Идеал (теория колец)

Алгебраическая структура → Теория колец Теория колец
Базовые концепты Кольца • Подкольца • Идеально • Факторное кольцо • Дробный идеал • Общее кольцо частных • Кольцо с продуктом • Бесплатное произведение ассоциативных алгебр • Тензорное произведение колец Гомоморфизмы колец • Ядро • Внутренний автоморфизм • Эндоморфизм Фробениуса Алгебраические структуры • Модуль • Ассоциативная алгебра • Градуированное кольцо • Инволютивное кольцо • Категория колец • Начальное кольцо ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • Клеммное кольцо ${\displaystyle 0=\mathbb {Z} _{1}}$ Связанные структуры • Поле • Конечное поле • Неассоциативное кольцо • Кольцо лжи • кольцо Jordan • Полукругление • Semifield
Коммутативная алгебра Коммутативные кольца • Целостная область • Интегрально закрытый домен • Домен GCD • Уникальный домен факторизации • Основная идеальная область • Евклидова область • Поле • Конечное поле • Композиционное кольцо • Кольцо полиномов • Формальное кольцо степенной серии Алгебраическая теория чисел • Поле алгебраических чисел • Кольцо целых чисел • Алгебраическая независимость • Трансцендентальная теория чисел • Степень трансцендентности p -адическая теория чисел и десятичные дроби • Прямой предел / обратный предел • Нулевое кольцо ${\displaystyle \mathbb {Z} _{1}}$ • Целые числа по модулю p n ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ • Prüfer p -ring ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$ • Основание - круговое кольцо p ${\displaystyle \mathbb {T} }$ • База - p целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ • p -адические рациональные числа ${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]}$ • База - p вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ • p -адические целые числа ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ • p -адические числа ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ • p -адический соленоид ${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$ Алгебраическая геометрия • Аффинное разнообразие
Некоммутативная алгебра Некоммутативные кольца • Дивизионное кольцо • Полупримитивное кольцо • Простое кольцо • Коммутатор Некоммутативная алгебраическая геометрия Свободная алгебра Алгебра Клиффорда • Геометрическая алгебра Операторная алгебра
v т е

В теории колец , ветвь абстрактной алгебры , идеал из кольца является специальным подмножество его элементов. Идеалы обобщают определенные подмножества целых чисел , такие как четные числа или числа, кратные 3. Сложение и вычитание четных чисел сохраняет четность, а умножение четного числа на любое другое целое число приводит к другому четному числу; эти закрывающие и впитывающие свойства являются определяющими свойствами идеала. Идеал может быть использован для построения фактор - кольцо аналогично тому , как в теории групп , нормальная подгруппаможет использоваться для построения фактор-группы .

Среди целых чисел идеалы взаимно однозначно соответствуют неотрицательным целым числам : в этом кольце каждый идеал является главным идеалом, состоящим из кратных одного неотрицательного числа. Однако в других кольцах идеалы могут не соответствовать непосредственно элементам кольца, а определенные свойства целых чисел при обобщении на кольца более естественно присоединяются к идеалам, чем к элементам кольца. Например, простые идеалы кольца аналогичны простым числам , а китайская теорема об остатках может быть обобщена на идеалы. Существует вариант уникальной факторизации на простые множители идеалов дедекиндовской области (типа кольца, важного втеория чисел ).

Родственная, но отличная концепция идеала в теории порядка происходит от понятия идеала в теории колец. Дробный идеал является обобщением идеала, а обычные идеалы иногда называют целые идеалы для ясности.

История [ править ]

Эрнст Куммер изобрел концепцию идеальных чисел, которые служат «недостающими» множителями в числовых кольцах, в которых уникальная факторизация не выполняется; здесь слово «идеальный» имеет смысл существовать только в воображении, по аналогии с «идеальными» объектами в геометрии, такими как точки на бесконечности. ^[1] В 1876 году Ричард Дедекинд заменил неопределенную концепцию Куммера конкретными наборами чисел, наборами, которые он назвал идеалами, в третьем издании книги Дирихле « Vorlesungen über Zahlentheorie» , к которой Дедекинд добавил много дополнений.^{[1] [2] [3]} Позже это понятие было распространено за пределы числовых колец на определение колец многочленов и других коммутативных колец с помощьюДэвид Гильберт и особенно Эмми Нётер .

