Коммутативная алгебра

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в основном непроверенным, поскольку в нем отсутствуют соответствующие встроенные ссылки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Июнь 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Алгебраическая структура → Теория колец Теория колец
Базовые концепты Кольца • Подкольца • Идеально • Факторное кольцо • Дробный идеал • Общее кольцо частных • Кольцо продукта • Бесплатное произведение ассоциативных алгебр • Тензорное произведение колец Гомоморфизмы колец • Ядро • Внутренний автоморфизм • Эндоморфизм Фробениуса Алгебраические структуры • Модуль • Ассоциативная алгебра • Градуированное кольцо • Инволютивное кольцо • Категория колец • Начальное кольцо ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • Клеммное кольцо ${\ Displaystyle 0 = \ mathbb {Z} _ {1}}$ Связанные структуры • Поле • Конечное поле • Неассоциативное кольцо • Кольцо лжи • кольцо Jordan • Полукругление • Semifield
Коммутативная алгебра Коммутативные кольца • Целостная область • Интегрально закрытый домен • домен GCD • Уникальный домен факторизации • Основная идеальная область • Евклидова область • Поле • Конечное поле • Композиционное кольцо • Кольцо полиномов • Формальное кольцо степенной серии Алгебраическая теория чисел • Поле алгебраических чисел • Кольцо целых чисел • Алгебраическая независимость • Трансцендентальная теория чисел • Степень трансцендентности p -адическая теория чисел и десятичные дроби • Прямой предел / обратный предел • Нулевое кольцо ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {1}}$ • Целые числа по модулю p n ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$ • Prüfer p -ring ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} (п ^ {\ infty})}$ • Основание - круговое кольцо p ${\ displaystyle \ mathbb {T}}$ • База - p целых чисел ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • p -адические рациональные числа ${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]}$ • База - p вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ • p -адические целые числа ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ • p -адические числа ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ • p -адический соленоид ${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$ Алгебраическая геометрия • Аффинное разнообразие
Некоммутативная алгебра Некоммутативные кольца • Дивизионное кольцо • Полупримитивное кольцо • Простое кольцо • Коммутатор Некоммутативная алгебраическая геометрия Свободная алгебра Алгебра Клиффорда • Геометрическая алгебра Операторная алгебра
v т е

Коммутативная алгебра - это раздел алгебры , изучающий коммутативные кольца , их идеалы и модули над такими кольцами. И алгебраическая геометрия, и алгебраическая теория чисел основаны на коммутативной алгебре. Известные примеры коммутативных колец включают кольца полиномов ; кольца алгебраических целых чисел , включая обычные целые числа ; и p -адические целые числа . ^[1]${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Коммутативная алгебра - основной технический инструмент при локальном изучении схем .

Изучение колец, которые не обязательно являются коммутативными, известно как некоммутативная алгебра ; она включает в себя теорию колец , теории представлений и теории банаховых алгебр .

Обзор [ править ]

Коммутативная алгебра - это, по сути, изучение колец, встречающихся в алгебраической теории чисел и алгебраической геометрии .

В алгебраической теории чисел кольца алгебраических целых чисел являются дедекиндовыми кольцами , которые составляют важный класс коммутативных колец. Соображения, связанные с модульной арифметикой , привели к понятию оценочного кольца . Ограничение расширений алгебраических полей на подкольца привело к появлению понятий целочисленных расширений и целозамкнутых областей, а также к понятию ветвления расширения колец нормирования.

Понятие локализации кольца (в частности, локализация относительно простого идеала , локализация, состоящая в обращении одного элемента и полного фактор-кольца ) является одним из основных отличий коммутативной алгебры от теории некоммутативных колец. . Это приводит к важному классу коммутативных колец - локальных колец , имеющих только один максимальный идеал . Множество простых идеалов коммутативного кольца естественно оснащено топологией , в топологии Зарисской . Все эти понятия широко используются в алгебраической геометрии и являются основными техническими инструментами для определения теории схем., обобщение алгебраической геометрии, введенное Гротендиком .

Многие другие понятия коммутативной алгебры являются аналогами геометрических понятий, встречающихся в алгебраической геометрии. Это случай размерности Крулля , первичного разложения , регулярных колец , Коэна-Маколея кольца , горенштайнова кольца и многих других понятий.

