Полукруглый

Алгебраическая структура → Теория колец Теория колец

Базовые концепты Кольца • Подкольца • Идеально • Факторное кольцо • Дробный идеал • Общее кольцо частных • Кольцо с продуктом • Бесплатное произведение ассоциативных алгебр • Тензорное произведение колец Гомоморфизмы колец • Ядро • Внутренний автоморфизм • Эндоморфизм Фробениуса Алгебраические структуры • Модуль • Ассоциативная алгебра • Градуированное кольцо • Инволютивное кольцо • Категория колец • Начальное кольцо ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • Клеммное кольцо ${\ displaystyle 0 = \ mathbb {Z} _ {1}}$ Связанные структуры • Поле • Конечное поле • Неассоциативное кольцо • Кольцо лжи • кольцо Jordan • Полукругление • Semifield
Коммутативная алгебра Коммутативные кольца • Целостная область • Интегрально закрытый домен • Домен GCD • Уникальный домен факторизации • Основная идеальная область • Евклидова область • Поле • Конечное поле • Композиционное кольцо • Кольцо полиномов • Формальное кольцо степенной серии Алгебраическая теория чисел • Поле алгебраических чисел • Кольцо целых чисел • Алгебраическая независимость • Трансцендентальная теория чисел • Степень трансцендентности p -адическая теория чисел и десятичные дроби • Прямой предел / обратный предел • Нулевое кольцо ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {1}}$ • Целые числа по модулю p n ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$ • Prüfer p -ring ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} (п ^ {\ infty})}$ • Основание - круговое кольцо p ${\ Displaystyle \ mathbb {T}}$ • База - p целых чисел ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • p -адические рациональные числа ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [1 / p]}$ • База - p вещественных чисел ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ • p -адические целые числа ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$ • p -адические числа ${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$ • p -адический соленоид ${\ displaystyle \ mathbb {T} _ {p}}$ Алгебраическая геометрия • Аффинное разнообразие
Некоммутативная алгебра Некоммутативные кольца • Дивизионное кольцо • Полупримитивное кольцо • Простое кольцо • Коммутатор Некоммутативная алгебраическая геометрия Свободная алгебра Алгебра Клиффорда • Геометрическая алгебра Операторная алгебра
v т е

В абстрактной алгебре , А полукольцо является алгебраической структура похожа на кольцо , но без требования , что каждый элемент должен иметь аддитивную обратный .

Термин буровой установки также иногда используется ^[1] -за возникла как шутка, предполагая , что буровые установки ри п гс без п egative элементов, сходные с помощью RNG , чтобы означать ар я нг без мультипликативного я dentity.

Тропические полукольца - активная область исследований, связывающих алгебраические многообразия с кусочно-линейными структурами. ^[2]

Алгебраические структуры
Группа -как Группа Полугруппа / Моноид Стеллаж и quandle Квазигруппа и петля Абелева группа Магма Группа Ли Теория групп
Кольцо -как Звенеть Rng Полукруглый Рядом с кольцом Коммутативное кольцо Интегральный домен Поле Дивизионное кольцо Теория колец
Lattice -как Решетка Полурешетка Дополненная решетка Общий заказ Алгебра Гейтинга Булева алгебра Карта решеток Теория решетки
Модуль- подобный Модуль Группа с операторами Векторное пространство Линейная алгебра
Алгебра- подобный Алгебра Ассоциативный Неассоциативный Составная алгебра Алгебра Ли Оценено Биалгебра
v т е

Определение [ править ]

Полукольцо представляет собой набор R оснащен двумя бинарными операциями + и ⋅, называется сложение и умножение, таким образом, что: ^[3]^[4]^[5]

( R , +) - коммутативный моноид с единицей 0:
- ( a + b ) + c = a + ( b + c )
- 0 + а = а + 0 = а
- а + Ь = Ь + а
( R , ⋅) - моноид с единицей 1:
- ( a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ ( b ⋅ c )
- 1⋅ а = а ⋅1 = а
Умножение влево и вправо распределяет по сложению:
- a ⋅ ( b + c ) = ( a ⋅ b ) + ( a ⋅ c )
- ( a + b ) ⋅ c = ( a ⋅ c ) + ( b ⋅ c )
Умножение на 0 аннулирует R :
- 0⋅ а = а ⋅0 = 0

Символ ⋅ в обозначениях обычно опускается; то есть a ⋅ b пишется просто ab . Аналогично принимается порядок операций , согласно которому перед + ставится ⋅; то есть a + bc - это a + ( bc ).

