Интегральный домен

Алгебраическая структура → Теория колец Теория колец

Базовые концепты Кольца • Подкольца • Идеально • Факторное кольцо • Дробный идеал • Общее кольцо частных • Кольцо продукта • Бесплатное произведение ассоциативных алгебр • Тензорное произведение колец Гомоморфизмы колец • Ядро • Внутренний автоморфизм • Эндоморфизм Фробениуса Алгебраические структуры • Модуль • Ассоциативная алгебра • Градуированное кольцо • Инволютивное кольцо • Категория колец • Начальное кольцо ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • Клеммное кольцо ${\ Displaystyle 0 = \ mathbb {Z} _ {1}}$ Связанные структуры • Поле • Конечное поле • Неассоциативное кольцо • Кольцо лжи • кольцо Jordan • Полукругление • Semifield
Коммутативная алгебра Коммутативные кольца • Целостная область • Интегрально закрытый домен • домен GCD • Уникальный домен факторизации • Основная идеальная область • Евклидова область • Поле • Конечное поле • Композиционное кольцо • Кольцо полиномов • Формальное кольцо степенной серии Алгебраическая теория чисел • Поле алгебраических чисел • Кольцо целых чисел • Алгебраическая независимость • Трансцендентальная теория чисел • Степень трансцендентности p -адическая теория чисел и десятичные дроби • Прямой предел / обратный предел • Нулевое кольцо ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {1}}$ • Целые числа по модулю p n ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$ • Prüfer p -ring ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} (р ^ {\ infty})}$ • Основание - круговое кольцо p ${\ displaystyle \ mathbb {T}}$ • База - p целых чисел ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • p -адические рациональные числа ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [1 / p]}$ • База - p вещественных чисел ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ • p -адические целые числа ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$ • p -адические числа ${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$ • p -адический соленоид ${\ displaystyle \ mathbb {T} _ {p}}$ Алгебраическая геометрия • Аффинное разнообразие
Некоммутативная алгебра Некоммутативные кольца • Дивизионное кольцо • Полупримитивное кольцо • Простое кольцо • Коммутатор Некоммутативная алгебраическая геометрия Свободная алгебра Алгебра Клиффорда • Геометрическая алгебра Операторная алгебра
v т е

В математике , в частности в абстрактной алгебре , область целостности - это ненулевое коммутативное кольцо, в котором произведение любых двух ненулевых элементов ненулевое. ^[1]^[2] Целочисленные области являются обобщением кольца целых чисел и обеспечивают естественную среду для изучения делимости . В области целостности каждый ненулевой элемент a обладает свойством сокращения , то есть, если a ≠ 0 , равенство ab = ac влечет b = c .

«Интегральная область» определяется почти универсально, как указано выше, но есть некоторые вариации. Эта статья следует соглашению о том, что кольца имеют мультипликативную идентичность , обычно обозначаемую 1, но некоторые авторы не следуют этому, не требуя, чтобы области целостности имели мультипликативную идентичность. ^[3]^[4] Иногда допускаются некоммутативные области целостности. ^[5] Эта статья, однако, следует гораздо более обычному соглашению о сохранении термина «область целостности» для коммутативного случая и использовании « области » для общего случая, включая некоммутативные кольца.

Некоторые источники, особенно Ланг , используют термин целое кольцо для целостной области. ^[6]

Некоторые специфические виды интегральных областей даны со следующей цепочкой классовых включений :

rngs ⊃ кольца ⊃ коммутативные кольца ⊃ области целостности ⊃ интегрально замкнутые области ⊃ области GCD ⊃ уникальные области факторизации ⊃ области главных идеалов ⊃ евклидовы области ⊃ поля ⊃ алгебраически замкнутые поля

