Отношения Грина

В математике , отношения Грина пять отношения эквивалентности , которые характеризуют элементы полугруппы в терминах главных идеалов , которые они производят. Отношения названы в честь Джеймса Александра Грина , который представил их в статье 1951 года. Джон Макинтош Хауи , известный теоретик полугруппы, описал эту работу как «настолько всепроникающую, что при встрече с новой полугруппой возникает почти первый вопрос, который задают. «Каковы отношения зеленых?» »(Howie 2002). Отношения полезны для понимания природы делимости в полугруппе; они также действительны для групп, но в этом случае ничего полезного нам не скажите, потому что группы всегда имеют делимость.

Вместо того, чтобы напрямую работать с полугруппой S , удобно определить отношения Грина над моноидом S ¹ . ( S ¹ - это « S с тождеством, присоединенным, если необходимо»; если S еще не является моноидом, новый элемент присоединяется и определяется как тождество.) Это гарантирует, что главные идеалы, порожденные некоторым элементом полугруппы, действительно содержат этот элемент . Для элемента a из S подходящими идеалами являются:

• Левый главный идеал , порожденный : . Это то же самое , что есть .${\ displaystyle S ^ {1} a = \ {sa \ mid s \ in S ^ {1} \}}$${\ displaystyle \ {sa \ mid s \ in S \} \ cup \ {a \}}$${\ displaystyle Sa \ cup \ {a \}}$
• Главный правый идеал, порожденный a : или эквивалентным образом .${\ displaystyle aS ^ {1} = \ {as \ mid s \ in S ^ {1} \}}$${\displaystyle aS\cup \{a\}}$
• Главный двусторонний идеал, порожденный a : или .${\displaystyle S^{1}aS^{1}}$${\displaystyle SaS\cup aS\cup Sa\cup \{a\}}$

Отношения L, R и J [ править ]

Для элементов a и b из S отношения Грина L , R и J определяются формулами

• a L b тогда и только тогда, когда S ¹ a = S ¹ b .
• a R b тогда и только тогда, когда a S ¹ = b S ¹ .
• a J b тогда и только тогда, когда S ¹ a S ¹ = S ¹ b S ¹ .

То есть a и b L- связаны, если они порождают один и тот же левый идеал; R -связаны, если они порождают один и тот же правильный идеал; и J -связаны, если они порождают один и тот же двусторонний идеал. Это отношения эквивалентности на S , поэтому каждое из них приводит к разбиению S на классы эквивалентности. L -класс обозначается L (и аналогично для других отношений). Л -классов и R -классов может быть эквивалентным образом понимать как сильно связанных компонентов левого и правого графов Кэлииз S ¹ . ^[1] Кроме того, отношения L , R и J определяют три предпорядка ≤ _L , ≤ _R и ≤ _J , где a ≤ _J b выполняется для двух элементов a и b из S, если J -класс элемента a включен в то из b , т. е. S ¹ a S ¹ ⊆ S ¹ b S ¹ , и ≤ _Lи ≤ _R определяются аналогично. ^[2]

Зеленый использовал строчную Blackletter , и для этих отношений, и написал для в L Ь (и аналогично для R и J ). Сегодня математики, как правило, используют вместо них буквы алфавита и заменяют модульную арифметическую нотацию Грина используемым здесь инфиксным стилем. Для классов эквивалентности используются обычные буквы.${\displaystyle {\mathfrak {l}}}$${\displaystyle {\mathfrak {r}}}$${\displaystyle {\mathfrak {f}}}$${\displaystyle a\equiv b({\mathfrak {l}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

Отношения L и R двойственны друг другу слева и справа; теоремы, относящиеся к одному, можно перевести в аналогичные утверждения о другом. Например, L является правым совместим : если л б и с другим элементом из S , то ас L до н . Двойственно R является левосовместимым : если a R b , то ca R cb .

Если S коммутативна, то L , R и J совпадают.

Отношения H и D [ править ]

Остальные соотношения являются производными от L и R . Их пересечение - H :

a H b тогда и только тогда, когда a L b и a R b .

Это также отношение эквивалентности на S . Класс H _a является пересечением L _a и R _a . В более общем смысле, пересечение любого L -класса с любым R -классом является либо H -классом, либо пустым множеством.