По сравнению с кольцом , полукольцо не требует добавления обратных чисел; то есть для этого требуется только коммутативный моноид , а не коммутативная группа . В кольце аддитивное обратное требование подразумевает существование мультипликативного нуля, поэтому здесь оно должно быть указано явно. Если умножение полукольца коммутативно , то оно называется коммутативным полукольцом . ^[6]

Некоторые авторы предпочитают опускать требование, чтобы полукольцо имело 0 или 1. Это делает аналогию между кольцом и полукольцом, с одной стороны, и группой и полугруппой, с другой, более гладкой. Эти авторы часто используют оснастку для концепции, определенной здесь. ^{[примечание 1]}

Теория [ править ]

Теорию (ассоциативных) алгебр над коммутативными кольцами можно обобщить непосредственно до теории алгебр над коммутативными полукольцами. ^{[ необходима цитата ]}

Полукольцо, в котором каждый элемент является аддитивным идемпотентом (то есть a + a = a для всех элементов a ), называется идемпотентным полукольцом . ^[7] Идемпотентные полукольца являются специальными для теории полуколец, поскольку любое кольцо, идемпотентное относительно сложения, тривиально . ^{[примечание 2]} Можно определить частичный порядок ≤ на идемпотентном полукольце, установив a ≤ b всякий раз, когда a + b = b (или, что то же самое, если существует x такое, что a +х = б ). Легко видеть, что 0 - наименьший элемент относительно этого порядка: 0 ≤ a для всех a . Сложение и умножение уважать порядок в том смыслечто ≤ б подразумевает переменный ток ≤ бв и ч ≤ сЬ и ( а + C ) ≤ ( б + гр ) .

Приложения [ править ]

В (макс +) и (мин +) тропические полукольца на переАльсе, часто используются в оценке эффективности на дискретных системах событий. Тогда действительные числа - это «затраты» или «время прибытия»; операция «max» соответствует необходимости ждать всех предпосылок событий (таким образом, занимая максимальное время), в то время как операция «min» соответствует возможности выбрать лучший и менее затратный вариант; а + соответствует накоплению по одному и тому же пути.

Таким образом, алгоритм Флойда – Уоршалла для поиска кратчайших путей может быть переформулирован как вычисление над (min, +) алгеброй. Точно так же алгоритм Витерби для поиска наиболее вероятной последовательности состояний, соответствующей последовательности наблюдений в скрытой марковской модели, также может быть сформулирован как вычисление над (max, ×) алгеброй вероятностей. Эти алгоритмы динамического программирования полагаются на свойство распределения связанных с ними полуколец для более эффективного вычисления величин по большому (возможно, экспоненциальному) числу членов, чем перечисление каждого из них. ^[8]^[9]

Примеры [ править ]

По определению любое кольцо также является полукольцом. Хорошим примером полукольца является набор натуральных чисел N (включая ноль ) при обычном сложении и умножении. Точно так же неотрицательные рациональные числа и неотрицательные действительные числа образуют полукольца. Все эти полукольца коммутативны. ^[10]^[11]^[12]

В общем [ править ]

Множество всех идеалов данного кольца образуют идемпотентное полукольцо при сложении и умножении идеалов.
Любой унитальный квантал является идемпотентным полукольцом относительно соединения и умножения.
Любая ограниченная дистрибутивная решетка является коммутативным идемпотентным полукольцом относительно соединения и пересечения.
В частности, таким полукольцом является булева алгебра . Булево кольцо также полукольцо ( на самом деле, кольцо) , но это не идемпотентно под дополнением . Логическое полукольцо является полукольцо изоморфно подполукольцом булевой алгебры. ^[10]
Нормальная косая решетка в кольце R является идемпотентным полукольцом для операций умножения и набла, где последняя операция определяется как . ${\ Displaystyle а \ набла б = а + б + ба-аба-баб}$
Любое c-полукольцо также является полукольцом, где сложение идемпотентно и определено над произвольными множествами.
Классы изоморфизма объектов в любой дистрибутивной категории при операциях с копроизведениями и произведениями образуют полукольцо, известное как оснастка Бернсайда. ^[13] Буровая установка Бернсайда является кольцом тогда и только тогда, когда категория тривиальна .

Полукругление множеств [ править ]

Полукольца ( множества ) ^[14] является непустой коллекцией S множеств таких , что

${\ displaystyle \ emptyset \ in S}$
Если и тогда . ${\ displaystyle E \ in S}$ $F\in S$ $E\cap F\in S$
Если и тогда существует конечное число взаимно непересекающихся множеств для таких, что . $E\in S$ $F\in S$ $C_{i}\in S$ $i=1,\ldots ,n$ $E\setminus F=\bigcup _{i=1}^{n}C_{i}$

Такие полукольца используются в теории меры . Примером полукольца множеств является набор полуоткрытых, полузамкнутых вещественных интервалов . $[a,b)\subset \mathbb {R}$

Конкретные примеры [ править ]

