Неассоциативная алгебра

Алгебраическая структура → Теория колец Теория колец

Базовые концепты Кольца • Подкольца • Идеально • Факторное кольцо • Дробный идеал • Общее кольцо частных • Кольцо продукта • Бесплатное произведение ассоциативных алгебр • Тензорное произведение колец Гомоморфизмы колец • Ядро • Внутренний автоморфизм • Эндоморфизм Фробениуса Алгебраические структуры • Модуль • Ассоциативная алгебра • Градуированное кольцо • Инволютивное кольцо • Категория колец • Начальное кольцо ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • Клеммное кольцо ${\ Displaystyle 0 = \ mathbb {Z} _ {1}}$ Связанные структуры • Поле • Конечное поле • Неассоциативное кольцо • Кольцо лжи • кольцо Jordan • Полукругление • Semifield
Коммутативная алгебра Коммутативные кольца • Целостная область • Интегрально закрытый домен • домен GCD • Уникальный домен факторизации • Основная идеальная область • Евклидова область • Поле • Конечное поле • Композиционное кольцо • Кольцо полиномов • Формальное кольцо степенной серии Алгебраическая теория чисел • Поле алгебраических чисел • Кольцо целых чисел • Алгебраическая независимость • Трансцендентальная теория чисел • Степень трансцендентности p -адическая теория чисел и десятичные дроби • Прямой предел / обратный предел • Нулевое кольцо ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {1}}$ • Целые числа по модулю p n ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$ • Prüfer p -ring ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} (п ^ {\ infty})}$ • Основание - круговое кольцо p ${\ displaystyle \ mathbb {T}}$ • База - p целых чисел ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • p -адические рациональные числа ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [1 / p]}$ • База - p вещественных чисел ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ • p -адические целые числа ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$ • p -адические числа ${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$ • p -адический соленоид ${\ displaystyle \ mathbb {T} _ {p}}$ Алгебраическая геометрия • Аффинное разнообразие
Некоммутативная алгебра Некоммутативные кольца • Дивизионное кольцо • Полупримитивное кольцо • Простое кольцо • Коммутатор Некоммутативная алгебраическая геометрия Свободная алгебра Алгебра Клиффорда • Геометрическая алгебра Операторная алгебра
v т е

Не-ассоциативная алгебра ^[1] (или распределительная алгебра ) является алгебра над полем , где операция умножения двоичного не предполагается , чтобы быть ассоциативно . То есть, алгебраическая структура не является ассоциативная алгебра над полем K , если это векторное пространство над K и оснащен K - билинейной бинарной операцией умножения A × A → A , который может или не может быть ассоциативно. Примеры включают алгебры Ли , Йордановы алгебры , октонионы и трехмерное евклидово пространство с операцией кросс-произведения . Поскольку не предполагается, что умножение является ассоциативным, необходимо использовать круглые скобки для указания порядка умножения. Например, выражения ( ab ) ( cd ), ( a ( bc )) d и a ( b ( cd )) могут давать разные ответы.

Хотя такое использование неассоциативности означает, что ассоциативность не предполагается, это не означает, что ассоциативность запрещена. Другими словами, «неассоциативный» означает «не обязательно ассоциативный», так же как «некоммутативный» означает «не обязательно коммутативный» для некоммутативных колец .

Алгебра унитальная или унитарная , если он имеет единичный элемент е с экс = х = х для всех х в алгебре. Например, октонионы унитальны, а алгебры Ли - нет.

Неассоциативная алгебра структура А может быть изучена, связывая его с другими ассоциативными алгебрами, подалгебры полной алгебры K - эндоморфизмы из А как K -векторного пространства. Двумя таковыми являются алгебра вывода и (ассоциативная) обертывающая алгебра , причем последняя является в некотором смысле «наименьшей ассоциативной алгеброй, содержащей A ».

