Стеллажи и квандлы

В математике , стеллажи и quandles наборы с бинарными операциями , удовлетворяющие аксиомам , аналогичные движений Рейдемейстера , используемых для манипулирования сучков диаграмм.

Хотя в основном они используются для получения инвариантов узлов, их можно рассматривать как самостоятельные алгебраические конструкции. В частности, определение квандла аксиоматизирует свойства сопряжения в группе .

История [ править ]

В 1943 году Митухиса Такасаки (高崎 光 久) представил алгебраическую структуру, которую он назвал Кей (圭), которая позже стала известна как инволютивный квандл. ^[1] Его мотивация заключалась в том, чтобы найти неассоциативную алгебраическую структуру, чтобы охватить понятие отражения в контексте конечной геометрии . Идея была вновь открыта и обобщена в (неопубликованной) 1959 переписке между Джоном Conway и Gavin Wraith , ^[2] , которые в то время были студенты в Кембриджском университете. Именно здесь впервые появляются современные определения quandles и racks. Рэйф заинтересовался этими структурами (которые он первоначально назвал последовательностями ) еще в школе. ^[3] Конвей переименовал их в обломки , отчасти из-за каламбура имени своего коллеги, а отчасти потому, что они возникают как остатки (или «разрушение и разрушение») группы, когда кто-то отбрасывает мультипликативную структуру и рассматривает только структуру сопряжения . Правописание «стойка» стало преобладающим.

Эти конструкции снова появились в 1980-х годах: в статье Дэвида Джойса 1982 г. ^[4] (где был введен термин квандл ), ^[5] в статье 1982 г. Сергея Матвеева (под названием дистрибутивные группоиды ) ^[6] и в Доклад на конференции 1986 года Эгберта Брискорна (где они были названы автоморфными множествами ). ^[7] Подробный обзор стоек и их приложений в теории узлов можно найти в статье Колина Рурка и Роджера Фенна . ^[8]

Стеллажи [ править ]

Стойка может быть определена как набор с бинарной операцией такой , что для каждого себя дистрибутивный закон имеет место:${\ Displaystyle \ mathrm {R}}$${\ Displaystyle \ треугольникleft}$${\ displaystyle a, b, c \ in \ mathrm {R}}$

${\ Displaystyle а \ треугольникleft (б \ треугольниклефт с) = (а \ треугольниклефт Ь) \ треугольниклефт (а \ треугольниклефт с)}$

и для каждого существует единственный такой, что ${\ displaystyle a, b \ in \ mathrm {R},}$${\ displaystyle c \ in \ mathrm {R}}$

${\ Displaystyle а \ треугольникleft c = b.}$

Это определение, хотя и краткое и часто используемое, является неоптимальным для определенных целей, поскольку содержит количественный показатель существования, который на самом деле не нужен. Чтобы избежать этого, мы можем написать уникальное , так как тогда мы имеем${\ displaystyle c \ in \ mathrm {R}}$${\ Displaystyle а \ треугольникleft c = b}$${\ displaystyle b \ triangleright a.}$

${\ Displaystyle а \ треугольникleft c = b \ iff c = b \ triangleright a,}$

и поэтому

${\displaystyle a\triangleleft (b\triangleright a)=b,}$

и

${\displaystyle (a\triangleleft b)\triangleright a=b.}$

Используя эту идею, стойка может быть эквивалентно определена как набор с двумя бинарными операциями и такой, что для всех${\displaystyle \mathrm {R} }$${\displaystyle \triangleleft }$${\displaystyle \triangleright }$${\displaystyle a,b,c\in \mathrm {R} {\text{:}}}$

1. ${\displaystyle a\triangleleft (b\triangleleft c)=(a\triangleleft b)\triangleleft (a\triangleleft c)}$ (левый закон самораспределения)
2. ${\displaystyle (c\triangleright b)\triangleright a=(c\triangleright a)\triangleright (b\triangleright a)}$ (право самораспределения)
3. ${\displaystyle (a\triangleleft b)\triangleright a=b}$
4. ${\displaystyle a\triangleleft (b\triangleright a)=b}$

Удобно сказать, что элемент действует слева в выражении и действует справа в выражении. Тогда третья и четвертая аксиомы стойки говорят, что эти левое и правое действия противоположны друг другу. Используя это, мы можем исключить одно из этих действий из определения стойки. Если мы удалим правое действие и оставим левое, мы получим краткое определение, данное изначально.${\displaystyle a\in \mathrm {R} }$${\displaystyle a\triangleleft b,}$${\displaystyle b\triangleright a.}$