Определения и мотивация [ править ]

Для произвольного кольца пусть - его аддитивная группа . Подмножество называется левым идеалом группы, если она является аддитивной подгруппой группы, которая «поглощает умножение слева на элементы группы »; то есть является левым идеалом, если он удовлетворяет следующим двум условиям:${\displaystyle (R,+,\cdot )}$${\displaystyle (R,+)}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$

1. ${\displaystyle (I,+)}$является подгруппой в${\displaystyle (R,+),}$
2. Для каждого и каждый продукт в .${\displaystyle r\in R}$${\displaystyle x\in I}$${\displaystyle rx}$${\displaystyle I}$

Правый идеал определяются с условием « гм ∈ I » заменен на « хты ∈ I » . Двусторонний идеал левый идеал , который также является правым идеалом, а иногда называют просто идеальным. На языке модулей , определение означает , что левый (. Соответственно вправо, двусторонний) идеал R является именно левым (соответственно правым, би-.) Р - подмодуль из R , когда R рассматриваются как R - модуль . Когда Rявляется коммутативным кольцом, определения левого, правого и двустороннего идеала совпадают, и термин идеал используется отдельно.

Чтобы понять концепцию идеала, рассмотрим, как идеалы возникают при построении колец «элементов по модулю». Для конкретности рассмотрим кольцо ℤ _n целых чисел по модулю заданного целого числа n ∈ ℤ (заметим, что ℤ - коммутативное кольцо). Ключевое наблюдение здесь состоит в том, что мы получаем ℤ _n , беря целую строку ℤ и оборачивая ее вокруг себя, чтобы идентифицировать различные целые числа. При этом мы должны удовлетворить два требования: 1) n должно быть отождествлено с 0, поскольку n сравнимо с 0 по модулю n.и 2) получившаяся структура снова должна быть кольцом. Второе требование заставляет нас делать дополнительные идентификации (т.е. оно определяет точный способ, которым мы должны обернуть ℤ вокруг себя). Понятие идеала возникает, когда мы задаем вопрос:

Какой точный набор целых чисел мы вынуждены отождествлять с 0?

Ответ, что неудивительно, состоит в том, что множество n ℤ = { nm | m ∈ ℤ} всех целых чисел, сравнимых с 0 по модулю n . То есть мы должны обернуть ℤ вокруг себя бесконечно много раз, чтобы целые числа ..., n ⋅ −2 , n −1 , n +1 , n ⋅ +2 , ... все выровнялись с 0. Если мы посмотрим, каким свойствам этот набор должен удовлетворять, чтобы гарантировать, что ℤ _n является кольцом, а затем приходим к определению идеала. В самом деле, можно непосредственно проверить, что n ℤ - идеал в.

Замечание. Также необходимо выполнить идентификацию с элементами, отличными от 0. Например, элементы в 1 + n ℤ должны быть отождествлены с 1, элементы в 2 + n ℤ должны быть отождествлены с 2 и так далее. Однако они однозначно определяются n ℤ, поскольку ℤ - аддитивная группа.

Аналогичную конструкцию можно провести в любом коммутативном кольце R : начнем с произвольного x ∈ R , а затем отождествим с 0 все элементы идеала xR = { xr  : r ∈ R }. Оказывается, что идеал хК является наименьший идеал , который содержит х , называется идеалом генерироваться от х . В более общем смысле, мы можем начать с произвольного подмножества S ⊆ R , а затем отождествить с 0 все элементы в идеале, порожденном S : наименьший идеал ( S ) такой, чтоS ⊆ ( S ) . Кольцо, которое мы получаем после отождествления, зависит только от идеала ( S ), а не от множества S , с которого мы начали. То есть, если ( S ) = ( T ) , то полученные кольца будут такими же.

Поэтому, идеальный я коммутативные кольцо R захваты канонической информации , необходимая для получения кольца элементов R по модулю заданного подмножества S ⊆ R . Элементы I по определению - это те, которые конгруэнтны нулю, то есть отождествлены с нулем в результирующем кольце. Полученное кольцо называется частное от R по I и обозначается R / I . Интуитивно, определение идеального постулирует два естественных условия, необходимых для того, чтобы I содержал все элементы, обозначенные как «нули» R /Я :

1. I - аддитивная подгруппа группы R : ноль 0 группы R является «нулем» 0 ∈ I , и если x ₁ ∈ I и x ₂ ∈ I являются «нулями», то x ₁ - x ₂ ∈ I является «нулем» " тоже.
2. Любая г ∈ R , умноженный на «ноль» х ∈ I является «нулевым» гм ∈ I .