В более общем плане некоторые авторы рассматривают концепцию неассоциативной алгебры над коммутативным кольцом R : R -модуль, снабженный R -билинейной операцией двоичного умножения. ^[2] Если структура подчиняется всем аксиомам колец, кроме ассоциативности (например, любая R -алгебра), то она естественно является -алгеброй, поэтому некоторые авторы называют неассоциативные -алгебры неассоциативными кольцами . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

Алгебраические структуры
Группа -как Группа Полугруппа / Моноид Стеллаж и quandle Квазигруппа и петля Абелева группа Магма Группа Ли Теория групп
Кольцо -как Звенеть Rng Полукруглый Рядом с кольцом Коммутативное кольцо Интегральный домен Поле Дивизионное кольцо Теория колец
Lattice -как Решетка Полурешетка Дополненная решетка Общий заказ Алгебра Гейтинга Булева алгебра Карта решеток Теория решетки
Модуль- подобный Модуль Группа с операторами Векторное пространство Линейная алгебра
Алгебра- подобный Алгебра Ассоциативный Неассоциативный Составная алгебра Алгебра Ли Оценено Биалгебра
v т е

Алгебры, удовлетворяющие тождествам [ править ]

Кольцеобразные структуры с двумя бинарными операциями и без других ограничений - это широкий класс, слишком общий для изучения. По этой причине наиболее известные виды неассоциативных алгебр удовлетворяют тождествам или свойствам, которые несколько упрощают умножение. К ним относятся следующие.

Обычные свойства [ править ]

Пусть $х$ , $Y$ и $Z$ обозначают произвольные элементы алгебры $А$ над полем $K$ . Пусть степени положительного (ненулевого) целого числа рекурсивно определяются как $x 1 ≝ x$ и либо $x n +1 ≝ x n x$ ^[3] (правые степени), либо $x n +1 ≝ xx n$ ^[4]^[5] ( левые полномочия) в зависимости от авторов.

Unital : существует элемент $e,$ такой что $ex = x = xe$ ; в этом случае мы можем определить $x 0 ≝ e$ .
Ассоциативный : $(xy) z = x (yz)$ .
Коммутативный : $xy = yx$ .
Антикоммутативный : ^[6] $xy = - yx$ .
Тождество Якоби : ^[6]^[7] $(xy) z + (yz) x + (zx) y = 0$ или $x (yz) + y (zx) + z (xy) = 0 в$ зависимости от авторов.
Тождество Джордана : ^[8]^[9] $(x 2 y) x = x 2 (yx)$ или $(xy) x 2 = x (yx 2) в$ зависимости от авторов.
Альтернатива : ^[10]^[11]^[12] $(xx) y = x (xy)$ (левая альтернатива) и $(yx) x = y (xx)$ (правая альтернатива).
Гибкий : ^[13]^[14] $(xy) x = x (yx)$ .
п й степени ассоциативно с п ≥ 2 : х ^п-к й ^к = х ^п для всех целых чисел K , так что 0 < к < п .
- Ассоциативная третья степень: $x 2 x = xx 2$ .
- Ассоциативная четвертая степень: $x 3 x = x 2 x 2 = xx 3$ (сравните с коммутативной четвертой степени ниже).
Мощность ассоциативно : ^[4]^[5]^[15]^[16]^[3] подалгебра , порожденная любым элементом ассоциативно, то есть $п$ й степени ассоциативно для всех $п \geq 2$ .
п й степени коммутативное с п ≥ 2 : х ^п-к х ^к = х ^к х ^п-к для всех целых чисел K , так что 0 < к < п .
- Коммутатив третьей степени: $x 2 x = xx 2$ .
- Коммутатив четвертой степени: $x 3 x = xx 3$ (сравните с ассоциативом четвертой степени выше).
Мощность коммутативное: подалгебра , порожденная любым элементом коммутативности, т.е. $п$ й степени коммутативное для всех $п^ 2$ .
Нильпотент индекса $n \geq 2$ : произведение любых $n$ элементов в любой ассоциации обращается в нуль, но не для некоторых $n -1$ элементов: $x 1 x 2 \dots x n = 0$ и существует $n -1$ элементов, так что $y 1 y 2 \dots y n -1 \neq 0$ для конкретной ассоциации.
Nil индекса $n \geq 2$ : степень ассоциативности и $x n = 0,$ и существует элемент $y$ такой, что $y n -1 \neq 0$ .