(Неотрицательные) завершающие дроби в позиционной системе счисления с заданным основанием . У нас есть, если делит . Кроме того, это кольцо всех концевых фракций к основанию , и является плотным в течение . ${\frac {\mathbb {N} _{0}}{b^{\mathbb {N} _{0}}}}:=\left\{mb^{-n}\mid m,n\in \mathbb {N} _{0}\right\}$ $b\in \mathbb {N}$ ${\frac {\mathbb {N} _{0}}{b^{\mathbb {N} _{0}}}}\subseteq {\frac {\mathbb {N} _{0}}{c^{\mathbb {N} _{0}}}}$ $b$ $c$ ${\frac {\mathbb {Z} _{0}}{b^{\mathbb {Z} _{0}}}}:={\frac {\mathbb {N} _{0}}{b^{\mathbb {N} _{0}}}}\cup \left(-{\frac {\mathbb {N} _{0}}{b^{\mathbb {N} _{0}}}}\right)$ $b$ $\mathbb {Q}$ $|b|>1$
Эти расширенные натуральные числа N ∪ {∞} с добавлением и умножения (расширенные и 0⋅∞ = 0 ). ^[11]
Учитывая полукольца S , то матрица полукольца от квадрата N матрицы с размерностью п матриц образует полукольцо при обычном дополнении и умножении матриц, и это полукольце матриц , как правило , некоммутативным , даже если S может быть коммутативным. Например, матрицы с неотрицательными элементами , образуют матричное полукольцо. ^[10] $M_{n}(S)$ $M_{n}(\mathbb {N} )$
Если A - коммутативный моноид, множество End ( A ) эндоморфизмов f : A → A почти образует полукольцо, где сложение - это точечное сложение, а умножение - это композиция функций . Нулевой морфизм и идентичность являются соответствующими нейтральными элементами. Это не истинное полукольцо, потому что композиция не распределяет слева по поточечному сложению: a · ( b + c ) ≠ ( a · b ) + ( a · c ) . Если Аэто добавка моноида натуральных чисел получают полукольцо натуральных чисел End ( A ), и если = S ^п с S полукольцо, получает (после того, как каждый морфизм ассоциирования в матрицу) полукольцо квадратного п матрица с размерностью п матрицы с коэффициентами в S .
Логическое полукольцо является коммутативное полукольцо Б , образованный из двух элементов булевой алгебре и определяется 1 + 1 = 1 . ^[4]^[11]^[12] Оно идемпотентно ^[7] и является простейшим примером полукольца, не являющегося кольцом. Учитывая два набора X и Y , бинарные отношения между X и Y соответствуют матрицам, проиндексированным X и Y с элементами в булевом полукольце, сложение матриц соответствует объединению отношений, а матричное умножениесоответствует составу отношений . ^[15]
Для данного множества U множество бинарных отношений над U является полукольцом с добавлением объединением (отношений как множеств) и умножением композиции отношений . Нуль полукольца - это пустое отношение, а его единица - тождественное отношение . ^[16] Эти отношения соответствуют матричному полукольцу (на самом деле, матричной полуалгебре) квадратных матриц, индексированных U с элементами в булевом полукольце, а затем сложение и умножение являются обычными матричными операциями, а ноль и единица являются обычной нулевой матрицей и единичная матрица .
Набор многочленов с натуральными коэффициентами, обозначаемый N [ x ], образует коммутативное полукольцо. Фактически, это свободное коммутативное полукольцо на единственной образующей { x }.
Тропические полукольца определяются по-разному. Макс-плюс полукольца R ∪ {-∞} является коммутативной, идемпотентная полукольцо макс ( , б ) , выступающей в качестве полукольца сложения (идентичность -∞) и обычного сложения (идентичности 0) , выступающей в качестве полукольца умножения. В альтернативной формулировке тропическое полукольцо - это R ∪ {∞}, а min заменяет max в качестве операции сложения. ^[17] Связанная версия имеет R underlying {± ∞} в качестве основного множества. ^[4]^[18]
Множество кардинальных чисел, меньших любого заданного бесконечного кардинала, образуют полукольцо при сложении и умножении числа. Класс всех кардиналов в качестве внутренней модели образует (класс) полукольцо ( в соответствии с внутренней моделью) кардинальное сложением и умножением.
Вероятность полукольцо неотрицательных действительных чисел под обычного сложения и умножения. ^[4]
Журнал полукольцо на R ∪ {± ∞} с добавлением заданного
$x\oplus y=-\log(e^{-x}+e^{-y})\ ,$
с умножением +, нулевым элементом + ∞ и единичным элементом 0. ^[4]
Семейство (классов эквивалентности изоморфизма) комбинаторных классов (наборов счетного числа объектов с неотрицательными целыми размерами, такими, что существует конечное число объектов каждого размера) с пустым классом в качестве нулевого объекта, класс, состоящий только из пустых установить как единицу, непересекающееся объединение классов как сложение и декартово произведение классов как умножение. ^[19]
Лукасевич полукольца: замкнутый интервал [0, 1] с добавлением заданного, беря максимум аргументов ( + Ь = тах ( , б ) ) и умножения AB дается макс (0, а + б - 1) появляется в многозначной логике . ^[16]
Витербите полукольцо также определяется над базовым множеством [0, 1] и имеет максимум как его дополнение, но его умножение обычного умножение действительных чисел. Он появляется при вероятностном анализе . ^[16]
Для алфавита (конечного множества) Σ множество формальных языков над Σ (подмножества Σ ∗ ) является полукольцом с произведением, индуцированным конкатенацией строк и сложением как объединением языков (то есть просто объединением как множеств). Нуль этого полукольца - это пустое множество (пустой язык), а единицей полукольца является язык, содержащий только пустую строку . ^[16] $L_{1}\cdot L_{2}=\left\{w_{1}w_{2}\mid w_{1}\in L_{1},w_{2}\in L_{2}\right\}$
Обобщая предыдущий пример (рассматривая Σ ^∗ как свободный моноид над Σ), возьмем M как любой моноид; множество мощности Р ( М ) все подмножества множества М образует полукольцо под теоретико-множественное объединения как сложение и мудрое множество умножения: . ^[12] $U\cdot V=\{u\cdot v:u\in U,\ v\in V\}$
Аналогично, если - моноид, то множество конечных мультимножеств in образует полукольцо. То есть элемент - это функция ; учитывая элемент , функция сообщает вам, сколько раз этот элемент встречается в мультимножестве, которое он представляет. Аддитивная единица - это постоянная нулевая функция. Мультипликативная единица - это функция, отображающая в 1, а все остальные элементы в 0. Сумма дается как, а произведение дается как . $(M,e,\cdot )$ $M$ $f:M\to \mathbb {N}$ $M$ $e$ $M$ $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ $(fg)(x)=\sum \{f(y)g(z)\mid y\cdot z=x\}$