Оказывается, что вышеуказанные условия являются также достаточными для меня , чтобы содержать все необходимые «нули»: никаких других элементов не должны быть обозначены как «ноль» для того , чтобы форма R / I . (Фактически, никакие другие элементы не должны быть обозначены как "ноль", если мы хотим сделать наименьшее количество идентификаций.)

Замечание. Если R не обязательно коммутативно, приведенная выше конструкция все еще работает с использованием двусторонних идеалов.

Примеры и свойства [ править ]

Для краткости некоторые результаты сформулированы только для левых идеалов, но обычно также верны и для правых идеалов с соответствующими изменениями обозначений.

• В кольце R , множество R сам по себе образует двусторонний идеал R называется блок идеально подходит . Его также часто обозначают как, поскольку это в точности двусторонний идеал, порожденный (см. Ниже) единицей . Кроме того, множество, состоящее только из аддитивной единицы 0 _R, образует двусторонний идеал, называемый нулевым идеалом и обозначаемый . ^{[примечание 1]} Каждый идеал (левый, правый или двусторонний) содержит нулевой идеал и содержится в единичном идеале.${\displaystyle (1)}$${\displaystyle 1_{R}}$${\displaystyle \{0_{R}\}}$${\displaystyle (0)}$
• Идеал (левый, правый или двусторонний), который не является единичным идеалом, называется собственным идеалом (поскольку он является собственным подмножеством ). ^[4] Примечание: левый идеал является правильным тогда и только тогда, когда он не содержит единичного элемента, поскольку если является единичным элементом, то для каждого . Обычно правильных идеалов предостаточно. Фактически, если R - тело , то это его единственные идеалы и наоборот: то есть ненулевое кольцо R является телом, если это единственные левые (или правые) идеалы. (Доказательство: если - ненулевой элемент, то главный левый идеал (см. Ниже) отличен от нуля и, следовательно , т. Е.${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle u\in {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle r=(ru^{-1})u\in {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle r\in R}$${\displaystyle (0),(1)}$${\displaystyle (0),(1)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle Rx}$${\displaystyle Rx=(1)}$${\displaystyle yx=1}$для некоторого ненулевого . Точно так же для некоторых ненулевых . Тогда .)${\displaystyle y}$${\displaystyle zy=1}$${\displaystyle z}$${\displaystyle z=z(yx)=(zy)x=x}$
• Четные целые числа образуют идеал в кольце всех целых чисел; обычно обозначается . Это связано с тем, что сумма любых четных целых чисел четна, и произведение любого целого числа на четное число также является четным. Аналогично, множество всех целых чисел, делящихся на фиксированное целое число n, является обозначенным идеалом .${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$${\displaystyle n\mathbb {Z} }$
• Множество всех многочленов с действительными коэффициентами, которые делятся на многочлен x ² + 1, является идеалом в кольце всех многочленов.
• Множество всех N матрицы с размерностью п матриц , последней строкой равно нуль образует правый идеал в кольце всех N матрицы с размерностью п матриц. Это не левый идеал. Множество всех ˝n˝ матрицы с размерностью п матриц, последней колонкой равно нуль , образует левый идеал , а не правый идеал.
• Кольцо всех непрерывных функций F из в рамках точечно умножения содержит идеал всех непрерывных функций ф такая , что F (1) = 0. Еще один идеал в задается теми функциями , которые обращаются в нуль при достаточно больших аргументов, то есть те непрерывные функции F для что существует такое число L > 0, что f ( x ) = 0 всякий раз, когда | х | > L .${\displaystyle C(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle C(\mathbb {R} )}$
• Кольцо называется простым кольцом, если оно не равно нулю и не имеет двусторонних идеалов, кроме . Таким образом, тело является простым, а простое коммутативное кольцо является полем. Кольцо матриц над телом полем является простым кольцом.${\displaystyle (0),(1)}$