Отношения между свойствами [ править ]

Для $K$ любой характеристики :

Ассоциативность подразумевает альтернативу .
Любые два из трех свойств левая альтернатива , правая альтернатива и гибкость подразумевают третье.
- Таким образом, альтернатива предполагает гибкость .
Альтернатива предполагает идентичность Джордана . ^[17]^[а]
Коммутативный подразумевает гибкость .
Антикоммутативность подразумевает гибкость .
Альтернатива подразумевает ассоциативность власти . ^[а]
Гибкость подразумевает ассоциативность третьей степени .
Во- вторых ассоциативная сила и вторая сила коммутативной всегда верны.
В- третьих ассоциативная сила и третьей коммутативной мощности эквивалентны.
Ассоциативность $n-$ й степени подразумевает коммутативную $n-$ ю степень .
Ноль индекса 2 означает антикоммутативность .
Нуль индекса 2 влечет тождество Жордана .
Из нильпотентности индекса 3 следует тождество Якоби .
Из нильпотентности индекса $n$ следует nil индекса $N$ с $2 \leq N \leq n$ .
Unital и nil индекса $n$ несовместимы.

Если $K \neq GF (2)$ или $dim (A) \leq 2$ :

Тождество Иордана и коммутативность вместе подразумевают ассоциативность по степени . ^[18]^[19]^[20]^{[ необходима цитата ]}

Если $char (K) \neq 2$ :

Правая альтернатива подразумевает ассоциативность власти . ^[21]^[22]^[23]^[24]
- Точно так же левая альтернатива подразумевает ассоциативность власти .
Идентичность Unital и Jordan вместе подразумевает гибкость . ^[25]
Иорданская идентичность и гибкость вместе подразумевают ассоциативность власти . ^[26]
Коммутативность и антикоммутативность вместе означают нильпотентность индекса 2 .
Антикоммутативность означает ноль индекса 2 .
Унитал и антикоммутатив несовместимы.

Если $char (K) \neq 3$ :

Унитал и идентичность Якоби несовместимы.

Если $char (K) \notin {2,3,5$ }:

Коммутативный и $x 4 = x 2 x 2$ (одно из двух тождеств, определяющих ассоциативность четвертой степени ) вместе подразумевают ассоциативность степени . ^[27]

Если $char (K) = 0$ :

Ассоциативность третьей степени и $x 4 = x 2 x 2$ (одно из двух тождеств, определяющих ассоциативность четвертой степени ) вместе подразумевают ассоциативность степени . ^[28]

Если $char (K) = 2$ :

Коммутативный и антикоммутативный эквивалентны.

Ассоциатор [ править ]

Ассоциатор на A является K - полилинейная карта дается $[\cdot ,\cdot ,\cdot ]:A\times A\times A\to A$

[x, y, z] = (xy) z - x (yz)

.

Он измеряет степень неассоциативности из , и может быть использован , чтобы удобно выразить некоторые возможные тождества удовлетворяют А . $A$

Пусть $x$ , $y$ и $z$ обозначают произвольные элементы алгебры.

Ассоциативный: $[x, y, z] = 0$ .
Альтернатива: [ x , x , y ] = 0 (левая альтернатива) и [ y , x , x ] = 0 (правая альтернатива).
- Это означает, что перестановка любых двух членов меняет знак: $[x, y, z] = - [x, z, y] = - [z, y, x] = - [y, x, z]$ ; Обратное верно, только если $char (K) \neq 2$ .
Гибкий: [ x , y , x ] = 0 .
- Это означает, что перестановка экстремальных членов меняет знак: $[x, y, z] = - [z, y, x]$ ; Обратное верно, только если $char (K) \neq 2$ .
Тождество Джордана: ^[29] $[x 2, y, x] = 0$ или $[x, y, x 2] = 0 в$ зависимости от авторов.
Ассоциативность третьей степени: $[x, x, x] = 0$ .

Ядро представляет собой совокупность элементов , которые ассоциируются с всеми остальными: ^[30] то есть $п$ в таким образом, что

[n, A, A] = [A, n, A] = [A, A, n] = {0}

.

Ядро представляет собой ассоциативное подкольцо А .