Варианты [ править ]

Полные и непрерывные полукольца [ править ]

Полное полукольцо является полукольцо , для которых добавки Моноида является полным Моноид , что означает , что она имеет инфинитарную операцию суммы Σ _I для любых множества индексов I и следующие (инфинитарный) дистрибутивные законы должны иметь: ^[18]^[16]^{[ 20]}

\sum _{i\in I}{\left(a\cdot a_{i}\right)}=a\cdot \left(\sum _{i\in I}{a_{i}}\right),\qquad \sum _{i\in I}{\left(a_{i}\cdot a\right)}=\left(\sum _{i\in I}{a_{i}}\right)\cdot a.

Примером полного полукольца является набор степеней моноида при объединении. Матричное полукольцо над полным полукольцом полно. ^[21]

Непрерывное полукольцо Аналогично определяются как один , для которых добавления моноид является непрерывным моноид . То есть частично упорядоченный со свойством наименьшей верхней границы , для которого сложение и умножение учитывают порядок и верхнюю границу . Полукольцо N ∪ {∞} с обычным расширением сложения, умножения и порядка является непрерывным полукольцом. ^[22]

Любое непрерывное полукольцо является полным: ^[18] это можно рассматривать как часть определения. ^[21]

Звездные полукольца [ править ]

Звезда полукольца (иногда пишется starsemiring ) представляет собой полукольцо с дополнительным одинарным оператора ^* , ^[7]^[16]^[23]^[24] , удовлетворяющая

a^{*}=1+aa^{*}=1+a^{*}a.

Клини алгебра звезда полукольца идемпотентного дополнения. Они важны в теории формальных языков и регулярных выражений . ^[16]

Полные звездные полукольца [ править ]

В полном звездном полукольце звездный оператор ведет себя больше как обычная звезда Клини : для полного полукольца мы используем оператор бесконечной суммы, чтобы дать обычное определение звезды Клини: ^[16]

a^{*}=\sum _{j\geq 0}{a^{j}},

куда $a^{j}={\begin{cases}1,&j=0,\\a\cdot a^{j-1}=a^{j-1}\cdot a,&j>0.\end{cases}}$

Полукольцо Конвея [ править ]

Конвей полукольцо звезда полукольца , удовлетворяющая сумма-звезда и продукт-звезда уравнения: ^[7]^[25]

{\begin{aligned}(a+b)^{*}&=\left(a^{*}b\right)^{*}a^{*},\\(ab)^{*}&=1+a(ba)^{*}b.\end{aligned}}

Каждое полное звездное полукольцо также является полукольцом Конвея ^[26], но обратное неверно. Примером неполного полукольца Конвея является набор расширенных неотрицательных рациональных чисел Q _≥0 ∪ {∞} с обычным сложением и умножением (это модификация примера с расширенными неотрицательными действительными числами, приведенного в этом разделе путем исключения иррациональных чисел). ^[16]

Итерации полукольцо является Конвем полукольцом , удовлетворяющими аксиомы группы Conway, ^[7] , связанным с Джоном Conway групп в звездных полукольцах. ^[27]

Примеры [ править ]

Примеры звездных полуколец:

