Градуированное кольцо

В математике , в частности в абстрактной алгебре , градуированное кольцо - это кольцо такое, что основная аддитивная группа является прямой суммой таких абелевых групп , что . Набор индексов обычно представляет собой набор неотрицательных целых чисел или набор целых чисел, но может быть любым моноидом . Разложение прямой суммы обычно называют градацией или градуировкой .${\ displaystyle R_ {i}}$${\ Displaystyle R_ {я} R_ {j} \ substeq R_ {я + j}}$

Градуированный модуль определяется аналогично (смотрите ниже для точного определения). Он обобщает градуированные векторные пространства . Градуированный модуль, который также является градуированным кольцом, называется градуированной алгеброй . Градуированное кольцо также можно рассматривать как градуированную -алгебру.${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

Ассоциативность не важна (фактически вообще не используется) в определении градуированного кольца; следовательно, это понятие применимо и к неассоциативным алгебрам ; например, можно рассматривать градуированную алгебру Ли .

Первые свойства [ править ]

Обычно предполагается, что индексный набор градуированного кольца является набором неотрицательных целых чисел, если иное не указано явно. Так обстоит дело в этой статье.

Градуированное кольцо - это кольцо , которое раскладывается в прямую сумму

${\displaystyle R=\bigoplus _{n=0}^{\infty }R_{n}=R_{0}\oplus R_{1}\oplus R_{2}\oplus \cdots }$

из аддитивных групп , таким образом, что

${\displaystyle R_{m}R_{n}\subseteq R_{m+n}}$

для всех неотрицательных целых чисел и .${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$

Ненулевое элемент назовет однородными по степени . По определению прямой суммы, каждый ненулевой элемент из может быть однозначно записывается в виде суммы , где каждый является либо 0 , либо однородна степени . Ненулевой являются однородными компонентами из  .${\displaystyle R_{n}}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle a}$${\displaystyle R}$${\displaystyle a=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{n}}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle a}$

Некоторые основные свойства:

• ${\displaystyle R_{0}}$является подкольцом из ; в частности, мультипликативное тождество является однородным элементом нулевой степени.${\displaystyle R}$${\displaystyle 1}$
• Для любого , является двусторонний - модуль , а разложение прямой суммы является прямой суммой модулей.${\displaystyle n}$${\displaystyle R_{n}}$${\displaystyle R_{0}}$${\displaystyle R_{0}}$
• ${\displaystyle R}$является ассоциативной -алгеброй R 0 {\displaystyle R_{0}} .

Идеал является однородным , если для каждого , однородные компоненты также принадлежат (Эквивалентно, если она является градуированным подмодуль , см модуль § градуированных .) Пересечение однородного идеала с представляет собой подмодуль называется однородная часть из степень из . Однородный идеал - это прямая сумма его однородных частей.${\displaystyle I\subseteq R}$${\displaystyle a\in I}$${\displaystyle a}$${\displaystyle I.}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R_{n}}$${\displaystyle R_{0}}$${\displaystyle R_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle I}$

Если - двусторонний однородный идеал в , то это также градуированное кольцо, разложенное как${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R/I}$

${\displaystyle R/I=\bigoplus _{n=0}^{\infty }R_{n}/I_{n},}$

где это однородная часть степени из .${\displaystyle I_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle I}$

Основные примеры [ править ]