Центр [ править ]

Центр из A есть множество элементов , которые коммутируют и общаться со всем в А , то есть пересечение

C(A)=\{n\in A\ |\ nr=rn\,\forall r\in A\,\}

с ядром. Оказывается, для элементов C (A) достаточно двух наборов , чтобы третье также было нулевым набором. $([n,A,A],[A,n,A],[A,A,n])$ $\{0\}$

Примеры [ править ]

Евклидово пространство R ³ с умножением, заданным векторным перекрестным произведением, является примером алгебры, которая является антикоммутативной, а не ассоциативной. Перекрестное произведение также удовлетворяет тождеству Якоби.
Алгебры Ли - это алгебры, удовлетворяющие антикоммутативности и тождеству Якоби.
Алгебры векторных полей на дифференцируемом многообразии (если K есть R или комплексные числа C ) или алгебраическом многообразии (для общего K );
Йордановы алгебры - это алгебры, удовлетворяющие коммутативному закону и тождеству Йордана. ^[9]
Каждая ассоциативная алгебра порождает алгебру Ли, используя коммутатор как скобку Ли. Фактически каждая алгебра Ли может быть построена таким образом или является подалгеброй алгебры Ли, построенной таким образом.
Каждая ассоциативная алгебра над полем характеристики, отличной от 2, порождает йорданову алгебру путем определения нового умножения x * y = ( xy + yx ) / 2. В отличие от случая алгебры Ли, не всякая йорданова алгебра может быть построена таким образом. Те, что могут, называются специальными .
Альтернативные алгебры - это алгебры, удовлетворяющие альтернативному свойству. Наиболее важными примерами альтернативных алгебр являются октонионы (алгебра над вещественными числами) и обобщения октонионов над другими полями. Все ассоциативные алгебры альтернативны. Вплоть до изоморфизма единственной конечномерной реальной альтернативой алгебр с делением (см. Ниже) являются действительные числа, комплексы, кватернионы и октонионы.
Силовые ассоциативные алгебры - это те алгебры, которые удовлетворяют степенно-ассоциативному тождеству. Примеры включают все ассоциативные алгебры, все альтернативные алгебры, йордановы алгебры над полем, отличным от GF (2) (см. Предыдущий раздел), а также sedenions .
Гиперболические кватернионы алгебра над R , которая была экспериментальная алгеброй до принятия пространства Минковского для специальной теории относительности .

Еще классы алгебр:

Градуированные алгебры . К ним относятся большинство алгебр, представляющих интерес для полилинейной алгебры , например тензорная алгебра , симметрическая алгебра и внешняя алгебра над заданным векторным пространством . Градуированные алгебры можно обобщить на фильтрованные алгебры .
Алгебры с делением , в которых существуют мультипликативные обратные. Классифицированы конечномерные альтернативные алгебры с делением над полем действительных чисел. Это действительные числа (размерность 1), комплексные числа (размерность 2), кватернионы (размерность 4) и октонионы (размерность 8). Кватернионы и октонионы не коммутативны. Из этих алгебр все ассоциативны, за исключением октонионов.
Квадратичные алгебры , которые требуют, чтобы xx = re + sx для некоторых элементов r и s в основном поле, а e - единица для алгебры. Примеры включают в себя все конечномерные альтернативные алгебры и алгебру вещественных матриц 2 на 2. С точностью до изоморфизма единственными альтернативными квадратичными вещественными алгебрами без делителей нуля являются действительные числа, комплексы, кватернионы и октонионы.
В алгебры Кэли-Диксона (где K является R ), которые начинаются с:
- C (коммутативная и ассоциативная алгебра);
- кватернионов Н (ассоциативная алгебра);
- в октонионах (ая альтернативная алгебра );
- в sedenions , а бесконечная последовательность Кэли-Диксона алгебры ( с ассоциативными алгебрами ).
Все гиперкомплексные алгебры - это конечномерные унитальные R -алгебры, поэтому они включают алгебры Кэли-Диксона и многие другие.
В алгебры Пуассона рассматриваются в геометрическом квантовании . Они несут два умножения, по-разному превращая их в коммутативные алгебры и алгебры Ли.
Генетические алгебры - это неассоциативные алгебры, используемые в математической генетике.
Тройные системы

Свойства [ править ]

Есть несколько свойств, которые могут быть известны из теории колец или из ассоциативных алгебр, которые не всегда верны для неассоциативных алгебр. В отличие от ассоциативного случая, элементы с (двусторонним) мультипликативным обратным аргументом также могут быть делителем нуля . Например, все ненулевые элементы sedenions имеют двусторонний обратный, но некоторые из них также являются делителями нуля.