История [ править ]

Предмет, сначала известный как идеальная теория , начался с работы Ричарда Дедекинда об идеалах , которая сама основана на более ранних работах Эрнста Куммера и Леопольда Кронекера . Позже Дэвид Гильберт ввел термин « кольцо», чтобы обобщить ранний термин « числовое кольцо» . Гильберт представил более абстрактный подход, чтобы заменить более конкретные и ориентированные на вычисления методы, основанные на таких вещах, как комплексный анализ и классическая теория инвариантов . В свою очередь, Гильберт сильно повлиял на Эмми Нётер , которая переработала многие предыдущие результаты в терминахусловие возрастающей цепи , теперь известное как условие Нётера. Другой важной вехой стала работа ученика Гильберта Эмануэля Ласкера , который ввел первичные идеалы и доказал первую версию теоремы Ласкера – Нётер .

Главной фигурой, ответственной за рождение коммутативной алгебры как зрелого предмета, был Вольфганг Крулл , который ввел фундаментальные понятия локализации и пополнения кольца, а также регулярных локальных колец . Он установил понятие размерности Крулля кольца, первый для нётеровых колец , прежде чем перейти к расширению своей теории для покрытия общего колец нормирования и Крулль кольца . По сей день основная идеальная теорема Крулляшироко считается самой важной основной теоремой коммутативной алгебры. Эти результаты проложили путь для введения коммутативной алгебры в алгебраическую геометрию, идеи, которая произвела революцию в этой последней теме.

Большая часть современного развития коммутативной алгебры делает упор на модули . Оба идеала кольца R и R -алгебры являются частными случаями R -модулей, поэтому теория модулей охватывает как теорию идеалов, так и теорию расширений колец . Хотя он уже зародился в работах Кронекера , современный подход к коммутативной алгебре с использованием теории модулей обычно приписывают Круллу и Нётер .

Основные инструменты и результаты [ править ]

Нётерские кольца [ править ]

В математике , более конкретно в области современной алгебры, известной как теория колец , нётерово кольцо , названное в честь Эмми Нётер , представляет собой кольцо, в котором каждый непустой набор идеалов имеет максимальный элемент. Точно так же кольцо является нётеровым, если оно удовлетворяет условию восходящей цепи на идеалах; то есть для любой цепочки:

${\displaystyle I_{1}\subseteq \cdots I_{k-1}\subseteq I_{k}\subseteq I_{k+1}\subseteq \cdots }$

существует такое n , что:

${\displaystyle I_{n}=I_{n+1}=\cdots }$

Для того чтобы коммутативное кольцо было нётеровым, достаточно, чтобы каждый первичный идеал кольца был конечно порождён. (Результат принадлежит И.С. Коэну .)

Понятие нётерова кольца имеет фундаментальное значение как в коммутативной, так и в некоммутативной теории колец из-за той роли, которую оно играет в упрощении идеальной структуры кольца. Например, кольцо целых и кольцо многочленов над полем являются Нетеровы кольца и , следовательно, такие теоремы , как теоремы Ласкера-Нётер , тем Круль пересечение теорема , и теоремы Гильберта о базисе имеют место для них. Кроме того, если кольцо нётерово, то оно удовлетворяет условию убывающей цепи на простых идеалах . Это свойство наводит на мысль о глубокой теории размерности нётеровых колец, начиная с понятияИзмерение Крулля .

Теорема Гильберта о базисе [ править ]

Теорема. Если R - нётерово левое (или правое) кольцо , то кольцо многочленов R [ X ] также является левым (соответственно правым) нётеровым кольцом.

Теорема Гильберта о базисе имеет несколько непосредственных следствий:

1. По индукции мы видим, что это тоже будет нётеровым.${\displaystyle R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]}$
2. Поскольку любое аффинное многообразие над (т.е. множество множества многочленов) может быть записано как геометрическое место идеала, а затем как геометрическое место его образующих, отсюда следует, что каждое аффинное многообразие является геометрическим местом конечного числа многочленов, т. Е. пересечение конечного числа гиперповерхностей .${\displaystyle R^{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]}$
3. Если - конечно порожденная -алгебра, то мы знаем, что где - идеал. В основе теоремы следует , что должно быть конечно порожден, скажем , то есть это конечно представима .${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A\simeq R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]/{\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}=(p_{0},\dotsc ,p_{N-1})}$${\displaystyle A}$

Первичная декомпозиция [ править ]

Идеал Q кольца называется первичным , если Q является правильной , и всякий раз , когда ху ∈ Q , либо х ∈ Q , или у ^п ∈ Q для некоторого положительного целого числа п . В Z первичные идеалы - это в точности идеалы вида ( p ^e ), где p простое число, а e натуральное число. Таким образом, примарное разложение ( n ) соответствует представлению ( n ) как пересечения конечного числа первичных идеалов.

