Гомоморфизм колец

Алгебраическая структура → Теория колец Теория колец
Базовые концепты Кольца • Подкольца • Идеально • Факторное кольцо • Дробный идеал • Общее кольцо частных • Кольцо продукта • Бесплатное произведение ассоциативных алгебр • Тензорное произведение колец Гомоморфизмы колец • Ядро • Внутренний автоморфизм • Эндоморфизм Фробениуса Алгебраические структуры • Модуль • Ассоциативная алгебра • Градуированное кольцо • Инволютивное кольцо • Категория колец • Начальное кольцо ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • Клеммное кольцо ${\ Displaystyle 0 = \ mathbb {Z} _ {1}}$ Связанные структуры • Поле • Конечное поле • Неассоциативное кольцо • Кольцо лжи • кольцо Jordan • Полукругление • Semifield
Коммутативная алгебра Коммутативные кольца • Целостная область • Интегрально закрытый домен • домен GCD • Уникальный домен факторизации • Основная идеальная область • Евклидова область • Поле • Конечное поле • Композиционное кольцо • Кольцо полиномов • Формальное кольцо степенной серии Алгебраическая теория чисел • Поле алгебраических чисел • Кольцо целых чисел • Алгебраическая независимость • Трансцендентальная теория чисел • Степень трансцендентности p -адическая теория чисел и десятичные дроби • Прямой предел / обратный предел • Нулевое кольцо ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {1}}$ • Целые числа по модулю p n ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$ • Prüfer p -ring ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} (п ^ {\ infty})}$ • Основание - круговое кольцо p ${\ displaystyle \ mathbb {T}}$ • База - p целых чисел ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • p -адические рациональные числа ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [1 / p]}$ • База - p вещественных чисел ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ • p -адические целые числа ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$ • p -адические числа ${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$ • p -адический соленоид ${\ displaystyle \ mathbb {T} _ {p}}$ Алгебраическая геометрия • Аффинное разнообразие
Некоммутативная алгебра Некоммутативные кольца • Дивизионное кольцо • Полупримитивное кольцо • Простое кольцо • Коммутатор Некоммутативная алгебраическая геометрия Свободная алгебра Алгебра Клиффорда • Геометрическая алгебра Операторная алгебра
v т е

В теории колец , ветви абстрактной алгебры , гомоморфизм колец - это функция, сохраняющая структуру между двумя кольцами . Более явно, если R и S - кольца, то гомоморфизм колец - это функция f  : R → S такая, что f равна ^{[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7]]}

добавление сохранения:

${\ Displaystyle f (a + b) = f (a) + f (b)}$для всех a и b в R ,

с сохранением умножения:

${\ Displaystyle f (ab) = f (a) f (b)}$для всех a и b в R ,

и единица (мультипликативная идентичность) с сохранением:

${\ displaystyle f (1_ {R}) = 1_ {S}}$.

Аддитивные инверсии и аддитивная идентичность также являются частью структуры, но нет необходимости явно требовать, чтобы они тоже соблюдались, потому что эти условия являются следствием трех условий выше.

Если к тому же f - биекция , то ее обратный f ⁻¹ также является гомоморфизмом колец. В этом случае f называется изоморфизмом колец , а кольца R и S - изоморфными . С точки зрения теории колец изоморфные кольца нельзя выделить.

Если R и S являются РНГС , то соответствующее представление является то , что из RNG гомоморфизм , ^[8] , как определено выше , за исключением без третьего условия F (1 _R ) = 1 _S . Гомоморфизм между (унитальными) кольцами не обязательно должен быть гомоморфизмом колец.

Композиция из двух кольцевых гомоморфизмов является кольцевым гомоморфизмом. Отсюда следует, что класс всех колец образует категорию с гомоморфизмами колец как морфизмами (ср. Категорию колец ). В частности, получаются понятия кольцевого эндоморфизма, кольцевого изоморфизма и кольцевого автоморфизма.

