Тензорное произведение алгебр

Алгебраическая структура → Теория колец Теория колец
Базовые концепты Кольца • Подкольца • Идеально • Факторное кольцо • Дробный идеал • Общее кольцо частных • Кольцо с продуктом • Бесплатное произведение ассоциативных алгебр • Тензорное произведение колец Гомоморфизмы колец • Ядро • Внутренний автоморфизм • Эндоморфизм Фробениуса Алгебраические структуры • Модуль • Ассоциативная алгебра • Градуированное кольцо • Инволютивное кольцо • Категория колец • Начальное кольцо ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • Клеммное кольцо ${\ displaystyle 0 = \ mathbb {Z} _ {1}}$ Связанные структуры • Поле • Конечное поле • Неассоциативное кольцо • Кольцо лжи • кольцо Jordan • Полукругление • Semifield
Коммутативная алгебра Коммутативные кольца • Целостная область • Интегрально закрытый домен • Домен GCD • Уникальный домен факторизации • Основная идеальная область • Евклидова область • Поле • Конечное поле • Композиционное кольцо • Кольцо полиномов • Формальное кольцо степенной серии Алгебраическая теория чисел • Поле алгебраических чисел • Кольцо целых чисел • Алгебраическая независимость • Трансцендентальная теория чисел • Степень трансцендентности p -адическая теория чисел и десятичные дроби • Прямой предел / обратный предел • Нулевое кольцо ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {1}}$ • Целые числа по модулю p n ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$ • Prüfer p -ring ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} (п ^ {\ infty})}$ • Основание - круговое кольцо p ${\ Displaystyle \ mathbb {T}}$ • База - p целых чисел ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • p -адические рациональные числа ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [1 / p]}$ • База - p вещественных чисел ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ • p -адические целые числа ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$ • p -адические числа ${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$ • p -адический соленоид ${\ displaystyle \ mathbb {T} _ {p}}$ Алгебраическая геометрия • Аффинное разнообразие
Некоммутативная алгебра Некоммутативные кольца • Дивизионное кольцо • Полупримитивное кольцо • Простое кольцо • Коммутатор Некоммутативная алгебраическая геометрия Свободная алгебра Алгебра Клиффорда • Геометрическая алгебра Операторная алгебра
v т е

В математике , то тензорное произведение двух алгебр над коммутативным кольцом R является также R - алгебра. Это дает тензорное произведение алгебр . Когда кольцо является полем , наиболее частым применением таких произведений является описание произведения представлений алгебры .

Определение [ править ]

Пусть R - коммутативное кольцо, а A и B - R -алгебры . Поскольку A и B можно рассматривать как R -модули , их тензорное произведение

${\ displaystyle A \ otimes _ {R} B}$

также является R -модулем. Тензорному произведению можно придать структуру кольца, определив произведение на элементах вида a  ⊗  b согласно ^{[1] [2]}

${\ displaystyle (a_ {1} \ otimes b_ {1}) (a_ {2} \ otimes b_ {2}) = a_ {1} a_ {2} \ otimes b_ {1} b_ {2}}$

а затем расширение по линейности на все ⊗ _R B . Это кольцо представляет собой R - алгебра, ассоциативно и унитальная с единицей , заданной 1  ⊗ 1 _B . ^[3] , где 1 и 1 _Б являются элементами идентичности из A и B . Если A и B коммутативны, то тензорное произведение также коммутативно.

Тензорное произведение превращает категорию в R -алгебр в симметричную моноидальную категорию . ^{[ необходима цитата ]}

Другие свойства [ править ]

Существуют естественные гомоморфизмы из A и B в A  ⊗ _R  B, заданные формулой ^[4]

${\ displaystyle a \ mapsto a \ otimes 1_ {B}}$

${\ displaystyle b \ mapsto 1_ {A} \ otimes b}$

Эти отображения делают тензорное произведение копроизведением в категории коммутативных R -алгебр . Тензорное произведение не является копроизведением в категории всех R -алгебр. Здесь копроизведение дается более общим свободным произведением алгебр . Тем не менее тензорное произведение некоммутативных алгебр можно описать универсальным свойством, аналогичным свойству копроизведения:

${\displaystyle {\text{Hom}}(A\otimes B,X)\cong \lbrace (f,g)\in {\text{Hom}}(A,X)\times {\text{Hom}}(B,X)\mid \forall a\in A,b\in B:[f(a),g(b)]=0\rbrace ,}$

где [-, -] обозначает коммутатор . Естественный изоморфизм дается определения морфизм на левой стороне с парой морфизмов на правой стороне , где и аналогично .${\displaystyle \phi :A\otimes B\to X}$${\displaystyle (f,g)}$${\displaystyle f(a):=\phi (a\otimes 1)}$${\displaystyle g(b):=\phi (1\otimes b)}$

Приложения [ править ]

Тензорное произведение коммутативных алгебр постоянно используется в алгебраической геометрии . Для аффинных схем X , Y , Z с морфизмами из X и Z в Y , поэтому X = Spec ( A ), Y = Spec ( B ) и Z = Spec ( C ) для некоторых коммутативных колец A , B , C , Схема расслоенного произведения - это аффинная схема, соответствующая тензорному произведению алгебр:

${\displaystyle X\times _{Y}Z=\operatorname {Spec} (A\otimes _{B}C).}$

В более общем смысле, волокнистый продукт схем определяется путем склеивания вместе аффинных волоконных продуктов этой формы.

Примеры [ править ]

• Тензорное произведение может использоваться как средство пересечения двух подсхем в схеме : рассмотрим -алгебры , тогда их тензорное произведение равно , которое описывает пересечение алгебраических кривых f = 0 и g = 0 в аффинной плоскости. над C .${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/f}$${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/g}$${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(f)\otimes _{\mathbb {C} [x,y]}\mathbb {C} [x,y]/(g)\cong \mathbb {C} [x,y]/(f,g)}$
• Тензорные произведения можно использовать как средство изменения коэффициентов. Например, и .${\displaystyle \mathbb {Z} [x,y]/(x^{3}+5x^{2}+x-1)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /5\cong \mathbb {Z} /5[x,y]/(x^{3}+x-1)}$${\displaystyle \mathbb {Z} [x,y]/(f)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} \cong \mathbb {C} [x,y]/(f)}$
• Тензорные произведения также могут использоваться для переноса произведений аффинных схем над полем. Например, это изоморфна алгебре , соответствующей аффинной поверхности , если е и г не равны нулю.${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},x_{2}]/(f(x))\otimes _{\mathbb {C} }\mathbb {C} [y_{1},y_{2}]/(g(y))}$${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}]/(f(x),g(y))}$${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{4}}$

См. Также [ править ]

• Расширение скаляров
• Тензорное произведение модулей
• Тензорное произведение полей
• Линейно непересекающиеся
• Мультилинейное подпространственное обучение

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Кассель, Кристиан (1995), квантовые группы , выпускные тексты по математике, 155 , Springer, ISBN 978-0-387-94370-1.
• Ланг, Серж (2002) [впервые опубликовано в 1993 году]. Алгебра . Тексты для выпускников по математике. 21 . Springer. ISBN 0-387-95385-X.