Полуполе

Алгебраическая структура → Теория колец Теория колец

Базовые концепты Кольца • Подкольца • Идеально • Факторное кольцо • Дробный идеал • Общее кольцо частных • Кольцо с продуктом • Бесплатное произведение ассоциативных алгебр • Тензорное произведение колец Гомоморфизмы колец • Ядро • Внутренний автоморфизм • Эндоморфизм Фробениуса Алгебраические структуры • Модуль • Ассоциативная алгебра • Градуированное кольцо • Инволютивное кольцо • Категория колец • Начальное кольцо ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • Клеммное кольцо ${\ displaystyle 0 = \ mathbb {Z} _ {1}}$ Связанные структуры • Поле • Конечное поле • Неассоциативное кольцо • Кольцо лжи • кольцо Jordan • Полукругление • Semifield
Коммутативная алгебра Коммутативные кольца • Целостная область • Интегрально закрытый домен • Домен GCD • Уникальный домен факторизации • Основная идеальная область • Евклидова область • Поле • Конечное поле • Композиционное кольцо • Кольцо полиномов • Формальное кольцо степенной серии Алгебраическая теория чисел • Поле алгебраических чисел • Кольцо целых чисел • Алгебраическая независимость • Трансцендентальная теория чисел • Степень трансцендентности p -адическая теория чисел и десятичные дроби • Прямой предел / обратный предел • Нулевое кольцо ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {1}}$ • Целые числа по модулю p n ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$ • Prüfer p -ring ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} (п ^ {\ infty})}$ • Основание - круговое кольцо p ${\ Displaystyle \ mathbb {T}}$ • База - p целых чисел ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • p -адические рациональные числа ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [1 / p]}$ • База - p вещественных чисел ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ • p -адические целые числа ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$ • p -адические числа ${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$ • p -адический соленоид ${\ displaystyle \ mathbb {T} _ {p}}$ Алгебраическая геометрия • Аффинное разнообразие
Некоммутативная алгебра Некоммутативные кольца • Дивизионное кольцо • Полупримитивное кольцо • Простое кольцо • Коммутатор Некоммутативная алгебраическая геометрия Свободная алгебра Алгебра Клиффорда • Геометрическая алгебра Операторная алгебра
v т е

В математике , А полуполь является алгебраической структурой с двумя бинарными операциями , сложением и умножением, который похож на поле , но с некоторыми аксиомами ослаблены.

Обзор [ править ]

Термин «полуполе» имеет два противоречивых значения, оба из которых включают поля как особый случай.

В проективной геометрии и конечной геометрии ( MSC 51A, 51E, 12K10) полуполе является неассоциативным телом с мультипликативным единичным элементом. ^[1] Точнее, это неассоциативное кольцо , ненулевые элементы которого образуют петлю при умножении. Другими словами, полуполе - это множество S с двумя операциями + (сложение) и · (умножение), такое что
- ( S , +) абелева группа ,
- умножение распределительно как слева, так и справа,
- существует мультипликативный единичный элемент , и
- деление всегда возможно: для любого a и любого ненулевого b в S существуют единственные x и y в S, для которых b · x = a и y · b = a .

Обратите внимание, в частности, что умножение не предполагается коммутативным или ассоциативным . Ассоциативное полутело - это тело , а ассоциативное и коммутативное - поле . Полутело по этому определению является частным случаем квазиполя . Если S конечно, последняя аксиома в приведенном выше определении может быть заменена предположением об отсутствии делителей нуля , так что a · b = 0 означает, что a = 0 или b = 0. ^[2] Обратите внимание, что из-за отсутствие ассоциативности, последняя аксиома неэквивалентно предположению, что каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный обратный, как это обычно встречается в определениях полей и тел.

