GCD домен

В математике область НОД - это область целостности R, обладающая тем свойством, что любые два элемента имеют наибольший общий делитель (НОД); т. е. существует единственный минимальный главный идеал, содержащий идеал, порожденный двумя заданными элементами. Эквивалентно, любые два элемента R имеют наименьшее общее кратное (НОК). ^[1]

Область GCD обобщает область уникальной факторизации (UFD) на нётерову установку в следующем смысле: область целостности является UFD тогда и только тогда, когда она является областью GCD, удовлетворяющей условию возрастающей цепочки на главных идеалах (и, в частности, если это нётерский ).

Домены GCD входят в следующую цепочку включения классов :

rngs ⊃ кольца ⊃ коммутативные кольца ⊃ области целостности ⊃ интегрально замкнутые области ⊃ области GCD ⊃ уникальные области факторизации ⊃ области главных идеалов ⊃ евклидовы области ⊃ поля ⊃ алгебраически замкнутые поля

Свойства [ править ]

Каждый неприводимый элемент области НОД прост. Область GCD интегрально замкнута , и каждый ненулевой элемент является прямым . ^[2] Другими словами, каждый домен GCD является доменом Шрайера .

Для каждой пары элементов x , y области НОД R , НОД d для x и y и НОК m для x и y могут быть выбраны так, что dm = xy , или иначе говоря, если x и y являются ненулевыми элементами и d - любой НОД d элементов x и y , тогда xy / d - НОК x и y , и наоборот. Это следуетчто операции НОД и НОК превращают фактор R / ~ в дистрибутивную решетку , где "~" обозначает отношение эквивалентности ассоциированных элементов . Эквивалентность между существованием ГКДА и существованием ЖХМСА не является следствие аналогичного результата на полных решетках , так как фактор R не / \ необходимости полной решетки для домена НОДА R . ^{[ необходима цитата ]}

Если R - область НОД, то кольцо многочленов R [ X ₁ , ..., X _n ] также является областью НОД. ^[3]

R является областью НОД тогда и только тогда, когда главными являются конечные пересечения его главных идеалов . В частности, где - НОК и .${\ Displaystyle (а) \ крышка (Ь) = (с)}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$

Для многочлена от X над областью НОД можно определить его содержание как НОД всех его коэффициентов. Тогда содержание произведения многочленов является произведением их содержания, как выражено леммой Гаусса , которая действительна для областей НОД.

Примеры [ править ]

• Однозначным разложением на множители является областью НОД. Среди областей GCD уникальные области факторизации - это в точности те, которые также являются атомарными доменами (что означает, что существует по крайней мере одна факторизация на неприводимые элементы для любой ненулевой неединицы).
• Без домен (т.е. область целостности , где каждый конечно порожденный идеал главный) является областью НОДА. В отличие от областей главных идеалов (где каждый идеал является главным), область Безу не обязательно должна быть уникальной областью факторизации; например, кольцо целых функций - это неатомарная область Безу, и есть много других примеров. Область целостности является областью Прюфера GCD тогда и только тогда, когда она является областью Безу. ^[4]
• Если R является неатомарным доменом GCD, то R [ X ] является примером домена GCD, который не является ни уникальной областью факторизации (поскольку он не атомарен), ни областью Безу (поскольку X и необратимый и ненулевой элемент a из R порождает идеал, не содержащий 1, но 1, тем не менее, является НОД X и a ); вообще любое кольцо R [ X ₁ , ..., X _n ] обладает этими свойствами.
• Коммутативный моноид кольцо является область НОДА тогда и только тогда является область НОДА и является кручением сократимой НОД-полугруппа. НОД-полугруппа - это полугруппа с дополнительным свойством, что для любого и в полугруппе существует такое, что . В частности, если является абелевой группой , то является областью НОД тогда и только тогда, когда является областью НОД и не имеет кручения. ^[5]${\ Displaystyle R [X; S]}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle c}$${\ Displaystyle (а + S) \ крышка (Ь + S) = с + S}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle R [X; G]}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle G}$
• Кольцо не является областью НОД для всех целых чисел, свободных от квадратов . ^[6]${\ displaystyle \ mathbb {Z} [{\ sqrt {-d}}]}$ ${\ displaystyle d \ geq 3}$

Ссылки [ править ]