• Любой (неградуированное) кольцо R может быть задана градацией, позволяя , и для я ≠ 0. Это называется тривиальная градация на  R .${\displaystyle R_{0}=R}$${\displaystyle R_{i}=0}$
• Кольцо многочленов оценивается по степени : это прямая сумма , состоящие из однородных многочленов степени I .${\displaystyle R=k[t_{1},\ldots ,t_{n}]}$${\displaystyle R_{i}}$
• Пусть S множество всех ненулевых однородных элементов в градуированной области целостности R . Затем локализации из R относительно S является -градуированным кольцом.${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Если я являюсь идеалом в коммутативном кольце R , то есть градуированное кольцо называется ассоциированное градуированное кольцом из R вдоль I ; геометрический, это координата кольцо нормального конуса вдоль подмногообразия , определяемого I .${\displaystyle \bigoplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$
• Пусть Х топологическое пространство, Н ^я (X, R) , я й группы когомологий с коэффициентами в кольце R . Тогда H ^* (X; R) , кольцо когомологий X с коэффициентами в R , является градуированным кольцом, основная группа которого имеет мультипликативную структуру, заданную чашечным произведением.${\displaystyle \bigoplus _{i=0}^{\infty }H^{i}(X;R)}$

Оцениваемый модуль [ править ]

Соответствующая идея в теории модулей - это идея градуированного модуля , а именно левого модуля M над градуированным кольцом R, такого что также

${\displaystyle M=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} }M_{i},}$

и

${\displaystyle R_{i}M_{j}\subseteq M_{i+j}.}$

Пример : градуированное векторное пространство является примером градуированного модуля над полем (с полем, имеющим тривиальную градуировку).

Пример : градуированное кольцо - это градуированный модуль над самим собой. Идеал в градуированном кольце однороден тогда и только тогда, когда он является градуированным подмодулем. Аннуляторный градуированной модуля является однородным идеалом.

Пример : даны идеал I в коммутативном кольце R и R -модуль M , прямая сумма является градуированным модулем над ассоциированным градуированным кольцом .${\displaystyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}M/I^{n+1}M}$${\displaystyle \bigoplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$

Морфизм между градуированными модулями, называемый градуированным морфизмом , - это морфизм базовых модулей, учитывающий градуировку; то есть . Градуированный подмодуль подмодуль , который представляет собой градуированный модуль в собственном праве и такой , что теоретико-множественное включение морфизм градуированных модулей. Явно градуированный модуль N является градуированным подмодулем модуля M тогда и только тогда, когда он является подмодулем модуля M и удовлетворяет . Ядро и образ морфизма градуированных модулей являются градуированными подмодулями.${\displaystyle f:N\to M}$${\displaystyle f(N_{i})\subseteq M_{i}}$${\displaystyle N_{i}=N\cap M_{i}}$

Замечание: дать градуированный морфизм от градуированного кольца к другому градуированному кольцу с изображением, лежащим в центре, то же самое, что дать структуру градуированной алгебры последнему кольцу.

Учитывая дифференцированный модуль , то -twist из представляет собой градуированный модуль определяется . (ср . скручивающий пучок Серра в алгебраической геометрии.)${\displaystyle M}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle M}$${\displaystyle M(\ell )_{n}=M_{n+\ell }}$

Пусть M и N - градуированные модули. Если - морфизм модулей, то говорят , что f имеет степень d, если . Внешняя производная дифференциальных форм в дифференциальной геометрии является примером такого морфизма , имеющим степень 1.${\displaystyle f\colon M\to N}$${\displaystyle f(M_{n})\subseteq N_{n+d}}$

Инварианты градуированных модулей [ править ]

Дан градуированный модуль M над коммутативным градуированным кольцом R , можно сопоставить формальный степенной ряд :${\displaystyle P(M,t)\in \mathbb {Z} [\![t]\!]}$

${\displaystyle P(M,t)=\sum \ell (M_{n})t^{n}}$

(при условии , являются конечными.) Это называется ряд Гильберта-Пуанкаре о М .${\displaystyle \ell (M_{n})}$

Градуированный модуль называется конечно порожденным, если основной модуль конечно порожден. Генераторы можно считать однородными (заменяя генераторы их однородными частями).

Предположим, что R - кольцо многочленов , k - поле, а M - конечно порожденный градуированный модуль над ним. Тогда функция называется функцией Гильберта М . Функция совпадает с целочисленным многочленом для большого п называется с многочленом Гильберта из М .${\displaystyle k[x_{0},\dots ,x_{n}]}$${\displaystyle n\mapsto \dim _{k}M_{n}}$

Градуированная алгебра [ править ]

Алгебра над кольцом R является градуированной алгеброй , если она оценивается как кольцо.