• Если - гомоморфизм колец , то ядро является двусторонним идеалом . По определению, и, следовательно, если не является нулевым кольцом (так ), то является собственным идеалом. В более общем смысле, для каждого левого идеала I в S прообраз является левым идеалом. Если я есть левый идеал R , то есть левый идеал подкольце из S : если F не сюръективна, не должно быть идеалом S ; см. также # Расширение и сжатие идеала ниже.${\displaystyle f:R\to S}$${\displaystyle \ker(f)=f^{-1}(0_{S})}$${\displaystyle R}$${\displaystyle f(1_{R})=1_{S}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle 1_{S}\neq 0_{S}}$${\displaystyle \ker(f)}$${\displaystyle f^{-1}(I)}$${\displaystyle f(I)}$${\displaystyle f(R)}$${\displaystyle f(I)}$
• Идеальное соответствие : учитывая сюръективный гомоморфизм колец , существует биективное соответствие, сохраняющее порядок между левыми (соответственно, правыми, двусторонними) идеалами, содержащими ядро, и левыми (соответственно, правыми, двусторонними) идеалами : соответствие дается и прообраз . Более того, для коммутативных колец это взаимно однозначное соответствие ограничивается первичными идеалами, максимальными идеалами и радикальными идеалами ( определения этих идеалов см. В разделе « Типы идеалов»).${\displaystyle f:R\to S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$${\displaystyle I\mapsto f(I)}$${\displaystyle J\mapsto f^{-1}(J)}$
• (Для тех , кто знает модули) Если М является левым R - модулем и подмножество, то аннуляторный из S является левым идеалом. Принимая во внимание идеалы коммутативного кольца R , то R -annihilator из является идеалом R называется идеальным частное от по и обозначается ; это пример идеализатора в коммутативной алгебре.${\displaystyle S\subset M}$ ${\displaystyle \operatorname {Ann} _{R}(S)=\{r\in R\mid rs=0,s\in S\}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}}$${\displaystyle ({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}})/{\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle ({\mathfrak {a}}:{\mathfrak {b}})}$
• Пусть - восходящая цепочка левых идеалов в кольце R ; т.е. является полностью упорядоченным набором и для каждого . Тогда объединение является левым идеалом R . (Примечание: этот факт остается верным, даже если R не имеет единицы 1.)${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i},i\in S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}\subset {\mathfrak {a}}_{j}}$${\displaystyle i<j}$${\displaystyle \textstyle \bigcup _{i\in S}{\mathfrak {a}}_{i}}$
• Вышеуказанный факт вместе с леммой Цорна доказывает следующее: если это возможно , пустое подмножество и является левым идеалом , который не пересекается с Е , то есть идеал , который является максимальным среди идеалов , содержащих и не пересекаются с Е . (Опять же, это остается в силе , если кольцо R не хватает единства 1.) Когда , принимая и , в частности, существует левый идеал , который максимален среди собственных левых идеалов (часто называют просто максимальный левый идеал); см . теорему Крулля для получения дополнительной информации.${\displaystyle E\subset R}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}\subset R}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}}$${\displaystyle R\neq 0}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}=(0)}$${\displaystyle E=\{1\}}$
• Произвольное объединение идеалов не обязательно должно быть идеалом, но по-прежнему верно следующее: для возможно пустого подмножества X в R существует наименьший левый идеал, содержащий X , называемый левым идеалом, порожденный X, и обозначается через . Такой идеал существует , поскольку она является пересечением всех левых идеалов , содержащих X . Эквивалентно, это множество всех (конечных) левых R -линейных комбинаций элементов X над R :${\displaystyle RX}$${\displaystyle RX}$

  ${\displaystyle RX=\{r_{1}x_{1}+\dots +r_{n}x_{n}\mid n\in \mathbb {N} ,r_{i}\in R,x_{i}\in X\}.}$

(поскольку такая оболочка является наименьшим левым идеалом, содержащим X. ) ^{[примечание 2]} Правый (соответственно двусторонний) идеал, порожденный X , определяется аналогичным образом. Для «двустороннего» необходимо использовать линейные комбинации с обеих сторон; т.е.