Приведенную здесь теорему Ласкера – Нётер можно рассматривать как определенное обобщение основной теоремы арифметики:

Теорема Ласкера-Нётер. Пусть R коммутативное нётерово кольцо и I идеал в R . Тогда I можно записать как пересечение конечного числа первичных идеалов с различными радикалами ; то есть:

${\displaystyle I=\bigcap _{i=1}^{t}Q_{i}}$

с Q _i первичным для всех i и Rad ( Q _i ) ≠ Rad ( Q _j ) для i ≠ j . Кроме того, если:

${\displaystyle I=\bigcap _{i=1}^{k}P_{i}}$

это разложение I с Rad ( P _я ) ≠ Rad ( P _J ) для я ≠ J , и оба разложения I являются тупиковым ( что означает , что нет никакого надлежащего подмножество либо { Q ₁ , ..., Q _т } или { Р ₁ , ..., P _k } дает пересечение, равное I ), t = k и (после возможной перенумерации Q _i ) Rad ( Q _i ) = Rad ( P _i ) для всехя .

Для любого примарного разложения I множество всех радикалов, то есть множество {Rad ( Q ₁ ), ..., Rad ( Q _t )}, остается неизменным по теореме Ласкера – Нётер. Фактически, оказывается, что (для нётеровского кольца) множество является в точности убийцей модуля R / I ; то есть, множество всех аннигиляторов из R / I (рассматриваемый как модуль над R ) , которые являются простыми.

Локализация [ править ]

Локализация является формальным способом ввести «знаменатели» для данного кольца или модуля. То есть вводит новое кольцо / модуль из существующего, чтобы оно состояло из дробей

${\displaystyle {\frac {m}{s}}}$.

, где знаменатели ева диапазона в данном подмножестве S из R . Типичным примером является построение кольца рациональных чисел Q из кольца целых чисел Z.

Завершение [ править ]

Завершения являются одной из нескольких смежных функторов на кольцах и модулях , что приводит к полным топологическим кольцам и модулям. Завершение похоже на локализацию , и вместе они являются одними из самых основных инструментов при анализе коммутативных колец . Полные коммутативные кольца имеют более простую структуру, чем общие, и к ним применима лемма Гензеля .

Топология Зарисского на простых идеалах [ править ]

Топология Зариская определяет топологию на спектре кольца (множество простых идеалов). ^[2] В этой формулировке под замкнутыми по Зарискому множествами понимаются множества

${\displaystyle V(I)=\{P\in \operatorname {Spec} \,(A)\mid I\subseteq P\}}$

где A - фиксированное коммутативное кольцо, а I - идеал. Это определяется по аналогии с классической топологией Зарисского, где замкнутые множества в аффинном пространстве определяются полиномиальными уравнениями. Чтобы увидеть связь с классической картиной, отметим, что для любого множества S многочленов (над алгебраически замкнутым полем) из Nullstellensatz Гильберта следует , что точки V ( S ) (в старом смысле) являются в точности наборами ( a ₁ , ..., a _n ) такая, что ( x ₁ - a ₁ , ..., x _n - a_п ) содержит S ; более того, это максимальные идеалы, и согласно «слабому» Nullstellensatz идеал любого аффинного координатного кольца максимален тогда и только тогда, когда он имеет эту форму. Таким образом, V ( S ) является «таким жекак» максимальными идеалысодержащих S . Новаторство Гротендика в определении Spec заключалось в замене максимальных идеалов на все основные идеалы; в этой формулировке естественно просто обобщить это наблюдение до определения замкнутого множества в спектре кольца.

Примеры [ править ]

Основным примером коммутативной алгебры является кольцо целых чисел . Существование простых чисел и уникальная теорема факторизации заложили основы таких понятий, как нётеровы кольца и первичное разложение .${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Другие важные примеры:

• Кольца полиномов ${\displaystyle R[x_{1},...,x_{n}]}$
• В р-адических чисел
• Кольца целых алгебраических чисел .

