Евклидова область

В математике , более конкретно в теории колец , евклидова область (также называемая евклидовым кольцом ) - это область целостности, которая может быть снабжена евклидовой функцией, которая позволяет подходящее обобщение евклидова деления целых чисел. Этот обобщенный алгоритм Евклида можно использовать во многих из тех же областей, что и исходный алгоритм Евклида в кольце целых чисел : в любой евклидовой области можно применить алгоритм Евклида для вычисления наибольшего общего делителя.любых двух элементов. В частности, существует наибольший общий делитель любых двух элементов, который может быть записан как их линейная комбинация ( тождество Безу ). Также каждый идеал в евклидовой области является главным , что подразумевает подходящее обобщение основной теоремы арифметики : каждая евклидова область является уникальной областью факторизации .

Важно сравнить класс евклидовых областей с более широким классом областей главных идеалов (PID). Произвольный PID имеет почти те же «структурные свойства» евклидовой области (или даже кольца целых чисел), но когда известен явный алгоритм евклидова деления, можно использовать алгоритм Евклида и расширенный алгоритм Евклида для вычисления Наибольшие общие делители и тождество Безу . В частности, существование эффективных алгоритмов евклидова деления целых чисел и многочленов от одной переменной над полем имеет фундаментальное значение в компьютерной алгебре .

Итак, учитывая область целостности $R$ , часто очень полезно знать, что $R$ имеет евклидову функцию: в частности, это означает, что $R$ является PID. Однако, если нет «очевидной» евклидовой функции, то определение того, является ли $R$ PID, обычно намного проще, чем определение того, является ли это евклидовой областью.

Евклидовы области входят в следующую цепочку классовых включений :

rngs ⊃ кольца ⊃ коммутативные кольца ⊃ области целостности ⊃ интегрально замкнутые области ⊃ области GCD ⊃ уникальные области факторизации ⊃ области главных идеалов ⊃ евклидовы области ⊃ поля ⊃ алгебраически замкнутые поля

Алгебраические структуры
Группа -как Группа Полугруппа / Моноид Стеллаж и quandle Квазигруппа и петля Абелева группа Магма Группа Ли Теория групп
Кольцо -как Звенеть Rng Полукруглый Рядом с кольцом Коммутативное кольцо Интегральный домен Поле Дивизионное кольцо Теория колец
Lattice -как Решетка Полурешетка Дополненная решетка Общий заказ Алгебра Гейтинга Булева алгебра Карта решеток Теория решетки
Модуль- подобный Модуль Группа с операторами Векторное пространство Линейная алгебра
Алгебра- подобный Алгебра Ассоциативный Неассоциативный Составная алгебра Алгебра Ли Оценено Биалгебра
v т е

Определение [ править ]

Пусть $R$ - область целостности. Евклидова функция на $R$ является функцией $F$ из $R \ {0$ } с неотрицательными целыми числами , удовлетворяющих следующим фундаментальное разделение-с-остатком свойством:

(EF1) Если $a$ и $b$ находятся в $R$ и $b не$ равно нулю, то существуют $q$ и $r$ в $R$ такие, что $a = bq + r$ и либо $r = 0,$ либо $f (r) < f (b)$ .

Евклидово домен является областью целостности , который может быть наделен по меньшей мере , одной евклидовой функцией. Важно отметить, что конкретная евклидова функция $f$ не является частью структуры евклидовой области; в общем, евклидова область допускает множество различных евклидовых функций.

Большинство текстов по алгебре требует, чтобы евклидова функция обладала следующим дополнительным свойством:

(EF2) Для всех ненулевых $a$ и $b$ в $R$ , $f (a) \leq f (ab)$ .

Однако можно показать, что одного (EF1) достаточно для определения евклидовой области. Если область целостности $R$ наделена функцией $g,$ удовлетворяющей (EF1), то $R$ также может быть наделена функцией, удовлетворяющей одновременно и (EF1), и (EF2). Действительно, для $a ∈ R \ {0$ } можно определить $f (a)$ следующим образом: ^[1]

{\ Displaystyle е (а) = \ мин _ {х \ в R \ setminus \ {0 \}} г (ха)}

Другими словами, можно определить $f (a)$ как минимальное значение, достигаемое $g$ на множестве всех ненулевых элементов главного идеала, порожденного $a$ .

Евклидова функция $f$ является мультипликативной, если $f (ab) = f (a) f (b)$ и $f (a)$ никогда не равно нулю. Отсюда следует, что $f (1) = 1$ . В более общем смысле, $f (a) = 1$ тогда и только тогда, когда $a$ - единица.