Бесплатная неассоциативная алгебра [ править ]

Бесплатно неассоциативная алгебра на множество X над полем K определяются как алгебра с базисом , состоящим из всех неассоциативных одночленов, конечные формальные произведения элементов из X подпорных скобок. Произведение одночленов u , v равно ( u ) ( v ). Алгебра унитальна, если в качестве монома взять пустое произведение. ^[31]

Курош доказал, что любая подалгебра свободной неассоциативной алгебры свободна. ^[32]

Ассоциированные алгебры [ править ]

Алгебра над полем K в частности K -векторных пространства и поэтому можно рассматривать ассоциативную алгебру End _K ( ) из K -линейного векторного пространства эндоморфизма А . Мы можем связать со структурой алгебры на A две подалгебры End _K ( A ), алгебру вывода и (ассоциативную) обертывающую алгебру .

Алгебра вывода [ править ]

Вывод на А есть отображение D со свойством

D(x\cdot y)=D(x)\cdot y+x\cdot D(y)\ .

Дифференцирования на A образуют подпространство Der _K ( A ) в End _K ( A ). Коммутатор двух отведений снова является дифференцирование, так что скобка Ли дает Der _K ( A ) структуру алгебры Ли . ^[33]

Обволакивающая алгебра [ править ]

К каждому элементу a алгебры A прикреплены линейные отображения L и R : ^[34]

L(a):x\mapsto ax;\ \ R(a):x\mapsto xa\ .

Ассоциативная обертывающие или алгебра умножений в А есть ассоциативная алгебра , порожденная левый и правые линейные карт. ^[29]^[35] центроид из А является центратором из обертывающих в эндоморфизме алгебры End _K ( A ). Алгебра является центральной, если ее центроид состоит из K -скалярных кратных единицы. ^[16]

Некоторые из возможных тождеств, которым удовлетворяют неассоциативные алгебры, могут быть удобно выражены в терминах линейных отображений: ^[36]

Коммутативный: каждый L ( a ) равен соответствующему R ( a );
Ассоциативный: любой L коммутирует с любым R ;
Гибкий: каждый L ( a ) коммутирует с соответствующим R ( a );
Иордания: каждый L ( a ) коммутирует с R ( a ² );
Альтернатива: каждое L ( a ) ² = L ( a ² ) и аналогично для правой.

Квадратичная представление Q определяется по формуле: ^[37]

Q(a):x\mapsto 2a\cdot (a\cdot x)-(a\cdot a)\cdot x\

или эквивалентно

Q(a)=2L^{2}(a)-L(a^{2})\ .

В статье об универсальных обертывающих алгебрах описывается каноническая конструкция обертывающих алгебр, а также теоремы типа PBW для них. Для алгебр Ли такие обертывающие алгебры обладают универсальным свойством, которое, вообще говоря, не выполняется для неассоциативных алгебр. Самым известным примером, возможно, является алгебра Альберта , исключительная йорданова алгебра , не охватываемая канонической конструкцией обертывающей алгебры для йордановых алгебр.

См. Также [ править ]

Список алгебр
Коммутативные неассоциативные магмы , дающие начало неассоциативным алгебрам

Цитаты [ править ]

↑ Schafer 1995 , Глава 1.
↑ Schafer 1995 , стр. 1.
^ a b Альберт 1948a , стр. 553.
^ a b Schafer 1995 , стр. 30.
^ a b Schafer 1995 , стр. 128.
^ a b Schafer 1995 , стр. 3.
^ Окубо 2005 , стр. 12.
↑ Schafer 1995 , стр. 91.
^ a b Окубо 2005 , стр. 13.
↑ Schafer 1995 , стр. 5.
^ Окубо 2005 , стр. 18.
^ МакКриммон 2004 , стр. 153.
↑ Schafer 1995 , стр. 28.
^ Окубо 2005 , стр. 16.
^ Окубо 2005 , стр. 17.
^ a b Knus et al. 1998 , стр. 451.
Перейти ↑ Rosenfeld 1997 , p. 91.
^ Якобсон 1968 , стр. 36.
↑ Schafer 1995 , стр. 92.
^ Kokoris 1955 , стр. 710.
^ Альберт 1948b , стр. 319.
↑ Михеев 1976 , с. 179.
^ Жевлаков и др. 1982 , стр. 343.
↑ Schafer 1995 , стр. 148.
Перейти ↑ Bremner, Murakami & Shestakov 2013 , p. 18.
Перейти ↑ Bremner, Murakami & Shestakov 2013 , pp. 18–19, fact 6.
^ Альберт 1948а , стр. 554, лемма 4.
^ Альберт 1948а , стр. 554, лемма 3.
^ a b Schafer 1995 , стр. 14.
^ МакКриммон 2004 , стр. 56.
^ Роуэн 2008 , стр. 321.
Перейти ↑ Kurosh 1947 , pp. 237–262.
↑ Schafer 1995 , стр. 4.
^ Окубо 2005 , стр. 24.
Перейти ↑ Albert 2003 , p. 113.
^ МакКриммон 2004 , стр. 57.
^ Кехера 1999 , стр. 57.

