Квазигруппа

В математике , особенно в абстрактной алгебре , квазигруппа - это алгебраическая структура, напоминающая группу в том смысле, что « деление » всегда возможно. Квазигруппы отличаются от групп главным образом тем, что они не обязательно ассоциативны .

Квазигруппа с элементом идентичности называется петлей .

Определения [ править ]

Существует по крайней мере два структурно эквивалентных формальных определения квазигруппы. Один определяет квазигруппу как набор с одной бинарной операцией , а другой, из универсальной алгебры , определяет квазигруппу как имеющую три примитивные операции. Однако гомоморфный образ квазигруппы, определенной с помощью одной бинарной операции, не обязательно должен быть квазигруппой. ^[1] Начнем с первого определения.

Алгебра [ править ]

Квазигруппа ( Q *) является непустым множество Q с бинарной операцией * (то есть, магма ), повинуясь латинским квадратом собственности . Это означает, что для каждого a и b в Q существуют уникальные элементы x и y в Q такие, что оба

а * х = Ь ,

y ∗ a = b

держать. (Другими словами: каждый элемент набора встречается ровно один раз в каждой строке и ровно один раз в каждом столбце таблицы умножения квазигруппы или таблицы Кэли . Это свойство гарантирует, что таблица Кэли конечной квазигруппы и, в частности, конечной группа, представляет собой латинский квадрат .) Требование уникальности может быть заменено требованием, чтобы магма была компенсирующей . ^[2]

Единственные решения этих уравнений записываются x = a \ b и y = b / a . Операции '\' и '/' называются соответственно левым и правым делением .

Пустое множество оснащены порожней бинарной операция удовлетворяет это определение квазигруппы. Некоторые авторы принимают пустую квазигруппу, но другие явно исключают ее. ^{[3] [4]}

Универсальная алгебра [ править ]

Учитывая некоторую алгебраическую структуру , тождество - это уравнение, в котором все переменные неявно универсально количественно определены и в котором все операции относятся к примитивным операциям, свойственным структуре. Алгебраические структуры, аксиоматизируемые исключительно тождествами, называются многообразиями . Многие стандартные результаты универсальной алгебры верны только для многообразий. Квазигруппы являются разновидностями, если левое и правое деление принято за примитивные.

Квазигруппа ( Q , *, \, /) представляет собой тип (2,2,2) алгебры (т.е. оборудовано три бинарных операций) , удовлетворяющие тождества:

у = х * ( х \ у ),

у = х \ ( х * у ),

у = ( у / х ) * х ,

у = ( у * х ) / х .

Другими словами: умножение и деление в любом порядке, одно за другим, с одной и той же стороны одним и тем же элементом, не имеют общего эффекта.

Следовательно, если ( Q , ∗) - квазигруппа согласно первому определению, то ( Q , ∗, \, /) - та же квазигруппа в смысле универсальной алгебры. И наоборот: если ( Q , ∗, \, /) - квазигруппа в смысле универсальной алгебры, то ( Q , ∗) - квазигруппа в соответствии с первым определением.

Петли [ править ]

Петля является квазигруппой с единичным элементом ; то есть элемент e такой, что

х * е = х и е * х = х для всех х в Q .

Отсюда следует, что единичный элемент e уникален и что каждый элемент Q имеет уникальные левый и правый обратные (которые не обязательно должны быть одинаковыми).

Квазигруппа с идемпотентным элементом называется пике («точечная идемпотентная квазигруппа»); это является более слабым понятием , чем цикл , но здравый тем не менее , так как , например, дана абелева группа , ( +) , принимая свою операцию вычитания , как квазигруппа умножение дает пике ( , -) с групповой идентичностью (ноль) оказалось в «остроконечного идемпотента». (То есть существует главная изотопия ( x , y , z ) ↦ ( x , - y , z ) .)

Ассоциативный цикл - это группа. Группа может иметь неассоциативный изотоп пике, но не может иметь неассоциативный петлевой изотоп.

Есть более слабые свойства ассоциативности, которым были даны специальные имена.

Например, цикл Бола - это цикл, который удовлетворяет либо:

x ∗ ( y ∗ ( x ∗ z )) = ( x ∗ ( y ∗ x )) ∗ z      для любых x , y и z в Q ( левая петля Бола ),

или иначе

(( z ∗ x ) ∗ y ) ∗ x = z ∗ (( x ∗ y ) ∗ x ) для любых x , y и z в Q ( правая петля Бола ).