Примечания к определению [ править ]

Многие авторы используют другие термины вместо «евклидовой функции», такие как «функция степени», «функция оценки», «калибровочная функция» или «функция нормы». ^[2] Некоторые авторы также требуют, чтобы областью определения евклидовой функции было все кольцо $R$ ; ^[2] однако это существенно не влияет на определение, поскольку (EF1) не включает значение $f (0)$ . Иногда это определение обобщается, позволяя евклидовой функции принимать значения в любом упорядоченном множестве; это ослабление не влияет на наиболее важные следствия евклидовости.

Свойство (EF1) можно переписать следующим образом : для любого главного идеала $I$ в $R$ с ненулевым генератора $Ь$ , все ненулевые классы фактор - кольца $R / I$ имеет представительный $р$ с $ф (г) < е (б)$ . Поскольку возможные значения $f$ упорядочены, это свойство можно установить, доказав, что $f (r) < f (b)$ для любого $r \notin I$ с минимальным значением $f (г)$ в своем классе. Обратите внимание, что для установленной таким образом евклидовой функции не требуется эффективного метода для определения $q$ и $r$ в (EF1).

Примеры [ править ]

Примеры евклидовых доменов включают:

Любое поле. Определим $f (x) = 1$ для всех ненулевых $x$ .
$Z$ , кольцо целых чисел . Определите $f (n) = | п |$ , То абсолютное значение из $п$ . ^[3]
$Z [i]$ , кольцо целых гауссовских чисел . Определим $f (a + bi) = a 2 + b 2$ , норму гауссовского целого числа $a + bi$ .
$Z [ω]$ (где $ω$ - примитивный (не действительный) кубический корень из единицы ), кольцо целых чисел Эйзенштейна . Определим $f (a + b ω) = a 2 - ab + b 2$ , норму целого числа Эйзенштейна $a + b ω$ .
$К [Х]$ , то кольцо многочленов над полем $K$ . Для каждого ненулевого многочлена $P$ , определяют $п (Р)$ , чтобы быть степень $P$ . ^[4]
$К [[X]]$ , кольцо формальных степенных рядов над полем $K$ . Для каждого ненулевой мощности серии $Р$ , определяет $п (P)$ в качестве порядка из $Р$ , то есть степень наималейшей мощности $X$ , происходящей в $P$ . В частности, для двух рядов ненулевой мощности $P$ и $Q$ , $ф (Р) \leq ф (Q)$ , если и только если $Р$ делит $Q$ .
Любое дискретное оценочное кольцо . Определим $f (x)$ как наивысшую степень максимального идеала $M,$ содержащего $x$ . Эквивалентно, пусть $g$ является генератором $M$ , а $v$ - уникальным целым числом, таким, что $g v$ является ассоциированным элементом $x$ , затем определим $f (x) = v$ . Предыдущий пример $K [[X]]$ является частным случаем этого.
Дедекиндово домен с конечным числом от нуля простых идеалов $P 1, ..., P н$ . Определим , где $v$ $i$ - дискретная оценка, соответствующая идеалу $P$ $i$ . ^[5] ${\ Displaystyle е (х) = \ сумма _ {я = 1} ^ {п} v_ {я} (х)}$

Примеры доменов, которые не являются евклидовыми доменами, включают:

Любая область, которая не является областью главных идеалов , такая как кольцо многочленов по крайней мере от двух неопределенных над полем, или кольцо одномерных многочленов с целыми коэффициентами, или числовое кольцо $Z [\sqrt -5]$ .
Кольцо целых чисел из $Q (\sqrt -19)$ , состоящее из чисел $+ б \sqrt -19 / 2$ где $a$ и $b$ - целые числа и оба четные или оба нечетные. Это неевклидова область главных идеалов.
Кольцо $R [X, Y] / (X 2 + Y 2 + 1)$ также является неевклидовой областью главных идеалов. ^{[ необходима цитата ]}

Свойства [ править ]

Пусть R некоторая область и е евклидовой функции на R . Потом:

R - область главных идеалов (PID). В самом деле, если я ненулевой идеал из R , то любой элемент из I \ {0} с минимальным значением (на этом множестве) из F ( ) является генератором I . ^[6] Как следствие, R также является уникальной областью факторизации и нётеровым кольцом . Что касается общих областей главных идеалов, существование факторизаций (т. Е. Что R является атомарной областью) особенно легко доказать в евклидовых областях: выбор евклидовой функции f, удовлетворяющей (EF2), x не может иметь никакого разложения на более чем f ( x ) неединичных множителей, поэтому, начиная с x и многократно разлагая приводимые множители, обязательно получится факторизация на неприводимые элементы.
Любой элемент R , при котором й берете своего минимального значения во всем мире обратит в R . Если F , удовлетворяющие условию (EF2) выбран, то справедливо и обратные, и е берет своего минимального значения в точности на обратимых элементах R .
Если евклидово свойство является алгоритмическим, то есть если существует алгоритм деления, который для данного a и ненулевого b дает частное q и остаток r с a = bq + r и либо r = 0, либо f ( r ) < f ( b ) , то в терминах этой операции деления можно определить расширенный алгоритм Евклида . ^[7]
Если евклидова область не является полем, тогда в ней есть элемент a со следующим свойством: любой элемент x, не делящийся на a, может быть записан как x = ay + u для некоторой единицы u и некоторого элемента y . Это следует из того, что a будет неединицей с как можно меньшим f ( a ). Это странное свойство можно использовать, чтобы показать, что некоторые основные идеальные области не являются евклидовыми областями, поскольку не все PID обладают этим свойством. Например, для д = -19, -43, -67, -163, то кольцо целых чисел от является ПИД , который является ${\ displaystyle \ mathbf {Q} ({\ sqrt {d}})}$ не евклидово, но случаи d = -1, -2, -3, -7, -11 являются евклидовым. ^[8]

Тем не менее, во многих конечных расширений из Q с тривиальной группой классов , кольцо целых чисел является евклидовым (не обязательно по отношению к абсолютному значению нормы поля; см . Ниже) Предполагая расширенную гипотезу Римана , если K является конечным расширением Q и кольцо целых чисел K является PID с бесконечным числом единиц, то кольцо целых чисел является евклидовым. ^[9] В частности, это относится к случаю вполне вещественных полей квадратичных чисел с тривиальной группой классов. Кроме того (и без предположения ERH), если поле K является расширением Галуа поля Q, имеет тривиальную группу классов и единичный ранг строго больше трех, то кольцо целых чисел евклидово. ^[10] Непосредственным следствием этого является то, что если числовое поле Галуа над Q , его группа классов тривиальна, а расширение имеет степень больше 8, то кольцо целых чисел обязательно евклидово.

Нормально-евклидовы поля [ править ]

Поля алгебраических чисел K имеют на них каноническую функцию нормы: абсолютное значение нормы поля N, которое переводит алгебраический элемент α в произведение всех сопряженных с α . Эта норма отображает кольцо целых чисел числового поля K , скажем O _K , в неотрицательные рациональные целые числа , поэтому она может быть евклидовой нормой на этом кольце. Если эта норма удовлетворяет аксиомам евклидовой функции, то числовое поле K называется норм-евклидовым или просто евклидовым . ^[11]^[12] Строго говоря, это кольцо целых чисел, которое является евклидовым, поскольку поля тривиально представляют собой евклидовы области, но терминология стандартна.

Если поле не является евклидовым по норме, то это не означает, что кольцо целых чисел не евклидово, просто норма поля не удовлетворяет аксиомам евклидовой функции. На самом деле кольца целых числовых полей можно разделить на несколько классов:

Те, которые не являются главными и, следовательно, не евклидовы, такие как целые числа ${\ displaystyle \ mathbf {Q} ({\ sqrt {-5}})}$
Те, которые являются главными, а не евклидовыми, например, целые числа ${\ displaystyle \ mathbf {Q} ({\ sqrt {-19}})}$
Те, которые являются евклидовыми, а не норм-евклидовыми, например, целые числа из ^[13] ${\ displaystyle \ mathbf {Q} ({\ sqrt {69}})}$
Те, которые являются евклидовыми по норме, например, гауссовские целые числа (целые числа от ) ${\ displaystyle \ mathbf {Q} ({\ sqrt {-1}})}$

Нормально-евклидовы квадратичные поля полностью классифицированы; они есть , где d принимает значения ${\ displaystyle \ mathbf {Q} ({\ sqrt {d}})}$

−11, −7, −3, −2, −1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73 (последовательность A048981 в OEIS ). ^[14]

Каждое евклидово мнимое квадратичное поле является евклидовым по норме и является одним из пяти первых полей в предыдущем списке.