Алгебраические структуры
Группа -как Группа Полугруппа / Моноид Стеллаж и quandle Квазигруппа и петля Абелева группа Магма Группа Ли Теория групп
Кольцо -как Звенеть Rng Полукруглый Рядом с кольцом Коммутативное кольцо Интегральный домен Поле Дивизионное кольцо Теория колец
Lattice -как Решетка Полурешетка Дополненная решетка Общий заказ Алгебра Гейтинга Булева алгебра Карта решеток Теория решетки
Модуль- подобный Модуль Группа с операторами Векторное пространство Линейная алгебра
Алгебра- подобный Алгебра Ассоциативный Неассоциативный Составная алгебра Алгебра Ли Оценено Биалгебра
v т е

Определение [ править ]

Область целостности является ненулевым коммутативное кольцо , в котором произведение любых двух ненулевых элементов не равно нулю. Эквивалентно:

Область целостности - это ненулевое коммутативное кольцо без ненулевых делителей нуля .
Область целостности - это коммутативное кольцо, в котором нулевой идеал {0} является первичным идеалом .
Область целостности - это ненулевое коммутативное кольцо, для которого каждый ненулевой элемент сокращается при умножении.
Область целостности - это кольцо, для которого множество ненулевых элементов является коммутативным моноидом при умножении (потому что моноид должен быть замкнут при умножении).
Область целостности - это ненулевое коммутативное кольцо, в котором для каждого ненулевого элемента r функция, отображающая каждый элемент x кольца в произведение xr , инъективна . Элементы r с этим свойством называются регулярными , поэтому это эквивалентно требованию, чтобы каждый ненулевой элемент кольца был регулярным.
Область целостности является кольцом, которое изоморфно к подкольцу о наличии поля . (Имея область целостности, ее можно вложить в ее поле дробей .)

Примеры [ править ]

Типичный пример - кольцо всех целых чисел . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$
Каждое поле является целостной областью. Например, поле всех действительных чисел является областью целостности. Наоборот, всякая артиновая область целостности является полем. В частности, все конечные области целостности являются конечными полями (в более общем смысле, по малой теореме Веддерберна , конечные области являются конечными полями ). Кольцо целых чисел представляет собой пример неартиновой бесконечной области целостности, которая не является полем, обладающей бесконечными убывающими последовательностями идеалов, таких как: ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

{\ Displaystyle \ mathbb {Z} \ supset 2 \ mathbb {Z} \ supset \ cdots \ supset 2 ^ {n} \ mathbb {Z} \ supset 2 ^ {n + 1} \ mathbb {Z} \ supset \ cdots }

Кольца многочленов являются областями целостности, если коэффициенты взяты из области целостности. Например, кольцо всех многочленов от одной переменной с целыми коэффициентами является областью целостности; так же и кольцо всех многочленов от n -переменных с комплексными коэффициентами. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [х]}$ $\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]$

Предыдущий пример можно использовать дальше, взяв частные из простых идеалов. Например, кольцо, соответствующее плоской эллиптической кривой, является областью целостности. Целостность может быть проверена путем показа является неприводимым многочленом . $\mathbb {C} [x,y]/(y^{2}-x(x-1)(x-2))$ $y^{2}-x(x-1)(x-2)$

Кольцо является целостной областью для любого целого неквадратного числа . Если , то это кольцо всегда является подкольцом , в противном случае это подкольцо $\mathbb {Z} [x]/(x^{2}-n)\cong \mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]$ $n$ $n>0$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C} .$

Кольцо целых p-адических чисел является областью целостности. $\mathbb {Z} _{p}$

Если это связное открытое подмножество в комплексной плоскости , то кольцо , состоящее из всех голоморфных функций является областью целостности. То же верно и для колец аналитических функций на связных открытых подмножествах аналитических многообразий . $U$ $\mathbb {C}$ ${\mathcal {H}}(U)$

Регулярное локальное кольцо является областью целостности. Фактически обычное локальное кольцо - это УФО . ^[7]^[8]

Не примеры [ править ]

Следующие кольца не являются областями целостности.