В обычном случае, когда кольцо R не градуировано (в частности, если R - поле), ему дается тривиальная градуировка (каждый элемент R имеет степень 0). Таким образом, и градуированные части являются R -модулями.${\displaystyle R\subseteq A_{0}}$${\displaystyle A_{i}}$

В случае, когда кольцо R также является градуированным кольцом, то требуется, чтобы

${\displaystyle R_{i}A_{j}\subseteq A_{i+j}}$

Другими словами, мы требуем А быть дифференцированный левый модуль над R .

Примеры градуированных алгебр распространены в математике:

• Кольца полиномов . Однородные элементы степени n - это в точности однородные многочлены степени n .
• Тензор алгебра из векторного пространства V . Однородные элементы степени п являются тензорами порядка п , .${\displaystyle T^{\bullet }V}$ ${\displaystyle T^{n}V}$
• Внешняя алгебра и симметричная алгебра также градуированные алгебры.${\displaystyle \textstyle \bigwedge \nolimits ^{\bullet }V}$ ${\displaystyle S^{\bullet }V}$
• Кольцо когомологий в любой теории когомологий также сортовой, будучи прямой суммой групп когомологий .${\displaystyle H^{\bullet }}$${\displaystyle H^{n}}$

Градуированные алгебры широко используются в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии , гомологической алгебре и алгебраической топологии . Одним из примеров является тесная связь между однородными многочленами и проективными многообразиями (см. Однородное координатное кольцо ).

G -градуированные кольца и алгебры [ править ]

Приведенные выше определения были обобщены на кольца, градуированные с использованием любого моноида G в качестве набора индексов. A G -градуироваиное кольцо R является кольцом с прямым разложением суммы

${\displaystyle R=\bigoplus _{i\in G}R_{i}}$

такой, что

${\displaystyle R_{i}R_{j}\subseteq R_{i\cdot j}.}$

Элементы R , которые лежат внутри для некоторых называются однородными из класса я .${\displaystyle R_{i}}$${\displaystyle i\in G}$

Определенное ранее понятие «градуированное кольцо» теперь становится тем же, что и -градуированное кольцо, где - моноид неотрицательных целых чисел при сложении. Определения для градуированных модулей и алгебр также могут быть расширены таким образом , заменив множество индексации с любым моноиде G .${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$

Примечания:

• Если мы не требуем, чтобы кольцо имело единичный элемент, полугруппы могут заменить моноиды .

Примеры:

• Группа естественным образом оценивает соответствующее групповое кольцо ; аналогично моноидные кольца градуируются соответствующим моноидом.
• (Ассоциативная) супералгебра - это еще один термин для -градуированной алгебры. Примеры включают алгебры Клиффорда . Здесь однородные элементы либо степени 0 (четные), либо 1 (нечетные). Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}

Антикоммутативность [ править ]

Некоторые градуированные кольца (или алгебры) наделены антикоммутативной структурой. Это понятие требует гомоморфизма моноида градации в аддитивный моноид поля с двумя элементами. В частности, моноид со знаком состоит из пары где - моноид и является гомоморфизмом аддитивных моноидов. Антикоммутативное -градуированное кольцо представляет собой кольцо , градуированный по отношению к Γ таким образом, что:${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle (\Gamma ,\varepsilon )}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \varepsilon \colon \Gamma \to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle xy=(-1)^{\varepsilon (\deg x)\varepsilon (\deg y)}yx,}$

для всех однородных элементов x и y .