Петля, которая является одновременно левой и правой петлей Бола, называется петлей Муфанг . Это эквивалентно любому из следующих единственных тождеств Муфанг, выполняемых для всех x , y , z :

x ∗ ( y ∗ ( x ∗ z )) = (( x ∗ y ) ∗ x ) ∗ z ,

z ∗ ( x ∗ ( y ∗ x )) = (( z ∗ x ) ∗ y ) ∗ x ,

( x ∗ y ) ∗ ( z ∗ x ) = x ∗ (( y ∗ z ) ∗ x ), или

( x ∗ y ) ∗ ( z ∗ x ) = ( x ∗ ( y ∗ z )) ∗ x .

Симметрии [ править ]

Смит (2007) называет следующие важные свойства и подклассы:

Полусимметрия [ править ]

Квазигруппа полусимметрична, если выполняются следующие эквивалентные тождества:

ху = у / х ,

ух = х \ у ,

х = ( ух ) у ,

х = у ( ху ).

Хотя этот класс может показаться особенным, каждая квазигруппа Q индуцирует полусимметричную квазигруппу Q Δ на кубе прямого произведения Q ^{3 с} помощью следующей операции:

${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})\cdot (y_{1},y_{2},y_{3})=(y_{3}/x_{2},y_{1}\backslash x_{3},x_{1}y_{2})=(x_{2}//y_{3},x_{3}\backslash \backslash y_{1},x_{1}y_{2}),}$

где «//» и «\\» - операции сопряженного деления, задаваемые и .${\displaystyle y//x=x/y}$${\displaystyle y\backslash \backslash x=x\backslash y}$

Triality [ править ]

Полная симметрия [ править ]

Более узкий класс, представляющий собой полностью симметричную квазигруппу (иногда сокращенно TS-квазигруппу ), в которой все сопряженные элементы совпадают как одна операция: xy = x / y = x \ y . Другой способ определения (то же самое понятие) полностью симметричной квазигруппы - это полусимметричная квазигруппа, которая также является коммутативной, то есть xy = yx .

Идемпотентные полные симметрические квазигруппы в точности (т. Е. В биекции с) являются тройками Штейнера , поэтому такую ​​квазигруппу также называют квазигруппой Штейнера , а иногда последнюю даже сокращают как сквог ; термин « шлюп» определяется аналогичным образом для квазигруппы Штейнера, которая также является петлей. Без идемпотентности полные симметрические квазигруппы соответствуют геометрическому понятию расширенной тройки Штейнера , также называемой обобщенной эллиптической кубической кривой (GECC).

Полная антисимметрия [ править ]

Квазигруппа ( Q , ∗) называется вполне антисимметричной, если для всех c , x , y ∈ Q выполняются обе следующие импликации: ^[5]

1. ( c ∗ x ) ∗ y = ( c ∗ y ) ∗ x влечет x = y
2. x ∗ y = y ∗ x влечет x = y .

Он называется слабо тотально антисимметричным, если выполняется только первая импликация. ^[5]

Это свойство требуется, например, в алгоритме Дамма .

Примеры [ править ]

• Каждая группа является петлей, потому что a ∗ x = b тогда и только тогда, когда x = a ⁻¹ ∗ b , и y ∗ a = b тогда и только тогда, когда y = b ∗ a ⁻¹ .
• Целые числа Z с вычитанием (-) образуют квазигруппу.
• Ненулевые рациональные числа Q ^× (или ненулевые действительные числа R ^× ) с делением (÷) образуют квазигруппу.
• Любое векторное пространство над полем из характеристики не равно 2 образует идемпотент , коммутативную квазигруппу при операции х * Y = ( х + у ) / 2 .
• Каждая тройная система Штейнера определяет идемпотент , коммутативное квазигруппу: * Ь является третьим элементом тройного содержащим и б . Эти квазигруппы также удовлетворяют ( x ∗ y ) ∗ y = x для всех x и y в квазигруппе. Эти квазигруппы известны как квазигруппы Штейнера . ^[6]
• Множество {± 1, ± i, ± j, ± k}, где ii = jj = kk = +1 и со всеми другими продуктами, такими как в группе кватернионов, образует неассоциативную петлю порядка 8. См. Применение гиперболических кватернионов . (Сами по себе гиперболические кватернионы не образуют петлю или квазигруппу.)
• Ненулевые октонионы образуют неассоциативную петлю при умножении. Октонионы - это особый тип петли, известной как петля Муфанг .
• Ассоциативная квазигруппа либо пуста, либо является группой, поскольку, если есть хотя бы один элемент, существование инверсии и ассоциативности подразумевает существование идентичности.
• Следующая конструкция принадлежит Гансу Цассенхаусу . На нижележащем множестве четырехмерного векторного пространства F ⁴ над 3-элементным полем Галуа F = Z / 3 Z определим