( упомянутое выше ) полукольцо бинарных отношений над некоторым базовым множеством U, в котором для всех . Эта звезда операция фактически рефлексивное и транзитивное замыкание в R (то есть наименьшее рефлексивное и транзитивное бинарное отношение над U , содержащим R .). ^[16] $R^{*}=\bigcup _{n\geq 0}R^{n}$ $R\subseteq U\times U$
полукольцо формальных языков является также полной звездой полукольца, с операцией звезды , совпадающей со звездой Клини (для множеств / языков). ^[16]
Множество неотрицательных расширенных вещественных чисел [0, ∞] вместе с обычным сложением и умножением вещественных чисел представляет собой полное звездное полукольцо с звездной операцией, задаваемой формулой a ^∗ = 1 / (1 - a ) для 0 ≤ a <1 ( т.е. геометрический ряд ) и a ^∗ = ∞ при a ≥ 1 . ^[16]
Булево полукольцо с 0 ^∗ = 1 ^∗ = 1 . ^[а]^[16]
Полукольцо на N ∪ {∞} с расширенным сложением и умножением и 0 ^∗ = 1 , a ^∗ = ∞ для a ≥ 1 . ^[а]^[16]

^ a b Это полное звездное полукольцо, а значит, и полукольцо Конвея. ^[16]

Диоид [ править ]

Термин диоид (от «двойного моноида») использовался для обозначения различных типов полуколец:

Он был использован Кунцманом в 1972 году для обозначения того, что сейчас называется полукольцом. ^[28]
Использование для обозначения идемпотентной подгруппы было введено Baccelli et al. в 1992 г. ^[29]
Название «диоид» также иногда используется для обозначения естественно упорядоченных полуколец . ^[30]

Обобщения [ править ]

Обобщение полуколец не требует наличия мультипликативного тождества, так что умножение - это полугруппа, а не моноид. Такие структуры называют полукольцо ^[31] или пра-полукольца . ^[32] Дальнейшее обобщение - это левые предполукольца , ^[33] которые дополнительно не требуют правой дистрибутивности (или правые предполукольца , которые не требуют левой дистрибутивности).

Тем не менее, дальнейшее обобщение - это почти полукольца : помимо того, что они не требуют нейтрального элемента для произведения или правой дистрибутивности (или левой дистрибутивности), они не требуют коммутативности сложения. Подобно тому, как кардинальные числа образуют полукольцо (класса), порядковые числа образуют почти кольцо , если принять во внимание стандартное порядковое сложение и умножение . Однако класс ординалов можно превратить в полукольцо, рассматривая вместо этого так называемые естественные (или Хессенберговские) операции .

В теории категорий , 2-вышка категория с функториальными операциями , аналогичными вышкой. То, что количественные числа образуют оснастку, можно разделить на категории, чтобы сказать, что категория множеств (или, в более общем смысле, любые топосы ) - это 2-риг.

См. Также [ править ]

Кольцо наборов
Алгебра оценки

Заметки [ править ]

^ Для примера см. Определение буровой установки на Proofwiki.org
^ т.е. кольцо, состоящее только из одного элемента, потому что кольца имеют аддитивные обратные, в отличие от полуколец.

Цитаты [ править ]