${\displaystyle RXR=\{r_{1}x_{1}s_{1}+\dots +r_{n}x_{n}s_{n}\mid n\in \mathbb {N} ,r_{i}\in R,s_{i}\in R,x_{i}\in X\}.\,}$

• Левый (соответственно правый, двусторонний) идеал, порожденный одним элементом x , называется главным левым (соответственно правым, двусторонним) идеалом, порожденным x, и обозначается (соответственно ). Главный двусторонний идеал часто также обозначается . Если - конечное множество, то также записывается как .${\displaystyle Rx}$${\displaystyle xR,RxR}$${\displaystyle RxR}$${\displaystyle (x)}$${\displaystyle X=\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$${\displaystyle RXR}$${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$
• В кольце целых чисел каждый идеал может быть порожден одним числом ( как и область главных идеалов ) в результате евклидова деления (или каким-либо другим способом).${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Существует взаимно однозначное соответствие между идеалами и конгруэнции отношений (отношений эквивалентности, учитывающих структуру кольца) на кольце: Учитывая идеал я кольцевого R , пусть х ~ у , если х - у ∈ I . Тогда ~ есть отношение конгруэнтности на R . Наоборот, если дано отношение конгруэнтности ~ на R , пусть I = { x | х ~ 0} . Тогда я является идеалом R .

Типы идеалов [ править ]

Для упрощения описания предполагается, что все кольца коммутативны. Некоммутативный случай подробно обсуждается в соответствующих статьях.

Идеалы важны, потому что они появляются как ядра гомоморфизмов колец и позволяют определять фактор-кольца . Изучаются различные типы идеалов, поскольку с их помощью можно построить различные типы факторных колец.

• Максимальный идеал : Собственный идеал Я называется максимальным идеалом , если не существует никакого другого собственного идеала J с I собственное подмножество J . Фактор-кольцо максимального идеала - это,вообще говоря, простое кольцо и поле для коммутативных колец. ^[5]
• Минимальный идеал : ненулевой идеал называется минимальным, если он не содержит других ненулевых идеалов.
• Prime идеал : Собственный идеал I называется простым идеалом , если для любых а и Ь в R , если абы в I , токрайней мереодин изи б в I . Фактор-кольцо первичного идеала является первичным кольцом в общем случае и является областью целостности коммутативных колец.
• Радикальный идеал или полупервичный идеал : Собственный идеал я называюсь радикалом или полупервичным , если для любого а в R , если ^п в I для некоторого п , тов I . Фактор-кольцо радикального идеала является полупервичным кольцом для общих колец и редуцированным кольцом для коммутативных колец.
• Первичный идеал : идеал I называется первичным идеалом, если для всех a и b в R , если ab находится в I , то по крайней мере один из a и b ⁿ находится в I для некоторого натурального числа n . Каждый первичный идеал первичен, но не наоборот. Полупервичный примарный идеал первичен.
• Главный идеал : идеал, порожденный одним элементом.
• Конечно порожденный идеал : этот тип идеала конечно порожден как модуль.
• Примитивный идеал : Левая примитивный идеал является аннуляторным из простого левого модуля .
• Неприводимый идеал : идеал называется неприводимым, если он не может быть записан как пересечение идеалов, которые должным образом его содержат.
• Комаксимальные идеалы : два идеала считаются комаксимальными, если для некоторых и .${\displaystyle {\mathfrak {i}},{\mathfrak {j}}}$${\displaystyle x+y=1}$${\displaystyle x\in {\mathfrak {i}}}$${\displaystyle y\in {\mathfrak {j}}}$
• Обычный идеал : этот термин имеет несколько применений. См. Список в статье.
• Ниль-идеал : идеал - это ниль-идеал, если каждый из его элементов нильпотентен.
• Нильпотентный идеал : некоторая его мощность равна нулю.
• Параметр идеал : идеал, порожденный системой параметров .

Два других важных термина, использующих слово «идеал», не всегда являются идеалами их круга. Подробности смотрите в соответствующих статьях:

• Дробный идеал : Это, как правилоопределяетсякогда R является коммутативной областью с полем частных K . Несмотря на свое название, дробные идеалы - это R подмодулей в K со специальным свойством. Если дробный идеал содержится целиком в R , то это действительно идеал R .
• Обратимый идеал : Обычно обратимый идеалопределяется как дробного идеаладля которого существует еще один дробный идеал В такойчто АВ = ВА = R . Некоторые авторы могут также применять «обратимый идеал» к обычным кольцевым идеалам A и B с AB = BA = R в кольцах, отличных от областей.