Связи с алгебраической геометрией [ править ]

Коммутативная алгебра (в форме колец многочленов и их частных, используемых в определении алгебраических многообразий ) всегда была частью алгебраической геометрии . Однако в конце 1950-х годов алгебраические многообразия были включены в концепцию схемы Александра Гротендика . Их локальные объекты - это аффинные схемы или простые спектры, которые являются локально окольцованными пространствами, которые образуют категорию, антиэквивалентную (двойственную) категории коммутативных колец с единицей, расширяющую двойственность между категорией аффинных алгебраических многообразий над полем k , и категория конечно порожденных редуцированных k-алгебры. Склейка по топологии Зарисского; можно склеить в категории локально окольцованных пространств, но также, используя вложение Йонеды, в более абстрактную категорию предпучков множеств над категорией аффинных схем. Затем топология Зарисского в теоретико-множественном смысле заменяется топологией Зарисского в смысле топологии Гротендика . Гротендик представил топологии Гротендика, имея в виду более экзотические, но геометрически более тонкие и более чувствительные примеры, чем грубая топология Зариски , а именно этальная топология и две плоские топологии Гротендика: fppf и fpqc. В настоящее время стали известны некоторые другие примеры, в том числе топология Нисневича.. Пучки могут быть, кроме того, обобщены на стеки в смысле Гротендика, обычно с некоторыми дополнительными условиями представимости, приводящими к стекам Артина и, даже более тонким, стекам Делиня – Мамфорда , которые часто называют алгебраическими стеками.

См. Также [ править ]

• Список тем коммутативной алгебры
• Словарь коммутативной алгебры
• Комбинаторная коммутативная алгебра
• Основа Грёбнера
• Гомологическая алгебра

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Майкл Атья и Ян Г. Макдональд , Введение в коммутативную алгебру , Массачусетс: издательство Addison-Wesley, 1969.
• Бурбаки, Николя , Коммутативная алгебра. Главы 1-7 . Перевод с французского. Перепечатка английского перевода 1989 года. Элементы математики (Берлин). Springer-Verlag, Berlin, 1998. xxiv + 625 с. ISBN 3-540-64239-0 
• Bourbaki, Nicolas , Éléments de mathématique. Коммутативный Algèbre. Главы 8 и 9 . (Элементы математики. Коммутативная алгебра. Главы 8 и 9) Перепечатка оригинала 1983 года. Springer, Berlin, 2006. ii + 200 стр. ISBN 978-3-540-33942-7 
• Эйзенбуд, Дэвид (1995). Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии . Тексты для выпускников по математике . 150 . Нью-Йорк: Springer-Verlag . xvi + 785. ISBN 0-387-94268-8. Руководство по ремонту  1322960 .
• Реми Гобло, "Algèbre коммутативные, курс и упражнения corrigés", 2-е издание, Dunod 2001, ISBN 2-10-005779-0 
• Эрнст Кунц, «Введение в коммутативную алгебру и алгебраическую геометрию», Birkhauser 1985, ISBN 0-8176-3065-1 
• Мацумура, Хидеюки, Коммутативная алгебра . Второе издание. Серия лекций по математике, 56. Benjamin / Cummings Publishing Co., Inc., Рединг, Массачусетс, 1980. xv + 313 стр. ISBN 0-8053-7026-9 
• Мацумура, Хидеюки, Теория коммутативных колец . Второе издание. Перевод с японского. Кембриджские исследования в области высшей математики, Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press, 1989. ISBN 0-521-36764-6 
• Нагата, Масаёши , Местные кольца . Interscience Tractors in Pure and Applied Mathematics, No. 13. Interscience Publishers, подразделение John Wiley and Sons, Нью-Йорк-Лондон, 1962 г. xiii + 234 с.
• Майлз Рид, бакалавриат по коммутативной алгебре (тексты студентов Лондонского математического общества) , Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press, 1996.
• Жан-Пьер Серр , Локальная алгебра . Переведено с французского CheeWhye Chin и отредактировано автором. (Оригинальное название: Algèbre locale, multiplicités ) Монографии Спрингера по математике. Springer-Verlag, Berlin, 2000. xiv + 128 стр. ISBN 3-540-66641-9 
• Шарп Р. Я. Шаги в коммутативной алгебре . Второе издание. Тексты студентов Лондонского математического общества, 51. Cambridge University Press, Cambridge, 2000. xii + 355 pp. ISBN 0-521-64623-5 
• Зариски, Оскар ; Самуэль, Пьер , Коммутативная алгебра . Vol. 1, 2. При сотрудничестве И.С. Коэна. Исправленное переиздание издания 1958 г., 1960 г. Тексты для выпускников по математике, № 28, 29. Springer-Verlag, Нью-Йорк-Гейдельберг-Берлин, 1975.