( x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ ) ∗ ( y ₁ , y ₂ , y ₃ , y ₄ ) = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ ) + ( y ₁ , y ₂ , y ₃ , y ₄ ) + (0, 0, 0, ( x ₃ - y ₃ ) ( x ₁ y₂ - х ₂ у ₁ )).

Тогда ( F ⁴ , ∗) - коммутативная лупа Муфанг , не являющаяся группой. ^[7]

• В более общем смысле, множество ненулевых элементов любой алгебры с делением образуют квазигруппу.

Свойства [ править ]

В оставшейся части статьи мы будем обозначать квазигрупповое умножение просто сопоставлением .

Квазигруппы обладают свойством отмены : если ab = ac , то b = c . Это следует из единственности левого деления ab или ac на a . Аналогично, если ba = ca , то b = c .

Операторы умножения [ править ]

Определение квазигруппы можно трактовать как условия на левые и правые операторы умножения L ( x ), R ( y ): Q → Q , определенные формулой

${\displaystyle {\begin{aligned}L(x)y&=xy\\R(x)y&=yx\\\end{aligned}}}$

Определение говорит , что оба отображения биекциями от Q к себе. Магма Q является квазигруппой в точности тогда, когда все эти операторы для любого x из Q биективны. Обратные отображения - это левое и правое деление, то есть

${\displaystyle {\begin{aligned}L(x)^{-1}y&=x\backslash y\\R(x)^{-1}y&=y/x\end{aligned}}}$

В этих обозначениях тождества между операциями умножения и деления квазигруппы (указанные в разделе об универсальной алгебре ) являются

${\displaystyle {\begin{aligned}L(x)L(x)^{-1}&=1\qquad &{\text{corresponding to}}\qquad x(x\backslash y)&=y\\L(x)^{-1}L(x)&=1\qquad &{\text{corresponding to}}\qquad x\backslash (xy)&=y\\R(x)R(x)^{-1}&=1\qquad &{\text{corresponding to}}\qquad (y/x)x&=y\\R(x)^{-1}R(x)&=1\qquad &{\text{corresponding to}}\qquad (yx)/x&=y\end{aligned}}}$

где 1 обозначает тождественное отображение Q .

Латинские квадраты [ править ]

Таблица умножения конечной квазигруппы - это латинский квадрат : таблица размера n × n, заполненная n различными символами таким образом, что каждый символ встречается ровно один раз в каждой строке и ровно один раз в каждом столбце.

И наоборот, каждый латинский квадрат можно использовать в качестве таблицы умножения квазигруппы разными способами: граничная строка (содержащая заголовки столбцов) и граничный столбец (содержащий заголовки строк) могут быть любой перестановкой элементов. См. Маленькие латинские квадраты и квазигруппы .

Бесконечные квазигруппы [ править ]

Для счетно бесконечной квазигруппы Q можно представить бесконечный массив, в котором каждая строка и каждый столбец соответствует некоторому элементу q из Q , и где элемент a * b находится в строке, соответствующей a, а столбец отвечает на b. . В этой ситуации свойство Latin Square также говорит, что каждая строка и каждый столбец бесконечного массива будет содержать все возможные значения ровно один раз.

Для несчетно бесконечной квазигруппы, такой как группа ненулевых действительных чисел при умножении, свойство латинского квадрата все еще сохраняется, хотя название несколько неудовлетворительно, поскольку невозможно создать массив комбинаций, для которых приведенная выше идея бесконечный массив расширяется, так как действительные числа не могут быть записаны последовательно .