Теорема Грина утверждает , что для любого -class H полугруппы S либо (I) или (II) и Н является подгруппой S . Важное следствие состоит в том, что класс эквивалентности H _e , где e - идемпотент , является подгруппой S (его единица - e , и все элементы имеют обратные) и действительно является самой большой подгруппой S, содержащей e . Ни один -класс не может содержать более чем один идемпотент, таким образом , является идемпотентной разделительный . В моноиде M класс H${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle H^{2}\cap H=\emptyset }$${\displaystyle H^{2}=H}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$₁ традиционно называют группой единиц . ^[3] (Помните, что единица не означает идентичность в этом контексте, т.е. в целом в H ₁ есть неединичные элементы . Терминология «единицы» исходит из теории колец .) Например, в моноиде преобразования на n элементах T _n , группа единиц - это симметрическая группа S _n .

Наконец, определено D : a D b тогда и только тогда, когда существует c в S такое, что a L c и c R b . На языке решеток , D является объединение L и R . (Соединение для отношений эквивалентности обычно труднее определить, но в этом случае оно упрощается тем фактом, что a L c и c R b для некоторого c тогда и только тогда, когда a R d и d L b для некоторых d .)

Как D является наименьшим отношением эквивалентности , содержащий как L и R , мы знаем , что Д Ь влечет а J б -SO J содержит D . В конечной полугруппе D и J такие же ^[4], как и в рациональном моноиде . ^{[5] [ требуется пояснение ]} Кроме того, они также совпадают в любой эпигруппе . ^[6]

Существует также формулировка D в терминах классов эквивалентности, полученная непосредственно из приведенного выше определения: ^[7]

a D b тогда и только тогда, когда пересечение R _a и L _b не пусто.

Следовательно, D -классы полугруппы можно рассматривать как объединения L -классов, как объединения R- классов или как объединения H -классов. Клиффорд и Престон (1961) предлагают рассматривать эту ситуацию как «ящик для яиц»: ^[8]

Каждый ряд яиц представляет R -класс, а каждый столбец - L- класс; сами яйца относятся к H- классам. Для группы есть только одно яйцо, потому что все пять отношений Грина совпадают и делают все элементы группы эквивалентными. Противоположный случай, обнаруженный, например, в бициклической полугруппе , - это когда каждый элемент находится в собственном H -классе. Ящик для яиц для этой полугруппы может содержать бесконечно много яиц, но все яйца находятся в одном ящике, потому что существует только один D -класс. (Полугруппа, все элементы которой D- связаны , называется бипростой .)

Можно показать, что внутри D -класса все H- классы имеют одинаковый размер. Например, полугруппа преобразований T ₄ содержит четыре D -класса, внутри которых H -классы имеют 1, 2, 6 и 24 элемента соответственно.

Недавние успехи в комбинаторике полугрупп использовали отношения Грина, чтобы помочь перечислить полугруппы с определенными свойствами. Типичный результат (Сато, Яма и Токидзава, 1994) показывает, что существует ровно 1843 120 128 неэквивалентных полугрупп порядка 8, в том числе 221 805 коммутативных; их работа основана на систематическом исследовании возможных классов D. (Напротив, существует только пять групп порядка 8. )

Пример [ править ]

Полугруппа полного преобразования T ₃ состоит из всех функций из множества {1, 2, 3} в себя; их 27. Напишите ( a b c ) для функции, которая отправляет 1 в a , 2 в b и 3 в c . Поскольку T ₃ содержит тождественное отображение (1 2 3), нет необходимости присоединять тождество.

Диаграмма яиц для яиц для T ₃ имеет три D- класса. Они также являются J -классами, поскольку эти отношения совпадают для конечной полугруппы.

В T ₃ две функции L- связаны тогда и только тогда, когда они имеют одно и то же изображение . Такие функции появляются в том же столбце приведенной выше таблицы. Точно так же функции f и g R- связаны тогда и только тогда, когда

f ( x ) = f ( y ) ⇔ g ( x ) = g ( y )

для x и y в {1, 2, 3}; такие функции находятся в одной строке таблицы. Следовательно, две функции D- связаны тогда и только тогда, когда их изображения имеют одинаковый размер.

Жирным шрифтом выделены идемпотенты. Любой H -класс, содержащий один из них, является (максимальной) подгруппой. В частности, третий D -класс изоморфен симметрической группе S ₃ . Есть также шесть подгрупп порядка 2 и три подгруппы порядка 1 (а также подгруппы этих подгрупп). Шесть элементов T ₃ не входят ни в одну подгруппу.

Обобщения [ править ]

Есть два основных способа обобщения алгебраической теории. Один из них - изменить его определения так, чтобы он охватывал больше или больше разных объектов; другой, более тонкий способ - найти желаемый результат теории и рассмотреть альтернативные пути к такому выводу.