Идеальные операции [ править ]

Сумма и произведение идеалов определяются следующим образом. Для и слева (соотв. Правых) идеалов кольца R , их сумма${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}:=\{a+b\mid a\in {\mathfrak {a}}{\mbox{ and }}b\in {\mathfrak {b}}\}}$,

который является левым (соответственно правым) идеалом, и, если они двусторонние,${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}:=\{a_{1}b_{1}+\dots +a_{n}b_{n}\mid a_{i}\in {\mathfrak {a}}{\mbox{ and }}b_{i}\in {\mathfrak {b}},i=1,2,\dots ,n;{\mbox{ for }}n=1,2,\dots \},}$

т.е. продукт - это идеал, созданный всеми продуктами формы ab с a in и b in .${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$

Примечание - это наименьший левый (соответственно правый) идеал, содержащий оба и (или объединение ), в то время как произведение содержится в пересечении и .${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}\cup {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$

Закон распределения справедлив для двусторонних идеалов ,${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}},{\mathfrak {c}}}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {c}})={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}}$,
• ${\displaystyle ({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}){\mathfrak {c}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}+{\mathfrak {b}}{\mathfrak {c}}}$.

Если продукт заменяется перекрестком, выполняется частичный закон распределения:

${\displaystyle {\mathfrak {a}}\cap ({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {c}})\supset {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {c}}}$

где равенство имеет место, если содержит или .${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

Замечание : сумма и пересечение идеалов снова является идеалом; с этими двумя операциями как соединением и соединением множество всех идеалов данного кольца образует полную модулярную решетку . Решетка, вообще говоря, не является распределительной решеткой . Три операции пересечения, суммы (или соединения) и произведения превращают множество идеалов коммутативного кольца в квант .

Если - идеалы коммутативного кольца R , то в следующих двух случаях (по крайней мере) ${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}=(1)}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$порождается элементами, образующими регулярную последовательность по модулю .${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$

(В более общем смысле, разница между произведением и пересечением идеалов измеряется функтором Tor : ^[6] )${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{R}(R/{\mathfrak {a}},R/{\mathfrak {b}})=({\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}})/{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}.}$

Область целостности называется областью Дедекинда, если для каждой пары идеалов существует такой идеал , что . ^[7] Затем можно показать, что любой ненулевой идеал дедекиндовской области может быть однозначно записан как произведение максимальных идеалов, обобщение основной теоремы арифметики .${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle {\mathfrak {\mathfrak {a}}}={\mathfrak {b}}{\mathfrak {c}}}$

Примеры идеальных операций [ править ]

У нас есть${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle (n)\cap (m)=\operatorname {lcm} (n,m)\mathbb {Z} }$

поскольку это набор целых чисел, которые делятся на и .${\displaystyle (n)\cap (m)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$

Пусть и пусть . Потом,${\displaystyle R=\mathbb {C} [x,y,z,w]}$${\displaystyle I=(z,w),{\text{ }}J=(x+z,y+w),{\text{ }}K=(x+z,w)}$

• ${\displaystyle I+J=(z,w,x+z,y+w)=(x,y,z,w)}$ и ${\displaystyle I+K=(z,w,x+z)}$
• ${\displaystyle IJ=(z(x+z),z(y+w),w(x+z),w(y+w))=(z^{2}+xz,zy+wz,wx+wz,wy+w^{2})}$
• ${\displaystyle IK=(xz+z^{2},zw,xw+zw,w^{2})}$
• ${\displaystyle I\cap J=IJ}$ пока ${\displaystyle I\cap K=(w,xz+z^{2})\neq IK}$

В первом вычислении мы видим общую схему взятия суммы двух конечно порожденных идеалов, это идеал, порожденный объединением их образующих. В последних трех мы замечаем, что произведения и пересечения совпадают всякий раз, когда два идеала пересекаются в нулевом идеале. Эти вычисления можно проверить с помощью Macaulay2 . ^{[8] [9] [10]}

Радикал кольца [ править ]

Идеалы естественным образом возникают при изучении модулей, особенно в форме радикала.

Для простоты мы работаем с коммутативными кольцами, но с некоторыми изменениями результаты верны и для некоммутативных колец.