Нулевое кольцо (кольцо , в котором ). $0=1$

Фактор - кольцо , когда т является составным числом . Действительно, выберите правильную факторизацию (это означает, что и не равны или ). Тогда и , но . $\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$ $m=xy$ $x$ $y$ $1$ $m$ $x\not \equiv 0{\bmod {m}}$ $y\not \equiv 0{\bmod {m}}$ $xy\equiv 0{\bmod {m}}$

Продукт двух ненулевых коммутативных колец. В таком продукте есть . $R\times S$ $(1,0)\cdot (0,1)=(0,0)$

Фактор - кольцо для любого . Образы и отличны от нуля, а их произведение в этом кольце равно нулю. $\mathbb {Z} [x]/(x^{2}-n^{2})$ $n\in \mathbb {Z}$ $x+n$ $x-n$

Кольцо из п × п матриц над любым ненулевым кольцом , когда п ≥ 2. Если и являются матрицы , такие , что образ содержится в ядре , то . Например, это происходит для . $M$ $N$ $N$ $M$ $MN=0$ $M=N=({\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}})$

Фактор-кольцо для любого поля и любых непостоянных многочленов . Образы $f$ и $g$ в этом фактор-кольце являются ненулевыми элементами, произведение которых равно 0. Этот аргумент эквивалентно показывает, что это не простой идеал . Геометрическая интерпретация этого результата состоит в том , что нули из $фг$ образуют аффинное алгебраическое множество , которое не является неприводимым (то есть, не алгебраическое многообразие ) в целом. Единственный случай, когда это алгебраическое множество может быть неприводимым, - это когда $fg$ является степенью неприводимого многочлена , который определяет то же самое алгебраическое множество. $k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/(fg)$ $k$ $f,g\in k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ $(fg)$

Кольцо непрерывных функций на единичном интервале . Рассмотрим функции

f(x)={\begin{cases}1-2x&x\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\0&x\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}\qquad g(x)={\begin{cases}0&x\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\2x-1&x\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}

Ни и везде ноль, но есть.

f

g

fg

Тензорное произведение . Это кольцо имеет два нетривиальных идемпотента , и . Они являются ортогональными, а это означает , что , и , следовательно , не является областью. Фактически, существует изоморфизм, определяемый . Его обратное определяется как . Этот пример показывает, что расслоенное произведение неприводимых аффинных схем не обязательно должно быть неприводимым. $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ $e_{1}={\tfrac {1}{2}}(1\otimes 1)-{\tfrac {1}{2}}(i\otimes i)$ $e_{2}={\tfrac {1}{2}}(1\otimes 1)+{\tfrac {1}{2}}(i\otimes i)$ $e_{1}e_{2}=0$ $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ $\mathbb {C} \times \mathbb {C} \to \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ $(z,w)\mapsto z\cdot e_{1}+w\cdot e_{2}$ $z\otimes w\mapsto (zw,z{\overline {w}})$

Делимость, простые элементы и неприводимые элементы [ править ]

В этом разделе R - это область целостности.

Принимая во внимание элементы а и б из R , один говорит , что делит Ь , или что является делителем из Ь , или что б является кратным по , если существует элемент х в R такой , что ах = Ь .

В блоках из R являются элементами , которые делят 1; именно эти обратимые элементы в R . Единицы разделяют все остальные элементы.

Если a делит b, а b делит a , то a и b являются ассоциированными элементами или ассоциатами . ^[9] Эквивалентно, a и b являются ассоциированными, если a = ub для некоторой единицы u .

Неприводимый элемент является ненулевым не-блок , который не может быть записан как произведение двух необратимых элементов.

Ненулевое неединичное число p является простым элементом, если всякий раз, когда p делит произведение ab , p делит a или p делит b . Эквивалентно, элемент p является простым тогда и только тогда, когда главный идеал ( p ) является ненулевым простым идеалом.