^ Глазек (2002) стр.7
^ Спейер, Дэвид; Штурмфельс, Бернд (2009). «Тропическая математика» . Математический журнал . 82 (3): 163–173. DOI : 10.1080 / 0025570X.2009.11953615 . ISSN 0025-570X .
^ Berstel & Perrin (1985), стр. 26 год
^ Б с д е Lothaire (2005) p.211
^ Sakarovitch (2009) pp.27-28
^ Lothaire (2005) С.212
^ a b c d e Эсик, Золтан (2008). «Итерационные полукольца». Ин Ито, Масами (ред.). Развитие теории языка. 12-я международная конференция, DLT 2008, Киото, Япония, 16–19 сентября 2008 г. Материалы . Конспект лекций по информатике. 5257 . Берлин: Springer-Verlag . С. 1–20. DOI : 10.1007 / 978-3-540-85780-8_1 . ISBN 978-3-540-85779-2. Zbl 1161.68598 .
^ Пара, Клод (1967), "Sur des алгоритмы для задач de cheminement dans les graphes finis (Об алгоритмах для проблем путей в конечных графах)", в Rosentiehl (ed.), Théorie des graphes (journalées internationales d'études) - Теория графов (международный симпозиум) , Рим (Италия), июль 1966 г .: Dunod (Париж) et Gordon and Breach (Нью-Йорк), стр. 271CS1 maint: location (link)
^ Derniame, Жан Клод; Пара, Клод (1971), Problèmes de cheminement dans les graphes (Проблемы пути в графах) , Dunod (Париж)
^ a b c Гутерман, Александр Э. (2008). «Ранговые и детерминантные функции для матриц над полукольцами». В Янге Николай; Чой, Йемон (ред.). Обзоры по современной математике . Серия лекций Лондонского математического общества. 347 . Издательство Кембриджского университета . С. 1–33. ISBN 0-521-70564-9. ISSN 0076-0552 . Zbl 1181.16042 .
^ a b c Сакарович (2009) стр.28
^ a b c Berstel & Reutenauer (2011) стр. 4
^ Schanuel SH (1991) Отрицательные множества имеют эйлерову характеристику и размерность. В: Карбони А., Педиккио М.С., Розолини Г. (редакторы) Теория категорий. Конспект лекций по математике, том 1488. Springer, Berlin, Heidelberg
^ Noel Vaillant, расширение Каратеодори , на probability.net.
↑ Джон К. Баэз (6 ноября 2001 г.). «Квантовая механика над коммутативной оснасткой» . Группа новостей : sci.physics.research . Usenet: [email protected] . Проверено 25 ноября 2018 года .
^ a b c d e f g h i j k l m n o Дросте, М., и Куич, В. (2009). Полукольца и формальные степенные ряды. Справочник по взвешенным автоматам , 3–28. DOI : 10.1007 / 978-3-642-01492-5_1 , стр. 7-10
^ Спейер, Дэвид; Штурмфельс, Бернд (2009) [2004]. «Тропическая математика». Математика. Mag . 82 (3): 163–173. arXiv : math / 0408099 . DOI : 10.4169 / 193009809x468760 . Zbl 1227.14051 .
^ a b c Куич, Вернер (2011). «Алгебраические системы и выталкивающие автоматы». В Kuich, Вернер (ред.). Алгебраические основы информатики. Очерки, посвященные Симеону Бозапалидису по случаю его выхода на пенсию . Конспект лекций по информатике. 7020 . Берлин: Springer-Verlag . С. 228–256. ISBN 978-3-642-24896-2. Zbl 1251.68135 .
^ Бард, Грегори В. (2009), Алгебраический криптоанализ , Springer, раздел 4.2.1, «Комбинаторные классы», и далее, стр. 30–34, ISBN 9780387887579.
^ Куич, Вернер (1990). «ω-непрерывные полукольца, алгебраические системы и автоматы проталкивания». В Патерсоне, Майкл С. (ред.). Автоматы, языки и программирование: 17-й международный коллоквиум, Уорикский университет, Англия, 16-20 июля 1990 г., Труды . Конспект лекций по информатике. 443 . Springer-Verlag . С. 103–110 . ISBN 3-540-52826-1.
^ а б Сакараович (2009) с.471
^ Эсик, Золтан; Лайс, Ганс (2002). «Нормальная форма Грейбаха в алгебраически полных полукольцах». В Брэдфилде, Джулиан (ред.). Логика информатики. 16-й международный семинар, CSL 2002, 11-я ежегодная конференция EACSL, Эдинбург, Шотландия, 22-25 сентября 2002 г. Материалы . Конспект лекций по информатике. 2471 . Берлин: Springer-Verlag . С. 135–150. Zbl 1020.68056 .
^ Леманн, Дэниел Дж. "Алгебраические структуры для транзитивного замыкания". Теоретическая информатика 4, вып. 1 (1977): 59-76.
^ Berstel & Reutenauer (2011) стр.27
^ Эсик, Золтан; Куич, Вернер (2004). «Аксиомы уравнений теории автоматов». В Мартин-Виде, Карлос (ред.). Формальные языки и приложения . Исследования в области нечеткости и мягких вычислений. 148 . Берлин: Springer-Verlag . С. 183–196. ISBN 3-540-20907-7. Zbl 1088.68117 .
^ Droste, М., & Kuich, W. (2009). Полукольца и формальные степенные ряды. Справочник по взвешенным автоматам , 3–28. DOI : 10.1007 / 978-3-642-01492-5_1 , теорема 3.4 с. 15
Перейти ↑ Conway, JH (1971). Регулярная алгебра и конечные машины . Лондон: Чепмен и Холл. ISBN 0-412-10620-5. Zbl 0231.94041 .
^ Kuntzmann, J. (1972). Théorie des réseaux (графики) (на французском языке). Пэрис: Данод. Zbl 0239.05101 .
^ Бакчелли, Франсуа Луи; Ольсдер, Герт Ян; Квадра, Жан-Пьер; Коэн, Гай (1992). Синхронизация и линейность. Алгебра для дискретных систем событий . Серия Уайли по вероятности и математической статистике. Чичестер: Вайли. Zbl 0824,93003 .
^ Полуфабрикаты на завтрак , слайд 17
↑ Джонатан С. Голан, Полукольца и их приложения , Глава 1, p1
^ Мишель Гондран, Мишель Мину, Графы, диоиды и полукольца: новые модели и алгоритмы , глава 1, раздел 4.2, стр. 22
^ Мишель Гондран, Мишель Мину, Графы, диоиды и полукольца: новые модели и алгоритмы , глава 1, раздел 4.1, стр. 20

Источники [ править ]