Примеры [ править ]

• Внешняя алгебра является примером антикоммутативной алгебры, градуированной по отношению к структуре , где есть фактор - отображение.${\displaystyle (\mathbb {Z} ,\varepsilon )}$${\displaystyle \varepsilon \colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$
• Суперкоммутативная алгебра (иногда называемая косокоммутативное ассоциативное кольцом ) то же самая , как антикоммутативная -градуированная алгебра, где тождественный эндоморфизм аддитивной структуры .${\displaystyle (\mathbb {Z} ,\varepsilon )}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

Градуированный моноид [ править ]

Интуитивно понятно, что градуированный моноид - это подмножество градуированного кольца , генерируемого элементами без использования аддитивной части. То есть набор элементов градуированного моноида равен .${\displaystyle \bigoplus _{n\in \mathbb {N} _{0}}R_{n}}$${\displaystyle R_{n}}$${\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} _{0}}R_{n}}$

Формально градуированный моноид ^[1] - это моноид с такой функцией градации , что . Обратите внимание, что градация обязательно равна 0. Некоторые авторы требуют, кроме того, что когда m не является тождеством.${\displaystyle (M,\cdot )}$${\displaystyle \phi :M\to \mathbb {N} _{0}}$${\displaystyle \phi (m\cdot m')=\phi (m)+\phi (m')}$${\displaystyle 1_{M}}$${\displaystyle \phi (m)\neq 0}$

Предполагая, что градации неединичных элементов не равны нулю, количество элементов градации n не больше, где g - мощность порождающего множества G моноида. Следовательно, количество элементов градации n или меньше не превышает (для ) или else. В самом деле, каждый такой элемент является продуктом не более чем n элементов группы G , и существуют только такие продукты. Точно так же элемент идентичности не может быть записан как продукт двух неидентификационных элементов. То есть в таком градуированном моноиде нет делителя единицы.${\displaystyle g^{n}}$ ${\displaystyle n+1}$${\displaystyle g=1}$${\displaystyle {\frac {g^{n+1}-1}{g-1}}}$${\displaystyle {\frac {g^{n+1}-1}{g-1}}}$

Степенный ряд, индексированный градуированным моноидом [ править ]

Это понятие позволяет расширить понятие кольца степенных рядов . Вместо того, чтобы иметь семейство индексирования, семейство индексирования могло бы быть любым градуированным моноидом, предполагая, что количество элементов степени n конечно для каждого целого числа n .${\displaystyle \mathbb {N} }$

Более формально, пусть - произвольное полукольцо и градуированный моноид. Затем обозначает полукольцо степенных рядов с коэффициентами в К индексируется R . Ее элементы являются функциями от R до K . Сумма двух элементов определяется точка-накрест, это функция отправки в . А произведение - это функция, отправляющая в бесконечную сумму . Эта сумма правильно определена (т. Е. Конечна), потому что для каждого m существует только конечное число пар ( p , q ) таких, что pq = m${\displaystyle (K,+_{K},\times _{K})}$${\displaystyle (R,\cdot ,\phi )}$${\displaystyle K\langle \langle R\rangle \rangle }$${\displaystyle s,s'\in K\langle \langle R\rangle \rangle }$${\displaystyle m\in R}$${\displaystyle s(m)+_{K}s'(m)}$${\displaystyle m\in R}$${\displaystyle \sum _{p,q\in R,p\cdot q=m}s(p)\times _{K}s'(q)}$ существовать.

Пример [ править ]

В теории формальных языков , учитывая алфавит , то свободный моноид слов над А можно рассматривать как градуированный моноиде, где градация слова является его длиной.

См. Также [ править ]

• Связанное градуированное кольцо
• Дифференциальная градуированная алгебра
• Фильтрованная алгебра , обобщение
• Оценка (математика)
• Оцениваемая категория
• Градуированное векторное пространство
• Тензорная алгебра
• Дифференциальный градиентный модуль

Ссылки [ править ]

• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , 211 (пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556.
• Бурбаки, Н. (1974) Алгебра I (главы 1-3), ISBN 978-3-540-64243-5 , глава 3, раздел 3. 
• Х. Мацумура Коммутативная теория колец . Перевод с японского М. Рейда. Второе издание. Кембриджские исследования по высшей математике, 8.