Обратные свойства [ править ]

Каждый элемент цикла имеет уникальную левую и правую инверсию, заданную формулой

${\displaystyle x^{\lambda }=e/x\qquad x^{\lambda }x=e}$

${\displaystyle x^{\rho }=x\backslash e\qquad xx^{\rho }=e}$

Говорят, что цикл имеет ( двусторонний ) обратный, если для всех x . В этом случае обратный элемент обычно обозначается .${\displaystyle x^{\lambda }=x^{\rho }}$${\displaystyle x^{-1}}$

Есть несколько более сильных понятий инверсии в циклах, которые часто бывают полезны:

• У цикла есть левое обратное свойство if для всех и . Эквивалентно или .${\displaystyle x^{\lambda }(xy)=y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle L(x)^{-1}=L(x^{\lambda })}$${\displaystyle x\backslash y=x^{\lambda }y}$
• Цикл имеет право обратное свойство if для всех и . Эквивалентно или .${\displaystyle (yx)x^{\rho }=y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle R(x)^{-1}=R(x^{\rho })}$${\displaystyle y/x=yx^{\rho }}$
• Цикл обладает антиавтоморфным обратным свойством if или, что то же самое, if .${\displaystyle (xy)^{\lambda }=y^{\lambda }x^{\lambda }}$${\displaystyle (xy)^{\rho }=y^{\rho }x^{\rho }}$
• Цикл имеет слабое обратное свойство , когда тогда и только тогда . Это может быть указано в обратном порядке или эквивалентно .${\displaystyle (xy)z=e}$${\displaystyle x(yz)=e}$${\displaystyle (xy)^{\lambda }x=y^{\lambda }}$${\displaystyle x(yx)^{\rho }=y^{\rho }}$

Цикл имеет обратное свойство, если он имеет как левое, так и правое обратное свойство. Петли с обратными свойствами также обладают антиавтоморфными и слабыми обратными свойствами. Фактически, любой цикл, который удовлетворяет любым двум из четырех тождеств, обладает обратным свойством и, следовательно, удовлетворяет всем четырем.

Любой цикл, который удовлетворяет левым, правым или антиавтоморфным обратным свойствам, автоматически имеет двусторонние обратные.

Морфизмы [ править ]

Квазигруппа или гомоморфизм петель - это отображение f  : Q → P между двумя квазигруппами, такое что f ( xy ) = f ( x ) f ( y ) . Гомоморфизмы квазигрупп обязательно сохраняют левое и правое деление, а также элементы идентичности (если они существуют).

Гомотопия и изотопия [ править ]

Пусть Q и P - квазигруппы. Квазигруппой Гомотопический из Q в Р есть тройка (α, β, γ) отображений из Q в Р такой , что

${\displaystyle \alpha (x)\beta (y)=\gamma (xy)\,}$

для всех х , у в Q . Гомоморфизм квазигрупп - это просто гомотопия, для которой три отображения равны.

Изотопия гомотопия , для которой каждая из трех карт (α, β, у) является взаимно однозначное соответствие . Две квазигруппы изотопны, если между ними существует изотопия. В терминах латинских квадратов изотопия (α, β, γ) задается перестановкой строк α, перестановкой столбцов β и перестановкой базового набора элементов γ.

Autotopy изотопия от квазигруппы к себе. Множество всех автотопий квазигруппы образуют группу с группой автоморфизмов в качестве подгруппы.

Каждая квазигруппа изотопна петле. Если петля изотопна группе, то она изоморфна этой группе и, таким образом, сама является группой. Однако квазигруппа, изотопная группе, не обязательно должна быть группой. Например, квазигруппа на R с умножением ( x + y ) / 2 изотопна аддитивной группе ( R , +) , но сама не является группой. Каждая медиальная квазигруппа изотопна абелевой группе по теореме Брука – Тойоды .

Спряжение (парастроф) [ править ]

Левое и правое деление являются примерами формирования квазигруппы путем перестановки переменных в определяющем уравнении. Из исходной операции ∗ (т. Е. X ∗ y = z ) мы можем образовать пять новых операций: x o y  : = y ∗ x ( противоположная операция), / и \ и их противоположности. Всего получается шесть квазигрупповых операций, которые называются сопряженными или парастрофами ∗. Любые две из этих операций называются «сопряженными» или «парастрофическими» друг другу (и самим себе).

Изострофа (паратопия) [ править ]

Если в множестве Q есть две квазигрупповые операции ∗ и ·, и одна из них изотопна сопряженной другой, операции называются изострофическими друг другу. Есть также много других названий этого отношения «изострофа», например паратопия .

