Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )
|
В математике , в частности , теории колец , А главный идеал является идеальным в кольце , которое генерируется одним элементом из умножения на каждом элементе Термина также имеет другой, аналогичный смысл в теории порядка , где оно относится к (заказ) идеален в чугуре, порожденном одним элементом, то есть набором всех элементов, меньших или равных в
В оставшейся части статьи рассматривается концепция теории колец.
Определения [ править ]
- покинул главный идеал из является подмножеством из задается для некоторого элемента
- правый главный идеал из является подмножеством задается для некоторого элемента
- двусторонний главный идеал из является подмножеством задается для некоторого элемента а именно, множество всех конечных сумм элементов вида
Хотя это определение двустороннего главного идеала может показаться более сложным, чем другие, необходимо обеспечить, чтобы идеал оставался замкнутым при сложении. [ необходима цитата ]
Если - коммутативное кольцо с единицей, то все три вышеупомянутых понятия одинаковы. В этом случае принято писать идеал, созданный как или
Примеры неглавного идеала [ править ]
Не все идеалы главны. Например, рассмотрим коммутативное кольцо всех многочленов от двух переменных и с комплексными коэффициентами. Идеал, порожденный и состоящий из всех многочленов от, которые имеют ноль в качестве постоянного члена , не является главным. Чтобы убедиться в этом, предположим, что это был генератор для Then и оба были бы делимы, на что невозможно, если не является ненулевой константой. Но ноль - единственная константа в, поэтому мы приходим к противоречию .
В кольце числа где is даже образуют неглавный идеал. Этот идеал образует правильную гексагональную решетку на комплексной плоскости. Рассмотрим и Эти числа являются элементами этого идеала с одинаковой нормой (два), но потому что единственные единицы в кольце являются, а они не являются ассоциированными.
Связанные определения [ править ]
Кольцо, в котором каждый идеал является главным, называется главным или кольцом главных идеалов . Главные идеалы (ПИД) является областью целостности , в которой каждый идеал является главным. Любой PID - это уникальный домен факторизации ; нормальное доказательство однозначной факторизации целых чисел (так называемая основная теорема арифметики ) выполняется в любом PID.
Примеры главного идеала [ править ]
Основные идеалы в имеют форму Фактически, это область главных идеалов, которую можно показать следующим образом. Предположим, где и рассмотрим сюръективные гомоморфизмы Поскольку конечно, для достаточно больших мы имеем Таким образом, что всегда конечно порождено. Поскольку идеал порождается любыми целыми числами и получается индукцией по количеству образующих, следует, что он является главным.
Однако все кольца имеют главные идеалы, а именно любой идеал, порожденный ровно одним элементом. Например, идеал является главным идеалом и главным идеалом кольца Фактически, а также главными идеалами любого кольца.
Свойства [ править ]
Любой евклидов домен является PID ; алгоритм, используемый для вычисления наибольших общих делителей, может быть использован для поиска генератора любого идеала. В более общем смысле, любые два главных идеала в коммутативном кольце имеют наибольший общий делитель в смысле идеального умножения. В областях главных идеалов это позволяет вычислить наибольшие общие делители элементов кольца с точностью до умножения на единицу ; мы определяем как любой генератор идеала
Для дедекиндовым области мы также можем спросить, учитывая неглавный идеал из того , есть некоторое расширение из таких , что идеал , порожденные является основным (говорят более свободно, становится основным ин ). Этот вопрос возник в связи с изучением колец алгебраических чисел (которые являются примерами дедекиндовыми доменов) в теории чисел , и привело к развитию теории полей классов по Teiji Такаги , Артин , Давид Гильберт и многие другие.
Теорема об основных идеалах теории полей классов утверждает, что каждое целочисленное кольцо (т. Е. Кольцо целых чисел некоторого числового поля ) содержится в большем целочисленном кольце, которое обладает тем свойством, что каждый идеал становится главным идеалом В этой теореме мы можем взять чтобы кольцо целых чисел поля классов Гильберта о ; то есть максимальное неразветвленное абелевы расширение (то есть расширение Галуа которого группа Галуа является абелевым ) из фракции области , и это однозначно определяется
Теорема Крулля о главном идеале утверждает, что если является нетеровым кольцом и является главным, собственным идеалом, то имеет высоту не более единицы.
См. Также [ править ]
- Условие возрастающей цепочки главных идеалов
Ссылки [ править ]
- Галлиан, Джозеф А. (2017). Современная абстрактная алгебра (9-е изд.). Cengage Learning. ISBN 978-1-305-65796-0.