Свойства [ править ]

Пусть - гомоморфизм колец. Тогда непосредственно из этих определений можно вывести:${\ displaystyle f \ двоеточие R \ rightarrow S}$

• е (0 _R ) = 0 _S .
• е (- ) = - F ( ) для всех а в R .
• Для любого единичного элемента a в R , f ( a ) - такой единичный элемент, что f ( a ⁻¹ ) = f ( a ) ⁻¹ . В частности, f индуцирует групповой гомоморфизм от (мультипликативной) группы единиц R к (мультипликативной) группе единиц S (или im ( f )).
• Изображения из F , обозначается им ( ф ), является подкольцом S .
• Ядро из F , определяется как кег ( е ) = { в R  : F ( ) = 0 _S } , является идеальным в R . Таким образом, каждый идеал кольца R возникает из некоторого гомоморфизма колец.
• Гомоморфизм f инъективен тогда и только тогда, когда ker ( f ) = {0 _R } .
• Если существует кольцевой гомоморфизм F  : R → S , то характеристика из S делит характеристику R . Иногда это можно использовать, чтобы показать, что между некоторыми кольцами R и S не может существовать гомоморфизмов колец R → S.
• Если R _p - наименьшее подкольцо, содержащееся в R, а S _p - наименьшее подкольцо, содержащееся в S , то каждый гомоморфизм колец f  : R → S индуцирует гомоморфизм колец f _p  : R _p → S _p .
• Если R - поле (или, в более общем смысле, тело ), а S - не нулевое кольцо , то f инъективно.
• Если оба R и S являются полями , то им ( е ) представляет собой подпол S , поэтому S можно рассматривать как расширение поля из R .
• Если R и S коммутируют и я является идеалом S , то F ^-1 (I) , является идеалом R .
• Если R и S коммутируют и Р является простым идеалом из S , то F ^-1 ( Р ) является простым идеалом R .
• Если R и S коммутируют, М представляет собой максимальный идеал из S , а е сюрьективен, то F ^-1 (М) представляет собой максимальный идеал R .
• Если R и S коммутируют и S является областью целостности , то кег ( е ) представляет собой простой идеал R .
• Если R и S коммутируют, S является полем, а е сюрьективно, то кег ( е ) представляет собой максимальный идеал из R .
• Если е сюръективна, Р первична (максимальная) идеал в R , и кег ( е ) ⊆ Р , то Р ( Р ) является первичным (максимальная) идеал в S .

Более того,

• Композиция гомоморфизмов колец является гомоморфизмом колец.
• Тождественное отображение - это гомоморфизм колец (но не нулевое отображение).
• Следовательно, класс всех колец вместе с гомоморфизмами колец образует категорию, категорию колец .
• Для каждого кольца R , существует единственный кольцевой гомоморфизм Z → R . Это говорит о том, что кольцо целых чисел является начальным объектом в категории колец.
• Для каждого кольца R существует единственный гомоморфизм колец R → 0 , где 0 обозначает нулевое кольцо (кольцо, единственный элемент которого равен нулю). Это говорит о том, что нулевое кольцо является конечным объектом в категории колец.

Примеры [ править ]