Оба понятия неприводимых элементов и простых элементов обобщают обычное определение простых чисел в кольце, если рассматривать в качестве простых отрицательные простые числа. $\mathbb {Z} ,$

Каждый простой элемент неприводим. Обратное неверно в общем случае: например, в квадратичном целочисленном кольце элемент 3 является неприводимым (если его нетривиально разложить на множители, каждый множитель должен иметь норму 3, но нет элементов нормы 3, поскольку не имеет целочисленных решений) , но не простое число (так как 3 делится без деления на множители). В уникальной области факторизации (или, в более общем смысле, в области НОД ) неприводимый элемент является простым элементом. $\mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]$ $a^{2}+5b^{2}=3$ $\left(2+{\sqrt {-5}}\right)\left(2-{\sqrt {-5}}\right)$

Хотя уникальная факторизация не выполняется , существует уникальная факторизация идеалов . См. Теорему Ласкера – Нётер . $\mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]$

Свойства [ править ]

Коммутативное кольцо R является областью целостности тогда и только тогда , когда идеал (0) из R является простым идеалом.
Если R - коммутативное кольцо и P - идеал в R , то фактор-кольцо R / P является областью целостности тогда и только тогда, когда P - простой идеал .
Пусть R - область целостности. Тогда кольца многочленов над R (в любом количестве неопределенных) являются областями целостности. В частности, это так, если R - поле .
Свойство сокращения сохраняется в любой области целостности: для любых a , b и c в области целостности, если a ≠ 0 и ab = ac, то b = c . Другой способ заявить об этом состоит в том, что функция x ↦ ax инъективна для любого ненулевого a в области.
Свойство имеет место для отмены идеалов в любой области целостности: если Xi = Xj , то либо х равен нулю или я = J .
Область целостности равна пересечению ее локализаций в максимальных идеалах.
Индуктивный предел интегральных областей является областью целостности.
Если - области целостности над алгебраически замкнутым полем k , то - область целостности. Это является следствием нулей Гильберта , ^{[примечание 1]} и, в алгебраической геометрии, это означает утверждение , что координатное кольцо произведения двух аффинных алгебраических многообразий над алгебраически замкнутым полем снова является область целостности. $A,B$ $A\otimes _{k}B$

Поле дробей [ править ]

Поле частных K интегрального домен R есть множество фракций в / б с и Ь в R и B ≠ 0 по модулю соответствующего отношения эквивалентности, оснащенное обычной операции сложения и умножения. Это «наименьшее поле , содержащее R » в том смысле , что существует инъективный гомоморфизм колец R → K такое , что любая инъективны кольцевой гомоморфизм из R в поле факторов через K . Поле дробей кольца целых чисел - это поле $\mathbb {Z}$ рациональные числа . Поле дробей поля изоморфно самому полю. $\mathbb {Q} .$

Алгебраическая геометрия [ править ]

Области целостности характеризуются условием, что они редуцированы (то есть x ² = 0 влечет x = 0) и неприводимы (то есть существует только один минимальный простой идеал ). Первое условие гарантирует, что нильрадикал кольца равен нулю, так что пересечение всех минимальных простых чисел кольца равно нулю. Последнее условие состоит в том, что кольцо имеет только одно минимальное простое число. Отсюда следует, что единственным минимальным первичным идеалом редуцированного неприводимого кольца является нулевой идеал, поэтому такие кольца являются областями целостности. Обратное очевидно: в области целостности нет ненулевых нильпотентных элементов, а нулевой идеал - это единственный минимальный простой идеал.

Это означает, в алгебраической геометрии , в том , что координатное кольцо из аффинного алгебраического множества является областью целостности тогда и только тогда , когда алгебраическое множество является алгебраическим многообразием .

В более общем смысле коммутативное кольцо является областью целостности тогда и только тогда, когда его спектр является целочисленной аффинной схемой .

Характеристика и гомоморфизмы [ править ]

Характеристика интегрального домена является либо 0 или простым числом .

Если R является областью целостности простой характеристики р , то эндоморфизм Фробениуса F ( х ) = х ^р является инъективны .