Дерниам, Жан Клод; Пара, Клод (1971), Problèmes de cheminement dans les graphes (Проблемы пути в графах) , Dunod (Париж)
Франсуа Баччелли , Гай Коэн, Герт Ян Ольсдер, Жан-Пьер Квадра, Синхронизация и линейность (онлайн-версия) , Wiley, 1992, ISBN 0-471-93609-X
Голан, Джонатан С., Семиринги и их приложения . Обновленная и расширенная версия теории полуколец с приложениями к математике и теоретической информатике (Longman Sci. Tech., Harlow, 1992, MR 1163371. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1999. xii + 381 pp. ISBN 0-7923- 5786-8 Руководство по ремонту 1746739
Берстель, Жан; Перрен, Доминик (1985). Теория кодов . Чистая и прикладная математика. 117 . Академическая пресса. ISBN 978-0-12-093420-1. Zbl 0587.68066 .
Лотэр, М. (2005). Прикладная комбинаторика слов . Энциклопедия математики и ее приложений. 105 . Коллективный труд Жан Berstel Доминик Перрен, Максим Крошемор, Эрик Лапорта, Меряр Мори, Надя Pisanti, Мари-Франс Sagot, Гезине Рейнертом , Софи Schbath , Майкл Waterman, Филипп Жаке, Войцех Szpankowski , Доминик Poulalhon, Жиль Шеффера, Роман Колпаков , Грегори Кушеров, Жан-Поль Аллуш и Валери Берте . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-84802-4. Zbl 1133.68067 .
Глазек, Казимеж (2002). Справочник по литературе по полукольцам и их приложениям в математике и информатике. С полной библиографией . Дордрехт: Kluwer Academic. ISBN 1-4020-0717-5. Zbl 1072.16040 .
Сакарович, Жак (2009). Элементы теории автоматов . Перевод с французского Рувима Томаса. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-84425-3. Zbl 1188.68177 .
Берстель, Жан; Ройтенауэр, Кристоф (2011). Некоммутативные рациональные ряды с приложениями . Энциклопедия математики и ее приложений. 137 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-19022-0. Zbl 1250,68007 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Голан, Джонатан С. (2003). Полукольца и аффинные уравнения над ними . Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4020-1358-4. Zbl 1042.16038 .
Гондран, Мишель; Мину, Мишель (2008). Графы, диоиды и полукольца: новые модели и алгоритмы . Серия интерфейсов «Исследование операций / Информатика». 41 . Дордрехт: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-75450-5. Zbl 1201.16038 .
Грийе, Мирей П. (1970). «Отношения Грина в полукольце» . Порт. Математика . 29 : 181–195. Zbl 0227.16029 .
Гунавардена, Джереми (1998). «Введение в идемпотентность». В Гунавардене, Джереми (ред.). Идемпотентность. По материалам семинара, Бристоль, Великобритания, 3–7 октября 1994 г. (PDF) . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . С. 1–49. Zbl 0898.16032 .
Джипсен, П. (2004). «От полуколец к решеткам Клини с делениями». Studia Logica . 76 (2): 291–303. DOI : 10,1023 / Б: STUD.0000032089.54776.63 . Zbl 1045.03049 .
Стивен Долан (2013) Аферисты полукольцами , DOI : 10,1145 / 2500365,2500613

[conway-30] Это полное звездное полукольцо, а значит, и полукольцо Конвея. ^[16]

[7] Для примера см. Определение буровой установки на Proofwiki.org

[9] т.е. кольцо, состоящее только из одного элемента, потому что кольца имеют аддитивные обратные, в отличие от полуколец.

[1] Глазек (2002) стр.7

[2] Спейер, Дэвид; Штурмфельс, Бернд (2009). «Тропическая математика» . Математический журнал . 82 (3): 163–173. DOI : 10.1080 / 0025570X.2009.11953615 . ISSN 0025-570X .

[3] Berstel & Perrin (1985), стр. 26 год

[LotIII211-4] Б с д е Lothaire (2005) p.211

[Sak2728-5] Sakarovitch (2009) pp.27-28

[LotIII212-6] Lothaire (2005) С.212

[Esik08-8] Эсик, Золтан (2008). «Итерационные полукольца». Ин Ито, Масами (ред.). Развитие теории языка. 12-я международная конференция, DLT 2008, Киото, Япония, 16–19 сентября 2008 г. Материалы . Конспект лекций по информатике. 5257 . Берлин: Springer-Verlag . С. 1–20. DOI : 10.1007 / 978-3-540-85780-8_1 . ISBN 978-3-540-85779-2. Zbl 1161.68598 .

[Pair1966-10] Пара, Клод (1967), "Sur des алгоритмы для задач de cheminement dans les graphes finis (Об алгоритмах для проблем путей в конечных графах)", в Rosentiehl (ed.), Théorie des graphes (journalées internationales d'études) - Теория графов (международный симпозиум) , Рим (Италия), июль 1966 г .: Dunod (Париж) et Gordon and Breach (Нью-Йорк), стр. 271CS1 maint: location (link)

[11] Derniame, Жан Клод; Пара, Клод (1971), Problèmes de cheminement dans les graphes (Проблемы пути в графах) , Dunod (Париж)

[Gut08-12] Гутерман, Александр Э. (2008). «Ранговые и детерминантные функции для матриц над полукольцами». В Янге Николай; Чой, Йемон (ред.). Обзоры по современной математике . Серия лекций Лондонского математического общества. 347 . Издательство Кембриджского университета . С. 1–33. ISBN 0-521-70564-9. ISSN 0076-0552 . Zbl 1181.16042 .