Обобщения [ править ]

Полиадические или множественные квазигруппы [ править ]

П - ичная квазигруппа представляет собой набор с п -ичными операциями , ( Q , е ) с ф : Q ^п → Q , таким , что уравнение F ( х ₁ , ..., х _п ) = у имеет единственное решение для любой одной переменной, если все остальные n переменных указаны произвольно. Полиадическое или множественное число означает n -аричное для некоторого неотрицательного целого числа n .

0-арной или нульарной , квазигруппой просто постоянный элемент Q . 1-арная или унарная квазигруппа - это биекция Q самой себе. Бинарная , или 2-ичный, квазигруппа является обычной квазигруппой.

Примером множественной квазигруппы является итерационная групповая операция y = x ₁ · x ₂ · ··· · x _n ; нет необходимости использовать круглые скобки для указания порядка операций, поскольку группа ассоциативна. Можно также сформировать многоарную квазигруппу, выполнив любую последовательность одинаковых или разных групповых или квазигрупповых операций, если порядок операций указан.

Существуют многомерные квазигруппы, которые нельзя представить ни одним из этих способов. П -ичный квазигруппа неприводимым , если его работа не может быть учтены в составе двух операций следующим образом:

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=g(x_{1},\dots ,x_{i-1},\,h(x_{i},\dots ,x_{j}),\,x_{j+1},\dots ,x_{n}),}$

где 1 ≤ i < j ≤ n и ( i, j ) ≠ (1, n ) . Конечные неприводимые n -арные квазигруппы существуют для всех n > 2 ; см. подробности в Akivis and Goldberg (2001).

П -ичная квазигруппа с п -ичной версией ассоциативности называется п-арной группы .

Правая и левая квазигруппы [ править ]

Правая квазигруппа ( Q , *, /) представляет собой тип (2,2) алгебра , удовлетворяющие оба тождество: у = ( у / х ) * х ;у = ( у * х ) / х .

Аналогично, левая квазигруппа ( Q , ∗, \) - это алгебра типа (2,2), удовлетворяющая обоим тождествам: y = x ∗ ( x \ y );у = х \ ( х * у ).

Количество малых квазигрупп и петель [ править ]

Количество классов изоморфизма малых квазигрупп (последовательность A057991 в OEIS ) и петель (последовательность A057771 в OEIS ) указано здесь: ^[8]

См. Также [ править ]

• Делительное кольцо - кольцо, в котором каждый ненулевой элемент имеет мультипликативную обратную
• Полугруппа - алгебраическая структура, состоящая из множества вместе с ассоциативной бинарной операцией.
• Моноид - полугруппа с элементом идентичности
• Плоское тройное кольцо - имеет аддитивную и мультипликативную петлевую структуру
• Проблемы теории петель и теории квазигрупп
• Математика судоку

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Акивис, Массачусетс; Гольдберг, Владислав В. (2001). «Решение проблемы Белоусова». Обсуждения Mathematicae - Общая алгебра и приложения . 21 (1): 93–103. arXiv : математика / 0010175 . DOI : 10,7151 / dmgaa.1030 . S2CID  18421746 .
• Bruck, RH (1971) [1958]. Обзор двоичных систем . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-03497-3.
• Chein, O .; Pflugfelder, HO; Смит, JDH, ред. (1990). Квазигруппы и петли: теория и приложения . Берлин: Хельдерманн. ISBN 978-3-88538-008-5.
• Колборн, Чарльз Дж .; Диниц, Джеффри Х. (2007), Справочник по комбинаторным схемам (2-е изд.), Бока-Ратон: Chapman & Hall / CRC, ISBN 978-1-58488-506-1
• Дудек, Вашингтон; Глазек, К. (2008). «Вокруг теоремы Хоссу-Глускина для n-арных групп». Дискретная математика . 308 (21): 4861–76. arXiv : математика / 0510185 . DOI : 10.1016 / j.disc.2007.09.005 . S2CID  9545943 .
• Пфлугфельдер, ХО (1990). Квазигруппы и петли: Введение . Берлин: Хельдерманн. ISBN 978-3-88538-007-8.
• Смит, JDH (2007). Введение в квазигруппы и их представления . Чепмен и Холл / CRC Press. ISBN 978-1-58488-537-5.
• Щербаков, В.А. (2017). Элементы теории квазигрупп и приложений . Чепмен и Холл / CRC Press. ISBN 978-1-4987-2155-4.
• Смит, JDH; Романовская, Анна Б. (1999). Постмодернистская алгебра . Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-12738-3.

Внешние ссылки [ править ]

• квазигруппы
• "Квазигруппа" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]