См. Также [ править ]

В Викиучебнике по абстрактной алгебре есть страница по теме: Целочисленные области

Норма Дедекинда – Хассе - дополнительная структура, необходимая для того, чтобы область целостности была главной
Собственность нулевого продукта

Примечания [ править ]

^ Доказательство: сначала предположим, что A конечно порождена как k -алгебра, и выберем a-базуиз. Предположим(только конечное числоненулевых). Для каждого максимального идеалаизрассмотрим гомоморфизм колец. Тогда образ естьи, следовательно, либо,либои, в силу линейной независимости,для всехилидля всех. Посколькуэто произвольно, у нас естьпересечение всех максимальных идеалов,где последнее равенство принадлежит Nullstellensatz. Такэто идеал, это означает либоилиявляется нулевым идеалом; т.е. либо $k$ $g_{i}$ $B$ ${\textstyle \sum f_{i}\otimes g_{i}\sum h_{j}\otimes g_{j}=0}$ $f_{i},h_{j}$ ${\mathfrak {m}}$ $A$ $A\otimes _{k}B\to A/{\mathfrak {m}}\otimes _{k}B=k\otimes _{k}B\simeq B$ ${\textstyle \sum {\overline {f_{i}}}g_{i}\sum {\overline {h_{i}}}g_{i}=0}$ ${\textstyle \sum {\overline {f_{i}}}g_{i}=0}$ ${\textstyle \sum {\overline {h_{i}}}g_{i}=0}$ ${\overline {f_{i}}}=0$ $i$ ${\overline {h_{i}}}=0$ $i$ ${\mathfrak {m}}$ ${\textstyle (\sum f_{i}A)(\sum h_{i}A)\subset \operatorname {Jac} (A)=}$ $=(0)$ $(0)$ ${\textstyle \sum f_{i}A}$ ${\textstyle \sum h_{i}A}$ $f_{i}$ все равны нулю или все равны нулю. Наконец, это индуктивный предел конечно порожденных k -алгебр, которые являются областями целостности и, таким образом, используя предыдущее свойство, являются областью целостности. $h_{i}$ $A$ $A\otimes _{k}B=\varinjlim A_{i}\otimes _{k}B$ $\square$

^ Бурбаки, стр. 116.
^ Даммит и Фут, стр. 228.
↑ BL van der Waerden, Algebra Erster Teil, p. 36, Springer-Verlag, Берлин, Гейдельберг 1966.
^ IN Herstein, Topics in Algebra, p. 88-90, Blaisdell Publishing Company, Лондон, 1964.
^ JC McConnel и JC Robson "Некоммутативные нётеровы кольца" ( Graduate Studies in Mathematics Vol. 30, AMS)
^ Страницы 91–92 Лэнг, Серж (1993), Алгебра (Третье изд.), Чтение, Массачусетс: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848,13001
^ Auslander, Морис; Бухсбаум, Д.А. (1959). «Уникальная факторизация в регулярных локальных кольцах» . Proc. Natl. Акад. Sci. США . 45 (5): 733–734. DOI : 10.1073 / pnas.45.5.733 . PMC 222624 . PMID 16590434 .
^ Масайоси Нагаты (1958). «Общая теория алгебраической геометрии над дедекиндовыми областями. II». Амер. J. Math . Издательство Университета Джона Хопкинса. 80 (2): 382–420. DOI : 10.2307 / 2372791 . JSTOR 2372791 .
^ Дурбин, Джон Р. (1993). Современная алгебра: введение (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья. п. 224. ISBN 0-471-51001-7. Элементы a и b [области целостности] называются ассоциированными, если a | б и б | а .

Ссылки [ править ]

Адамсон, Иэн Т. (1972). Элементарные кольца и модули . Университетские математические тексты. Оливер и Бойд. ISBN 0-05-002192-3.
Бурбаки, Николас (1998). Алгебра, главы 1–3 . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-64243-5.
Мак Лейн, Сондерс ; Биркгоф, Гарретт (1967). Алгебра . Нью-Йорк: ISBN компании Macmillan Co. 1-56881-068-7. Руководство по ремонту 0214415 .
Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Нью-Йорк: Вили . ISBN 978-0-471-43334-7.
Хангерфорд, Томас В. (2013). Абстрактная алгебра: введение (3-е изд.). Cengage Learning. ISBN 978-1-111-56962-4.
Ланг, Серж (2002). Алгебра . Тексты для выпускников по математике. 211 . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-95385-4. Руководство по ремонту 1878556 .
Шарп, Дэвид (1987). Кольца и факторизация . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-33718-6.
Роуэн, Луи Галле (1994). Алгебра: группы, кольца и поля . А.К. Петерс . ISBN 1-56881-028-8.
Лански, Чарльз (2005). Понятия в абстрактной алгебре . Книжный магазин AMS. ISBN 0-534-42323-X.
Милиес, Сезар Польчино; Сегал, Сударшан К. (2002). Введение в групповые кольца . Springer. ISBN 1-4020-0238-6.
Б.Л. ван дер Варден, Алгебра, Springer-Verlag, Берлин, Гейдельберг, 1966.