[Sak28-13] Сакарович (2009) стр.28

[BR4-14] Berstel & Reutenauer (2011) стр. 4

[15] Schanuel SH (1991) Отрицательные множества имеют эйлерову характеристику и размерность. В: Карбони А., Педиккио М.С., Розолини Г. (редакторы) Теория категорий. Конспект лекций по математике, том 1488. Springer, Berlin, Heidelberg

[16] Noel Vaillant, расширение Каратеодори , на probability.net.

[17] Джон К. Баэз (6 ноября 2001 г.). «Квантовая механика над коммутативной оснасткой» . Группа новостей : sci.physics.research . Usenet: [email protected] . Проверено 25 ноября 2018 года .

[droste-18] ^ a b c d e f g h i j k l m n o Дросте, М., и Куич, В. (2009). Полукольца и формальные степенные ряды. Справочник по взвешенным автоматам , 3–28. DOI : 10.1007 / 978-3-642-01492-5_1 , стр. 7-10

[19] Спейер, Дэвид; Штурмфельс, Бернд (2009) [2004]. «Тропическая математика». Математика. Mag . 82 (3): 163–173. arXiv : math / 0408099 . DOI : 10.4169 / 193009809x468760 . Zbl 1227.14051 .

[Kuich11-20] Куич, Вернер (2011). «Алгебраические системы и выталкивающие автоматы». В Kuich, Вернер (ред.). Алгебраические основы информатики. Очерки, посвященные Симеону Бозапалидису по случаю его выхода на пенсию . Конспект лекций по информатике. 7020 . Берлин: Springer-Verlag . С. 228–256. ISBN 978-3-642-24896-2. Zbl 1251.68135 .

[21] Бард, Грегори В. (2009), Алгебраический криптоанализ , Springer, раздел 4.2.1, «Комбинаторные классы», и далее, стр. 30–34, ISBN 9780387887579.

[22] Куич, Вернер (1990). «ω-непрерывные полукольца, алгебраические системы и автоматы проталкивания». В Патерсоне, Майкл С. (ред.). Автоматы, языки и программирование: 17-й международный коллоквиум, Уорикский университет, Англия, 16-20 июля 1990 г., Труды . Конспект лекций по информатике. 443 . Springer-Verlag . С. 103–110 . ISBN 3-540-52826-1.

[Sak471-23] а б Сакараович (2009) с.471

[24] Эсик, Золтан; Лайс, Ганс (2002). «Нормальная форма Грейбаха в алгебраически полных полукольцах». В Брэдфилде, Джулиан (ред.). Логика информатики. 16-й международный семинар, CSL 2002, 11-я ежегодная конференция EACSL, Эдинбург, Шотландия, 22-25 сентября 2002 г. Материалы . Конспект лекций по информатике. 2471 . Берлин: Springer-Verlag . С. 135–150. Zbl 1020.68056 .

[Lehmann-25] Леманн, Дэниел Дж. "Алгебраические структуры для транзитивного замыкания". Теоретическая информатика 4, вып. 1 (1977): 59-76.

[BR27-26] Berstel & Reutenauer (2011) стр.27

[27] Эсик, Золтан; Куич, Вернер (2004). «Аксиомы уравнений теории автоматов». В Мартин-Виде, Карлос (ред.). Формальные языки и приложения . Исследования в области нечеткости и мягких вычислений. 148 . Берлин: Springer-Verlag . С. 183–196. ISBN 3-540-20907-7. Zbl 1088.68117 .

[droste15-28] Droste, М., & Kuich, W. (2009). Полукольца и формальные степенные ряды. Справочник по взвешенным автоматам , 3–28. DOI : 10.1007 / 978-3-642-01492-5_1 , теорема 3.4 с. 15

[29] Перейти ↑ Conway, JH (1971). Регулярная алгебра и конечные машины . Лондон: Чепмен и Холл. ISBN 0-412-10620-5. Zbl 0231.94041 .

[31] Kuntzmann, J. (1972). Théorie des réseaux (графики) (на французском языке). Пэрис: Данод. Zbl 0239.05101 .

[32] Бакчелли, Франсуа Луи; Ольсдер, Герт Ян; Квадра, Жан-Пьер; Коэн, Гай (1992). Синхронизация и линейность. Алгебра для дискретных систем событий . Серия Уайли по вероятности и математической статистике. Чичестер: Вайли. Zbl 0824,93003 .

[33] Полуфабрикаты на завтрак , слайд 17

[34] Джонатан С. Голан, Полукольца и их приложения , Глава 1, p1

[35] Мишель Гондран, Мишель Мину, Графы, диоиды и полукольца: новые модели и алгоритмы , глава 1, раздел 4.2, стр. 22

[36] Мишель Гондран, Мишель Мину, Графы, диоиды и полукольца: новые модели и алгоритмы , глава 1, раздел 4.1, стр. 20