См. Также [ править ]

Оценка (алгебра)

Заметки [ править ]

^ Роджерс, Кеннет (1971), "аксиомами евклидовой области", American Mathematical Monthly , 78 (10): 1127-1128, DOI : 10,2307 / 2316324 , JSTOR 2316324 , Zbl 0227,13007
^ a b Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра . Хобокен, Нью-Джерси, США: Wiley. п. 270. ISBN 9780471433347.
^ Fraleigh & Katz (1967), стр. 377, Пример 1
^ Fraleigh & Katz (1967), стр. 377, Пример 2
↑ Самуэль, Пьер (1 октября 1971 г.). «О евклидовых кольцах» . Журнал алгебры . 19 (2): 282–301 (стр. 285). DOI : 10.1016 / 0021-8693 (71) 90110-4 . ISSN 0021-8693 .
^ Fraleigh & Katz (1967), стр. 377, теорема 7.4
^ Fraleigh & Katz (1967), стр. 380, теорема 7.7
^ Моцкин, Теодор (1949), "алгоритм Евклида" , Бюллетень Американского математического общества , 55 (12): 1142-1146, DOI : 10,1090 / S0002-9904-1949-09344-8 , Zbl 0035,30302
^ Веинберджер, Питер Дж (1973), "О евклидовых колец алгебраических чисел", Труды симпозиумов в чистых математиках , AMS, 24 : 321-332, DOI : 10,1090 / pspum / 024/0337902 , ISBN 9780821814246
^ Харпер, Малькольм; Мурти, М. Ram (2004), "евклидовых колец алгебраических чисел" (PDF) , Canadian Journal математики , 56 (1): 71-76, DOI : 10,4153 / CJM-2004-004-5
^ Ribenboim Пауло (1972). Алгебраические числа . Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-71804-8.
^ Харди, GH; Райт, EM (1975). Введение в теорию чисел . Оксфорд.
^ Кларк, Дэвид А. (1994). «Квадратичное поле, которое является евклидовым, но не евклидово по норме». Manuscripta Mathematica . 83 (3–4): 327–330. CiteSeerX 10.1.1.360.6129 . DOI : 10.1007 / BF02567617 . Zbl 0817.11047 .
^ Левек, Уильям Дж. (2002) [1956]. Разделы теории чисел, тома I и II . Нью-Йорк: Dover Publications. С. II: 57, 81 . ISBN 978-0-486-42539-9. Zbl 1009.11001 .

Ссылки [ править ]

Джон Б. Фрали, Виктор Дж. Кац. Первый курс абстрактной алгебры . Издательство Эддисон-Уэсли. 5 изд., 1967. ISBN 0-201-53467-3
Пьер Самуэль, "О евклидовых кольцах", Журнал алгебры 19 (1971) 282-301.

[1] Роджерс, Кеннет (1971), "аксиомами евклидовой области", American Mathematical Monthly , 78 (10): 1127-1128, DOI : 10,2307 / 2316324 , JSTOR 2316324 , Zbl 0227,13007

[DummitAlgebra-2] Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра . Хобокен, Нью-Джерси, США: Wiley. п. 270. ISBN 9780471433347.

[3] Fraleigh & Katz (1967), стр. 377, Пример 1

[4] Fraleigh & Katz (1967), стр. 377, Пример 2

[5] Самуэль, Пьер (1 октября 1971 г.). «О евклидовых кольцах» . Журнал алгебры . 19 (2): 282–301 (стр. 285). DOI : 10.1016 / 0021-8693 (71) 90110-4 . ISSN 0021-8693 .

[6] Fraleigh & Katz (1967), стр. 377, теорема 7.4

[7] Fraleigh & Katz (1967), стр. 380, теорема 7.7

[8] Моцкин, Теодор (1949), "алгоритм Евклида" , Бюллетень Американского математического общества , 55 (12): 1142-1146, DOI : 10,1090 / S0002-9904-1949-09344-8 , Zbl 0035,30302

[9] Веинберджер, Питер Дж (1973), "О евклидовых колец алгебраических чисел", Труды симпозиумов в чистых математиках , AMS, 24 : 321-332, DOI : 10,1090 / pspum / 024/0337902 , ISBN 9780821814246

[10] Харпер, Малькольм; Мурти, М. Ram (2004), "евклидовых колец алгебраических чисел" (PDF) , Canadian Journal математики , 56 (1): 71-76, DOI : 10,4153 / CJM-2004-004-5

[RibAlgNum-11] Ribenboim Пауло (1972). Алгебраические числа . Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-71804-8.

[HardyWright-12] Харди, GH; Райт, EM (1975). Введение в теорию чисел . Оксфорд.

[13] Кларк, Дэвид А. (1994). «Квадратичное поле, которое является евклидовым, но не евклидово по норме». Manuscripta Mathematica . 83 (3–4): 327–330. CiteSeerX 10.1.1.360.6129 . DOI : 10.1007 / BF02567617 . Zbl 0817.11047 .

[14] Левек, Уильям Дж. (2002) [1956]. Разделы теории чисел, тома I и II . Нью-Йорк: Dover Publications. С. II: 57, 81 . ISBN 978-0-486-42539-9. Zbl 1009.11001 .