Примечания [ править ]

^ a b Это следует из теоремы Артина .

Ссылки [ править ]

Альберт, А. Адриан (2003) [1939]. Структура алгебр . Коллоквиум Американского математического общества Publ. 24 (Исправленное перепечатание переработанного изд. 1961 г.). Нью-Йорк: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-1024-3. Zbl 0023.19901 .
Альберт, А. Адриан (1948a). «Силовые ассоциативные кольца» . Труды Американского математического общества . 64 : 552–593. DOI : 10.2307 / 1990399 . ISSN 0002-9947 . JSTOR 1990399 . Руководство по ремонту 0027750 . Zbl 0033.15402 .
Альберт, А. Адриан (1948b). «О правоальтернативных алгебрах». Анналы математики . 50 : 318–328. DOI : 10.2307 / 1969457 . JSTOR 1969 457 .
Бремнер, Мюррей; Мураками, Лусия; Шестаков, Иван (2013) [2006]. "Глава 86: Неассоциативные алгебры" (PDF) . В Хогбене, Лесли (ред.). Справочник по линейной алгебре (2-е изд.). CRC Press . ISBN 978-1-498-78560-0.
Герштейн, И.Н. , изд. (2011) [1965]. Некоторые аспекты теории колец: лекции , прочитанные в летней школе Центро Интернационал Matematico Estivo (CIME) , проходившей в Варенном (Комо), Италии, августа 23-31, 1965 . Летние школы CIME. 37 (переиздание ред.). Springer-Verlag . ISBN 3-6421-1036-3.
Джейкобсон, Натан (1968). Структура и представления йордановых алгебр . Публикации коллоквиума Американского математического общества, Vol. XXXIX. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 978-0-821-84640-7. Руководство по ремонту 0251099 .
Кнус, Макс-Альберт; Меркурьев Александр ; Рост, Маркус ; Тиньоль, Жан-Пьер (1998). Книга инволюций . Публикации коллоквиума. 44 . С предисловием Дж. Титса. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-0904-0. Zbl 0955.16001 .
Кохер, Макс (1999). Криг, Алоис; Вальхер, Себастьян (ред.). Заметки Миннесоты по йордановым алгебрам и их приложениям . Конспект лекций по математике. 1710 . Берлин: Springer-Verlag . ISBN 3-540-66360-6. Zbl 1072.17513 .
Кокорис, Луис А. (1955). «Силовые ассоциативные кольца характеристики два» . Труды Американского математического общества . Американское математическое общество . 6 (5): 705–710. DOI : 10.2307 / 2032920 .
Курош, АГ (1947). «Неассоциативные алгебры и свободные произведения алгебр». Мат. Сборник . 20 (62). Руководство по ремонту 0020986 . Zbl 0041.16803 .
МакКриммон, Кевин (2004). Вкус йордановой алгебры . Universitext. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . DOI : 10.1007 / b97489 . ISBN 978-0-387-95447-9. MR 2014924 . Zbl 1044.17001 . Errata .
Михеев И.М. (1976). «Правая нильпотентность в правоальтернативных кольцах». Сибирский математический журнал . 17 (1): 178–180. DOI : 10.1007 / BF00969304 .
Окубо, Сусуму (2005) [1995]. Введение в октонион и другие неассоциативные алгебры в физике . Серия лекций Мемориала Монтролла по математической физике. 2 . Издательство Кембриджского университета . DOI : 10.1017 / CBO9780511524479 . ISBN 0-521-01792-0. Zbl 0841.17001 .
Розенфельд, Борис (1997). Геометрия групп Ли . Математика и ее приложения. 393 . Дордрехт: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-4390-5. Zbl 0867.53002 .
Роуэн, Луи Галле (2008). Аспирантура по алгебре: некоммутативный взгляд . Аспирантура по математике. Американское математическое общество . ISBN 0-8218-8408-5.
Шафер, Ричард Д. (1995) [1966]. Введение в неассоциативные алгебры . Дувр. ISBN 0-486-68813-5. Zbl 0145.25601 .
Жевлаков, Константин А .; Слинько, Аркадий М .; Шестаков, Иван П .; Ширшов, Анатолий И. (1982) [1978]. Кольца, которые почти ассоциативны . Перевод Смита, Гарри Ф. ISBN 0-12-779850-1.