• Функция f  : Z → Z _n , определяемая формулой f ( a ) = [ a ] _n = a mod n, является сюръективным кольцевым гомоморфизмом с ядром n Z (см. Модулярную арифметику ).
• Функция f  : Z ₆ → Z _6, определенная формулой f ([ a ] ₆ ) = [ 4a ] _6, является rng-гомоморфизмом (и rng-эндоморфизмом) с ядром 3 Z ₆ и образом 2 Z ₆ (который изоморфен Z ₃ ).
• Гомоморфизма колец Z _n → Z при n ≥ 1 не существует .
• Комплексное сопряжение С → С представляет собой кольцевой гомоморфизм (это является примером кольцевого автоморфизме.)
• Если R и S - кольца, нулевая функция из R в S является гомоморфизмом колец тогда и только тогда, когда S - нулевое кольцо . (В противном случае не удается отобразить 1 _R в 1 _S. ) С другой стороны, нулевая функция всегда является rng-гомоморфизмом.
• Если R [ X ] обозначает кольцо всех многочленов от переменной X с коэффициентами в действительных числах R , а C обозначает комплексные числа , то функция f  : R [ X ] → C определяется формулой f ( p ) = p ( i ) (подставить мнимую единицу i вместо переменной X в многочлен p ) является сюръективным гомоморфизмом колец. Ядро fсостоит из всех многочленов из R [ X ], которые делятся на X ² + 1 .
• Если f  : R → S - гомоморфизм колец между кольцами R и S , то f индуцирует гомоморфизм колец между кольцами матриц M _n ( R ) → M _n ( S ) .
• Гомоморфизм унитальной алгебры между унитальными ассоциативными алгебрами над коммутативным кольцом R - это кольцевой гомоморфизм, который также является R -линейным .

Не примеры [ править ]

• Для произведения колец естественное включение не является гомоморфизмом колец (кроме нулевого кольца); это происходит потому , что карта не посылает мультипликативные идентичности , что и , в частности .${\ Displaystyle S = R_ {1} \ times R_ {2}}$${\displaystyle R_{1}\to S,x\mapsto (x,0)}$${\displaystyle R_{2}}$${\displaystyle R_{1}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle (1,1)}$

Категория колец [ править ]

Эндоморфизмы, изоморфизмы и автоморфизмы [ править ]

• Кольцо эндоморфизм является кольцевым гомоморфизмом из кольца к себе.
• Изоморфизм колец является кольцевым гомоморфизмом , имеющим 2-сторонней обратным , который также является кольцевым гомоморфизм. Можно доказать, что гомоморфизм колец является изоморфизмом тогда и только тогда, когда он биективен как функция на основных множествах. Если существует изоморфизм колец между двумя кольцами R и S , то R и S называются изоморфными . Изоморфные кольца различаются только перемаркировкой элементов. Пример: с точностью до изоморфизма существует четыре кольца порядка 4. (Это означает, что существует четыре попарно неизоморфных кольца порядка 4, такие что любое другое кольцо порядка 4 изоморфно одному из них.) С другой стороны, с точностью до изоморфизма одиннадцать рангов четвертого порядка.
• Кольцо автоморфизм является изоморфизмом колец от кольца к себе.

Мономорфизмы и эпиморфизмы [ править ]

Инъективные кольцевые гомоморфизмы идентичны мономорфизмы в категории колец: Если F  : R → S является мономорфизмом , что это не инъективен, то он посылает некоторый г ₁ и г ₂ к одному элементу из S . Рассмотрим два отображения g ₁ и g ₂ из Z [ x ] в R, которые отображают x в r ₁ и r ₂ соответственно; f ∘ g ₁ и f∘ g ₂ идентичны, но поскольку f - мономорфизм, это невозможно.

Однако сюръективные гомоморфизмы колец сильно отличаются от эпиморфизмов в категории колец. Например, включение Z ⊆ Q является эпиморфизмом колец, но не сюръекцией. Однако они точно такие же, как сильные эпиморфизмы .

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Майкл Артин , Алгебра , Прентис-Холл, 1991.
• Майкл Ф. Атья и Ян Г. Макдональд , Введение в коммутативную алгебру , Addison-Wesley, 1969.
• Николя Бурбаки , Алгебра I, главы 1–3 , 1998.
• Дэвид Эйзенбуд , Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии , Springer, 1995.
• Михель Хазевинкель , Надия Губарени, Владимир Кириченко. Алгебры, кольца и модули . Том 1. 2004. Springer, 2004. ISBN  1-4020-2690-0.
• Натан Джейкобсон , Основная алгебра I , 2-е издание, 1985.
• Серж Лэнг , Алгебра, 3-е изд., Springer, 2002.

См. Также [ править ]

• Смена колец
• Расширение кольца