Внешние ссылки [ править ]

«Откуда появился термин« область целостности »?» .

[10] Доказательство: сначала предположим, что A конечно порождена как k -алгебра, и выберем a-базуиз. Предположим(только конечное числоненулевых). Для каждого максимального идеалаизрассмотрим гомоморфизм колец. Тогда образ естьи, следовательно, либо,либои, в силу линейной независимости,для всехилидля всех. Посколькуэто произвольно, у нас естьпересечение всех максимальных идеалов,где последнее равенство принадлежит Nullstellensatz. Такэто идеал, это означает либоилиявляется нулевым идеалом; т.е. либо $k$ $g_{i}$ $B$ ${\textstyle \sum f_{i}\otimes g_{i}\sum h_{j}\otimes g_{j}=0}$ $f_{i},h_{j}$ ${\mathfrak {m}}$ $A$ $A\otimes _{k}B\to A/{\mathfrak {m}}\otimes _{k}B=k\otimes _{k}B\simeq B$ ${\textstyle \sum {\overline {f_{i}}}g_{i}\sum {\overline {h_{i}}}g_{i}=0}$ ${\textstyle \sum {\overline {f_{i}}}g_{i}=0}$ ${\textstyle \sum {\overline {h_{i}}}g_{i}=0}$ ${\overline {f_{i}}}=0$ $i$ ${\overline {h_{i}}}=0$ $i$ ${\mathfrak {m}}$ ${\textstyle (\sum f_{i}A)(\sum h_{i}A)\subset \operatorname {Jac} (A)=}$ $=(0)$ $(0)$ ${\textstyle \sum f_{i}A}$ ${\textstyle \sum h_{i}A}$ $f_{i}$ все равны нулю или все равны нулю. Наконец, это индуктивный предел конечно порожденных k -алгебр, которые являются областями целостности и, таким образом, используя предыдущее свойство, являются областью целостности. $h_{i}$ $A$ $A\otimes _{k}B=\varinjlim A_{i}\otimes _{k}B$ $\square$

[1] Бурбаки, стр. 116.

[2] Даммит и Фут, стр. 228.

[3] BL van der Waerden, Algebra Erster Teil, p. 36, Springer-Verlag, Берлин, Гейдельберг 1966.

[4] IN Herstein, Topics in Algebra, p. 88-90, Blaisdell Publishing Company, Лондон, 1964.

[5] JC McConnel и JC Robson "Некоммутативные нётеровы кольца" ( Graduate Studies in Mathematics Vol. 30, AMS)

[6] Страницы 91–92 Лэнг, Серж (1993), Алгебра (Третье изд.), Чтение, Массачусетс: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848,13001

[7] Auslander, Морис; Бухсбаум, Д.А. (1959). «Уникальная факторизация в регулярных локальных кольцах» . Proc. Natl. Акад. Sci. США . 45 (5): 733–734. DOI : 10.1073 / pnas.45.5.733 . PMC 222624 . PMID 16590434 .

[8] Масайоси Нагаты (1958). «Общая теория алгебраической геометрии над дедекиндовыми областями. II». Амер. J. Math . Издательство Университета Джона Хопкинса. 80 (2): 382–420. DOI : 10.2307 / 2372791 . JSTOR 2372791 .

[9] Дурбин, Джон Р. (1993). Современная алгебра: введение (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья. п. 224. ISBN 0-471-51001-7. Элементы a и b [области целостности] называются ассоциированными, если a | б и б | а .