[FOOTNOTESchafer1995Chapter_1-1] Schafer 1995 , Глава 1.

[FOOTNOTESchafer19951-2] Schafer 1995 , стр. 1.

[FOOTNOTEAlbert1948a553-3] Альберт 1948a , стр. 553.

[FOOTNOTESchafer199530-4] Schafer 1995 , стр. 30.

[FOOTNOTESchafer1995128-5] Schafer 1995 , стр. 128.

[FOOTNOTESchafer19953-6] Schafer 1995 , стр. 3.

[FOOTNOTEOkubo200512-7] Окубо 2005 , стр. 12.

[FOOTNOTESchafer199591-8] Schafer 1995 , стр. 91.

[FOOTNOTEOkubo200513-9] Окубо 2005 , стр. 13.

[FOOTNOTESchafer19955-10] Schafer 1995 , стр. 5.

[FOOTNOTEOkubo200518-11] Окубо 2005 , стр. 18.

[FOOTNOTEMcCrimmon2004153-12] МакКриммон 2004 , стр. 153.

[FOOTNOTESchafer199528-13] Schafer 1995 , стр. 28.

[FOOTNOTEOkubo200516-14] Окубо 2005 , стр. 16.

[FOOTNOTEOkubo200517-15] Окубо 2005 , стр. 17.

[FOOTNOTEKnusMerkurjevRostTignol1998451-16] Knus et al. 1998 , стр. 451.

[FOOTNOTERosenfeld199791-17] Перейти ↑ Rosenfeld 1997 , p. 91.

[FOOTNOTEJacobson196836-19] Якобсон 1968 , стр. 36.

[FOOTNOTESchafer199592-20] Schafer 1995 , стр. 92.

[FOOTNOTEKokoris1955710-21] Kokoris 1955 , стр. 710.

[FOOTNOTEAlbert1948b319-22] Альберт 1948b , стр. 319.

[FOOTNOTEMikheev1976179-23] Михеев 1976 , с. 179.

[FOOTNOTEZhevlakovSlin'koShestakovShirshov1982343-24] Жевлаков и др. 1982 , стр. 343.

[FOOTNOTESchafer1995148-25] Schafer 1995 , стр. 148.

[FOOTNOTEBremnerMurakamiShestakov201318-26] Перейти ↑ Bremner, Murakami & Shestakov 2013 , p. 18.

[FOOTNOTEBremnerMurakamiShestakov201318–19fact_6-27] Перейти ↑ Bremner, Murakami & Shestakov 2013 , pp. 18–19, fact 6.

[FOOTNOTEAlbert1948a554lemma_4-28] Альберт 1948а , стр. 554, лемма 4.

[FOOTNOTEAlbert1948a554lemma_3-29] Альберт 1948а , стр. 554, лемма 3.

[FOOTNOTESchafer199514-30] Schafer 1995 , стр. 14.

[FOOTNOTEMcCrimmon200456-31] МакКриммон 2004 , стр. 56.

[FOOTNOTERowen2008321-32] Роуэн 2008 , стр. 321.

[FOOTNOTEKurosh1947237–262-33] Перейти ↑ Kurosh 1947 , pp. 237–262.

[FOOTNOTESchafer19954-34] Schafer 1995 , стр. 4.

[FOOTNOTEOkubo200524-35] Окубо 2005 , стр. 24.

[FOOTNOTEAlbert2003113-36] Перейти ↑ Albert 2003 , p. 113.

[FOOTNOTEMcCrimmon200457-37] МакКриммон 2004 , стр. 57.

[FOOTNOTEKoecher199957-38] Кехера 1999 , стр. 57.

[Artin-18] Это следует из теоремы Артина .