Пусть R - коммутативное кольцо. По определению, примитивный идеал из R является Аннулятор (отличным от нуля) простого R - модуля . Радикал Джекобсона из R является пересечением всех примитивных идеалов. Эквивалентно,${\displaystyle J=\operatorname {Jac} (R)}$

${\displaystyle J=\bigcap _{{\mathfrak {m}}{\text{ maximal ideals}}}{\mathfrak {m}}.}$

В самом деле, если - простой модуль и x - ненулевой элемент в M , то и , то есть, является максимальным идеалом. Наоборот, если - максимальный идеал, то - аннулятор простого R -модуля . Есть и другая характеристика (доказательство несложно):${\displaystyle M}$${\displaystyle Rx=M}$${\displaystyle R/\operatorname {Ann} (M)=R/\operatorname {Ann} (x)\simeq M}$${\displaystyle \operatorname {Ann} (M)}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$

${\displaystyle J=\{x\in R\mid 1-yx\,{\text{ is a unit element for every }}y\in R\}.}$

Для необязательно коммутативного кольца это общий факт, что он является единичным элементом тогда и только тогда, когда он есть (см. Ссылку), и поэтому эта последняя характеристика показывает, что радикал может быть определен как в терминах левого, так и правого примитивных идеалов. .${\displaystyle 1-yx}$${\displaystyle 1-xy}$

Следующий простой , но важный факт ( лемма Накаям ) встроен определение Джекобсон радикал: если M представляет собой модуль таким образом, что , то М не допускают максимальный подмодуль , так как если существует максимальный подмодуль , и так , противоречие. Поскольку ненулевой конечно порожденный модуль допускает максимальный подмодуль, в частности, он имеет:${\displaystyle JM=M}$${\displaystyle L\subsetneq M}$${\displaystyle J\cdot (M/L)=0}$${\displaystyle M=JM\subset L\subsetneq M}$

Если и M конечно порождено, то${\displaystyle JM=M}$${\displaystyle M=0.}$

Максимальный идеал - это простой идеал, поэтому

${\displaystyle \operatorname {nil} (R)=\bigcap _{{\mathfrak {p}}{\text{ prime ideals }}}{\mathfrak {p}}\subset \operatorname {Jac} (R)}$

где пересечение слева называется нильрадикал из R . Как выясняется, также множество нильпотентов из R .${\displaystyle \operatorname {nil} (R)}$

Если R - артиново кольцо , то нильпотентно и . (Доказательство: сначала обратите внимание, что DCC следует для некоторого n . Если (DCC) - идеал, должным образом минимальный над последним, то . То есть, противоречие.)${\displaystyle \operatorname {Jac} (R)}$${\displaystyle \operatorname {nil} (R)=\operatorname {Jac} (R)}$${\displaystyle J^{n}=J^{n+1}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}\supsetneq \operatorname {Ann} (J^{n})}$${\displaystyle J\cdot ({\mathfrak {a}}/\operatorname {Ann} (J^{n}))=0}$${\displaystyle J^{n}{\mathfrak {a}}=J^{n+1}{\mathfrak {a}}=0}$

Расширение и сжатие идеала [ править ]

Пусть A и B - два коммутативных кольца , и пусть f  : A → B - гомоморфизм колец . Если - идеал в A , то не обязательно должен быть идеалом в B (например, возьмем f как включение кольца целых чисел Z в поле рациональных чисел Q ). Расширение из в B определяется как идеал в B , порожденный . Явно,${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle f({\mathfrak {a}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{e}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle f({\mathfrak {a}})}$

${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{e}={\Big \{}\sum y_{i}f(x_{i}):x_{i}\in {\mathfrak {a}},y_{i}\in B{\Big \}}}$

Если это идеал B , то это всегда идеал А , называется сокращение от до А .${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle f^{-1}({\mathfrak {b}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}^{c}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$

Предположим, что f  : A → B - гомоморфизм колец, идеал в A , идеал в B , тогда:${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$является простым в B является простым в A .${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}^{c}}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{ec}\supseteq {\mathfrak {a}}}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {b}}^{ce}\subseteq {\mathfrak {b}}}$