В литературе по стойкам и квандлам используется множество различных условных обозначений. Например, многие авторы предпочитают работать с правильным действием. Кроме того, использование символов и отнюдь не универсально: многие авторы используют экспоненциальную запись.${\displaystyle \triangleleft }$${\displaystyle \triangleright }$

${\displaystyle a\triangleleft b={}^{a}b}$

и

${\displaystyle b\triangleright a=b^{a},}$

в то время как многие другие пишут

${\displaystyle b\triangleright a=b\star a.}$

Еще одно эквивалентное определение стойки состоит в том, что это набор, в котором каждый элемент действует слева и справа как автоморфизмы стойки, при этом левое действие является обратным правому. В этом определении тот факт, что каждый элемент действует как автоморфизм, кодирует левый и правый законы самодистрибутивности, а также эти законы:

${\displaystyle {\begin{aligned}a\triangleleft (b\triangleright c)&=(a\triangleleft b)\triangleright (a\ \triangleleft c)\\(c\triangleleft b)\triangleright a&=(c\triangleright a)\triangleleft (b\triangleright a)\end{aligned}}}$

которые являются следствием приведенных ранее определений.

Quandles [ править ]

Quandle определяется как стойки, таким образом, что для всех${\displaystyle \mathrm {Q} ,}$${\displaystyle a\in \mathrm {Q} }$

${\displaystyle a\triangleleft a=a,}$

или эквивалентно

${\displaystyle a\triangleright a=a.}$

Примеры и приложения [ править ]

Каждая группа дает квандл, в котором операции происходят от сопряжения:

${\displaystyle {\begin{aligned}a\triangleleft b&=aba^{-1}\\b\triangleright a&=a^{-1}ba\\&=a^{-1}\triangleleft b\end{aligned}}}$

Фактически, любой эквациональный закон, которому удовлетворяет сопряжение в группе, следует из аксиом квандла. Итак, можно думать о квандле как о том, что осталось от группы, когда мы забываем умножение, тождество и обратное, и помним только операцию спряжения.

Каждый ручной узел в трехмерном евклидовом пространстве имеет «фундаментальный квандл». Чтобы определить это, можно заметить, что фундаментальная группа узлового дополнения или узловая группа имеет представление (представление Виртингера ), в котором отношения включают только сопряжение. Так что эту презентацию также можно использовать как презентацию квандла. Фундаментальный квандл - очень мощный инвариант узлов. В частности, если два узла имеют изоморфные фундаментальные квандлы, то существует гомеоморфизм трехмерного евклидова пространства, который может менять ориентацию , переводя один узел в другой.

Менее мощные , но более легко вычислимые инварианты узлов могут быть получены путем подсчета гомоморфизмов из узла quandle к фиксированной quandle Поскольку представление Виртингер имеет один генератор для каждой цепи в схеме узла , эти инварианты могут быть вычислены путем подсчета способами маркировки каждого прядь элементом с учетом определенных ограничений. Более сложные инварианты такого типа могут быть построены с помощью когомологий квандлов .${\displaystyle \mathrm {Q} .}$${\displaystyle \mathrm {Q} ,}$

В Александр quandles также важны, так как они могут быть использованы для вычисления полинома Александера сучка. Пусть модуль над кольцом из многочленов Лорана от одной переменной. Тогда Александр quandle будет сделан в quandle с левым действием заданного${\displaystyle \mathrm {A} }$${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$${\displaystyle \mathrm {A} }$

${\displaystyle a\triangleleft b=tb+(1-t)a.}$

Стойки - полезное обобщение квандлов в топологии, поскольку, в то время как квандлы могут представлять узлы на круглом линейном объекте (таком как веревка или нить), стойки могут представлять ленты, которые могут быть скручены, а также связаны.

Квандл называется инволютивным, если для всех${\displaystyle \mathrm {Q} }$${\displaystyle a,b\in \mathrm {Q} ,}$

${\displaystyle a\triangleleft (a\triangleleft b)=b}$

или эквивалентно,

${\displaystyle (b\triangleright a)\triangleright a=b.}$

Любое симметричное пространство дает инволютивный квандл, где есть результат «отражения насквозь ».${\displaystyle a\triangleleft b}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$

См. Также [ править ]

• Бираки и биквандлы
• Умывальник стол

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Knot Quandaries Quelled by Quandles - Введение в квандлы и другие инварианты узлов для студентов
• Обзор идей Quandle , Скотт Картер
• Инварианты узлов, полученные из квандлов и стоек, Сейичи Камада
• Полки, стеллажи, шпиндели и квандлы , стр. 56 Ли 2-алгебры с помощью Alissa Кран
• https://ncatlab.org/nlab/show/quandle