В теории колец , комбинаторике , функциональном анализе и теоретической информатике ( MSC 16Y60) полуполе - это полукольцо ( S , +, ·), в котором все ненулевые элементы имеют мультипликативный обратный. ^[3]^[4] Эти объекты также называются собственными полутелами . Вариант этого определения возникает, если S содержит поглощающий ноль, отличный от мультипликативной единицы e , требуется, чтобы ненулевые элементы были обратимы, и a · 0 = 0 · a = 0. Поскольку умножение являетсяассоциативно , (ненулевые) элементы полуполя образуют группу . Однако пара ( S , +) - это только полугруппа , т.е. аддитивная инверсия может не существовать, или, в просторечии, «вычитания нет». Иногда не предполагается, что умножение является ассоциативным.

Примитивность полутел [ править ]

Полутело D называется правым (соответственно левым) примитивным, если оно имеет такой элемент w, что множество ненулевых элементов D * равно множеству всех правых (соответственно левых) главных степеней w.

Примеры [ править ]

Мы приводим только примеры полутел во втором смысле, т.е. аддитивные полугруппы с дистрибутивным умножением. Более того, в наших примерах сложение коммутативно, а умножение ассоциативно.

Положительные рациональные числа с обычным сложением и умножением образуют коммутативное полуполе.
Это может быть расширено поглощающим 0.
Положительные действительные числа с обычным сложением и умножением образуют коммутативное полуполе.
Это может быть расширено поглощающим 0, образуя вероятностное полукольцо , которое изоморфно лог-полукольцу .
Рациональные функции вида f / g , где f и g - многочлены от одной переменной с положительными коэффициентами, образуют коммутативное полуполе.
Его можно расширить, включив в него 0.
Действительные числа R можно рассматривать Полуполевую , где сумма двух элементов определяются как их максимальные и продукт , чтобы быть их обычная суммой; это полуполе более компактно обозначается ( R , max, +). Аналогично ( R , min, +) - полуполе. Они называются тропическим полукольцом .
Его можно расширить на −∞ (поглощающий 0); это предел ( тропикализация ) лог-полукольца при уходе основания в бесконечность.
Обобщая предыдущий пример, если ( A , ·, ≤) - решеточно-упорядоченная группа, то ( A , +, ·) - аддитивно идемпотентное полуполе с полутелевой суммой, определенной как супремум двух элементов. Наоборот, любое аддитивно идемпотентное полуполе ( A , +, ·) определяет решеточно-упорядоченную группу ( A , ·, ≤), где a ≤ b тогда и только тогда, когда a + b = b .
Логическое полуполе B = {0, 1} со сложением, определяемым логическим или , и умножением, определяемым логическим и .

См. Также [ править ]

Плоское тройное кольцо (первое чувство)

Ссылки [ править ]

^ Дональд Кнут , Конечные полутела и проективные плоскости . J. Algebra, 2, 1965, 182--217 MR 0175942 .
^ Ландквист, EJ, "О кольцах неассоциативного деления и проективных плоскостях", Copyright 2000.
^ Голан, Джонатан С., Semirings и их приложения . Обновленная и расширенная версия теории полуколец с приложениями к математике и теоретической информатике (Longman Sci. Tech., Harlow, 1992, MR 1163371. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1999. xii + 381 pp. ISBN 0-7923- 5786-8 Руководство по ремонту 1746739 .
^ Hebisch, Удо; Вайнерт, Ханс Иоахим, Полукольца и полутела . Справочник по алгебре, Vol. 1, 425–462, Северная Голландия, Амстердам, 1996. MR 1421808 .

[Knuth-1] Дональд Кнут , Конечные полутела и проективные плоскости . J. Algebra, 2, 1965, 182--217 MR 0175942 .

[Landquist-2] Ландквист, EJ, "О кольцах неассоциативного деления и проективных плоскостях", Copyright 2000.

[Golan-3] Голан, Джонатан С., Semirings и их приложения . Обновленная и расширенная версия теории полуколец с приложениями к математике и теоретической информатике (Longman Sci. Tech., Harlow, 1992, MR 1163371. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1999. xii + 381 pp. ISBN 0-7923- 5786-8 Руководство по ремонту 1746739 .

[HW-4] Hebisch, Удо; Вайнерт, Ханс Иоахим, Полукольца и полутела . Справочник по алгебре, Vol. 1, 425–462, Северная Голландия, Амстердам, 1996. MR 1421808 .