Это ложь, в целом, что является первичным (или максимальным) в A означает , что простой (или максимальный) в B . Многие классические примеры этого восходят к теории алгебраических чисел. Например, встраивание . В , элемент 2 факторы , как где (можно показать) ни один из являются единицами в B . So не является простым в B (а значит, и не максимальным). В самом деле, показывает , что , и поэтому .${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{e}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \left\lbrack i\right\rbrack }$${\displaystyle B=\mathbb {Z} \left\lbrack i\right\rbrack }$${\displaystyle 2=(1+i)(1-i)}$${\displaystyle 1+i,1-i}$${\displaystyle (2)^{e}}$${\displaystyle (1\pm i)^{2}=\pm 2i}$${\displaystyle (1+i)=((1-i)-(1-i)^{2})}$${\displaystyle (1-i)=((1+i)-(1+i)^{2})}$${\displaystyle (2)^{e}=(1+i)^{2}}$

С другой стороны, если е является сюръективны и затем: a ⊇ ker ⁡ f {\displaystyle {\mathfrak {a}}\supseteq \ker f}

• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{ec}={\mathfrak {a}}}$и .${\displaystyle {\mathfrak {b}}^{ce}={\mathfrak {b}}}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$является простым идеалом в А является простым идеалом в B .${\displaystyle \Leftrightarrow }$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{e}}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$это максимальный идеал в А является максимальным идеалом в B .${\displaystyle \Leftrightarrow }$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{e}}$

Замечание : Пусть К является расширение поля из L , и пусть В и быть кольца целых из K и L , соответственно. Тогда B является целым расширением от А , и пусть е будет отображение включения от A до B . Поведение простого идеала из А при расширении является одной из центральных задач теории алгебраических чисел . ${\displaystyle {\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}}$

Иногда полезно следующее: ^[11] простой идеал является сжатием простого идеала тогда и только тогда, когда . (Доказательство: Предположим , что последний, нота пересекается . Противоречие Теперь простые идеалы соответствуют таковым в B , которые не пересекаются с . Следовательно, существует простой идеал из В , не пересекается с , таким образом, что максимальный идеал , содержащий . Затем проверяют, что лежит поверх . Очевидно обратное.)${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}^{ec}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}^{e}B_{\mathfrak {p}}=B_{\mathfrak {p}}\Rightarrow {\mathfrak {p}}^{e}}$${\displaystyle A-{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle B_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle A-{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$${\displaystyle A-{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}B_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}^{e}B_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Обобщения [ править ]

Идеалы могут быть обобщены на любой моноидный объект , где есть объект, в котором моноидная структура была забыта . Левый идеал из является подобъектом , что «поглощает умножение слева на элементы »; то есть является левым идеалом, если он удовлетворяет следующим двум условиям:${\displaystyle (R,\otimes )}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$

1. ${\displaystyle I}$является субобъект из${\displaystyle R}$
2. Для каждого и каждый продукт в .${\displaystyle r\in (R,\otimes )}$${\displaystyle x\in (I,\otimes )}$${\displaystyle r\otimes x}$${\displaystyle (I,\otimes )}$

Правый идеал определяется с условием « » заменены на «» ». Двусторонний идеал левый идеал , который также является правым идеалом, а иногда называют просто идеальным. Когда - коммутативный моноидный объект соответственно, определения левого, правого и двустороннего идеала совпадают, и термин идеал используется отдельно.${\displaystyle r\otimes x\in (I,\otimes )}$${\displaystyle x\otimes r\in (I,\otimes )}$${\displaystyle R}$

Идеал также можно рассматривать как особый тип R -модуля . Если мы рассматриваем как левый -модуль (путем левого умножения), то левый идеал на самом деле является просто левым подмодулем в . Другими словами, является левым (правым) идеалом тогда и только тогда, когда он является левым (правым) -модулем, являющимся подмножеством . является двусторонним идеалом, если он является суб- бимодулем в .${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

Пример: Если мы позволим , идеалом является абелева группа, которая является подмножеством , т.е. для некоторых . Итак, это дает все идеалы .${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle m\mathbb {Z} }$${\displaystyle m\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

См. Также [ править ]

• Модульная арифметика
• Теорема об изоморфизме Нётер
• Теорема о булевом простом идеале
• Идеальная теория
• Идеал (теория порядка)
• Идеальная норма
• Расщепление простых идеалов в расширениях Галуа
• Идеальная связка

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Левинсон, Джейк (14 июля 2014 г.). "Геометрическая интерпретация продолжения идеалов?" . Обмен стеками .