Следуя первому пути, аналогичные версии соотношений Грина были определены для полуколец (Grillet 1970) и колец (Petro 2002). Некоторые, но не все свойства, связанные с отношениями в полугруппах, переносятся на эти случаи. Оставаясь в мире полугрупп, отношения Грина могут быть расширены для охвата относительных идеалов , которые представляют собой подмножества, являющиеся только идеалами по отношению к подполугруппе (Wallace 1963).

Для второго типа обобщения исследователи сконцентрировались на свойствах биекций между L- и R- классами. Если x R y , то всегда можно найти биекции между L _x и L _y, которые сохраняют R- класс. (То есть, если два элемента L -класса находятся в одном и том же R -классе, то их изображения при биекции все равно будут в одном и том же R -классе.) Двойственное утверждение для x L yтакже имеет место. Эти биекции являются правым и левым переводами, ограниченными соответствующими классами эквивалентности. Возникает вопрос: как еще могли быть такие предубеждения?

Предположим , что Λ и Ρ являются полугруппы частичных преобразований некоторой полугруппы S . При определенных условиях можно показать, что если x Ρ = y Ρ, где x ρ ₁ = y и y ρ ₂ = x , то ограничения

ρ ₁  : Λ x → Λ y

ρ ₂  : Λ y → Λ x

взаимно обратные биекции. (Обычно аргументы пишутся справа для Λ, а слева для.) Тогда отношения L и R могут быть определены следующим образом:

x L y тогда и только тогда, когда Λ x = Λ y

x R y тогда и только тогда, когда x Ρ = y Ρ

и D и H следуют как обычно. Обобщение J не является частью этой системы, так как не играет роли в желаемом свойстве.

Мы называем (Λ, Ρ) парой Грина . Есть несколько вариантов полугруппы частичных преобразований, которые дают исходные отношения. В качестве одного из примеров можно взять Λ как полугруппу всех левых переводов на S ¹ , ограниченных на S , а Ρ - как соответствующую полугруппу ограниченных правых переводов.

Эти определения даны Кларком и Каррутом (1980). Они включают работу Уоллеса, а также различные другие обобщенные определения, предложенные в середине 1970-х годов. Полные аксиомы довольно длинны, чтобы излагать их; неформально, наиболее важные требования состоят в том, чтобы и Λ, и Ρ содержали тождественное преобразование и чтобы элементы Λ коммутировали с элементами.

См. Также [ править ]

• Группа Schutzenberger

Ссылки [ править ]

• CE Clark и JH Carruth (1980) Обобщенные теории Грина , Форум полугруппы 20 (2); 95–127.
• А. Х. Клиффорд и Г. Б. Престон (1961) Алгебраическая теория полугрупп , том 1, (1967) том 2, Американское математическое общество , отношения Грина представлены в главе 2 первого тома.
• Дж. А. Грин (июль 1951 г.) «О строении полугрупп», Annals of Mathematics (вторая серия) 54 (1): 163–172.
• Грийе, Мирей П. (1970). «Отношения Грина в полукольце» . Порт. Математика . 29 : 181–195. Zbl  0227.16029 .
• Джон М. Хауи (1976) Введение в теорию полугрупп , Academic Press ISBN 0-12-356950-8 . Обновленная версия доступна как Основы теории полугрупп , Oxford University Press , 1995. ISBN 0-19-851194-9 .  
• Джон М. Хауи (2002) "Полугруппы, прошлое, настоящее и будущее", Труды Международной конференции по алгебре и ее приложениям , Университет Чулалонгкорн , Таиланд
• Лоусон, Марк В. (2004). Конечные автоматы . Чепмен и Холл / CRC. ISBN 1-58488-255-7. Zbl  1086.68074 .
• Петрак Петро (2002) отношения Грина и минимальные квазиидеалы в кольцах , Сообщения в алгебре 30 (10): 4677–4686.
• С. Сато, К. Яма и М. Токидзава (1994) "Полугруппы порядка 8", Форум полугруппы 49: 7–29.
• Gomes, GMS; Пин, JE; Сильва, JE (2002). Полугруппы, алгоритмы, автоматы и языки. Материалы семинаров , проведенных в Международном центре математики, CIM, Коимбра, Португалия, май, июнь и июль 2001 года . World Scientific . ISBN 978-981-238-099-9. Zbl  1005.00031 .