношений. ^[21]

В последние годы исследователи в этой области стали более специализированными: появляются специализированные монографии по важным классам полугрупп, таких как инверсные полугруппы , а также монографии, посвященные приложениям в теории алгебраических автоматов , особенно для конечных автоматов, а также в функциональном анализе .

Обобщения [ править ]

Если ассоциативность аксиома полугруппы отбрасывается, результат является магмой , которая является не более чем множества М , снабженным бинарной операцией , которая закрыт M × M → M .

Обобщая в другом направлении, n -арная полугруппа (также n -полугруппа , полиадическая полугруппа или мультиарная полугруппа ) является обобщением полугруппы на множество G с n -арной операцией вместо бинарной. ^[22] Ассоциативный закон обобщается следующим образом: троичная ассоциативность ( abc ) de = a ( bcd ) e = ab ( cde ) , то есть строка abcde с любыми тремя соседними элементами в квадратных скобках.N -арная ассоциативность - это строка длины n + ( n - 1 ) с любыми n смежными элементами в квадратных скобках. 2-арная полугруппа - это просто полугруппа. Дальнейшие аксиомы приводят к n -арной группе .

Третье обобщение - это полугруппоид , в котором снято требование, чтобы бинарное отношение было полным. Поскольку категории аналогичным образом обобщают моноиды, полугруппоид ведет себя во многом как категория, но не имеет идентичностей.

Бесконечные обобщения коммутативных полугрупп иногда рассматривались разными авторами. ^[23]

См. Также [ править ]

• Поглощающий элемент
• Бордовый набор
• Пустая полугруппа
• Обобщенная обратная
• Элемент идентичности
• Тест ассоциативности света
• Квантовая динамическая полугруппа
• Кольцо полугруппы
• Слабая обратная

Примечания [ править ]

Цитаты [ править ]

Ссылки [ править ]